摘 要 本文研究了第33届国际青年物理学家锦标赛（IYPT）的第17题：扑克牌的飞行稳定性问题。通过对扑克牌进行定量化抛掷实验，并对飞行过程中的扑克牌进行运动与受力分析的方法，研究影响扑克牌飞行距离和轨迹的参数。首先通过对抛掷扑克牌的过程进行分析，设计了定量化的扑克牌抛掷仪器；随后在实验中，对扑克牌的出射俯仰角、角速度、高度对其轨迹及距离的影响进行了分别验证；接着基于实验中观察到的现象以及数值仿真，对扑克牌相对于自身质心的刚体运动，以及质心相对于地面的空间运动进行了分别分析，最后得出了其运动的微分方程。
关键词 陀螺效应；扑克牌；轨迹追踪；落点评估
Abstract In this paper, the flight stability of playing cards, the 17th question of the 33rd International Young Physicists Championship (IYPT), is studied. Through the quantitative throwing experiment of playing cards and the analysis of the movement and force of playing cards in the process of flight, the parameters affecting the flying distance and trajectory of playing cards are studied. First of all, through the analysis of the process of playing card throwing, a quantitative playing card throwing instrument is designed. Then, in the experiment, the effects of the pitch angle, angular velocity and height of the playing card on its trajectory and distance are verified respectively. Then, based on the phenomena observed in the experiment and numerical simulation, the rigid motion of the playing card relative to its own center of mass and the center of mass are analyzed. The space motion relative to the ground is analyzed respectively, and the differential equation of the motion is obtained.
第33届国际青年物理学家锦标赛（International Young Physicists， Tournament）的第17题“Playing cards”内容为：A standard playing card can travel a very long distance provided that spin is imparted as it is thrown. Investigate the parameters that affect the distance and the trajectory; 翻译为：一张标准的扑克牌只要在投掷的过程中旋转，就可以运动很长的一段距离。研究影响距离和轨迹的参数。
这一现象可以用陀螺效应很好地定性解释。李振(2018)详细地研究了类似自旋飞行物——飞盘的飞行规律并对其进行了较为精确的建模与充分的实验，并得出了飞盘飞行轨迹的理论预测[1]。但是飞盘和扑克牌在几何尺寸形状以及密度等重要参数上均存在重大差异，相比而言，扑克牌质量更轻、密度更小，更易受气流的影响；且形状更为不规则，周围气体流态更为复杂。因此，扑克牌的飞行与飞盘的飞行并不能进行等同，且更为复杂。而目前并没有关于扑克牌飞行的定量研究，对于相关参数对于扑克牌飞行过程的具体影响的探究更是无从谈起。
本文从抛掷扑克牌出发，设计抛掷扑克牌的机械装置来控制扑克牌发射的初始条件，以此进行定量化的实验探究，随后根据在试实验中观察到的扑克牌飞行过程，进行了相应的理论解释，最后结合受力分析以及comsol有限元仿真，得出扑克牌飞行轨迹的微分方程。
由于旋转扑克牌的空间运动过程相对复杂，影响因素较多，包含6个自由度，直接进行理论分析存在较大的困难。因此本文采用实验指导理论的思路展开研究。
1 实验方案的设计
1.1 扑克牌发射器的设计
依靠人工抛掷的方式，无法精确控制扑克牌每次发射的速度与角速度①（①定义扑克牌的质心平动速度为其速度,绕质心旋转的角速度为其角速度。）。为了达到定量实验的目的，设计了能发射旋转扑克牌的机械化装置，并且验证其对出射速度与角速度的控制效果。
1.1.1 扑克牌抛掷过程的分析
要想使抛出的扑克牌旋转，有很多种方式。其中最简单常用的方法是：两指夹住扑克牌的一端，手指手腕同时发力，将扑克牌向前甩出；
对这种抛掷方式进行分析，可以发现其本质是在抛掷过程中，给予了扑克牌一个偏心的初冲量（如图1所示），使扑克牌在拥有向前平动的动量的同时，也拥有了绕质心旋转的角动量。这样就抛出了一张旋转的扑克牌。
1.1.2 扑克牌发射器的设计与制作
基于1.1的讨论，可以设计并制作了如图2能将扑克牌偏心击出，使其在飞行的过程中旋转的扑克牌发射装置。
该装置为木质结构，由结构部分与击发部分两大部分组成：
结构部分的主体是两个十字交叉的木条，上面贴有标尺，用于放置扑克牌并且在每次发射前将扑克牌固定在同一个初始位置，以此控制扑克牌的出射速度与角速度；
击发部分由C字形导轨、击锤和皮筋组成，皮筋可以拉动击锤沿导轨运动，发射时将击锤向后拉动并固定在一个确定位置，使每次发射皮筋的伸长量相同，可以近似控制击锤末速度恒定。
1.1.3 扑克牌发射器对出射速度与角速度的控制
由于控制了击锤的末速度，此时扑克牌的出射速度与角速度仅与击发位置，即扑克牌放置位置所对应的标尺上的横纵坐标有关②（②定义与击锤运动方向平行的标尺为y 标尺,与击锤运动方向垂直的标尺为x 标尺。）：
由于这一击发过程涉及变形体的相互作用问题，通过理论推导得出具体的函数关系较为困难，但是由于发射器上的标尺标度离散分布，可以通过在发射器正上方设置高速摄影并利用tracker追点分析的方法，得出某一标尺标度组合Γ=x,y所对应的发射速度与角速度。
为了评估发射器对出射速度与角速度控制的有效性，利用tracker追踪了十组标度组合Γ=4,2下的出射速度与角速度，通过计算得出发射器发射10组扑克牌出射速度与角速度的相对误差在1.0%~2.0%之间，可以看出发射器对出射速度与角速度的控制效果较好。
1.2 拍摄实验的方法
为了拍摄扑克牌的三维飞行轨迹，至少需要两台摄像机从两个相互垂直的方向进行拍摄。从发射轨迹正右方拍摄扑克牌在竖直方向的运动轨迹，从正上方拍摄扑克牌在水平方向的运动轨迹，通过尽可能延长拍摄点与运动轨迹间的距离来尽可能减小由透视造成的拍摄误差，将拍摄的运动视频导入tracker中追踪，就得到了扑克牌运动的空间轨迹。
同时，还需要一台摄像机从发射器正上方拍摄，以追踪在特定的标度组合Γ=x,y下，扑克牌的出射速度与角速度。
因此拍摄的方案示意图如图3所示。
1.3 研究参数的确定
在进行正式实验之前，可以先使用发射器对扑克牌进行了发射预实验，以探究何种发射的初始参数会对扑克牌的飞行距离与轨迹产生显著影响。经过预实验并对确定扑克牌空间运动方程的定解条件的估计，可以发现扑克牌的运动轨迹与距离受俯仰角，出射高度，角速度，速度这五个参数的影响较为显著。其中俯仰角、出射高度的定义由图4给出。
2 实验探究
2.1 是否旋转对扑克牌空间运动的影响
调整扑克牌的x标度，使得扑克牌质心位于击锤运动导轨的延长线上。此时击锤给予扑克牌的冲量通过扑克牌质心，扑克牌出射角速度为0。
在这种情况下发射扑克牌，扑克牌在发射后迅速向上方偏转，同时牌面也急剧翻转，向出射方向运动的速度迅速减为0，定义这一现象为「失稳」。在运动到最高点后，扑克牌开始一边旋转一边下坠落地。在10组实验中，扑克牌的最大飞行距离仅为1.84m。
调整扑克牌的标度为4,2，发射扑克牌。此时扑克牌并未出现上述的迅速失稳的现象，而是稳定地旋转并在空中飞行了相当长的一段时间与距离。在此过程中，扑克牌出现了明显的向左侧滚转的现象，在落地前牌面甚至几乎与地面垂直；同时，扑克牌的运动轨迹也明显的向左侧偏转。但是扑克牌直到落地时仍保持稳定的旋转与空间运动。
整体而言，旋转扑克牌的空间运动规律为：初始一段做近似直线运动，随后进行曲线运动，发生偏转并开始下落。
2.2 出射俯仰角对扑克牌飞行轨迹和距离的影响
保持扑克牌的标度为4,2，此时出射速度和角速度分别为v=7.91m/s，ω=132.89/s，控制出射高度为0.9m,改变俯仰角为0°，5°，10°，15°，发射扑克牌，可得其在竖直方向的运动轨迹如图5所示；其在水平方向的运动轨迹如图6所示。
当出射角较小时，出射角增加水平位移也随之增加。但出射角过大时，扑克牌会发生明显的「回转」现象，即扑克牌飞行过程中水平因为回转导致水平位移减少，如图8中俯仰角为15°时的轨迹所示。利用tracker记录发射54组扑克牌的落点，并且求出该初始条件下扑克牌的平均落点，得到的结果如表1所示。
可以看出，扑克牌出射俯仰角为5°时，其总位移达到极值，而在下一个数据点10°是，总位移开始减小。因此，扑克牌发生回转的临界俯仰角为5°~10°。
2.3 出射角速度对扑克牌飞行轨迹和距离的影响
控制出射俯仰角为5°，高度为0.9m，通过改变扑克牌的标度的方法，控制出射速度恒为v=7.91m/s，改变角速度为-227.34/s,-146.23/s, 132.89/s, 179.52/s, 209.44/s(设顺时针旋转为角速度正方向)，发射扑克牌，可得其在水平方向的运动轨迹如图7所示。
当扑克牌顺时针转动时，扑克牌会向出射方向的左侧偏转；逆时针转动时则会向右侧偏转，偏转方向与扑克牌自转方向相反。同时，扑克牌转速越快，偏转幅度越小，曲率半径越大。扑克牌飞行的轨迹特征与飞盘的轨迹特征存在相反的规律，也就是说马格努斯效应不能解释扑克牌的飞行特征。
同样利用tracker记录发射54组扑克牌的落点，并且求出该初始条件下扑克牌的平均落点，得到的结果如表2所示。
可以看出，在出射俯仰角、速度、高度相同的情况下，扑克牌旋转角速度越快，飞行距离越远。
2.4 出射高度对扑克牌飞行距离及落点的影响
控制出射俯仰角为5°，出射速度和角速度分别为v=7.91m/s,ω=132.89/s，改变出射高度依次为0.7m,0.9m,1.1m,1.3m,1.5m，发射扑克牌，记录发射54组扑克牌的落点，并且求出该初始条件下扑克牌的平均落点，得到的结果如表3所示。
而将发射器高度调至极限(超出高度标尺量程)，以出射俯仰角为5°，出射速度和角速度分别为v=7.91m/s,ω=132.89/s的初始条件发射扑克牌，并记录其轨迹；将改变高度实验中各高度下扑克牌的平均落点与轨迹在同一张图中绘出，如图8所示。
通过图像，可以得出结论：改变出射高度时，扑克牌落点分布在该初始条件下的轨迹上，即出射高度并不影响扑克牌飞行轨迹的形状。
3 实验现象的解释
扑克牌在空间中的飞行是一个有着6个自由度的刚体空间运动[2]，为了方便研究，将其拆解为刚体相对其质心随体坐标系的运动，和其质心相对空间参考系的质点曲线运动两部分进行分别分析。
3.1 刚体相对质心随体坐标系的运动
以扑克牌质心为原点，质心空间运动的速度方向v为x轴正方向，牌面的法线方向为z轴正方向，按照右手法则确定y轴正方向，建立随体的空间直角坐标系，如图9所示。
而扑克牌相对于这一随体坐标系的运动主要包括：自转，绕y轴的章动，进动三部分。其中自转部分是由于扑克牌的发射方式导致的，并影响着章动和进动[3]。
3.1.1 绕y轴的章动
扑克牌在飞行过程中，受到重力作用，会产生竖直向下的分速度。这导致来流方向与扑克牌牌面产生夹角，即攻角。在攻角大于0°时，扑克牌牌面上侧的压强会小于下侧的压强，进而产生升力和压差阻力，并且攻角越大，压力差越大[4]。如图10所示。
同时也可以发现，扑克牌上表面的低压区和下表面的高压区均集中于靠近来流方向。也就是说扑克牌的气动中心与扑克牌不重合。在作用点不重合的升力、重力和阻力的作用下，会产生使扑克牌攻角增大的力矩，扑克牌绕y轴章动。扑克牌飞行过程中的受力情况如图11所示。
对于不旋转的扑克牌，一旦攻角非0，受到升力和阻力力矩的作用，其攻角会以正反馈的形式不可逆增大，扑克牌迅速章动翻转，阻力也迅速增大，水平飞行速度迅速减为0，即发生了「失稳」；
对于旋转的扑克牌，在转动过程中受到与转轴成一定夹角的力矩作用时，会产生一个与该力矩相反的陀螺力矩Mg，阻碍章动的发生[2]。因此，对于旋转的扑克牌，陀螺力矩与升力力矩抵消，使其稳定地飞行相当长一段距离。
3.1.2 绕z轴的进动
旋转扑克牌在受到章动力矩作用时，还会产生进动现象，由基本转动关系
及推广的欧拉动力学方程
由于进动角速度
远小于自转角速度ω，故忽略
的二次项
由此得出进动角速度
其中：M为垂直方向合力矩，即升力矩和阻力矩；Jz为扑克牌转动惯量；ω为自转角速度[2]。
进动的发生，会导致牌面翻转，而扑克牌受到的升力始终垂直于牌面，因此扑克牌升力方向改变，水平方向上的轨迹出现弯曲；同时进动也会导致在yOz平面内，气动中心投影位置偏移，升力和阻力的作用点改变并偏移质心，产生力矩，使扑克牌绕x轴章动，加剧牌面翻转；同时也会使扑克牌攻角减小，升力大小减小（图12）。
3.1.3 自转产生的马格努斯效应
当自旋飞行物的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时，与角速度矢量和速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力，这一现象称为马格努斯效应。其计算公式为
其中：ρ为空气密度， v为平动速度，Γ为接触空气的环量，h为物体厚度方向尺寸[5]。注意到扑克牌在厚度方向的尺寸远小于长度和宽度方向的尺寸。
将扑克牌等效成以其对角线长度为直径的圆盘，对其FR的数量级进行估计，为10-8N，而由于扑克牌的 形状并非轴对称，其旋转时会产生较强的湍流效应，这会对马格努斯效应造成削弱，因此FR的实际大小应小于估计值[6]。相较于重力10-2N的数量级而言很小。因此引发扑克牌偏转的主要原因是扑克牌进动导致的升力偏转，而非马格努斯效应。这也解释了扑克牌转速越快，偏转幅度越小的，与飞盘运动规律矛盾的实验现象。
3.2 扑克牌质心相对空间参考系的运动
以扑克牌发射点处的地面为原点，扑克牌出射方向为x轴正方向，垂直与地面向上的方向为z轴正方向，按照右手法则确定y轴正方向，建立空间直角坐标系（图13）。
分别在xOz,yOz,xOy平面内对扑克牌进行观察并受力分析，如图14所示。
由此可以得出扑克牌在x,y,z三个方向的运动微分方程
其中的角度由转动微分方程和角度关系给出
由此偏微分方程组可以描述扑克牌的空间运动。
3.3 扑克牌升力与阻力
将扑克牌的升力FL与阻力FD进行无量纲化处理，得到[4]
其中ρs为空气密度，V为来流速度，S为参考面积，此处取扑克牌的牌面面积。而CL,CD分别为升力系数和阻力系数，是需要的无量纲数，只与扑克牌的攻角和形状有关系。通过CFD相关仿真，可以得出该模型下的升力系数与阻力系数分别为[7]
4 结论
4.1 扑克牌刚体运动的结论
扑克牌的刚体运动由自转、绕x,y轴的章动和绕z轴的进动组成。
其中绕y轴的章动由来流方向改变造成，会使扑克牌产生非0攻角，产生升力，有效延长扑克牌飞行距离；但是章动也会使攻角以正反馈的形式迅速增大，导致扑克牌失稳，使扑克牌的前进速度迅速减为0，而扑克牌的自转会抑制章动，让扑克牌可以稳定地飞行相当长一段距离。
绕z轴的进动由扑克牌的自转与章动相互作用造成，会导致升力中心发生偏移，牌面翻转，升力方向随之偏向飞行轨迹侧向，提供向心力，是水平轨迹弯曲产生的主要原因。
4.2 扑克牌飞行轨迹的结论
旋转牌发射后的空间运动分为三段：
在发射后，受旋转扑克牌陀螺效应的影响，陀螺力矩与受到的气动力矩相互平衡，同时升力一定程度上平衡阻力，扑克牌在惯性的作用下先进行一段近似直线运动；
随后由于扑克牌进动导致牌面偏转，扑克牌受到的气动力方向始终与牌面垂直，因而在xOy平面内产生向心力，导致牌轨迹发生偏转，进行曲线运动；
当牌转至与地面垂直时，气动力的大小趋近于0，此时扑克牌仅受到重力的作用，做斜抛运动。
牌的轨迹受到出射俯仰角、角速度的影响：
俯仰角决定牌的飞行高度，俯仰角越大，扑克牌发射后所飞行的高度越高。同时，出射角大于10°时，扑克牌会发生明显的回转；
角速度决定牌的偏转方向与偏转程度，顺时针旋转的扑克牌向左侧偏转，逆时针旋转的牌向右侧偏转，角速度越大偏转程度越小；
4.3 扑克牌飞行距离的结论
扑克牌的飞行距离由俯仰角，出射高度，角速度决定：
在一定程度上，增大俯仰角可以增加飞行距离，但俯仰角过大会导致扑克牌回旋，减小飞行距离；
在试验范围内，出射高度升高可以增加扑克牌飞行距离；
扑克牌角速度越大，飞行距离越远。
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基金项目: 教育部高等学校教学研究项目 (DJZW201911xb)。
引文格式: 柯春旭，刘萍，周明烁，等. 扑克牌飞行的动力学分析[J]. 物理与工程，2021，31（5）：104-111.
Cite this article: KE C X, LIU P, ZHOU M S, et al. Dynamic analysis of a flying playing card[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（5）：104-111. (in Chinese)