6.一颗六面骰子是这样设计的：在抛掷骰子的时候，所有偶数面出现的概率比奇数面出现的概率大一倍，不同的偶数面出现的概率是相同的，不同的奇数面出现的概率也是相同的。现在将骰子抛掷一次，为这个试验建立概率律，并求点数小于4的概率。
7.将一颗四面骰子连续抛掷若干次，直到第一次出现偶数面向上为止。这个试验的样本空间是什么？
8.你参加一个象棋比赛，与三个对手下象棋。假定与每个对手比赛的时候，你赢棋的概率是已知的。按规定，只有连赢两场才算得胜。你可以选择比赛的次序。证明将最弱的对手排在第二位时（不必在乎与其他两位对手的比赛次序），你得胜的概率最大。
10.证明公式
* 11.邦费罗尼不等式。
由这个公式可得到（b）。
* 12.容斥恒等式。推广公式
（b）利用归纳法。主要推断部分可以模仿（a）中的推导步骤。另一种证明方法见第2章末的习题。
* 13.概率的连续性。
（c）考虑一个概率模型，其样本空间是实数集合。证明
14.将一颗均匀的六面骰子连续抛掷两次。36个可能的结果是等概率的。
（a）求抛掷出相同点数的概率；
（b）已知抛掷得到的点数总和小于等于4，求抛掷出相同点数的概率；
（c）求至少一次抛得6点的概率；
（d）在两次的点数不同的条件下，求一次抛得6点的概率。
15.将一枚硬币抛掷两次。爱丽丝声称，相比已知两次中至少有一次正面向上的条件，在已知第一次正面向上的条件下，抛掷得到两次正面向上的可能性更大。这个结论对吗？在硬币为均匀和不均匀的条件下，结论会不会不同？爱丽丝的推论方法能不能推广？
16.有三枚硬币，其中一枚的两面都画有正面图像，另一枚的两面都画有反面图像，第三枚是正常硬币（两面的图像是一正一反）。从中随机抽取一枚硬币进行抛掷，得到正面向上，这枚硬币的另一面画有反面图像的概率有多大？
17.有一批产品共100件。从中随机抽取4件产品进行检查，只要这4件产品中有一件不合格，就拒绝这批产品。如果这批产品中有5件不合格品，那么这批产品被拒绝的概率是多少？
（a）找出在采用下列几种策略的情况下，鲍里斯得胜的概率：
（i）在第一、第二局采用进攻风格；
（ii）在第一、第二局采用保守风格；
（iii）只要他的分数领先，就采用保守风格，其他情况采用进攻风格。
23.一共有两个坛子，最初两个坛子中含有相等个数的球。现在进行一次球的交换，即分别同时从一个坛子中随机拿出一个球放到另一个坛子中去。经过4次这样的交换以后，两个坛子的状态保持不变的概率是多少？所谓状态保持不变即原来在哪个坛子中的球还在哪个坛子中。
24.犯人的难题。已知三个犯人中的两个将被释放，在事情公布之前，被释放犯人的身份是保密的。一个犯人要求看守告诉他，其两个狱友中的哪一个将被释放。看守拒绝了他的要求，理由是：“在现有的信息之下，你被释放的概率为2/3。但我若告诉你这个信息，你被释放的概率就将变成1/2，因为此时将在你和另一个犯人之间确定谁被释放。”这个看守所列理由的错误在哪里？
26.归纳法的悖论。考虑一个不知道真伪的命题。如果我们看到许多例子与这个命题相匹配，那么就增加对这个命题为真的信心。这样的推论方法称为（哲学意义上，不是数学上的）归纳推论法。现在考虑一个命题，“所有的母牛是白色的”，与其等价的命题为“凡不是白色的就不是母牛”。当观测到几只黑色乌鸦的时候，我们的观测显然与这个命题是相匹配的。但是这些观测会不会使得命题“所有的母牛是白色的”为真的可能性更大一些呢？
为分析这种情况，考虑如下概率模型。
解首先，我们有
再利用乘法规则得到
综合两个等式得到
这个等式意味着
利用全概率公式，我们得到
所以
图1-18二进制通信通道中的传输误差概率
（b）信号串1011能够被正确接收的概率有多大？
33.利用不均匀硬币做出无偏决策。爱丽丝和鲍勃想利用一枚均匀硬币来决定他们去看歌剧还是看电影。不幸的是，他们只有一枚不均匀硬币（而且他们并不知道偏差程度）。怎样利用一枚不均匀硬币做出无偏决策，即以1/2的概率看电影，1/2的概率看歌剧呢？
（a）假定任何一个电厂都能够单独为全市供电。全市停电的概率有多大？
（b）假定需要两个电厂供电才能避免全市停电。全市停电的概率有多大？
从而
由此可知
解我们有
解我们有
我们有
再利用全概率公式，得到
类似地，
图1-20利用帕斯卡三角依次计算二项式系数的方法。左边三角阵列上的数经过计算后放在右边阵列上的相应位置上。右边三角阵列上的数，除了每一排两端的数都是1以外，其余位置的数都是上一排两个相邻数的和
（b）利用（a）中推导出来的递推关系和归纳法，证明
这样，
这个公式总结了帕斯卡三角中提示的递推算法（见图1-20）。
（b）现在利用（a）中的公式以及归纳法导出
49.德梅雷之谜。独立地抛掷一颗六面骰子，共三次。下面事件中的哪个可能性更大：点数和为11还是12？（这个问题是17世纪法国贵族德梅雷向他的朋友帕斯卡提出的。）
（a）我们随机从中抽取两个球。写出样本空间并计算抽取两个不同颜色球的概率。计算的时候利用两种不同的方法：一种方法是利用离散均匀分布率，另一种方法是利用基于乘积规则的序贯方法。
52.在经过充分洗牌的一副52张扑克牌中，从上到下一张一张地翻牌，求在第13张牌第一次遇到K的概率。
53.一共有90个学生，其中包括乔和简。现在将他们随机地分成3个班（每个班30人）。求乔和简被分在同一个班的概率。
54.有20辆小汽车停放在一个停车场，其中有10辆国产车，10辆外国车。停车场的20个车位是一字排开的。这些车的停放是完全随机的。
（a）一共有多少种不同的停车方法？
（b）这些车互相错位停放（既没有两辆国产车相邻，也没有两辆外国车相邻）的概率有多大？
（a）一共可以排出多少种有效的课程表？
57.利用26个字母能够写出多少6个单词的句子，其中每个字母恰好出现一次？所谓一个单词就是指一个非空的字母序列。当然，这些单词和句子可以是毫无意义的。
58.从一副充分洗牌的扑克牌中取出上面的7张牌。求下列事件的概率：
（a）7张牌中恰好含有3张A；
（b）7张牌中恰好含有2张K；
（c）7张牌中恰好含有3张A，或者恰好含有2张K，或者恰好含有3张A和2张K。
60.将一副充分洗牌的52张扑克牌分发给4个玩家。求每个玩家都得到一张A的概率。