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专题1.19直角坐标系背景下的特殊平行四边形(巩固篇)
(专项练习)
一、单选题
【知识点一】直角坐标系背景下的菱形
1.如图，已知菱形OABC的顶点0(0,0),8(2,2),菱形的对角线的交于点力；若将菱形
045C绕点。逆时针旋转，每秒旋转45。，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角
线的交点。的坐标为()
2.如图，在菱形ABCD中，顶点A,B,C,O在坐标轴上，且A((),l),NABC=60。，分
别以点A,。为圆心，以AZ)的长为半径作弧，两弧交于点E,连接E4,ED.将菱形ABC。
与构成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转45。，则第2022次旋转结束时，点的
坐标为()
A.2)B.卜C.卜2,-*7^)D.(2,-
3.如图,菱形OABC的一边OA在x轴上,将菱形0ABe绕原点O顺时针旋转75。至OA'B'C'
的位置，若。8=26，NC=120。，则点9的坐标为()
A.(3,73)B.(3,-V3)C.(6，百)D.(",-#)
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABe的对角线。8上有P,。两个动点，且尸Q=2,
己知，点A(26,0),ZAOC=60°,当A"。周长最小时，点P的坐标为()
【知识点二】直角坐标系背景下的矩形
5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为(-2,4),。是的中点，E
是OC上的一点，当AADE的周长最小时，点E的坐标是()
6.如图1,在矩形ABC。中，点E为AB边的中点，点P为A3边上一个动点,
连接DP.设AP的长为x,PD+PE=y,其中y关于x的数图象如图2,则矩形A8CD
的面积为（)
A.15B.24C.35D.36
7.如图，矩形0A8C的顶点B的坐标为（2,3）,则AC长为（）
8.如图，直线）=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点8,点P是线段上一动点，过点
P分别作轴于点M,PNLy轴于点N,连接MN,则MN的最小值为（）
9.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形43。
的边A8在x轴上，的中点是坐标原点。，固定点AB,把正方形沿箭头方向推，使点。
落在y轴正半轴上点。，处，则点c的对应点c的坐标为（）
A.（35/3,3）B.（3,3>^）C.（6,3>/3）D.（6,3）
10.已知正方形OBC。在平面直角坐标系中的位置如图所示“为边OB上一点，且点”的
坐标为（。，。）.将正方形028绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45。，则旋转2022秒后,
,b)C.(-/?,a)D.(-〃，-b)
11.如图，正方形OABC中，点C（0,4）,点。为A8边上一个动点，连接CD,点P为C£>
的中点，绕点。将线段。尸顺时针旋转90。得到线段。Q,连接BQ,当点。在射线。8的延
).
A.（4,2）B.（4,3）CIP）D-1，果
12.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（0,4）,（4,0）,将线段AB绕点
B顺时针旋转60。至BC的位置，点A的对应点为点C,则点C的坐标为（)
OBX
A.（4&,4夜）B.（2+2^,2+273）
C.（4石,46）D.（473-2,4^-2）
二、填空题
【知识点一】直角坐标系背景下的菱形
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-§x+4的图像与X轴、y轴分别交于点
A、B,以AB为边作菱形ABC。，8C〃x轴，则菱形ABC。的周长是.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABC。的顶点A,O分别在y轴的正半轴和负半
轴上，顶点8在x轴的负半轴上，若OA=3OD,S菱形ABCD=16币,则点C的坐标为.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形A8CD的顶点。在x轴上，边BC在y轴上，若
点A的坐标为（12,13）,则点C的坐标是一.
16.如图，一次函数y=2x+2的图象为直线/,菱形月OBA-AQ向4,…按图中
所示的方式放置，顶点A,A，A，A1,…均在直线/上，顶点。，。一。2…均在X轴上，
则点Bm的纵坐标是.
【知识点二】直角坐标系背景下的矩形
17.如图①，在矩形ABC。中，AB<BC,对角线AC,8。相交于点E,动点尸从点A出
发，沿Af3fC—。向点。运动，设点尸的运动路程为x,△AEP的面积为y,>与x的
函数关系图象如图②所示，回答下列问题：
(1)BC=.
(2)当y=2时，x=.
18.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3,3),过点8作氏轴于点A,BCLy
轴于点C.若直线/：y=mx-2m(m^0)把四边形0A8C分成面积相等的两部分，则机的
值为一.
19.如图，四边形04BC为矩形，点A,C分别在x轴和），轴上，连接AC,点B的坐标为
（12,5）,NCAO的平分线与y轴相交于点。，则点。的坐标为.
20.如图，在正方形ABCO中，顶点4,B,C,。在坐标轴上，且8（2,0）,以4B为边构
造菱形4BEF（点E在x轴正半轴上），将菱形ABE尸与正方形ABC。组成的图形绕点。逆
时针旋转，每次旋转90。，则第27次旋转结束时，点片的坐标为.
【知识点三】直角坐标系背景下的正方形
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形A8C3的顶点A坐标为（3,0）,顶点B的横坐
标为-1，点E是的中点，则侧OE=.
22.如图，在正方形ABC。中，顶点A,B,C,。在坐标轴上，且B(2,0),以AB为边构
造菱形4BEF(点E在x轴正半轴上)，将菱形ABEF与正方形ABC。组成的图形绕点。逆时
针旋转，每次旋转45。，则第2022次旋转结束时，点鸟叱的坐标为
23.如图，A(0,2),D(1,0),以A。为边作正方形ABC。，则点B的坐标为
24.将正方形AOCB和正方形A/CC/B/按如图所示方式放置，点A(0,1)和点4在直线y
=x+l上，点C和点C/在x轴上，若平移直线y=x+l至经过点B/,则直线向右平移的距离
为一
三、解答题
25.如图,在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，四边形A8C。是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点48边交V轴于点”，连接BM.
(1)填空：菱形ABCO的边长=；
(2)求直线AC的解析式；
(3)动点尸从点A出发，沿折线A-3-C方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设
①当0</<|时，求S与/之间的函数关系式；
②在点P运动过程中，当S=2,请直接写出r的值.
26.材料阅读
小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为(1,2),端点B的坐标为(3,4),则线段AB中点的坐
标为(2,3),通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点尸(与凶)、。(今,必)为
端点的线段中点坐标为("土,巧&).
(1)知识运用：
如图，矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上，。为坐标原点，点
E的坐标为(4,3),则点M的坐标为.
(2)能力拓展：
在直角坐标系中，有4-L2),8(3,1),C(1,4)三点，另有一点。与点A、B、C构成平行四
边形的顶点，求点。的坐标.
27.在平面直角坐标系xOy中，存在点A(xi,yi)与点B(X2,2),若满足x/+x2=0,yi
-y2
=0,其中X/X2,则称点A与点8互为反等点.
已知：点C(3,4)和点D(-5,4).
DC
O_1x
(1)下列四个点中，与点C互为反等点的是；
Hi(-3,-4)>Hi(3,-4),%(-3,4),%(3,4).
(2)已知直线y^kx-2与线段CD相交于点P,若在线段CD上存在一点Q与点P互为反等
点，求上的取值范围；
(3)已知正方形的两条对角线分别与两坐标轴重合，当正方形与线段CQ的两个交点互为反等
点时，直接写出正方形边长。的取值范围.
28.如图，正方形A8CD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y=2x和x轴上，若
点A在直线y=2x上运动.
(1)当点A运动到横坐标x=3时，请求出点C的坐标.
(2)求出当点A的横坐标x=l时，直线AC的函数解析式.
(3)若点A横坐标为烧，且满足时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的
面积.
参考答案
1.B
【分析】
分别过点。和点8作Q£J_x轴于点E，作8尸，x轴于点尸，根据菱形的性质以及中位线的
性质求得点。的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的。
坐标
解：如图，分别过点。和点B作。轴于点E，作3尸_Lx轴于点产，
•••四边形。WC为菱形，
.••点。为。8的中点，
，点£为。尸的中点，
ADE=-BF,OE=-OF,
22
,/B(2,2),
.,.0(1,1)；
由题意知菱形Q4BC绕点。逆时针旋转度数为：45°x60=2700°,
菱形0WC绕点。逆时针旋转2700。+360。=7.5周，
二点D绕点0逆时针旋转7.5周，
”(1,1),
，旋转60秒时点D的坐标为.
故选B
【点拨】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点。坐标，再根据旋转的性质可得旋转后
点。的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键.
2.D
【分析】
将菱形ABCD与AE4£＞构成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转45。，即点E,绕点。
，逆时针旋转，每次旋转45。，所以点E每8次一循环,又因为2022+8=252…6,所以E2022
坐标与及坐标相同，求出点瓦的坐标即可求解.
解：如图，将菱形ABC。与AEAD构成的图形绕点。逆时针旋转，每次旋转45。，即点R
绕点O，逆时针旋转，每次旋转45。，
由图可得点E每8次一循环，
72022-8=252..…6,
E2O22坐标与£,6坐标相同，
VA(0,1),
：.OA=\f
・・•菱形ABC。，ZABC=60°,
/.ZABO=ZADO=30°,
：.AD=AB=2OA=2f
・・・OD=ylAD2-OD2=G,
・・・△ADE是等边三角形，
AZADE=60°,DE=AD=2,
：.ZODE=90°,
・・・NDOE+NDEO=90。,
过点及作氏x轴于R
/.ZOFE6=ZODE=90°,
*/ZE6OE=90°,
:.NDOE+NE6OF=9。。,
：.ZZDEO=ZE6OFf
•/OE=OE6,
.♦.△0D哈△E/O(AAS),
：*OF=DE=2,E6F=OD=6,
♦•氏(2,-^3),
**•E2O22(2,-有),
故选：D.
【点拨】本题考查图形变换规律，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性
质，勾股定理，本题属旋转规律型，坐标变换规律型问题，找出图形变换规律，即得出点E
变换规律是解题的关键.
3.D
【分析】
根据角度的汁算可得44。8'=45。，过B'作轴，勾股定理求解即可
解：如图，过"作B'O_Lx轴，
将菱形OA8C绕原点。顺时针旋转75。至OA'B'C的位置,
:.NBOB'=75。
•.,四边形au5c足菱形，ZC-120°,
：.ZOAB=ZC=120°.AO=AB,
：.408=；(180。-/0必=30。
NAO8'=45°
.•.△08'。是等腰直角三角形
•••。8=2后,
OB'=2下＞
0D=DB'=—0B'^y/6
•・•点9的坐标为（6-佝
故选D
【点拨】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰宜角三角形的性质，求得NAOB'=45。
是解题的关键.
4.A
【分析】
当CPJ_08时，CP有最小值，此时ACP。的周长最小，利用菱形的性质，含30度角的直角
三角形的性质即可求解.
解：当CPLOB时，CP有最小值，
在AAPQ中，CQ<CP+PQ=CP+2,
.•.当CP最小时，C。也有最小值，
即aerQ的周长最小，
连接AC,在菱形OA8C中，
ACVOB,
•••点。为AC与。8的交点，
VZAOC=60°,A（26,0）,
，ZAOP=；NAOC=30°,04=26,
过点?作PEJ_OA于点E,
4尸=；04=退>OP=^O^-AP-=3，
：.PE=-OP=~,OE=JiPE=巫，
222
...点p的坐标为（2叵，
22
故选：A.
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
5.B
【分析】
画出4点关于y轴的对称点连接40,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段
最短，可知此时AAOE的周长最小，再由待定系数法求得直线DV函数式，进而求出点E的
坐标即可.
解：如图，作A点关于y轴的对称点A,连接AD,与)，轴交了点E,
VA(-2,4),
.♦•4(2,4),
设直线04,表达式是旷=爪+可左*0),
则|\4O=-2k々++匕h
k=
解得：，
h=
.4■
♦・y=-x+-
所以点E的坐标是
故选B.
【点拨】本题考查/根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于
坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为,利用两点之间线
段最短的性质解决问题.
6.B
【分析】
求矩形的面积；
解：结合图2
当x=0时，PD+PE=AD+AE=y=7
当P、E重合时，PD+PE=DE=ymin=5,
设A£）=x,AE=l-x
则AD-+AE2=DE2即/+（7—力?=52
解得：与=3（不符合题意舍去），々=4
:.AD=4,AE=3
:.AB=2AE=6
；・SABCD=AB-AD=4x6=24
故选：B
是解题的关键.
7.A
【分析】
首先连接08,根据两点间距离公式即可求得。B,再根据矩形的性质可得。B=AC,即可求
得AC的长.
解：如图：连接
・•・点8的坐标为（2,3）,
OB=《22+于=小，
又•.•四边形0ABe是矩形,
AC=OB=>/\3,
故选：A.
【点拨】本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键.
8.D
【分析】
连接0P，易得四边形0NPM是矩形，可得0P=MN,在即AAOB中，当0PLA8时，0P
最短，即最小，利用三角形的面积可得0P的值，即当点尸运动到使0PLA8于点P时,
MN最小，最小值为延.
解：连接0P,
由已知可得NPM0=ZM0N=ZONP=90°,
•••四边形ONPM是矩形，
：.OP=MN,
在放44O8中，当OP_LAB时，0P最短，即最小,
•.•直线y=-2r+4与x轴交于点A,与)，轴交于点B,
.•.A(2,0),B(0,4),
：.AO=2,BO=4,
.=@+42=2石,
ShAOB=|AO・BO=IAB'OP,
.♦.2x4=26
：.OP二还,
•»-Ar4y
即当点尸运动到使OP于点尸时，MN最小，最小值为逑.
故选：D.
【点拨】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解
题的关键是得出OPLA8时，OP最短，即MN最小，.
9.C
【分析】
由已知条件得到A0=AZA6,AO=^AB^3,根据勾股定理得到级）'=,4^-。4-=3瓜,
于是得到结论.
解：•.•4£/=4£）=6,目.48的中点是坐标原点。，
：.AO=^AB=3,
,-06=4ADr-O^=3瓜，
'：C'D'=6,CD'//AB,
.•.C（6,3月），
故选：C.
【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题
的关键.
10.C
【分析】
先确定此时点M对应的位置即点AT所在的位置，如图，过点M,A/'分别作MELx轴于点
E,M尸_Lx轴于点尸，证明四△OME,得到M户=QE=a,OF=ME=b,由此求
解即可.
解：•••正方形O2CQ绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45。，
旋转8秒恰好旋转360。.
：2022+8=252........6,
，旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次.
•.•6X45°=270°,
此时点用对应的位置即点所在的位置,
如图，过点M,AT分别作ME_Lx轴于点E,〃户_Lx轴于点F,
,ZM'FO=Z(9EM=90°,
NEOM+NEMO=90。,
:四边形08CQ是正方形，
N300=90°,
ZFOM'+ZMOE=90°,
，ZM'OF=NOME,
由旋转的性质可知OM=OM',
：.AM'OF^/\OME（AAS）,
:点”的坐标为（a,b）,
：.M'F=OE=a,OF=ME=b,
又点M'在第二象限，
.•.旋转2022秒后，点M的坐标为（-b,a）.
【点拨】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方
形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键.
11.C
【分析】
如图，过P作交x轴于点M过Q作轴于E,过。作平行于x轴的出线交
PN于M,交QET尸,交y轴于G,则DP=DQ,?PDQ90?,证明VPDW也VDQF,设£>(4"),
再求解Q的坐标，再代入直线0B的解析式即可.
解：如图，过户作PN_LQ4,交x轴于点N,过。作0E_Lx轴于E,过。作平行于x轴的直
线交PN十M,交QE于尸，交y轴于G,则DP=DQ,?PDQ90?,
\?PMD90??QFD,
G［发D：
O\N-E2
\?PDM?QDF90??QDF?DQF,
\?PDM?DQF,
\YPDMWDQF,
\PM=DF,QF=MD,
・.・正方形OA3C中，点C(0,4),
\OC=OA=AB=3C=4,
设。(4"),而点。为CO的中点，
'嚼等.
4+74-/4-f1
\PM=---t=--=DF,QF=MD=2,QE=2+t,OE=4+--=6--t.
2222
设08的解析式为y=依，而8(4,4),
\4k=4,解得：k=\,
.•.08的解析式为：)'=%
\6--t=2+t,
解得：
故选C
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形
的性质，求解噌；f,2+f是解本题的关键.
12.B
【分析】
过点C作CZ)_Lx轴于点。，作CE_Ly轴于点E,连接AC,0C.设48与OC交于点E由
题意易证AABC为等边三角形，从而易证V8OC=VAEC(〃L),得出。C=EC,进而可知矩
形OQCE为正方形，结合题意可得出48=血。4=4a,N08A=NODE=45。，即证明
BA//DE,得出CO_LAB,OF=-OA=2-Jl,从而可求出BF=[AB=2夜，
22
CF=&F=2娓,进而可求出OC=O尸+CF=2&+2",最后即可求出
CE=CD=—OC=2+2+,即得出C点坐标.
解：如图，过点C作CD_Lx轴于点D,作CELy轴于点E,连接AC,OC.设AB与0c
交于点F.
由题意可知NABC=60。，AB=BC.
...△MC为等边三角形，
,AB=BC^AC.
由所作辅助线可知四边形OQCE为矩形，
:.CD=CE,ZBDC=ZAEC=90°.
：.YBDCWAEC(HL),
,DC=EC，
二矩形OOCE为正方形，
/.ZODE=45°,DELOC.
•.•点4,8的坐标分别为(0,4),(4,0),
AOA=OB=4,ZOBA=45°.
AB=41OA=4/，NOBA=NODE=45°>
/.BA//DE,
CO±AB,OF=—OA=2y/2,
BF=-AB=242,
CF=6BF=2瓜,
OC=OF+CF=2五+2底,
CE=CD=—OC=2+2百，
二。（2+2石，2+26）.
故选B.
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性
质以及勾股定理等知识.正确的作出辅助线是解题关键.
13.20
【分析】
先求出一次函数与坐标轴的交点4、8的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算出
线段A8的长，最后利用菱形的性质计算周长即可.
解：令＞=0,得-gx+4=0,解得x=3,A（3,0）,OA-3.
令x=0,得y=4,8（0,4）,OB=4.
在放中，AB=y1OA1+OB2=A/32+42=5.
•••四边形ABC。是菱形，
：.AB=BC=CD=DA.
•*-C菱形"co=448=4x5=20.
故答案为：20.
【点拨】本题是一道函数与几何的综合题.重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法,
两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质.如果是使用两点间距离公式，注意公式的
正确使用：设点A（XQJ,3（々,%）,则A、8两点间的距离为A8=-垃+（%-%I.
14.（—2币,—8）
【分析】
由菱形的性质可得出BC=AD=48=8，即8C=4Or>,AB=4QD,再根据勾股定理可
求出08的长度.设OD=x>0,则4)=4x,。8=缶，列等式OBxA£>=16夕，求出
OD=2、OB=2币,BC=8,则答案可解.
AD=AO+OD=3OD+OD=4OD,
•••四边形ABCD为菱形，
:.BC//AD,BC=AD=AB=CD,
即BC=4O£>,AB=4OD,
Q408=90。，
OB=JAB?-AO?='(48)2-(304)2=不OD.
设。D=x>0,则A£»=4x,OB=y/lx,
S菱形w=16币,即。BxA。=16不，
:.@x-4x=16yj，
解得5=2，X2=-2(舍去)
OD=2,OB=2/j,BC=S.
•.•小)在》轴上,3(7〃4。，即BC〃y轴，则3CJ_x轴，
.-.C(-277,-8).
【点拨】本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出。。、OB.
8c的长是解题的关键.
15.(0,-5)
【分析】
在Rm。力C中，利用勾股定理求出0C即可解决问题.
解：VA(12,13),
：.0D=\2,4£>=13,
•••四边形4BC。是菱形，
：.CD=AD^\3,
在Rt&OQC中，oc=\ICD2-OD2=5，
：.C（0,-5）.
故答案为:（0,-5）
【点拨】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
16.2'"
【分析】
首先求出直线/与坐标轴的交点，然后根据菱形的性质依次求出用，生…的坐标，找出规
律即可求解.
解：如图，设直线/与x轴的交点为点例，
:一次函数的解析式为y=2x+2,
A（°，2）,
■.•四边形AO%是菱形，
.•・A«与A/关于y轴对称，4。与45互相垂直平分,
q（l,0）,A3〃x轴，且AB是的加。1的中位线，
・・.吗,1），
同理，&旦与AA互相垂直平分，
把x=l代入y=2x+2得，y=4,
•.•4日垂直平分4蜴，
••.0式3,0),用(2,2),
把x=3代入y=2x+2得，y=8,
.•・4(3,8),
•••AG垂直平分
.•.q(7,0),约(5,4),
同理可求得打(11,8),
点B”的横坐标是3X2“T-1,纵坐标是2M.
故答案为：2m.
【点拨】本题主要考查菱形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，正确得到点缘坐标的
规律是解题的关键.
17.42或8
【分析】
根据图象2中的y表示的是的面积，而图1的AAEP的底边AE是一个不变量，&AEP
的面积与点P到AE边的距离有关，寻找点P的特殊位置，对应y的函数图象，这样可以解
题.
解：(I)•.•函数图象(图②)的),最大值是2,就是对应点P运动到距直线AC最远的时刻
位置，点8、。两个时刻，
...△A8E的面积是2,
矩形的面积=4xS"8E=8.
.，.8CxAB=8①，
•.•函数图象(图②)的y最小值是0,就是对应点尸运动到距直线AC最近的时刻
位置，点4、C两个位置，
所以46时，即是AB+8C=6②，
由①②两个等组成方程组，
由这两个方程，可以得至U8C=4,AB=2,
故答案为：4；
(2)当y=2时，即AW的面积是2,此时对应点尸运动到距直线AC
最远的时刻位置，点2、。两个时刻,
'：AB=2,A8+8C+C£>=2+4+2=8,
或8,
故答案为：2或8.
【点拨】此题考查几何的线段长度与图象2中的x的关系，同时△的面积与函数图象中)，的
关系，根据几何图形特点，发现△的面积y只与点P到4E边的距离有关，寻找点P的特殊
位置，结合对应y的函数图象，这样可以解题.
18.-3
【分析】
先由轴，轴得到四边形OABC是矩形，然后由矩形的性质可得直线/过矩形
0ABe的中心点，再由点8和点0的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入直线
/的解析式求得机的值.
解：:BALx轴，BCLy轴，
二四边形0A8C是矩形，
•••直线/将四边形OA8C分为面积相等的两部分，
直线I过矩形OABC的中心点，
•:点B(3,3),点O(0,0),
矩形OA3C的中心点为(之3,彳3)，(中点坐标公式)
22
3333
将中心点(不，—)代入y=〃?x-2加得，-m-2m=-,
.".m=-3,
故答案为：-3.
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直线/
平分四边形O48C的面积得到直线/经过矩形OABC的中心点.
19.(0,2.4)##(0,y)
【分析】
过。作。ELAC于E,根据矩形的性质和8的坐标求出。C=A8=5,O4=BC=12,ACOA
=90。，求出根据勾股定理求出。4=A£=12,AC=13,在用AOEC中，根据勾
股定理得出DE2+EC2=Ciy,求出OD,即可得出答案.
解：过。作OE_LAC于E,
y.
qAx
・・•四边形A5CO是矩形,B(12,5),
A0C=AB=5fOA=BC=l2fZCOA=90°,
TAD平分NOAC,
：.OD=DE,
由勾股定理得：042=402-002,AE2=AD2-DE2.
.\0A=AE=l2f
由勾股定理得：AC=J5?+122=13，
在RdDEC中,De+EC^CD2,
即002+([3.]2)2=(5,OD)2,
解得：00=2.4,
所以。的坐标为(0,2.4),
故答案为：(0,2.4).
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理得出关
于。。的方程是解此题的关键.
20.(2,-20)
【分析】
先求出点F坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解.
解::点B(2,0),
：.0B=2,
：.0A=2,
:.AB=60A=2五,
•.•四边形ABEF是菱形，
：.AF=AB=2y/2,
，点F(20,2),
由题意可得每4次旋转一个循环，
A27-4=6...3,
工点尸27的坐标与点K的坐标一样，在第四象限，如下图，过三作轴,
・・・£,”，），轴，轴，
.•・ZOAF=ZF3HO=90°,
：.NAOF+NHOB=90。,
YOFLOF3.
：.ZAOF+ZAFO=90°,
・・・/AFO=/HOF3,
/•△OAF=△F3HO,
:.HF3=OA=2,0H=AF=2M,
/.F3（2,-2y/2）,
.•.点尸27的坐标（2,-2血），
故答案为：（2,-20）
【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，找到旋转的规律
是本题的关键.
21.-
【分析】
作BFLA尸交于点凡交y轴于点G,作。HL4H交于点H,连接AE,首先根据题意证明
出ADH4&AAF3（A4S）,然后利用勾股定理求出A。的长度，最后根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半求解即可.
解：如图所示，作8RLA尸交于点凡交），轴于点G,作。交于点”，连接力E,
VBF1AF,
・•・ZHDA+ZDAH=900,
VZZMB=90°,
・•・ZFAB+ZDAf/=90°,
,ZHDA=ZFAB^
又..・"=/尸=90。，AD=AB^
：.ADHA^AAFB（AAS）f
：.AH=BF,
由题意可得，四边形004〃和四边形OGE4都是矩形,
・・・正方形ABC。的顶点A坐标为（3,0）,
：.DH=GF=OA=39
•・•顶点笈的横坐标为-1,
:.BG=1,
：・BF=BG+GF=4,
；・AH=BF=4,
VZ//=90°,
AD=>JDH2+AH2=5,
•・,点七是力。的中点，ZZXM=90°,
：.OE=-AD=-.
22
故答案为：g.
【点拨】
此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正
方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理.
22.（2,-2夜）
【分析】
根据直角坐标系、正方形的性质，得。4=08=2,。4_103,根据勾股定理的性质，得A8；
根据菱形的性质，得F（2忘,2）；根据图形规律和旋转的性质分析，即可得到答案.
解：•••正方形A8CO中，顶点A,B,C,。在坐标轴上，且B（2,0）
•*-AB=\IO^+OB2=2A/2
以AB为边构造菱形ABEF（点E在x轴正半轴上），
,AF=AB=2V2
尸（2夜,2）
根据题意，得菱形AB所与正方形ABC。组成的图形绕点。逆时针旋转，每8次一个循
「2022除以8,余数为6
点名叱的坐标和点E的坐标相同
根据题意，第2次旋转结束时，即逆向旋转90。时，点心的坐标为：卜2,2夜）
第4次旋转结束时，即逆向旋转180。时，点K的坐标为：卜20,-2）
第6次旋转结束时,即逆向旋转270。时,点一的坐标为：（2,-2&）
，点名。22的坐标为：（2,-20）
故答案为：0，-2a）.
【点拨】本题考查了图形规律、旋转、菱形、正方形、勾股定理、直角坐标系的知识；解题
的关键是熟练掌握旋转、菱形、正方形的性质，从而完成求解.
23.（2,3）
【分析】
过8作轴，过C作CF_Lx轴，垂足分别为E、凡证明△ABE^ADAO,^DAO^^CDF,
可得BE=D尸=0A=2,AE=CF=OD=\,进而求得点B的坐标.
解：如图，过2作轴，过C作CF，x轴，垂足分别为E、F,
•••四边形A8C。为正方形，
，—。=90。，AB^CD,
ZBAE+ZDAO=ZDAO+ZADO=90°,NBAE=AADO,
在"BE和△D4。中，
/BEA=NAOD
"NBAE=ZADO,
AB=AD
.♦.△A8E丝△040(AAS),
同理可得△D40gZiC£)F,
VA(0,2),D(1,0),
：.BE=DF=OA=2,AE=CF=OD=\,
；.OE=OA+AE=2+1=3,0/=。£>+。尸=1+2=3,
【点拨】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角
形的性质与判定是解题的关键.
24.2
【分析】
先求出点C的坐标为（1,0）,从而求出点4的坐标为（1,2）,得到A/C=2,再由四边形
A/CG8/为正方形，点C,G在x轴上，得到48/=4C=2,AB/〃x轴,由此即可得到答
案.
解：；四边形AOCB为正方形，点4（0,1）,
OC=OA=1.
.•.点C的坐标为（1,0）
又：四边形4CC/B/是正方形，
.••点4的横坐标为1,
点4在直线y=x+l上，
二点4的坐标为(1,2),
：.AiC=2.
又•••四边形4/CG8/为正方形，点C,。在x轴上，
^".AIBI—AIC—2,A/8/〃x轴，
，若平移直线y=x+l经过点8/,则直线y=x+l向右平移2个单位长度.
故答案为：2.
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像平移问
25.⑴⑵y=⑶①S=+②f或1
224413)95
【分析】
(1)在RAAOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
(2)根据(1)即可求的OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线
AC的解析式；
(3)①根据S448c=S4M8+S8MC求得M到直线BC的距离为h,然后分成P在48上和
在BC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解.
②将S=2代入①中的函数解析式求得相应的f的值.
⑴解：,・・点A的坐标为(-3,4),
:.AH=3,HO=4
在/?/△AOH中
AO=ylAH2+OH2=>/32+42=5，
故答案为：5；
(2)；四边形45co是菱形，
A0C=0A=AB=5,即C(5,0).
设直线AC的解析式产6+b,函数图象过点A、C,
5k+b=0
一3%+b=4'
解得
b=-
直线AC的解析式为j=-1x+|,
⑶由y=-：1x+5[，令X=O,y=|5,则知足5），则0M=[,
2222
①当o<y|时,
BP=BA-AP=5-3t,HM=OH-OM=4--=-
22
I13915
・•.S=-BPHM=-x-x（5-3r）=-----/H------,
222v744
c915
S=1H,
44
②设M到直线3。的距离为〃,
SABC^SAMB+SBMC=-AB-OH=-AB>HM+-BC-h
aJi222
—x5x4=—x5x二十—x5力
2222
解得，2=g，
当§</<—时，BP=3,—5,h=7,
915
当s=2时，代入s=y
解得，=3，
小、c15r25
代入S=-----,
44
解得r=
综上所述，=;7或1?1.
【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、勾股定理、三角形的面积、一元一次方程
等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问
题，学会构建方程解决问题.
26.⑵（1,-1）或（-3,5）或（5,3）
【分析】
（1）知识运用：由矩形的性质得出OM=EM,M为0E的中点，由线段中点坐标公式即可
得出结果；
（2）能力拓展：有三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角
线时，由平行四边形的性质对角线互相平分，中点公式，即可得出结果.
解：（1）知识运用：
:矩形ONEF的对角线相交于点M,
：.OM=EM,例为0E的中点，
为坐标原点，点E的坐标为（4,3）,
:.点、M的坐标为（———,———）.
22
即点用的坐标为（2,-）；
故答案为（2,
（2）能力拓展：
如图所示：
设。的坐标为。（。力）
有三种情况：①当A8
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