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1、1 Shanghai University 断裂力学 Fracture Mechanics 郭战胜郭战胜 办公地点：延长校区力学所办公地点：延长校区力学所317室室 平时答疑：每周一：平时答疑：每周一：5-6节节 晚修答疑晚修答疑:每周一：每周一：18：00-20：30 地点：地点：HE108或或HE104b 2 能量原理 3 线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于 弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。 研究裂纹扩展有两种观点： 一种是能量平衡的观点能量平衡的观点，裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩 展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所 消耗的能量，如Griffit
2、hGriffith理论理论； 一种是应力场强度的观点应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂 纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如IrwinIrwin理论理论。 4 线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论 线弹性断裂力学的基本理论包括： Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪5050年代才建立和发展年代才建立和发展 起来的。但是起来的。但是GriffithGriffith在在19201920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断
3、裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用GriffithGriffith理论，这理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来IrwinIrwin修正修正 了了Griffi
4、thGriffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。的理论，使得断裂力学成为一门学科。 GriffithGriffith理论理论 5 GriffithGriffith理论理论 InglisInglis的论文的论文1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透 板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为 Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问 题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。 Transactions of the Institution of Naval Architects,55 55 ( (1913),
5、pp.219230. 6 C. E. Inglis Sir Charles Edward InglisSir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at Kings College Cambridge and made several important studies into the made several important studies into
7、athers unmarried sister. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the inspiration for the Bailey bridge
8、of the Second World War Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire 7 Department of EngineeringDepartment of Engineering Head of Department 1919-43Head of Department 1919-43 He carried the largest teaching load, covering t
10、aught the subject most delightfully but inspired the members of the audience with respect and affection. C. E. Inglis 8 C. E. Inglis A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis. Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures. Griffith
11、Griffith理论理论 Royal Engineers constructing an Inglis Bridge Mk III at the School of Military Engineering, 18 June 1943 9 GriffithGriffith理论理论 The International Union of Theoretical and Applied Mechanics was founded in 1946, during the Sixth Congress in Paris. Each of the first six congresses had been
12、 organized by a national committee of scientists from the country where the congress was to be held. Fourth Fourth C. E. Inglis Congress President 1934 Cambridge UKC. E. Inglis Congress President 1934 Cambridge UK International Congresses on Theoretical and Applied International Congresses on Theore
13、tical and Applied Mechanics (ICTAM) BeijingMechanics (ICTAM) Beijing， Bai Yilong 23Bai Yilong 23rd rd 10 GriffithGriffith理论理论 max 12 a b thin plate of glass with an elliptical hole in the middle He found that point A, at the end of the ellipse, was feeling the most pressure. He also found that as th
14、e ratio of a/b gets as the ratio of a/b gets bigger (the ellipse gets longer and thinner) bigger (the ellipse gets longer and thinner) that the stress at A becomes greater and that the stress at A becomes greater and greater greater C. E. Inglis 11 C. E. Inglis He also found that pulling on the plat
15、e in a direction parallel to the ellipse does does notnot produce a great stress produce a great stress at A. This leads to the fact at A. This leads to the fact that a load perpendicular, that a load perpendicular, not parallel, to the crack not parallel, to the crack will make it grow. will make i
16、t grow. GriffithGriffith理论理论 12 Then he looked at other plates with not- quite-elliptical holes, like these. From looking at these he realized that its not he realized that its not really the shape of the hole that matters really the shape of the hole that matters in cracking. in cracking. What matt
17、ers is the length of What matters is the length of the crack that is perpendicular to the load the crack that is perpendicular to the load and what the radius of curvature at the and what the radius of curvature at the ends of the hole isends of the hole is. The longer the hole The longer the hole (
18、or crack), the higher the stress, and the (or crack), the higher the stress, and the smaller the radius of curvature, the higher smaller the radius of curvature, the higher the stress. the stress. GriffithGriffith理论理论 13 一、动机一、动机 两个矛盾的事实两个矛盾的事实 The stress needed to The stress needed to fracture bulk
19、 glassfracture bulk glass is around is around 100 MPa100 MPa. . The theoretical stress needed for breaking atomic The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately bonds is approximately 10,000 MPa10,000 MPa experiments on glass fibers that Griffith himself experiments on glas
21、轴趋于0，得到Griffith裂纹。 GriffithGriffith理论理论 Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。 上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长 后，固定两端，构成能量封闭系统。 15 设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一
22、个椭圆形圆孔后分析得 到的应力场、位移场计算公式，得出当 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） 时，弹性应变能的改变量为 2 22 22 1 1 UaB E UaB E 平面应变 平面应力 GriffithGriffith理论理论 = + GriffithGriffith理论理论 16 GriffithGriffith理论理论 17 能量守恒定律： 能量守恒定律能量守恒定律是自然界的一条普遍规律，它指出：系统能量系统能量 的增加等于输入的能量的增加等于输入的能量。对于热力学系统又可表述为：作用 于系统上功功的增量W加上系统接受的热热的增量Q等于系统 内能内能的增量E加上动能动能的增量K, 即 若
23、增量无限小且诸量可微，则可写成率的形式： QWKE QWKE GriffithGriffith理论理论 18 把能量守恒定律应用于裂纹体： E 为储存在介质中的内能；T 为动能；为裂纹表面能； 为 外力功率； 传热率。 作如下假设： 断裂过程中总体热交换效果可忽略（近似绝热假设）， 准静态过程，T0， 介质为弹性的，E = U W Q 0Q WU dt d )( ) 1 ( )2( QWTE GriffithGriffith理论理论 19 受有均匀外力作用具有长度为2a 的无限大板，其位移场为： 其中：对平面应变情况 对平面应力情况 考虑线弹性裂纹体的应变能： 现建立裂纹扩展的临界条件（考虑
24、时,裂纹有微扩展da） 应变能率： axxaxv 22 ) 1( 4 )( 43 1 3 k 22 0 8 1 2 1 4 BadxvBU a ) 3( )4( )5( )( 4 1 2 da d dt da dt d dt da aB dt dU c c GriffithGriffith理论理论 20 21 另一方面，Griffith认为，由于裂纹处形成两个自由表面， 从而有表面能增加，形成新的自由表面需要吸收的能量为 24Aa B 其中：为单位面积上的表面能。 由于板的上下两端是固定的，外力不做功，即外力势能不改变。 可以得到如下表达式 d ()0 d U A 临界状态 d ()0 d U
25、 A 裂纹稳定 d ()0 d U A 裂纹不稳定 GriffithGriffith理论理论 21 表面能率: 外力功率： 把应变能率、表面能率及外力功率代入能量平衡方程（2）： 或 )7( )6( )8( )9( dt da aB dx dt da axaBdx dt dv Bw c a c c a c 2 2 1 22 00 2 1 2)( 2 1 4 ) 1( 44 dt da B dt d e 4 e ca 2 8 1 2 e c Ea 2 GriffithGriffith理论理论 22 23 上式表明，当裂纹扩展单位面积，系统释放的应变能恰好 等于形成自由表面所需的表面能时，裂纹就处
26、于不稳定的 平衡状态；或裂纹扩展单位面积，系统释放的应变能大于 形成其自由表面所需的表面能时，裂纹就会失稳扩展而断 裂。当然，若释放的应变能小于形成其自由表面能所需的 表面能时，裂纹就不会扩展，处于稳定平衡状态。 GriffithGriffith理论理论 e c Ea 2)9( 23 24 得临界应力为 1 2 2 () c E a 表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩 展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。 GriffithGriffith理论理论 临界裂纹长度 2 2 c E a 对于平面应变有 22 2 2 (1) 2 (1) c c E a E a 24 25 Griffi
27、th判据如下： (1)当外加应力 超过临界应力 c (2)当裂纹尺寸 a超过临界裂纹尺寸 c a 脆性物体断裂 GriffithGriffith理论理论 He said that for a crack to grow, it was necessary for their to be enough potential energy in the system to create the new surface area of the crack. He did not know that it takes more than this for a crack to grow though.
28、25 于是由能量守恒定律得到裂纹扩展的临界条件： 其中 方程式右端为材料参数组合，应为材料常数。 因此方程式左端的载荷与裂纹几何参数的组合亦应为常数。 （含裂纹体的破坏条件） 下面把破坏条件（9）普遍化： 把能量守恒定律应用于裂纹体： 将之改写为： 即 )9( 2 1 E E E )10( WU dt d )( AA WU )( AA e c Ea 2 GriffithGriffith理论理论 26 定义 它代表裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为能量释放率； 同时，定义 它表示裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量为裂纹扩展阻力； 因此裂纹扩展条件可表示为： 这就是著名的Griffith 脆断准则
29、（能量平衡准则） A Gc c GG )12( )11( A G ）（ 13 GriffithGriffith理论理论 27 Griffith theory-1920 o In a body of a glass cracks pre-exist. o The tip of such a crack concentrates stress. o The intense stress breaks atomic bonds one by one, like opening a zipper. o As the crack advances, fresh surfaces are created.
30、 The surface energy increases, but the elastic energy decreases. o The crack advances if the advance reduces the sum of the surface energy and elastic energy. 28 dx d E dx d d d dx d 29 102 E a E o th o th a E 30 31 D是薄壁球壳或圆柱壳的直径，Q和R分别是平行于 裂纹和垂直于裂纹的主应力。 GriffithGriffith理论理论 R c c a 为了验证理论，Griffith做了
31、两组实验，一组是玻 璃薄壁球壳，见下表。可以看出，断裂应力随着裂 纹尺寸的增大而减小，却基本保持常数，证明了公 式的正确性。 32 第二组实验是含裂纹薄壁圆柱壳的爆裂实验。 GriffithGriffith理论理论 33 GriffithGriffith理论理论 Griffith发现 ，右端纯粹为材料参数组 合，对同一材料它应为常数。从这个意义上说 Griffith已接近于发现应力强度因子理论。 2 c aE The theory was considered to apply only to a limited class of extremely, such as glasses or c
32、eramics 1920，1924 1948，1957 Introduction of high strength materials for structural applications 34 Orowan与Irwin对Griffith理论的解释与发展 Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程 中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展 时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸 收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变 形能（也称为塑性功）。 设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为 p U ，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为 Griffith
33、Griffith理论理论 35 2 (2) (1) (2) P c P EU a EU a 平面应变 平面应力 g pu s g p + - = + 22 2 (2) (1) (2) P c P EU a EU 平面应变 平面应力 g pu s g ps + - = + GriffithGriffith理论理论 3 10 P UgOrowan 发现 36 Irwin在1948年引入记号 G 1 () 2 GWU a 外力功 释放出的应变能 能量释放率 能量释放率也称为裂纹扩展能力 G准则 c GG c G临界值,由试验确定 Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏破坏前裂 纹尖端附近有相当范
34、围的塑性变形 .该理论的提出是线弹性 断裂力学诞生的标志. GriffithGriffith理论理论 GriffithGriffith脆断准则脆断准则 37 前面仅是以固定边情况为例。对于一般约束情况， 具有更广泛的 物理意义。 I G 取一厚度为B 的板，中心有穿透裂纹长度为2a，载荷P，面积A = 2aB。在裂纹长度不变的情况下，P 与作用点位移成正比将板拉长 后固定两端。下图中直线的斜 率为刚度系数，其倒数为柔度 系数（柔度），等于单位载荷下 的位移。当裂纹面积增加时，弹 性裂纹体刚度下降，柔度增加， 即弹性曲线斜率减小。下面需要 分析三种不同边界条件的情况 GriffithGriffi
35、th理论理论 38 1）固定位移情况 在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所 需的功。 oacobc 应变能减少量应变能减少量= = GriffithGriffith理论理论 39 2） 固定载荷情况 在图中，体系应变能增加，载荷作的功一半用于增加系统应变能， 一半作为剩余功用于裂纹扩展。 I U G A I G将上述两种情况的将上述两种情况的统一写成统一写成 ()odeoac 应变能增加量应变能增加量= = 矩形矩形- -()odeoac ()oad GriffithGriffith理论理论 40 裂纹扩展时，载荷对位移曲线从a变 化到f，其斜率为 3)弹性约束情况 对于一般弹性
36、条件，可看成弹性约束，简化为裂纹体与弹簧串联的 力学模型。 1 K 弹簧柔度系数 GriffithGriffith理论理论 41 反映了裂纹扩展能量释放率与试件柔度之间的关系，称为Irwin-Kies关系。 是用柔度法确定 进而确定应力强度因子的重要基础。 000 limlimlim I dAdAdA oaboadoaf G dAdAdA 系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和） d P oad 2 Pdd 2 2 I P d G dA I G 对前两种情况， 则由 GriffithGriffith理论理论 称为应变能释放率的柔度表达式 对于如图所示的裂纹板，沿裂纹
37、延长线上，有 由应力场计算公式得到： 假设当裂纹扩展时，系统释放的能量等于迫使裂纹闭合回到原始状态所需要的变形功 GriffithGriffith理论理论 0 0 ,rx 0 2 I y K x 在闭合时,应力在 那段所做的功为 a 00 Ulim a y a dBvdx 其中，B为裂纹体厚度。 位移场表达式 22 42 I Kax vk 2 1 E 2 0 1 1 Ulim 4 I a k dB aK E 42 43 0 Ulim I a dG B a 2 1 1 4 k GK E 平面应力 2 3 , 1 K kG E 平面应变 2 2 1 34kGK E 2 K G E 2 1 EE E
38、 E 平面应力 平面应变 同理 2 K G E 2 1 GK E GriffithGriffith理论理论 I U G A 由此可见，线弹性条件下，应力强度因子和能量释放率具有对应关 系，两者是等效的。公式是在假定裂纹沿原裂纹方向直线扩展条件 推导。对于II型裂纹，裂纹并不沿裂纹方向扩展，上面的关系是名 义关系。 44 裂纹尖端存在奇异性,即: 1 ( , )(0) ij rr r 基于这种性质，1957年Irwin 提出新的物理量应力强度因子 K ,即： 0 lim2( ,0) yy r Krr 1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的 c KK 断裂判据( K准则) c KK
39、 GriffithGriffith理论理论 45 裂纹尖端附近的应力场和位移计算裂纹尖端附近的应力场和位移计算 46 裂纹的类型裂纹的类型 一一. .裂纹的类型裂纹的类型 1.按裂纹的几何类型分类 穿透裂纹穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿. 表面裂纹表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为 半椭圆裂纹. 深埋裂纹深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭 圆裂纹. 47 2.按裂纹的受力和断裂特征分类 张开型张开型(型型) ):拉应力垂直于裂纹扩展面, 裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂 纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种 裂纹. 滑开型滑开型(型型) ):裂纹扩展受切应
40、力控制, 切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂 纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展. 48 撕开型裂纹撕开型裂纹(型型) ):在平行于裂纹面 而与裂纹前沿线方向平行的剪应力 作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展. 49 裂纹尖端附近的应力场、位移场计算裂纹尖端附近的应力场、位移场计算 50 H. M. Westergaard Dr. Harold Malcolm Westergaard(1888-1950) University of Illinois professor of theoretical and applied mechanics. Gordon McKay Professor of Civi
41、l Engineering and Dean of the Graduate School of Engineering, Harvard University (1936- 1946).Although he has left his post as dean he will not become inactive, but will retain the Gordon McKay professorship of Civil Engineering. 51 The member of American Philosophical Society, Class I: mathematical
42、 and physical sciences(1942). H. M. Westergaard West side of the American Philosophical Society building in Philadelphia, PA Journal of Applied Mechanics, 1939, A49-A53 52 裂纹尖端附近的应力场、位移场计算裂纹尖端附近的应力场、位移场计算 1.型裂纹 问题的描述:无限大板,有一长为 的穿透裂纹,在无限 远处受双向拉应力 的作用.确定裂纹尖端附近的应力 场和位移场. 2a 53 型裂纹求解 54 Irwin应用Westergaa
43、rd的 方法进行分析. (1)Westergaard应力函数 弹性力学平面问题的 求解，归结为要求求一个 应力函数.该函数满足边界 条件及双调和方程. 1939年Westergaard应力函数 ReImZyZ 其中： 为解析函数; 为一次积分和二次积分. Z,Z Z 型裂纹求解 55 首先证明: 4 0 满足双调和方程 4 2222 () () xyxy 因为: 222 Re( Im)ZyZ 解析函数的性质: (1)解析函数的导数和积分仍为解析函数 (2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程 2 Re0Z 型裂纹求解 56 22 22 22 ( Im)( Im)( Im) III yZyZyZ
44、xy 2 2 Im (ImIm) I II Zy yyZZ xyyy 22 22 ImIm ImIm II II ZZ yZyZ xyyy 2 Im Im2 I I Z yZ y 柯西黎曼条件柯西黎曼条件 ReIm Im ZZ Z yx ImRe Re ZZ Z yx 型裂纹求解 57 有 Im 22Re Z Z y 222 (2Re)0Z 即函数 是平面问题的应力函数. 则应力分量: 22 22 (ReIm) x ZyZ yy ReIm (Im) ZZ Zy yyy ( ImImRe)ZZyZ y Re Re Z Zy y ReImZyZ 型裂纹求解 58 即 ReIm x ZyZ ReIm
45、 y ZyZ 0 z (平面应力) ()2Re zxy Z (平面应变) Re xy yZ 物理方程: y x x EE y x y EE xy xy G (平面应力) 型裂纹求解 59 2 1 (1)(1) xxy E 2 1 (1)(1) yyx E xy xy G (平面应变) 几何方程: x u x y u y 型裂纹求解 60 得 1 (1)Re(1) ImuZyZ E 1 2Im(1) RevZyZ E 平面应力 1 (1 2 )ReImuZyZ E 1 2(1)ImRevZyZ E 平面应变 型裂纹求解 61 (2)求解双向拉伸型裂纹 边界条件边界条件: : 0y xa0 yxy z ,0 xyxy 选取型裂纹的 函数 Z 22 z Z za 型裂纹求解 62 验证: 0y zxa: , 时 22 x Z
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