网络流：所有弧上流量的集合\(f = {f(u,v)}\)，称为该流量网络的一个网络流。
弧的流量：通过流量网络\(G\)中的每条弧\((u,v)\)上的实际流量（简称流量），记作\(f(u,v)\)。
对于任意一个时刻，设\(f(u,v)\)为实际流量，则整个图\(G\)的流网络满足3个性质：
可行流：在流量网络\(G\)中满足以下条件的网络流\(f\)，称为可行流
\(1\).弧流量限制条件:\(0 \le f(u,v) \le c(u,v)\)
\(2\).平衡条件：流入\(u\)点的流量等于流出\(u\)点的流量（源点和汇点除外）
举个栗子：
上图中可行流为:\(2+1+2=5\)
零流：网络流上每条弧的流量都为\(0\)。
伪流：如果一个网络流只满足弧流量限制条件，不满足平衡条件，则这种网络流为伪流或容量可行流(预流推进算法有用)。
最大流最小割定理：在容量网络中，满足弧流量限制条件和平衡条件并且具有最大流量的可行流，称为网络最大流（简称最大流）。
对于网络流图\(G\)，流量最大的可行流\(f\)，称为最大流
在流量网络中，相邻两个顶点之间有一条弧（不要求所有弧的方向都和链的方向相同），则称该顶点序列(\(u_1\)、\(u_2\)......\(u_n\))为一条链。
无向图的割集：\(C(A,B)\)将图\(G\)分为\(A\)、\(B\)两个点集，\(A\)集和\(B\)集之间所有边的集合称为无向图的割集。
网络的割集：\(C(S,T)\)将网络\(G\)分为\(S\)、\(T\)两个点集（\(s \in S\)，\(t \in T\)，其中\(s\)为源点，\(t\)为汇点），\(S\)集和\(T\)集之间所有边的集合称为网络的割集。
带权图的割集：割集中所有边的权值和
通俗的理解一下: 割集好比是一个恐怖分子，把你家和自来水厂之间的水管网络砍断了一些，然后自来水厂无论怎么放水，水都只能从水管断口哗哗流走了，你家就停水了，割的大小应该是恐怖分子应该关心的事，毕竟细管子好割一些 ，而最小割花的力气最小
定义：如果一个可行流不是最大流，那么当前网络中一定存在一条增广路。
前置知识：
前向弧：方向和链的正方向一致的弧。
后向弧：方向和链的正方向一相反的弧。
设\(f\)是一个容量网络\(G\)中的一条可行流，\(P\)是从源点到汇点的一条链，若\(P\)满足：
\(P\)中所有前向弧都是非饱和弧
\(P\)中所有后向弧都是非零弧
则称\(P\)为关于可行流\(f\)的一条增广路，沿这增广路改进可行流的操作称为增广。
图文结合理解一下
给定容量网络\(G(V,E)\)及可行流\(f\)，弧\((u,v)\)上的残留容量记为\(cl(u,v)=c(u,v)-f(u,v)\)，每条弧上的残留容量表示这条弧上可以增加的流量。因为从顶点\(u\)到顶点\(v\)的流量减少，等价于从顶点\(v\)到顶点\(u\)的流量增加，所以每条弧\((u,v)\)上还有一个反方向的残留容量\(cl(v,u)=-f(u,v)\)。
在一个网络流图上，找到一条从源点到汇点的路径（即找到了一个流量）后，对路径上所有的边的容量都减去此次找到的量，并添加一条反向边（容量也等于此次找到的流量），这样得到的新图，就称为原图的“残余网络”。
最大流最小割定理:网络的最大流等于最小割
具体的证明分三部分
1.任意一个流都小于等于任意一个割。这个很好理解：自来水公司随便给你家通点水，构成一个流，恐怖分子随便砍几刀，砍出一个割，由于容量限制，每一根的被砍的水管子流出的水流量都小于管子的容量，每一根被砍的水管的水本来都要到你家的，现在流到外面，加起来得到的流量还是等于原来的流，管子的容量加起来就是割，所以流小于等于割。由于上面的流和割都是任意构造的，所以任意一个流小于任意一个割
2.构造出一个流等于一个割。当达到最大流时，根据增广路定理，残留网络中\(s\)到\(t\)已经没有通路了，否则还能继续增广，我们把\(s\)能到的的点集设为\(S\)，不能到的点集为\(T\)，构造出一个割集\(C[S,T]\)，\(S\)到\(T\)的边必然满流，否则就能继续增广，这些满流边的流量和就是当前的流即最大流把这些满流边作为割，就构造出了一个和最大流相等的割
3.最大流等于最小割。设相等的流和割分别为\(Fm\)和\(Cm\)，则因为任意一个流小于等于任意一个割，任意\(F≤Fm=Cm≤\)任意\(C\)。
证明如下：对于一个网络流图\(G=(V,E)\)，其中有源点\(s\)和汇点\(t\)，那么下面三个条件是等价的：
首先证明\(1 => 2\)：我们利用反证法，假设流\(f\)是图\(G\)的最大流，但是残留网络中还存在有增广路\(p\)，其流量为\(fp\)。则我们有流$ f' = f + fp > f \(。这与\)f$是最大流产生矛盾。
接着证明\(2 => 3\)：假设残留网络\(Gf\)不存在增广路，所以在残留网络\(Gf\)中不存在路径从\(s\)到达\(t\)。我们定义\(S\)集合为：当前残留网络中\(s\)能够到达的点。同时定义\(T=V-S\)。此时\((S,T)\)构成一个割\((S,T)\)。且对于任意的\(u∈S\),\(v∈T\)，有\(f(u,v)=c(u,v)\)。若\(f(u,v) < c(u,v)\)，则有\(Gf(u,v) > 0\)，\(s\)可以到达\(v\)，与\(v\)属于\(T\)矛盾。因此有\(f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)\)。
最后证明\(3 => 1\)：由于\(f\)的上界为最小割，当\(f\)到达割的容量时，显然就已经到达最大值，因此\(f\)为最大流。 这样就说明了为什么找不到增广路时，所求得的一定是最大流。
以上概念均摘自A_Comme_Amour dalao的CSDN
下面是所有最大流算法的精华部分：引入反向边
为什么要有反向边呢？
我们第一次找到了\(1-2-3-4\)这条增广路，这条路上的\(delta\)值显然是\(1\)。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）
这时候\((1,2)\)和\((3,4)\)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。
但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走\(1-2-4\)和\(1-3-4\)，这样可以得到流量为\(2\)的流。
那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个“后悔”的机会，应该有一个不走\((2-3-4)\)而改走\((2-4)\)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。
而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边\((u,v)\)都有一条反向边\((v,u)\)，反向边也同样有它的容量。
我们直接来看它是如何解决的：
在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少\(delta\)的同时，也把每一段上的反方向的容量增加\(delta\)。即在\(dec(c[x,y],delta)\)的同时，\(inc(c[y,x],delta)\)
我们来看刚才的例子，在找到\(1-2-3-4\)这条增广路之后，把容量修改成如下
这时再找增广路的时候，就会找到\(1-3-2-4\)这条可增广量，即\(delta\)值为\(1\)的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流\(2\)。
那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。
事实上，当我们第二次的增广路走\(3-2\)这条反向边的时候，就相当于把\(2-3\)这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走\(2-3\)这条路，而改走从\(2\)点出发的其他的路也就是\(2-4\)。（有人问如果这里没有\(2-4\)怎么办，这时假如没有\(2-4\)这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在\(3-4\)上的流量由\(1-3-4\)这条路来“接管”。而最终\(2-3\)这条路正向流量\(1\)，反向流量\(1\)，等于没有流量。
这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会
原理：求最大流的过程，就是不断找到一条源到汇的路径，若有，找出增广路径上每一段[容量-流量]（就是剩余流量）的最小值\(delta\)，然后构建残余网络，再在残余网络上寻找新的路径，使总流量增加。然后形成新的残余网络，再寻找新路径…..直到某个残余网络上找不到从源到汇的路径为止，最大流就算出来了。
思路：不断用BFS寻找增广路并不断更新最大流量值，直到网络上不存在增广路为止
实现过程：在\(BFS\)寻找一条增广路时，我们只需要考虑剩余流量不为\(0\)的边，然后找到一条从\(S\)到\(T\)的路径，同时计算出路径上各边剩余容量值的最小值\(incf[n]\) ，则网络的最大流量就可以增加\(incf[n]\)（经过的正向边容量值全部减去\(incf[n]\)，反向边全部加上\(incf[n]\)）
\(Q\)：为什么不能用\(dfs\)找最大流
\(A\)：如果运气不好这种图会让程序执行\(200\)次\(dfs\)，虽然实际上最少只要\(2\)次我们就能得到最大流
代码
\(EK\)算法每次都可能会遍历整个残量网络，但只找出一条增广路,是不是有点不划算？能不能一次找多条增广路呢？这时候，\(Dinic\)算法就闪亮登场了
思路：
但是要警惕绕远路、甚至绕回的情况，不加管制的话极易发生。怎么管？
综合上面两条。每回合也是从源点出发，先按照当前残量网络分一次层，随后多路增广，尽可能增加流量。增广过程中，会加入一些反向边，这些反向边逆着层次图，本回合并不会走。所以还需要进入下一回合。一直到 bfs 分层时搜不到汇点（即残量网络断了）为止。
\(Dinic\)算法框架
1.在残量网络上\(BFS\)求出节点的层次，构造分层图
2.在分层图上\(DFS\)寻找增广路，在回溯时同时更新边权
\(HLPP\) (\(Highest\) \(Label\) \(Preflow\) \(Push\))最高标签预流推进算法是处理网络最大流里两种常用方法——增广路&预流推进中，预流推进算法的一种。据传由\(tarjan\)发明怎么又是他 ，并被其他科学家证明了其复杂度是紧却的\(O(n^2 \sqrt{m} )\) 。在随机数据中不逊色于普通的增广路算法，而在精心构造的数据中无法被卡，所以是一种可以替代\(Dinic\)的方法（随我怎么说，代码又长又难调，所以还是\(Dinic\)好啊\(TAT\)）
但无论怎样，\(wiki\)里面已经承认\(HLPP\)是现在最优秀的网络流算法了。
主要思路：对每个点记录超额流(\(Extra\) \(Flow\)) ，即允许流在非源点暂时存储，并伺机将超额流推送出去。不可推送的，就会流回源点。那么最终答案显然存储在 \(Extra[T]\) 里面。（显然，因为\(t\)节点无法推送到其他节点，所以最终暂存在\(t\)节点的流量就是最大流量）
但同时这也有一个问题，就是会出现两个点相互推送不停的情况。为了防止这样，我们采用最高标号的策略：给每个点一个高度，对于一个点\(u\)以及它的伴点集合{\(v\)}，当且仅当\(h_u = h_v + 1\)时才可以推送流。并且我们对于源点\(S\)，设置\(h_S = n\)，并对于\(S\)实行无限制推送（源点流量无限）。那么最后的答案就保存在\(Extra[T]\)里面 。
但有时，我们发现有个点是“谷”，即周围点的高度都比它高，但是它有超额流。那么我们此时考虑拔高它的高度，即重贴标签(\(relabel\))操作。
算法框架：
以下用\(Extra_u\)表示\(u\)的超额流，\(h_u\)表示\(u\)的高度，用\(f_k\)表示边\(k\)的容量。
代码
模型简述：给定一个流量网络，每一条边包含容量和单位费用两个属性，且这条边的费用相当于这条边的流量$\times $单位费用，求得到最大流时的最小费用。
算法框架：
只要将\(EK\)算法中的\(BFS\)更改为\(SPFA\)即可。
\(Q\)：为什么不用效率更高的\(Dinic\)算法
\(A\)：因为\(Dinic\)算法一次找出多条增广路，不能保证一次增广的流量$\times \(流到\)t$点的最小费用就是该次增广的总费用（可能流最小费用的路径已经用过了（达到流量上限），但其他路径依然按最小费用进行计算，导致最小费用偏小）
代码（其实就是\(EK\)再套一个\(SPFA\)的板子）
1.割：给定一个图\(G(V,E)\)，其中\(V\)是点集，\(E\)是边集。在\(E\)中去掉一个边集\(C\)使得\(G(V,E-C)\)不连通，\(C\)就是图\(G(V,E)\)的一个割。
2.最小割：在\(G(V,E)\)所有割中，边权和最小的割就是最小割。
最大流最小割定理：
1.最小割等价于最大流。
2.最小割在最大流中一定是满流边，是增广路径中容量最小的边。
3.一条增广路径只对应一条最小割。（如果一条增广路中两条满流且都需要割掉，那一定通过反向边分成两条增广路）
一条最小割可以对应多条增广路径，但一条增广路径只能对应一条最小割（或最小割的可能性）
求最小割就是求增广路径中容量最小的边，所以恰好和最大流的求解一致。
首先有一个有向连通图，每个点带有一个权值，例如：
在此基础上构造一个超级源点\(s\)和超级汇点\(t\)，由\(s\)连向点权为正的点，容量为该点权值，由点权为负的点连向\(t\)，容量为该点权值的绝对值，原先点与点之间的边不变，容量为\(INF\),如下图
此时，我们可以得到以下结论：
简单割：割集中所有的边，都与\(s\)或\(t\)连接。
理解：该图中不与\(s\)或\(t\)相连的边容量都为\(INF\)，所以最小割一定在与\(s\)或\(t\)连接的边上。
闭合图：取图中一些节点及与它们相连的边构成集合{\(V\),\(E\)}，若集合\(V\)中任意节点连接的任意出弧所指向的终点也在集合\(V\)中 ，则{\(V\),\(E\)}构成闭合图。
理解：简单割内不包含边权为\(INF\)的边，图\(S\)中没有边与图\(T\)连通，那么所有的权值不为\(INF\)的出弧都只能连接在图\(S\)之内，即为闭合图。
栗子：
最大权闭合子图：在整个图中，有多个子图是满足闭合图的条件的，其中点权之和最大的，为最大权闭合子图。
理解：因为割集中的所有边不是连接在\(s\)上就是连接在\(t\)上，所以我们令割集中所有连接在\(s\)上的边的权值和为\(x_1\),所有连接在\(t\)上的边的权值和为\(x_2\)，则割集中所有边的权值和为\(X = x_1 + x_2\)。
令图\(S\)中所有点的权值和为\(W\)，记其中正权值之和为\(w_1\)，负权值之和的绝对值为\(-w_2\)，\(W = w_1 - w_2\)。
所以\(W + X = x_1 + x_2 + w_1 - w_2\)
又因为\(x_2 = w_2\)（因为图\(S\)中所有负权值的点，必然连接到\(t\)点，而图\(S\)必然要与\(t\)分割开，所以割集中连接在\(t\)点上的边权值和就是图\(S\)中所有负权值点的权值之和）
所以\(W + X = w_1 + x_1\)
又因为\(w_1 + x_1\)为图中所有的正权值之和，记为\(sum\)，且\(sum\)为一个定值
所以\(W = sum - X\)，即“图\(S\)中所有点的正权值和”\(=\)“整个图中所有的正权值之和”\(-\) “割集中所有的边权和”
所以只要减去最小割，就可以得到最大权闭合子图。
综上所述，我们可以得到求解此类题目的一般步骤：
1.记录整个图中所有的正权值和
2.建立对应的流网络，跑最大流（最大流在数值上等于最小割）
3.用正权值之和减去最大流，得到最大权闭合子图权值和。
本题要求掌握顺难则反的思想，可以将题目转化为求不满足的要求的最小代价（最小割），并熟悉建边及退流思想
本题有路径限制，即最多可以流的节点数，就可以在临界点（设为\(v\)）连接一条回到初始点（设为\(u\)）的容量为\(INF\)边（保证不会被割掉），其中\(u\)到\(v\)之间跨过的点数就是限制。
对于平面图最短路，首先要了解其与最大流最小割的关系，有
对偶图最短路 \(=\) 最大流 \(=\) 最小割
一般来说，此类题目会卡最大流（包括当前弧优化的\(Dinic\)），所以一般要转化为对偶图最短路。主要了解对偶图的建边方式——对于每一个封闭区间看做一个点，分割相邻两个封闭区间的边的容量就是该两个封闭区间连边的长度，再由原先的起点和终点的连边将最外围的封闭区间分成两个点（即对偶图的起点和终点），用\(dijkstra\)跑一遍最短路即可。如下图：
本题同样运用顺难则反的思想，求其不满足的最小代价。对于本题的边，可以从源点连接两条到该边两端点的边权为\((\dfrac{E_{a[i]}}{2})\)的边，再连接两条从该边两端点到汇点的边权为\((\dfrac{E_{b[i]}}{2})\)的边，因为有可能割的是一条连接源点的边，一条连接汇点的边，所以在这两点之间连接一条边权为\((\dfrac{E_{a[i]} + E_{b[i]}}{2}) + E_{c[i]}\)的无向边，保证这种情况时该无向边被割掉或改为割与汇点相连的两条边，从而保证答案的正确性。
例题
本题主要要掌握拆点技巧，将一个点拆成两个（设为\(x,y\)），加一条由源点流向\(x\)和\(y\)流向汇点的边，将原图中要连边的两点（设为\(u,v\)）中\(u_x\)连向\(v_y\)，再跑一遍最大流，最大流量就是可以合并的边数，最小路径覆盖就是节点数减去最大流量。
本题是修车的加强版，由于可能会\(T\)飞，所以我们要优化：对于每一个厨师，只有当他做完一道菜后才有可能做其他的，所以我们一开始只要连该点乘一倍的情况，每次找到一条增广路后从所有菜向该节点连前一倍数加一的边，就可以大大减少\(SPFA\)的复杂度（防止我们SPFA）
本题让我们对网络流有了更深的理解：在一些限制条件较多的题目中，我们可以用网络流来进行求解，又因为在本题中一个决策会导致多个限制条件的改变，而网络流的流量是一对一的，所以我们可以以一个人为一点流量，让这一点流量覆盖\(s_i\)到\(t_i\)天（具体就是从\(s_i\)天向\(t_i+1\)天连一条容量无限费用为\(c_i\)的边）。再以天数为点，相邻两天的边的容量为该天需要的人数的负数，补齐人数限制，跑一遍最小费用最大流即可。
注意到网络流的容量不能为负数，所以相邻两条边的容量为\(INF-\)当天的需要人数，费用为\(0\)。
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emini-API完善的类型系统：基于 Pydantic 确保数据交互的类型安全。
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