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中考专题训练——二次函数相似三角形
1.如图，抛物线y=-x?+3/4与x轴交于4,8两点（点
4位于点8的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴/
与x轴交于点M长为1的线段市点。位于点〃的上方）
在x轴上方的抛物线对称轴上运动.
⑴直接写出4B,C三点的坐标；
⑵求取。仆08的最小值；
⑶过点。作以八y轴于点M,当△CPM和△08/I/相似时，求
点。的坐标.
2.如图,抛物线v=ar2+法+3（”x0）与x轴交于点4（1,0）和点8（-3,0）,与y轴交于点C,连接BC,
与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点户是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点。在射线ED上，若以点只。、E为顶点的三
角形与/OC相似，请直接写出点。的坐标.
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：丁=62+法+C.H0）经过点（1,1）和（4,1）.
（1）求抛物线C的对称轴.
（2）当a=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线G.
①求抛物线G的解析式.
②设抛物线G与*轴交于A,B两点（点A在点8的右侧），与〉轴交于点C,连接3c.点。为
第一象限内抛物线G上一动点，过点。作DELOA于点E.设点D的横坐标为m.是否存在点D,
使得以点。，D,E为顶点的三角形与汨如相似，若存在，求出，〃的值；若不存在，请说明
理由.
4.如图①，在平面直角坐标系x勿中，批物线y=x?-4x+a（a<0）与y轴交于点4与x
轴交于公尸两点（点E在点尸的右侧），顶点为M直线y=]X-a与x轴、V轴分别交于8、C
两点，与直线交于点。.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P,使得以P、4C、〃为顶点的四边形是平行四边形，求
a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点"作网轴于其连接贴点。为抛物线上任意一点，过点〃
作0G_Lx轴于G,连接。£当a=-5时，是否存在点。，使得以aE、G为顶点的三角形与
△叱相似（不含全等）？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.
图①图②
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点4
该抛物线的顶点为例直线y=+6经过点4与y轴交于点8,连接QM.
（1）求6的值及点"的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点"的直线y=mx+n,且与X轴负半轴交于点C,取点。（2,0）,
试卷第2页，共9页
连接DM,求证：ZADM-ZACM=45°：
(3)点E是线段A3上一动点，点尸是线段04上一动点，连接环，线段EF的延长线与线段QM
交于点G.当/8所=2/班。时，是否存在点£使得3GF=4EF?若存在，求出点石的坐标；
若不存在，请说明理由.
备用图
6.已知抛物线y=or2-2ax+c过点A(-1,0)和C(0,3),与x轴交于另一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
交BC于点G.当BG=C~时，求A£FG的面积；
(3)如图2,4c与8。的延长线交于点H,在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使/0PB=ZA"B?
若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
7.如图，抛物线y=¥/+法+。与x轴交于A,8两点，点A,8分别位于原点的左、右两
侧，BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=43CD.
（1）求b,C的值；
（2）求直线3。的函数解析式；
（3）点?在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线射上，
当A4BD与ABPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点。的坐标
8.如图所示，抛物线产--级-3与x轴相交于A、B两点，与y
轴相交于点C,点M为抛物线的顶点.
（1）求点C及顶点M的坐标.
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接8MCN
求ABOV面积的最大值及此时点N的坐标.
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动
点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形.若
存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由.
（4）直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,
是否存在以点P、E、0为顶点的三角形与相似.若存在,
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
9.如图，二次函数M=4（x-"?>+〃、必=662+”（a<o,m>o,〃>o）的图像分别为G、G,G交y
轴于点尸，点A在G上，且位于轴右侧，直线/力与G在）'轴左侧的交点为8.
（1）若P点的坐标为（O,2）,G的顶点坐标为（2,4）,求”的值;
（2）设直线PA与轴所夹的角为a.
①当。=45。，且A为G的顶点时，求助的值;
PA
②若a=9O。，试说明：当"，"、〃各自取不同的值时，言的值不变;
试卷第4页，共9页
(3)若PA=2尸3,试判断点A是否为G的顶点？请说明理由.
10.如图1,抛物线丫=一3。+2尸+6与抛物线必=一/+；a+，一2相交y轴于点C,抛物线X与x
轴交于48两点(点8在点4的右侧)，直线=履+3交x轴负半轴于点乂交y轴于点K
且OC=ON.
(1)求抛物线X的解析式与"的值;
(2)抛物线M的对称轴交x轴于点。，连接AC,在x轴上方的对称轴上找一点£使以点4
D,E为顶点的三角形与小OC相似，求出OE的长；
(3)如图2,过抛物线,上的动点G作GHLx轴于点”，交直线内=丘+3于点0,若点。'是点
。关于直线MG的对称点，是否存在点G(不与点C重合)，使点Q'落在y轴上？若存在，请直
接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由.
11.如图，抛物线y=f+6x+c交X轴于B,c两点，交y轴于点A直线y=-x+3经过点A,8.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线A8下方的抛物线上一动点，过点P作PELt轴于点E交直线A3于点长设点产
的横坐标为人若PF=3PE,求m的值；
（3）N是第一象限对称轴右侧抛物线上的一点，连接BN,AC,抛物线的对称轴上是否存在点
加.使得ABMN与小OC相似，且4MV为直角，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，
请说明理由.
一3
12.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-7於3的图象与x轴交于点4与y轴交于
8点，抛物线y=经过48两点，在第一象限的抛物线上取一点，，过点〃作〃C_Lx
轴于点G交直线四于点£
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点。，使得%和△彳宏相似？若存在，请求出点，的坐标，若不存在，请说
明理由；
（3）如图2,尸是第一象限内抛物线上的动点（不与点〃重合），点G是线段48上的动点.连
接DF,FG,当四边形%G厂是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.
\7
13.如图1,的三个顶点4、0、8分别落在抛物线E：丫=5产+§》的图象上，点力的横
坐标为-4,点8的纵坐标为-2.（点A在点8的左侧）
（1）求点48的坐标；
⑵将△加8绕点。逆时针旋转90°得到阳，抛物线E：丫=江+加+4经过4、8两点，
已知点〃为抛物线B的对称轴上一定点，且点4恰好在以如为直径的圆上，连接。欣A'M,
求的面积；
⑶如图2,延长。8'交抛物线E于点C,连接4C,在坐标轴上是否存在点，，使得以40、
。为顶点的三角形与△"'C相似.若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第6页，共9页
14.如图，已知二次函数y=！(x+2)(ax+b)的图像过点A(—4,3),B(4,4).
4o
(1)求二次函数的解析式：
(2)求证：^ACB是直角三角形；
(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以
P、H、D、为顶点的三角形与AABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
15.如图已知二次函数图象的顶点坐标为直线尸"+，”的图象与该二次函数的图象交于
AB两点，其中A点坐标为停券)，8点在.丫轴
上，直线与x轴的交点为尸.尸为线段AB上的一
个动点(点户与42不重合)，过P作x轴的垂线
与这个二次函数的图象交于E点.
(1)求&，，〃的值及这个二次函数的解析式；〜
(2)设线段段的长为3点户的横坐标为x,求F
〃与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)。为直线A8与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段A8上是否存在点P,使得以点
P，E,。为顶点的三角形与力。尸相似？若存在，请求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.
16.如图，已知抛物线y=2x、2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）写出以A,B,C为顶点的三角形面积；
（2）过点E（0,6）且与x轴平行的直线I1与抛物线相交，[2
于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线,7V------万----kz-------h
上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面\-/
积为8时，求出点P的坐标；\-/
（3）过点D（m,0）（其中m>1）且与x轴垂直的直线I?\/____________.
A\O/BD~
上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q,D,B为顶点的三
角形和以B,C,0为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用°
含m的代数式表示）.
17.如图，已知抛物线y=—；x?+bx+4与x轴相交于A、B
两点，与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A（-2,
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；/
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线一-----i——:
的解析式；/：\
（3）试判断AAOC与ACOB是否相似？并说明理由；：
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使AACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的
Q点坐标；若不存在，请说明理由.
18.如图，抛物线y=ax?+bx+c（a右0）的图象过点C（0,1）,顶点为Q（2,3）,点D在x轴
正半轴上，且OD=OC.
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相
交于另一点E,求证：△CEQs/\CD0；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段
0D上的动点，问：在P点和F点移动过程中，4PCF的周长是否存
在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
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19.如图，直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线
交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C（0,-4）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E,与y
轴的交点记为F,
①求当4BEF与ABAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则与S&8是否存
在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标.
20.如图，已知直线），=-2》+4分别交x轴、）轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点P是线段
AB上一动点，过点P作PC，x轴于点c,交抛物线于点D.
（1）若抛物线的解析式为y=-2/+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与“0B
相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1.(1)4-1,0),B(4,0),C(0,4)
(2)6
3is3is33+2卡)
(3)(5,万)或(5,石)或弓,~~2-
【分析】(1)由'=-9+3x+4可得A(-1,0),B(4,0),C(0,4)；
(2)将C(0,4)向下平移至C,使CC=PQ,连接BC交抛物线的对称轴/于Q,可知四边形CCQP是
平行四边形，SWCP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,而B,Q,C共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最
小值为BC+PQ的值，由勾股定理可得8。=5,即得CP+PQ+2Q最小值为6；
(3)由在产-3+3/4得抛物线对称轴为直线户-七3=3:,设。(3=，/)，则。3什1),M(0,r+1),
-2222
N(1,0),知BN=。,QN=t,CM=\t-3\,①当端=瞿时，四2=左，可解得Q(。，
222QN8Nf32
r33
C-3
-得
②此z
5-2l
万-
--\2
2-/
(1)
解：在y=-/+3/+4中，令％=0得y=4,令y=0得x=-1或x=4,
・・・A(-1,0),B(4,0),C(0,4).
(2)
将。(0,4)向下平移至C',使CC=PQ,连接交抛物线的对称轴/于。，如图所示:
,:CC'=PQ,CC〃PQ,
・••四边形CCQP是平行四边形，
・・・CP=CQ,
:.CP+PQ+BQ=CQ+PQ+BQ=BC+PQ,
•；B,Q,C'共线，
，此时CP+PQ+B。最小，最小值为8C'+PQ的值,
VC(0,4),CC'=PQ=\,
，C'(0,3),
,：B(4,0),
•••8c=7^7^=5,
BC+PQ=5+1=6,
CP+PQ+BQ最小值为6.
(3)
如图：
由y=-x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线x=---=-,
333
设Q(二，f),则P(一，Z+1),M(0,z+1),N(-,0),
222
\'B(4,0),C(0,4)；
53
:・BN=Q,QN=t,PM=—,CM=\t-3|,
・；NCMP=NQNB=90。,
・•・△CPM和△刎相似,只嗡嚼嗡嚼,
①当QN—丽时，-―一5,
解得［或尸］，
2o
：.Q(-,竺)或(2,—)；
2228
M2
CMPM
②当时,5=£，
BNQN
2t
解得/=3t2#或f=3一班(舍去)，
22
•c,33+2后、
.•Q<T»------)，
22
综上所述，Q的坐标是4，?)或(：，白或4,过2色).
222o22
【点评】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三
角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用.
2.(1)y=4-2x+3；(2)[(-1-a,2),£(-2,3)
【分析】(1)根据抛物线、=混+法+3和)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),即可得到关于a、
。的方程，从而可以求得“、。的值，然后即可写出抛物线的解析式；
(2)根据(1)中抛物线的解析式，设点尸的坐标，然后再根据ABOC是等腰直角三角形，得出VPQE是
等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解.
【解析】解：(1)•.•抛物线产加+灰+3(〃匈)与x轴交于点A(1,0)和点8(-3,0),
a=-l
解得
b=-2
・••此抛物线的解析式为：y=-f_2x+3
(2)当x=0时，y=3,所以，OB=OC=3,
小oc是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与4JOC相似，
•••VPQE是等腰直角三角形，
h_?
设点P的坐标为(，〃,-川-2m+3),抛物线的对称轴为直线x=--=——=-1,
2a-2x1
设BC的解析式为》=履+〃，将B(-3,0),C(0,3)代入得，
J-3Z+〃=0
j〃=3'
Q=]
解得，。，故8c的解析式为y=x+3,
|〃=3
把x=-1代入得，丫=2,则E点坐标为(-1,2),
如图，当E为直角顶点时、-m2-2m+3=2,解得，牛=-1-血，g=-l+0(舍去)，把町=-1-6代
入得，—2机+3=2,则P点坐标为（-1-夜,2）,
当。为直角顶点时，PQ=QE,即一机2一2机+3-2=-1一切，解得叫=-2,色=0（舍去），把町=-2代入
得，-irr-2m+3=3>则P点坐标为（-2,3）；
当尸为直角顶点时，作PMLEQ于M,PM=ME,即一机?_2加+3-2=-1一相，解得见=-2,w2=0（舍去）,
则P点坐标为（-2,3）；
综上，P点坐标为（-1-夜,2）或（-2,3）.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟
练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程.
3.(1)x=2.5；(2)①y=-(x+l)(x-2)；②1或.后
【分析】(1)根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；
(2)①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中“的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函
数解析式；
②根据条件求出A、8、C、。四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据
相似的性质可求出m的值.
【解析】解：(1)因为抛物线图像过(1,1)、(4,1)两点，
这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是(1+4)+2=2.5,；
(2)①将点(1,1)、(4,1)向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到(-1,0),(2,0),将点(-1,0),
(2,0),a--\,
根据交点式可求出。二次函数表达式为y=-(x+D(x-2)；
②根据①中的函数关系式，可得A(2,0),B(-1,0),C(0,2),D(m,-n^+m+2),且团＞0
由图像可知/BOC=ZDEO=90°,
则以点。，D,E为顶点的三角形与ABOC相似有两种情况，
(i)当时，
OEDEm-m2+m+2
贝!]—=——，即一=---------
OBOC12
解得帆=1或-2(舍),
(ii)当△OOEs/\CBO时,
OEDEm-tn2+m+2
则——=——，即一=
OCOB21
1+-s/33-1-\/33
解得m=---或一--(舍)
44
所以满足条件的m的值为1或上叵.
【点评】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结
合是解决问题的关键.
4.(1)直线X=2;(2)-y;(3)存在，点0的坐标为(-4,27)或-y)或(-；y).
【分析】(1)-4工+〃=(x-2)2+a-4,即可求解；
(2)求出直线AM的解析式为y=-2x+a,联立方程组可解得点。的坐标(ja,-1«)；AC是以P、A、
C、力为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点。关于原点对称，即尸(=4,一；。)，将点
424
3。)代入抛物线y=/-4x+m即可求解;
⑶分里二空」
:3两种情况’分别求解即可,
刀、
QGMN93ISvJ1V11ilVD
【解析】解：(1)Vy=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,
・•・抛物线的对称轴为直线x=2；
(2)由y=(X-2)2+a-4W：A(0,〃)，M(2,a-4),
由得C(0,-a),
设直线AM的解析式为y=kx+a,
将M(2,a-4)代入y=Ax+a中，得2Z+a=a-4,
解得k=-2,
直线AM的解析式为y=-2x+a,
ry=-2ox+ax=—3a
联立方程组得.2，解得4,,
y=-x-a1
r3y=~2a
D(-〃，一；a),
42
V«<0,
・・・点。在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
・・・AC是以P、A、C、。为顶点的平行四边形的对角线，则点尸与点。关于原点对称,
即P(一3)，
42
将点尸(-|小代入抛物线12-以+小解得。=一日或。=。(舍去),
56
(3)存在，
理由如下：当a=-5时，y=--4x-5=(x-2)2-9,此时M(2,-9),
令y=0,即(x-2)2-9=0,解得制=-1,田=5,
・••点F(-1,0)E(5,0),
:・EN=FN=3MN=9,
设点Q(机，m2-Am-S'),则G(w,0),
：.EG=\m-5\QG^\m2-4m-5|,
又ZQEG与XMNE都是直角三角形，KZMNE=ZQGE=90°,
如图所示，需分两种情况进行讨论：
解得m=2或"2=-4或〃z=5（舍去）；
当m=2时点。与点M重合，不符合题意，舍去,
当-4时，此时。坐标为点Q（-4,27）；
*QGEN31.机2.4止51
〃）当——=---二一二一时，即---------,
EGMN93m-53
24
解得机=-；或加=一7或〃2=5（舍去），
33
2217
当初=-§时，。坐标为点。2（--,--），
4419
当机=—1,。坐标为点。3（一—）,
217419
综上所述，点Q的坐标为（-4,27）或（-晨--）或（-],—）.
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性
强，能力要求高，注意“分类讨论”、“数形结合”数学思想的应用.
93
5.（1）b=3,M（3,-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（；，-）.
24
【分析】（1）将2x配方后可得顶点M的坐标，利用-2X求出点A的坐标后代入
y=+〃即可求出b的值；
（2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=-gx-|,过点D作DH_L直线y=-gx-|,得到直线DH的
；y—__1x___3
解析式为y=2x-4,根据.一22求出交点H（1,-2）,分别求得DH=仆，DM=Ji6,根据sin/DMH=
y=2x-4
r)i-ji
照=:得到NDMH=45。，再利用外角与内角的关系得到结论；
DM2
(3)过点G作GP±x轴，过点E作EQLx轴,先求出AB=36,根据/应力=2/840得到NBAO=/AFE,
设GF=4a,则AE=EF=3a,证明△AEQs/\AB0,求得AQ=^a,AF=今叵a,再证△FGPs/iAEQ,得
至ljFP=^a,0P=PG=^a,由此得至I」拽〃+至a+l^a=6,求出a得至I」AQ=^x立，将x=2
555555422
13
代入丁=一；1+3中，得y=[,即可得到点E的坐标.
【解析】(1)：y=2X=；(X-3)2-3,
二顶点M的坐标为(3,-3).
令丁=1'2・2x中y=0,得xi=0,X2=6,
AA(6,0),
将点A的坐标代入y=-；x+%中，得-3+b=0,
；.b=3；
(2):丫=皿+〃由y=-gx+3平移得来，
・1
・・m=--,
•・•过点M(3,-3),
33
+-3,解得n=_=,
22
.••平移后的直线CM的解析式为y=-yx-1.
过点D作DHJ_直线y=-1x-|,
设直线DH的解析式为y=2x+k,将点D(2,0)的坐标代入，得4+k=0,
k=-4,
直线DH的解析式为y=2x-4.
13(-
解方程组，22,得.
[y=2x-4I〉'"？
AH(1,-2).
VD(2,0),H(l,-2),
・・.DH=5
VM(3,-3),D(2,0),
••DM=-\/10,
・•/f口一DH5/2
・・sinz_DN4H=------=，,
DM2
AZDMH=45°,
NACM+NDMH=NADM,
AZADM-ZACM=45°；
(3)存在点E,
过点G作GPJ_x轴，过点E作EQJ_x轴，
VA(6,0),B(0,3),
・・・AB=36
■:/BEF=2ZBAO,NBEF=NBAO+NAFE,
AZBAO=ZAFE,
AAE=EF,
,:3GF=4EF,
.GF4
・•=一,
EF3
设GF=4a,则AE=EF=3a,
・・・EQ，x轴，
・・・EQ〃OB,
AAAEQ^AABO,
.AQ=AE
・・茄一瓦’
AQ3a
・•,k跖
.\AQ=^a,
.12x/5
..AAFn=------a.
・•ZAFE=ZPFG,
/.△FGP^AAEQ,
.GFFP
••瓦一而‘
・・FP=二—a,
；.OP=PG=^a,
・4石_8亚一\2亚一
••-----ci+------d+--------d-6,
555
解得a=@，
・AC_>/53
542
・・.OQ=5，
913
将x=]代入y=-]X+3中，得y=“
93
・••当/跳户=2/84。时，存在点E,使得3G/=4EF\此时点E的坐标为(；；，二).
24
【点评】此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点
坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道
抛物线的综合题，较难.
6.(1)y=-x2+2x+3,0(1,4)；(2)5凤=1；⑶存在，4(0,3),
【分析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；
(2)先求出BC的解析式y=-x+3,再设直线EF的解析式为y=x+》,设点E的坐标为(肛->+2〃?+3),
联立方程求出点F,G的坐标，根据BG2=C尸列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三
角形面积公式求解即可；
(3)过点A作ANLHB,先求得直线BD,AN的解析式，得至ijH,N的坐标，进而得到N，=45°,设点
一〃2+2〃+3),过点P作PRx轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR,证明AOPSSAOPB,根据相似
三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标.
【解析】(1)把点A(-1,0),C(0,3)代入丫=小-2利+。中,
[。+2。+。=0
|c=3'
a=-\
解得
c=3'
/.y=-x2+2x+3,
当工=2=1时，y=4,
2a
£>(1,4)
(2)vy=-x2+2x+3
令y=(),/.x=-1,或x=3
8(3,0)
设BC的解析式为丫="+匕(％。0)
将点C(0,3),8(3,0)代入,得
jb=3
\3k+b=Of
k=l
解得
b=3'
:.y=-x+3
\EFLCB
设直线EF的解析式为y=x+b,设点E的坐标为(见-1+2m+3),
将点E坐标代入、=%+匕中，得。=一62+m+3,
：.y=x-nV+〃z+3
fy=-x+3
[y=x—trr+〃？+3
nr-m
x=-----
—rrr+6+6
y=----------
I-2
/22、
「m"-in-nT++6/
：.FI----2----,-------2-------J
把x=m代入y=_x+3
/.G(m,一"7+3)
・；BG=CF
BG2=CF2
即(m-3)2+(3—⑷2=(年］+(年
解得m=2或m=-3
・・,点E是BC上方抛物线上的点
m=-3舍去
，点E(2,3),1(1,2),G(2,l)
EF=Vl2+12=夜
FG=Vl2+12=72
=叠x0x夜=1
(3)过点A作ANJ_HB,
•.•点£>(1,4),8(3,0)
•••=-2^+6
•.•点A(-1,0),点C(0,3)
/.yAC=3x+3
y=x+3
y=-2x+6
把(-1,0)代入，得b=g
11
/.y=—x+—
22
11
y=x+—
22
y=-2x+6
11
x=一
n8
:.N
T'5
:.AN=HN
ZH=45°
设点〃(",-/+2〃+3)
过点P作PR±x轴于点R,在x轴上作点S使得RS=PR
NRSP=45"且点S的坐标为(一〃2+3〃+3,0)
若NOPB=NAHB=45’
在AOPS和△OP8中，
qPOS=NPOB
[ZOSP=OPB
.hOPSsQPB
.OPOS
..OP2=OBOS
/i2+(n+l)2(n-3)2=3-(-M2+2n+3)
.•.〃=0或〃=^^
4(0,3)
'1+65+逐'
2'2
\/
fl->/553
622
【点评】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加
适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解.
7.(1)-1-^；----(2)y=_3X+6(3)[1-挛,o],(1-26,0),[坐-1,01，(5-2石,0)
3223I3JI3J
【分析】(1)根据5£>=3AO=3,得出4-1,0),8(3,0),将4,8代入)，=与@^+以+。得出关于。，c
的二元一次方程组求解即可；
(2)根据二次函数是'=◎乎/J"坐]x-。-省，BC=6CD,8(3,0),得出。的横坐标为-6,
oIJJ22
代入抛物线解析式求出。(-6,6+1)，设8。得解析式为：y=kx+h,将8,。代入求解即可；
(3)由题意得s〃NABQ=且，tanZADB=\,由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x轴交点
为M,P(1,〃)且〃<0,Q(x,0)且x<3,分①当△P8QSA48。时，②当△PQBs^ABO时，③当△PQB^^DAB
时，④当△P。8sZVIB力时四种情况讨论即可.
【解析】解：(1),/BD=3AO=3,
：.A(-l,0),B(3,0),
3+上,八
-------b+c=0
**•将A,B代入y=x1+Zzx+c,得,
27+9A/3..：
-------+3/7+c=0
c=------
22
.,.y/33y/3
••=-1----,C=-------；
322
(2),二次函数是y=—1+,BC=y/3CD98(3,0),
o\3722
・・・。的横坐标为-6,
代入抛物线解析式得y=x3+[i+#]x百-^一日
3+"走二
222
=y/3+1
0(-6,6+I),
设8。得解析式为：y=b
s/3+l=-y/3k+b
将8,。代入得
Q=3k+b
k_B
解得3,
b=y/3
直线8。的解析式为y=-冬+6;
(3)由题意得lan/A8£)=立，tanNAOB=l,
由题意得抛物线的对称轴为直线x=l,设对称轴与x轴交点为M,P(1,〃)且〃<0,Q(x,0)且x<3,
①当△PBQS/XAB。时，tanNPBQ=tan/AB。即/=乎，
解得〃=-延，
tan/PQB=tanZADB即——=1,
1-x
解得A1一辿，
此时。的坐标为(1-述，0)；
②当△PQB^/XABD^f,tanNP8Q=tan/AOB即£=1,
解得〃二-2,
tanNQP8=tanNABO即口-=走，
1-x3
解得41-26,
此时。的坐标为(1-273,0)；
③当△PQB^/\DABSi,tan/PBQ=tan/ABO即/=乎，
解得片限
tanZPQB=tnnZDAB即——="十二,
x-1-1+73
解得尸WLi,
此时。的坐标为(生叵-1,0)；
④当△PQB^^XABD^S,tanNPBQ=tanNA8Q即万=1,
解得〃=-2,
tanZPQB=tanZDAB即——="十匕,
x-1-l+g
解得X=5-26，
Q的坐标为(5-2月，0)；
(2行、(4行、
综上：。的坐标可能为1--—,0,(1-2>/3,0),—1,0,(5-273,0).
\)\7
【点评】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运
用是解题关键.
27315
8.(1)(0,-3),(1,-4)；(2)—,(不一丁)；(3)G点坐标存在，为(2,-3)或(4,5)或(-2,5)；(4)P点坐标存在，
o24
39
为(一二,一二)或(T-2).
44
【分析】(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，由公式(一』b■，竺£一」h~_)即可求出顶点M坐标；
2a4a
(2)如下图所示，过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设NS,/-2〃-3),求出BC解析式，进而得到
Q点坐标，最后根据^&BCN=^t,NQC+S^QB即可求解；
(3)设D点坐标为(l,t),G点坐标为(见加―2%-3),然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对
角线时三种情况进行讨论即可求解；
(4)连接AC,由CE=CB可知NB=NE,求出MC的解析式，设P(x,-x-3),然后根据小PEO相似△ABC,分
成悔F=C=笠FP和F盥O=F3P讨论即可求解•
DA£>COCDA
【解析】解：⑴令y=1-2x-3中x=0,此时产-3,故C点坐标为(0,-3),
/i—h~
又二次函数的顶点坐标为(-2,)，代入数据解得M点坐标为(1,-4),
2a4a
故答案为：C点坐标为(0,-3),M点坐标为(1,-4)；
(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN,CN,如下图所示：
令y=/-2x-3中)，=0,解得B(3,0),A(-l,0),
设直线BC的解析式为：y=or+。，代入C(0,-3),B(3,0),
解得：=即直线BC的解析式为：y=x-3,
[0=3o+Z?[P=-3
设N点坐标为("A?一2〃一3),故Q点坐标为5,〃-3),其中0<〃<3,
S+S=
则^N^l\NQCANQB^'Q^(XQ-Xc)+^QN-(Xli-XQ)
=YQN-(XQ-XC+XB-XQ)
=^QN(XK-XC),其中%,今也分别表示Q,C,B三点的横坐标,
且QN=(〃-3)-(〃2-2n-3)=-n+3〃，xB-xc=3,
।j°l/2c、c323/3、，27廿<_1_，八0
^^ABGV=^(-,r+3«)-3=--n~+-«=--(??--)-,其中0<〃<3,
ZZZZZo
327
当〃=:时，SAHCN有最大值为?，
，o
此时N的坐标为弓3,-亍15)，
故答案为：SR有最大值为27?，N的坐标为弓3,-145)；
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