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1、习题三1将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现止向的次数.以丫表示三次屮出现正面次数与出现反面次数Z羡的绝对值试写出X和y的联介分布律. 【解】x和r的联介分布律如表：X013101113C1* x - x =2 2 2 8C； 丄 x x = 3/82 2 20318001111XX =2 2 2 82盒子里装冇3只黑球、2只红球、2只白球，在苴中任取4只球，以X表示取到黑球的只 数.以y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律【解】X和了的联合分布律如衣:X013000UC； _ 3C；35UC； _ 2 3510C；C；C；6C；35C；C；C；12C；35UC； 2C, 35P （0黑,
2、2红,2白） cc訂C；=命GCC； 6C；35CpC； 3C；3503设二维随机变乗（X. F）的联合分布函数为F （x, 丁）=sinxsiny, 0 x ,0 y 0,2其圧求二维随机变量w n在长方形域。“弓討电内的概率.【解】如图0-,-7sin + sin 00,x 0,其他k(6-x-y).0,Qx2,200, 其他.求：（1）常数4（2）随机变K（X, X）的分布函数：（3）POSX1, 0r2【解】确定常数k： 求 PX 1, r3： 求尸*15; 求 PX+Y4.由匸匚金加心门:加*嗣=盒=1得 力=12（2）由定义，有F(x,y)=/(M,v)chdvJ-00 J-CD=
3、JU 12ez)血 dv【解】(1)由性质有f-Kof 24LL fy=Jo Lk(6-x-y)d)dr =8士 = 1,(2)(3)(4)故 R =8PXvl,Y v3=H/(x,y)4rdrPX 1.5= /匕刃出帝如图訂!*/(x,y)chc|v113A=时；抄7-忻=等 PX+Y4= JJ /(忑刃氏宙如图bJJ/(x,)，)0,0, 其他上服从均匀分估，y的密度函数为fr (y)=(Ml (i)内x在(0, 02)上服从均匀分布.所以x的密度两数为求：(1)1A(x)= 0.20,J0 x o,其他.所以f(x9y)X9Y独立处)灿)0 vx v02且y 0, 其他.(2) P(Y
4、-V) = jj /(x)dv如图Jf25e-5ckch-gD=- dx 25ch = j (-5 e-5 +5)dr=e4 0.3679.7设二维随机变駁(X Y)的联合分布函数为F (x y)(1-严)(1_宀),0,x 0, y 0, 其他.求（X, Y）的联合分布密度【解】/（xjO =8e%4+2p)=Vx 0j 0,0,其他.8设二维随机变駅（乂 Y）的概率密度为|4.8y(2-x),0xl,0x,其他.求边缘概率密度.【解】Zr(x) = J/(x,刃 _Jj4.8y(2-x)dr _ f2.4x3(2-x), 0 x 1,其他0.I。，AO)=匚 /(x,y)*4.8y(2 -
5、 x)dv _ |2.4y(3- 4y + y2), 0 y 1,7o,其他9设二维随机变吊（X X）的概率密度为f (x y)=0,0x0,0, 其他.0,ye y0,0, 其他.题10图yivwpoX10J殳二维随机变彊（X, Y）的概率密度为f (x y =cx2y, x2 y 1,0, 其他.(1)(2)试确定常数c求边缘概率密度【解】匸* C/(m 如图 IT/(X,y)chd)D=&;小二令 Zr(x)訂/(X)0,21 oX*(1 x ), lWxWl,80,其他.f-KoA(x) = f /(x)dxW-co(7 ?-y 0y0 x,)dv = *-coldv = l + Jp
6、j1ldx = l-y,0,-1 y 0,0y 1.其他.所以二 y |xl, 2x0, 其他yxo. 其他.（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有Q的二次方程为a2+2JCa+Y=）9试求a有实根的概率.【解】（1）（2）方程a2 + 2Xa + Y = Q 实根的条件是A = (2Ar)2-4X0故Y,从而方程有实根的概率为：PX2Y= jj f(x)cMv=dxf1 丄尹，Jo Jo 2= 1-71刁-(o)= 0.1445.i5.i殳x和y分别表示两个不同电了器件的寿命（以小时计），并设x和y相互独立，J1服 从同一分布其概率密度为x 1000,其他.1000/ X）=70,求Z=
7、X/Y的概率密度X【解】如图,Z的分布函数Fz（z） = PZz=Pz（1）当工0时，込（二）=0当0 W1时，（这时当x= 000时）（如图a）（3）当二21时，（这时当尸103时,x=103z）（如图b）也,=12 二1- - 1,2 二/z（-） = p0z1,0,0z180；之间独立卩乙 1802 180PX3 180- 2180= 1-PX 180Hl-P2 1801- PX3 180.l- PX4 180r-.4=W】80F=l-e(驾划=1-4 = (0.158)4 = 0.00063.17设X, Y是和互独立的随机变届，其分布律分别为PX=k)(上)，k=Q, 1, 2, .P
8、Y=r=q (r), ?=0, 1, 2,.证明随机变屋Z=X-VY的分布律为iPZ=z=工p(灯g(z-灯，7=0, b 2,.*-o【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以z = /=Ar+r = /二x = o,y “Um,mUUx丫 = 0于是Pz = / = PX = kyY = i - kXyY相互独立=Jt=0Jt=0= P（k）qQ-k）k=O18设X,厂是相q独Y的随机变试，它们都服从参数为m p的：项分布证明Z=A3-r服从 数为2n. p的二项分布.【证明】方法一：卅了可能取值为o, 1, 2skPX= k=PX = k-1i=0!=O啦= Yn=O V八I丿=卄X0
9、12345000010 030 050 070 0910 010 020.040 050 060 08o0 010 030.050 050 050 0630010020.040.060.060.05(1) 求PX=2 I Y=2t PY=3 I A=0：(2) 求Eiax (X, Y)的分布律：(3) 求*mm (X, Y)的分布律；(4) 求JV=X+Y的分布律方法二 设叱,.必鹵刚,卅均服从两点分布（参数为p）,则鬥+旳+ +耳：，耳旳2+ +/V, 於 &Ul+“2+ +冷+“1+“2+ + 以 所以，卅了服从参数为（5卩）的二项分布. 19设随机变駅（X, 7）的分布律为【解】咛= 2
10、 2=；宾;20.05 _ 1025 2PX=2= 25工 PCH1-0PX = 0,Y = 3 _001_1PX = 0yY = j 0033/-0Py = i= Pinnx(X.Y) = iPX = z；/ 1+ PX /+ PX i,Y = i=f PX = i,y = + f PX = k,Y = i2丄2,3,于是（*了）p00 2810.300 2530 17（4）类似上述过程，有123456780 020 060.130 190 240 190 120 0520雷达的圆形屏幕半径为凡设H标出现点（X，7）在屏幕上服从均匀分布 （1）求 Fr0 I YXx（2）设MmaxX 7,求
11、PM0.【解】因（上D的联合概率密度为/(x,y) = lnR3x2 +y2 R2.其他ff /(x,y)d0ff /(x,y)dcr3/83T/24(2) PM 0= Pmax(X, 7)0 = 1- Pmax(X, y)0FO,y O = 1-jj /(x,j)clcr = l -丄io4,v021 设平面区域D由曲线尸及直线尸6 r=l,x=e2所围成,二维随机变量（乂 Y） 在区域Z）丄服从均匀分布，求（上K）关丁 X的边缘概率密度在处的值为多少？广12【解】区域Q的面枳为S（j=（ -ch = lnx : =2. （X#）的联合密度两数为 JI xlxe3,0y 丄,X其他.（X 丫
12、）关rx的边缘密度函数为fl/x 11=dv = , 1 x 0)的泊松分布.每位乘客在中途卜乍的概率为p(0pD且中途卜车与否相互独立，以y表示在中途卜车的人数，求：(1)在 发车时右“个乘客的条件卜.，中途仃加人卜车的概率：(2)二维随机变磺(X, K)的 概率分布【解】(1) PY = m X = n=Cpm(l-p)nm,Q m nyn = 04,2,-.(2) PX=n,Y = m= PX=nyPY = mX = ne=Cpm0.-p)nmr,/? m n.n = 0,1,2,-.n(1 2、24设随机变最X和丫独芷，其中X的概率分布为於，而了的概率密度为/()，),、0.3 0.7
13、 丿求随机变.U=XY的概率密度g (u).【解】设F (y)是了的分布两数，则由全概率公式，知的分布两数为G(ii) = PX+ Y u = 0.3PX+ YuX = l+ 0.7PX+ YuX = 2=0.3PY u-lX = l+Q.7PYu-2X=2由rx和了独立，可见G(u) = 0.3Pr u-l+0.7Py u-2= 0.3F(u-l) + 0.7F(u-2).宙此，紂U的概率密度为g(4)= GM = 0.3F( -1) + 0.7 Ffii - 2)=0.3/(m_1) + 0.7/(“ _ 2).25.设随机变駅X与了相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,FW 1解：因为随即变彊服从0, 3上的均匀分布，是有/(X)彳 30,因九X, y相互独立，所以0S3,J；,0y3,/0)=3x 3;Io, y 3.0x3,0y3.f(x,y) =90, x 0 j 3,y 3.推得Pmax,yl=i-26.设二维随机变最(y y)的概率分布为0-101-1a00 2001b0 2100 1c如|匕为常数，fix的数学期望E (X) =-02f0坠0=0 5,记Z*y求:(1) a,b,c 的值：(2) Z的概率分布；(3) PX=Z.解 (1)由概率分布的性质知，a+b+c+Q 6=1 即 a+b+c = 04由 EX) = -0.2 ,可得-a +
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