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2021-2022学年天津市河东区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若代数式罕有意义，则实数x的取值范围是（）
A.%>-1B.%>一1且%0C.%>-1D.%>-1且x。0
2.下列二次根式中，最简二次根式是（）
3.如图，数轴上点4对应的数是0,点B对应的数是1,BC1AB,垂足为B,且BC=2,以A为
圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D,则点。表示的数为（）
A.2.2B.V2C.V3D.V5
4.如图，若D、E、F分别是△力BC三边中点，EF=6cm,DE=4cm,DF=5cm,则AABC
的周长为（）
A.15cmB.18cmC.30cmD.36cm
5,若下列左边的式子有意义，则运算正确的是（）
A.=aB.y/ab=y/a->[bC.（Va）z=aD-J=嗑
6.已知n为正整数，且痂I是整数，则n的取值不可能是（）
A.20B.5C.2D.45
7.满足下列条件时，AABC不是直角三角形的是（）
11
C.乙4：NB：NC=3：4：5D.乙4=/B=/
8.如图，在平行四边形4BCD中，乙4+/C=160。，则NB的度数是（）
A.130°
B.120°
C.100°
D.90°
9.如图，在△ABC中，点E,D,尸分别在边AB,BC,CA±.,&DE//CA,DF〃AB.下歹U四
个判断中，不正确的是（）
A.四边形4ED尸是平行四边形
B.如果40=EF,则四边形4EOF是矩形
C.若AD_LEF,则四边形AEDF是菱形
D.若ZD1BC且AB=AC,则四边形4EDF是正方形
10.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷
子露在杯子外面的长度是为han,则人的取值范围是（）
A.5</1<12
B.12<h<19
C.11</1<12
D.12</i<13
11.如图，在RtAABC中，4ACB=90。，点E是AC边上的动点（点E与点C、4不重合），设点
运动过程中NCM尸的大小为（）
A.80°B.100°
C.130°D.发生变化，无法确定
12.已知直角三角形的斜边长为5/n,周长为12m,则这个三角形的面积()
A.12cm2B.3cm2C.8cm2D.6cm2
二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)
13.化简：yj(3—7T)2=.
14.若实数a、b满足|a+2|+VF三=0,则。=.
15.己知菱形的两条对角线长为8cm和6cm,那么这个菱形的面积是.
16.如图，折叠形4BC0的一边AD,点。落在BC边上的点尸处，4E是折痕，已知48=8c?n,
BC=10cm.则CE=cm.
AD
17.如图，在正方形4BC0中，点E,F分别在40,C。上，且4E=0尸=2,BE与4F相交于
点。，P是B尸的中点，连接。P,若48=5,则0P的长为
18.我们把连接四边形对边中点的线段称为“中对线”,凸四边形4BCC的对角线4c=
BD=12,且这两条对角线的夹角为60。，那么该四边形较长的“中对线”的长度为
三、解答题(本大题共7小题，共46.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19.(本小题6.0分)
计算题：
(1)(3712-2电+V48)+2V3；
(2)(2+V3)(2-V3)(l+V2)2.
20.(本小题6.0分)
如图，一块草坪的形状为四边形4BCD,其中NB=90°,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,
AD=13cm,求这块草坪的面积.
21.(本小题6.0分)
在解决问题：“已知a=焉，求3a2一6a—1的值”.
1V2+1后,
•.・&=右=(鱼_1)(或+1)=6+1,
Aa—1=V2.
:.(a—l)2=2,
:.a2—2a=1,
:.3a2—6Q=3,
・•・3a2—6a-1=2.
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)化简：卷=——•
(2)若a=3+；/，求2a2-12a-1的值.
22.(本小题6.0分)
如图，在四边形4BCO中，AB//CD,NB40的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E,
(1)求证：四边形48CD是平行四边形；
(2)连结BF,若BF_LAE,NE=60。，AB=6,求四边形ABC。的面积.
AD
23.(本小题8.0分)
如图，在△4BC中，。是BC边上的一点，E是AD的中点，过4点作的平行线交CE的延长线
于点凡且4F=BD,连接BF.
(1)线段BD与CO有什么数量关系，并说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBO是矩形？并说明理由.
24.(本小题6.0分)
如图，已知△ABC中，NB=90。，AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点，
其中点P从点4开始沿4tB方向运动，且速度为每秒lczn,点Q从点8开始沿BtCtA方向
运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，同时停止.
(1)P、Q出发4秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边C4上运动时，出发几秒钟后,△CQB能形成直角三角形？
cc
BP-----------AB---------A
招用图
25.(本小题8.0分)
在正方形4BC0中，E是CD边上任意一点，连接4E,点尸在BC上，/LEAF=45°,连接EF.
⑴以4为圆心，4E为半径作圆，交CB的延长线于点G,连接4G(如图1).求证：BF+DE=EF；
(2)点E在DC边上移动，当EC=CF时，直线EF与AB、的延长线分别交于点M、N(如图2),
图1图2
答案和解析
I.【答案】A
【解析】解：由题意得：
x+1>0,
•••x>-1,
故选：A.
根据二次根式«缶20),进行计算即可解答.
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式声(a>0)是解题的关键.
2.【答案】A
【解析】解：4遍是最简二次根式，故A符合题意；
B#=2,故B不符合题意；
C.V12=2V3,故C不符合题意；
。巾=争故。不符合题意；
故选：A.
根据最简二次根式的定义判断即可.
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.
3.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理，数轴.正确应用勾股定理是解题关键.
直接利用勾股定理进而得出点。表示的数.
【解答】
解：vAB=1,BC=2,BC1AB,
:.AD=AC=Vl2+22=V5>
.••点。表示的数为：V5.
故选：D.
4.【答案】C
【解析】解：VD,E,F分别是AB,AC,BC边的中点，EF=6cm,DE=4cm,DF=5cm,,
AB=2EF=12cm,AC=2DE=8cm,BC=2DF=10cm,
•••△4BC的周长=12+8+10=30(cm),
故选：C.
根据三角形中位线定理分别求出AB、AC,BC,根据三角形的周长公式即可得到结论.
本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解
题的关键.
5.【答案】C
【解析】解：4、当a<0时，Va2=_a,故4不符合题意；
B、当a20,bNO时，y/ab=Va-Vb,故8不符合题意；
C、(VH)2=a,故C符合题意；
D、当a>0,bNO时，他=会故。不符合题意；
7a\[a
故选：C.
利用二次根式的乘除法的法则，二次根式的化简，二次根式有意义的条件对各选项进行分析即可.
本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相
应的知识的掌握.
6.【答案】C
【解析】解：V20n=V4x5n=2V5n，
vM20n是整数,
•••n可以是20,5,45,不能等于2,
故选：C.
首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值.
本题考查了二次根式的意义，关键是正确进行化简.
7.【答案】C
【解析】解：4、•••52+42=25+16=41=(^1)2,.•.△ABC是直角三角形，不合题意；
8、•••(3x)2+(4x)2=9/+16/=252=(5x)2,.,.△ABC是直角三角形，不合题意；
C.1••Z.A：乙B：Z.C=3：4：5,二NC=180°=75°羊90°,：.△ABC不是直角三角形，
3+4+5
符合题意；
£)、•••乙4=g/B=|zC,A4c=90°,乙4=30°,乙B=60°,ABC是直角三角形,不合题意；
故选：C.
依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算，即可得出结论.
本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是
不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.
8.【答案】C
【解析】解：•.•四边形4BCD是平行四边形，
Z-A=ZC,AD//BC.
:,+乙8=180°.
vZ/4+ZC=160°,
・•・=80°.
/.zB=180°-80°=100°,
故选：C.
直接利用“平行四边形的对角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”即可得出答案.
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键.
9.【答案】D
【解析】解：因为。E〃C4DF//BA,所以四边形4EDF是平行四边形.故A选项不符合题意.
因为4D=EF,四边形4EDF是平行四边形，所以四边形力EDF是矩形.故8选项不符合题意.
因为ZD1EF,四边形力EDF是平行四边形，所以四边形4EDF是菱形.故C选项不符合题意.
如果401BCAAB=BC,不能判定四边形AEDF是正方形，故。选项符合题意.
故选：D.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90。的平行四边形是矩形，有一组邻边相等
的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形.
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等
知识点，熟记平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理
是解题的关键.
10.【答案】C
【解析】解：当筷子与杯底垂直时八最大，%最大=24-12=12(cm).
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时力最小，
如图所示：AB=<AC2+BC2=V122+52=13(cm).
故八友小=24-13=11(cm).
故％的取值范围是11cm<h<12cm.
故选：C.
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可.
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键.
11.【答案】B
【解析】解：••・N4CB=90。，点M为线段BE的中点，
MC=BF,即MC=MB=ME,
vEF14B,点M为线段BE的中点，
MF=BF,即MF=MB=ME,
：.MB=MC=ME=MF,
.•.点B、C、E、尸在以点M为圆心的同一个圆上；
故选：B.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MC=MB=ME,MF=MB=ME,得到MB=
MC=ME=MF,证明结论，于是得到结论.
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
12.【答案】D
【解析】解：设其中一直角边长为xcm,则另一条直角边长为：12—5—x=(7—x)c?n,
根据勾股定理得：x2+(7-x)2=52,
解得：x=3或x=4,
••・直角三角形的两直角边为3cm,4cm,
这个三角形的面积为3x4+2=6(CTTI2).
故选：D.
设其中一直角边长为xon,用含x的式子表示出另一条直角边，利用勾股定理列出关于尤的方程,
解方程，从而确定出直角边，利用三角形的面积公式计算即可.
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
13.【答案】7T-3
【解析】解：J(3—兀)2=J(jt—3)2=兀—3.
故答案是：TC—3.
二次根式的性质：V^=a(a>0),根据二次根式的性质可以对上式化简.
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简.
14.【答案】1
【解析】解：根据题意得：*+f=:，
3—4=0
解得：《
3=4
则原式=:=1.
故答案是：1.
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可.
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为。时，这几个非负数都为0.
15.【答案】24cm2
【解析】解：••・菱形的两条对角线长为8cm和6cm,
二菱形的面积=|x8x6=24(cm2).
故答案为：24cm2.
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，另外，菱形的面积
可以利用底乘以高，也可以利用对角线乘积的一半求解.
16.【答案】3
【解析】
【分析】
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力.
根据折叠的性质和勾股定理可知.
【解答】
解：连接4尸，EF,
------------__
BFC
DC=AB=8cm,AF=AD=BC=10cm,
在Rt△4BF中，BF=\tAF2—AB2=V102-82=6cm>
vCF=10—6=4cm.
设CE=xcm,EF=(8—x)cm,
.♦.在RtAECF中，EF2=CE2+CF2,BP(8-x)2=x2+42,
解得x=3.
故EC的长为3an.
故答案为：3.
17.【答案】苧
【解析】解：••・四边形4BC0为正方形，
・・・乙BAE=4。=90°,AB=AD,
在△ABE和△D4F中,
AB=ADAE
AE=DF
•••△4BEw4D4F(S4S),
・・・4D4F+4BEA=90。，
・•・^AOE=乙BOF=90°,
•・・点P为BF的中点，
・•,OP=”F,
BC=5、CF=CD-DF=5-2=3,
・・・BF=y/BC24-CF2=V34，
1,V34
・r•・uGH=D-CBF=—，
故答案为：苧.
根据正方形的四条边都相等可得4B=AD,每一个角都是直角可得Z_B4E=ND=90°,然后利用
\BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角
形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.
18.【答案】6V3
【解析】解：设四边形ABCD的“中对线”交于点0,连接EF、FG、
GH、HE,
vE,F分别为AD,AB的中点，
•••EF//BD,EF=^BD=|x12=6,
同理可得：GH//BD,GH=6,EH//AC,EH=6,
二四边形EFGH为菱形，4EFG=60°,
•••OE=；EF=3,
在Rt△OEF中,OF=y/EF2—OE2=V62-32=3V3>
FH=6五,即该四边形较长的“中对线”的长度为6旧，
故答案为：6国.
连接E尸、FG、GH、HE,根据三角形中位线定理得到EF〃BD,EF=6,GH//BD,GH=6,EH//AC,
EH=6,证明四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质和勾股定理计算，得到答案.
本题考查的三角形中位线定理、菱形的判定定理和性质定理，根据三角形中位线定理和菱形的判
定定理证明四边形EFGH为菱形是解题的关键.
19.【答案】解：(1)原式=(66_竽+4g)+2行
竽+2遮
14
(2)原式=(4-3)x(1+2+2V2)
=3+2V2.
【解析】(1)直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式的除法运算法则计算得出答案；
(2)直接利用平方差公式以及完全平方公式计算，进而得出答案.
20.【答案】解：连接AC,在北△ABC中，AB=3,BC=4则ZC=5.一，/
「(4C)2+(CD)?=25+144=169,又(40)2=(13)2=169/
•••(AC)2+(CD)2=(AD)2AC。是直角三角形'/
1111B------
•••草坪面积=尹AABC+尹ACD=1x3x44-^x5x12=6+30=
36.
这块草坪的面积为36平方厘米.
【解析】连接4C,由NB=90。，AB=3cm,BC=4cm可知4c=5cm,由AC、AD,C。的长可
判断出△AC。是直角三角形，根据两三角形的面积可求出草坪的面积.
本题是勾股定理在实际中的应用，比较简单.
21.【答案】(1)2遮+4
I(2)va=—3+2e=-(3-+-2-V—2)x=(33-2-V22)vL
■-a—3=—2鱼，
•••(a-3)2—8,
•••a2—6a+9=8,
a2—6a=—1,
:，2a2—12a=-2,
2a2-12a—1——3»
•••2a2-12a-1的值为-3.
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解例题并应用例题解决本题的关键.
(1)分子分母同时乘以(4+2),进行计算即可解答；
(2)先利用分母有理化化简a的值，然后再利用完全平方公式求出a?—6a的值，最后整体代入进行
计算即可解答.
【解答】
解:(1)卷=(£蓝热)=2遍+4,
故答案为：24+4;
(2)见答案.
22.【答案】证明：(1)"AB=BE,
vA尸平分4840,
:・AD//BE,
又,：AB“CD,
二四边形4BCD是平行四边形；
(2)AB=BE,4E=60°,
•••△ABE是等边三角形，
:.BA—AE=6,乙BAE=60°,
又・・・BF1AE,
・・・/F=EF=3,
•••BF=y/AB2-AF2=V36-9=3亚
•••S*BF=xBF="x3x3遮=竽
.QABCD的面积=2xShABF=9V3.
【解析】（1）由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得4ZMF=4E,可证AD〃8E,可得结论;
（2）先证△ABE是等边三角形，可求S-BF的面积，即可求解.
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是
本题的关键.
23.【答案】解：（1）BD=CD.
理由如下：依题意得A/7/BC,
・•・Z-AFE=Z-DCE,
•・•£是的中点，
:.AE=DE,
在△力EF和△OEC中，
Z-AFE=4DCE
AE=DE
•••△4EFwZkDECG4AS）,
・・・AF=CDf
vAF=BD,
:'BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形4FB0是矩形.
理由如下：••,A///BD,AF=BD,
・•・四边形4FBD是平行四边形，
AB=AC,BD=CD（三线合一），
・・・乙ADB=90°,
是矩形.
【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明
确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
⑴根据两直线平行，内错角相等求出乙4FE=NDCE,然后利用“角角边”证明和△DEC全
等，根据全等三角形对应边相等可得4F=CD,再利用等量代换即可得证；
(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一
个角是直角的平行四边形是矩形，可知乙4DB=90。，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是
AB=AC.
24.【答案】解：(1)由题意可得，
BQ=2x4=8(cm),BP=AB—AP=16—1x4=12(cm),
•••乙B=90°,
•••PQ=JBP2+BQ2=VI22+82=4/13(cm)，
即PQ的长为4vl；
(2)当8Q1AC时，乙BQC=90°,
Z-B=90°,AB=16cm,BC=12cm,
/.AC=7AB2+842=V162+122=20(cm),
..ABBC_ACBQ
••2=-—'
.16x12_20BQ
'-2-=2，
解得BQ=蔡cm，
--CQ=JBC2-BQ2=J122-(y)2=y(cm)，
由上可得，当点Q在边C4上运动时，出发9.6秒或16秒后，ACQB能形成直角三角形.
【解析】⑴根据题意可以先求出8Q和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答.
25.【答案】EF2=MF2+NE2
【解析】解：(1)四边形4BCD为正方形，
:.AB=BC=CD=AD,乙BAD=/.ABC=Z-C=90,
・•・^ABG=
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