女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
众所周知，在自然界中，螺旋以其频繁的出现和众多的变化，激发了许多世纪以来的建筑形式。希腊人将对数螺线用于爱奥尼克螺线；许多代建筑师发展了几何构造来近似螺线的曲线。螺旋主题的一个发展是扇形图案，在这种图案中，螺旋段围绕圆心平移。相反扇形图案的叠加导致了玫瑰花结。容易建造的圆形玫瑰花结是一种古老而美丽的路面图案，可以变化为许多其他动机奠定基础。
介绍
到目前为止，我们对自然环境中螺旋的出现已经进行了很好的研究和分类，这是我们大多数人所熟悉的。动物世界中的螺旋形生长模式见于鹦鹉螺壳、蜗牛壳和羊角；在植物界，我们可以在向日葵、松果和菠萝中找到它们。自然螺旋可能与螺旋星云一样大，也可能与人耳中耳蜗的螺旋结构一样小(图1)。1几个世纪以来，建筑师已经将来自大自然的螺旋图案，以及受螺旋启发的图案(如果不是由螺旋实际构建而成)融入到建筑环境中。本文将讨论在建筑中螺旋是如何被用来表达结构和空间的概念的。
图1 内耳耳蜗的螺旋结构，包含听觉神经末梢。
爱奥尼克式涡卷
希腊建筑师设计了三种建筑形式：多立克式、爱奥尼克式和科林斯式；罗马建筑师采用了希腊建筑形式，并创造了自己的两种建筑形式：托斯卡纳式和复合式。建筑的 "秩序 "是由所使用的柱子的风格以及与柱子搭配的细节来定义的。建筑装饰中对数螺旋的原型可能就出现在希腊建筑爱奥尼克式的柱头涡卷上（图 2）。
图2 爱奥尼克柱头及其组成部分:a)算盘;b)垫子;c)海胆;d)蜗壳;e)眼睛。
关于建筑秩序的起源，有一种观点认为，秩序中的各个元素不仅是为了实现结构功能，也是为了以某种方式表达这种功能。先考虑一下作为承重构件的柱子。柱子的形状表明，它被传递到基座的重量压紧了：直径不是一个均匀的圆柱体，而是向柱子的下半部分增大，产生一种被称为 "entasis "的轻微变形。爱奥尼克柱头的涡形结构也能以类似的方式表达压缩力：在这种情况下，算盘下方的构件被迫形成一条向下的曲线。读者可能对埃及建筑中的玫瑰花结柱头并不陌生。为了直观地理解涡形的起源，不妨想象一下玫瑰花结受到挤压的结果，即花瓣在必须承受的重压下被迫向下卷曲。
关于爱奥尼克式涡旋结构及其构造的首次描述，要归功于一位罗马建筑师和理论家，他就是维特鲁威（Vitruvius）的《建筑十书》（Ten Books on Architecture）。由于缺乏插图，维特鲁威的描述很难解释，而在文艺复兴时期重新发现古典建筑之后，各种建造涡旋结构的公式相继问世，所有这些公式都声称是以其罗马前辈的公式为基础。在此不一一列举所有倡导各种方法的人，其中最重要的包括 15 世纪的莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂（Leon Battista Alberti），16世纪的安德烈亚·帕拉迪奥（Andrea Palladio）、塞巴斯蒂亚诺·塞尔里奥（Sebastiano Serlio）和贾科莫·维格诺拉（Giacomo Vignola），以及18世纪的威廉·钱伯斯（William Chambers）和詹姆斯·吉布斯（James Gibbs）。为本研究之目的，我选择了班尼斯特·弗莱彻的权威性历史建筑调查报告中提出的方法（图 3）。这种方法主要是建造形成涡形的对数螺旋。第二步，在涡卷的第一条螺旋线上添加第二条螺旋线，形成涡卷的圆角或厚度3。
该程序包括建立与柱直径相关的构造模块。蜗壳眼的尺寸与模数成比例确定。这里讨论的方法将眼睛确定为模块的1/9，或者具有30个部分的模块的3-1/3部分。画出等于1/2模数的垂直线A-B。通过绘制与模块中心同心的眼睛(图3中的B点)来进行构造。眼睛的直径被分成4个相等的长度(C-1、1-B、B-4和4-D)；1-B和B-4被分成三等份。三个正方形的边分别是1-4、5-8和9-12。从圆规点1处开始，半径等于1-A，绘制一条弧到点E。在E处，圆规点移动到点2，半径为2- E的弧被绘制到点f。继续以这种方式进行构造，在每个90°交叉点处改变圆规位置和半径，直到最后，圆规在点12处，半径为O-12，螺旋在蜗壳的眼睛上闭合。
图3 蜗壳建筑，在高曼之后。蜗壳的构造基于所选择的模块，该模块与柱的直径相关。施工准备如下：画一条等于1/2模数的竖线AB。以B为圆心，画一个直径为1/9模数的圆：这是蜗壳的眼睛。将眼睛的垂直直径分成4等份(C1，1B，B4，4D。)进一步将1B和B4细分为三分之一(1-5，5-9，9-B，B-12，12-8，8-4。)在1-4，5-8，9-12上构造正方形。为了构建蜗壳的实际螺旋，三个正方形的顶点1到12按照它们的数字顺序用作形成蜗壳的弧的中心..第一个圆弧，圆心在A，半径等于1-A，从A到E；第二个，它的中心在2，半径等于2-F，从E到F。一个继续以同样的方式通过所有剩余的中心。最后一个弧，圆心在12，半径等于12-O，在眼睛c处闭合。
扇形图案和玫瑰花结
对蜗壳中对数螺线的介绍将我们带到了我的特殊研究领域，即意大利建筑史中铺装设计的变化性质。4铺装通常被视为一种次要的装饰艺术，但在任何特定的时代，铺装往往会给数学和空间设计的概念带来新的启示。考虑到地面是建筑作品中最大的不间断平面：实际上，它可以成为一种画布，在上面表达与建筑有关的想法。以螺旋为基础的设计构成了路面设计的一个子群，我发现它特别有趣。
庞贝的马赛克路面展示了一系列的图案，这些图案似乎暗示了螺旋图案在创造新的铺路图案中的应用。一种模式基于围绕圆心旋转的类似曲线，形成扇形图案(图4)。5这种图案的一个例子是在意大利法恩扎的Aula del palatium的马赛克路面上发现的(图5)。
图4 扇形图案
图5意大利法恩扎宫殿的马赛克路面上的扇形图案。
扇形图案的下一步是将曲线的方向反转，然后将新的曲线叠加到第一组曲线上。这样就产生了一组曲线区域，用两种颜色渲染后，就形成了由同心带状的曲线三角形组成的图案（图 6）。6 因为阿尔布雷希特·丢勒将这种圆形图案称为 "玫瑰花结"7 ，所以我就用这个名字来称呼这一类相关的图案。罗马人在庞贝发掘时发现的路面上也有这样的图案，其年代为公元前一世纪（图 7）8。
图6玫瑰花结图案
图7 庞贝玫瑰花结人行道板
在文艺复兴时期，玫瑰花结似乎受到了特别的青睐。在佛罗伦萨，人们在大教堂的人行道上发现了一种玫瑰花结图案，而圣皮里托教堂的圣器室则完全被玫瑰花结图案覆盖。在16世纪，米开朗基罗被认为设计了两条带有玫瑰花结图案的人行道，一条是佛罗伦萨圣洛伦索的劳伦森图书馆，另一条是罗马著名的坎皮多利奥或国会大厦。11文艺复兴时期的建筑理论特别重视中央规划的教堂，将空间的中心点与宇宙的创造者等同起来。这种对中心的强调可以解释为什么在路面设计中经常使用玫瑰花结。作为一个对其中心有强烈视觉参考的主题，它以一种清晰的方式向穿过空间的观察者传达了建筑中这一点的重要性。
对数和圆形玫瑰花结
英国心理学家 J. 弗雷泽（J. Frazer）创造了一个巧妙的视觉设计，并转载于拉尔夫-埃文斯（Ralph Evans）的《色彩导论》（Introduction to Color）一书中，该设计以一种引人注目的方式说明了玫瑰花结图案与螺旋线之间的关系12。但是，请读者注意，必须指出的是，虽然基本的玫瑰花结图案很容易辨认，但并不是所有的玫瑰花结都是以同样的方式构成的，也就是说，只有部分玫瑰花结是以真正的对数螺旋构成的。其他的则采用简易方法，这种方法看起来像是由螺旋曲线构成的，但其优点是建造速度更快。16世纪的建筑师和理论家塞巴斯蒂亚诺·塞尔利奥坦率地承认，建筑的美学效果取决于工人的运气，他们的运气超过了他们的技术，他感叹很难向不学无术的工人解释复杂的构造。也许正是出于这个原因，一种建造古老而又屡试不爽的玫瑰花结设计的捷径才广受欢迎。这种捷径方法的基础是一组简单的圆形结构，我们将在下文中详细介绍。但首先，如何区分对数玫瑰花环和圆形玫瑰花环呢？答案就在于重叠曲线所形成的间隙的比例。如果间隙越远离设计中心越大，但比例却保持不变，那么玫瑰花结形就是真正的对数螺旋。圆形玫瑰花环的间距会根据其在图案中的位置而改变大小和形状。现在比较一下庞贝的玫瑰花环（图 7）和佛罗伦萨洗礼堂的玫瑰花环（图 8），虽然它们的着色方式相同，但曲线三角形的构造却明显不同。
图8 佛罗伦萨洗礼堂的玫瑰花结嵌板。
Construction of the circular rosette
The construction begins with the establishment of a “reference circle” to define the outer limit of the rosette. Next, the reference circle is divided into a number of segments by radial lines passing through the center; the greater the number of radials, the denser the rosette. In the next step, a “centrum ring” is determined, a circle concentric with the reference circle. Finally, the “radial circles” are drawn, one for each radial, the center of which lies at the intersection of the centrum ring and the radials (Figure 9). There will be, obviously, as many radial circles as there are radial lines; their overlapping creates the modules of the rosette. Proportions of the modules of the rosette depend upon the relationships between the reference circle and the radial circles. Albrecht Dürer constructed the rosette for a wooden pavement in 1525.13 In his design, the diameter of each of the twelve radial circles, as well as that of the centrum ring, is equal to the radius of the reference circle. Using the same proportions but doubling the number of radial circles produces a denser rosette.
圆形玫瑰花结的构造
构建从建立“参考圆”开始，以定义玫瑰花结的外部界限。接下来，参考圆被穿过中心的径向线分成若干段；辐射线的数量越多，玫瑰花结越密。下一步，确定“中心圆”，即与参考圆同心的圆。最后，画出“径向圆”，每个径向一个，其中心位于中心圆和径向圆的交叉点(图9)。显然，有多少径向线，就会有多少径向圆；它们的重叠创造了玫瑰花结的模块。玫瑰花结的模数比例取决于参考圆和径向圆之间的关系。阿尔布雷特·丢勒在1525年为木制路面建造了玫瑰花结图案。13在他的设计中，12个径向圆的直径，以及中心圆的直径，等于参考圆的半径。使用相同的比例，但将径向圆的数量增加一倍，会产生更密集的玫瑰花结。
图9. 丢勒提出的玫瑰花结以及玫瑰花结的要素：a) 参考圆；b) 中心圆；c) 径向圆。
另外三个例子说明了结构元素之间的关系。当径向圆的周长穿过参考圆的圆心时，圆心处就会形成一个花朵状。当径向圆的直径大于参考圆的半径时，就会形成一个空的内圈。例如，在玫瑰花结中，径向圆的直径等于参考圆直径的 6/10，而中心圆的直径等于参考圆直径的 4/10。将径向圆的直径增大到参考圆直径的 2/3（将中心圆的直径减小到参考圆直径的 1/3），可使中心圆与空内环的圆周重合。径向圆的圆心直径与参考圆直径的比值越大，空内圈的直径就越大。在最后一个例子中，径向圆的直径等于参考圆直径的 3/4（而圆心圆的直径等于参考圆直径的 1/4 ）；此时圆心圆的直径小于空内圈的直径。
可以注意到，在所有情况下，圆心环的直径总是等于参考圆的直径减去径向圆的直径。在分析现有的玫瑰花结以确定其结构时，圆形玫瑰花结结构的这一特性很有帮助。
玫瑰花结设计中的空内环是使其看起来像是由重叠的对数螺旋构成的关键之一，因为内环就像是曲线闭合的眼睛。但是，为了让人充分感受到这一设计是由对数螺旋构成的，必须在看到间隙缩小之前将玫瑰花结切断。事实上，在我所研究的几乎所有路面设计中，都是这样处理玫瑰花结的。读者会注意到，在圆形玫瑰花结中，径向圆重叠产生的间隙会随着从中心向外移动而增大，直到某个极限（如前所述，间隙的比例一直在变化）。此时，当它们接近参考圆的圆周时，大小开始减小。在真正的对数玫瑰花结中，间隔的大小并没有减小，而是不断增大。
玫瑰花结的衔接
玫瑰花结的一个特性使其成为一种有价值的图形装置，那就是基本的玫瑰花结可以通过颜色的使用而产生不同的图案。图案中最简单的色彩运用是将两种颜色交替涂抹在间隙处，形成一种螺旋状的棋盘图案。埃皮达鲁斯（Epidaurus）托洛斯（Tholos）的路面就是这样描绘的。最常见的处理方法可能是使用两种颜色，一种用于每个间隔的下半部分，另一种用于上半部分。这在罗马马赛克路面和佛罗伦萨洗礼堂中都有发现。佛罗伦萨大教堂的马赛克铺板采用了更复杂的色彩处理方法，三个间隔的连续组形成条带，条带交织在一起，形成编织图案。然后通过添加阴影线增加了设计的深度。米开朗基罗的劳伦森图书馆人行道板与佛罗伦萨大教堂中的编织图案相似，但分隔图案间隙的条带并非由单一的玫瑰花结图案形成，而是通过添加相同的第二个玫瑰花结图案，其径向与基本玫瑰花结图案的径向略有偏离。除了施工简便和可以通过颜色变化之外，圆形玫瑰花结的第三个特点也推荐将其用作铺路设计，那就是它可以像任何重复的图案一样有效地建造。实际的建造过程是这样的：大理石加工厂的艺术家绘制图案，并标明需要切割的木模板；用模板在大理石板上划线；在加工厂切割大理石并进行粗加工，然后运到工地；在工地上像拼图一样拼接大理石块，然后用砂浆镶嵌，最后进行精细抛光。通过观察佛罗伦萨洗礼堂嵌板上的圆形图案，我们可以数出共有 409 块大理石组成了嵌板。对佛罗伦萨大教堂中的篮形编织壁板进行研究后发现，其制作效率较低，拼块数量略少，为 396 块，但形状数量较多，为 25 个（图 10）。玫瑰花结设计的另一个特点是，除了产生尺寸增大和减小的间隙外，它还产生了一组组点，这些点可以连接成一系列直径越来越大的同心圆。在圆形玫瑰花结中，圆的直径只增加到一定限度，然后再减小到最外层的圆最终与参考圆重合。这类似于圆形玫瑰花结的间隙先增大后缩小的过程。在对数玫瑰花结中，圆的直径不断增大。这些同心圆可以作为创造新设计的比例装置。其中一个设计将扭曲的方形排列投射到路面上，就像人们仰望一个格子连接的穹顶：三个同心圆从中心向外移动时，彼此间的距离越来越远（图 11）。这些圆环的间距与圆形花结的间距相吻合。
图10 佛罗伦萨圣玛丽亚教堂人行道上的编织面板。
图 11 源自玫瑰花结的 "拱形 "设计。
结论
螺旋被用作建筑元素压缩力的风格化表达，也是一组重要路面设计的基础。这两者都是建筑师观察自然世界的结果，这个世界同样让数学家着迷。在蜗壳和玫瑰花结的建造中，这两个学科结合在一起，创造出的艺术作品至今仍能向我们传达它们的真理。
参考文献
1. For more about spirals, cf. Philip J. Davis, Spirals: From Theodorus to Chaos (Wellesley, Massachusetts: A.K. Peters, 1993); Theodore Cook, The Curves of Life (1914, reprinted New York: Dover Publications, 1986).
2. The spiral volute is found also in the Greek Corinthian order, and in the Roman Composite order. For descriptions of all the orders, cf. Robert Chitham, The Classical Orders of Architecture (New York: Rizzoli, 1985).
3. Cf. Bannister Fletcher, A History of Architecture on the Comparative Method, 12th ed. (New York: Charles Scribner’s Sons, 1945), p. 100, fig. Q.
4. Cf. Kim Williams, Italian Pavements: Patterns in Space (Houston: Anchorage Press, 1998).
5. Cf. Asher Ovadiah, Geometric and Floral Patterns in Ancient Mosaics (Rome: L’Erma di Bretschneider, 1980), p.153.
6. Cf. Asher Ovadiah, op. cit., p. 144.
7. Cf. Albrecht Dürer, The Painter’s Manual. Walter L. Strauss, trans. (New York: Abaris, 1977), p. 153 and fig. 21.
8. This pavement panel is now on display in the National Museum, Rome.
9. Cf. Cyril Harris, ed., Historic Architecture Sourcebook, 1977, reprinted as An Illustrated Dictionary of Historic Architecture, (New York: Dover Publications, 1983), illustration under heading “Tholos,” p. 531.
10. The pavement of the Baptistery of Florence is interesting as a geometric study in itself. Cf. Kim Williams, “The Sacred Cut Revisited: The Pavement of the Baptistery of San Giovanni, Florence” in Mathematical Intelligencer, Vol. 16, no. 2 (Spring 1994), pp. 18-24.
11. The rosette of this last is framed by an ellipse rather than a circle.
12. This figure appears in Harold Jacobs, Mathematics, A Human Endeavor, 2nd ed., (New York: John Wiley and Sons, 1980), p. 351.
13. See note 7.
14. For more about this pavement, cfr. Ben Nicholson and Jay Kappraff, “The Hidden Pavement Designs of the Laurentian Library” in Nexus II: Architecture and Mathematics, Kim Williams, ed. (Fucecchio, Florence: Edizioni dell’Erba, 1998), pp. 87-98.
15. I count the star-shaped piece in the center as one piece and one shape.
16. Kim Williams, Spirals and Rosettes in Architectural Ornament
最后放几本扯犊子书目
青山不改，绿水长流，在下告退。
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