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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
■最新考纲，
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式）,
了解斜截式与一次函数的关系.
・考向预测•
考情分析：直线方程单独考查较少，与圆的方程、圆锥曲线方程结合考查是高考的热点，
各种题型都有.
学科素养：通过直线的倾斜角、斜率、方程的求解考查数学运算的核心素养；通过直线
方程的综合应用考查直观想象的核心素养.
积累必备知识——基础落实赢得良好开端
一、必记4个知识点
1.直线的倾斜角
⑴定义
J一个基准时*轴作为基准|
两T直线/与*轴蔽b________小轴正方向
种U两个方向L,
情L直线/向上方向|
聘第十X轴平行H规定H倾斜角为0
（2）范围：直线的倾斜角a的取值范围是：.
2.直线的斜率
条件公式
直线的倾斜角。，且6W90。k=_______
直线过点4为，yi）,
k=_______
8（X2，＞2）且
直线Ax+8)，+C=0(BW0)k=_______
3.直线方程的五种形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线X=xo
斜截式不含垂直于X轴的直线
不含直线X=X\（X\W%2）和直线y=
两点式
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
=1
一般式_________________________平__面_内__所有直线都适用
［提醒］“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而''距
离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
4.线段的中点坐标公式
若点P|,P2的坐标分别为(XI，%)，(X2,")，线段P\Pz的中点M的坐标为(x,y)则
仁二
此公式为线段P|P2的中点坐标公式.
二、必明2个常用结论
1.直线倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.
(2)不是倾斜角越大,斜率力就越大，因为％=tana,当adI"3时，°越大，斜
率％就越大，同样"’时也是如此，但当aG［O,兀)且aW?时就不是了.
2.特殊直线的方程
(1)直线过点yi),垂直于x轴的方程为x=xi；
(2)直线过点Pi(x”》),垂直于y轴的方程为y=yi：
(3)y轴的方程为x=0；
(4)x轴的方程为y=0.
三、必练3类基础题
(一)判断正误
1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()
(2)过点M(a,b),N(b,a)(a#b)的直线的倾斜角是45。.()
(3)直线的倾斜角越大，斜率女就越大.()
(4)经过点尸(xo，州)的直线都可以用方程y—yo=A(x—&)表示.()
(5)经过任意两个不同的点P1(X1，%),22(x2，＞2)的直线都可以用方程(y—),］)(x2—X1)=(X
一制)。2―9)表示.()
(二)教材改编
2.［必修2195习题T2改编］直线/：xsin3(T+ycos150。+〃=0的斜率为()
A.3B.逐
C.-陋D.-3
3.［必修2-P96例4改编］已知△4BC的三个顶点坐标为A(l,2),8(3,6),C(5,2),M
为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()
A.2x+y—12=0B.2x~y—12=0
C.2x+y—8=0D.2x—y+8=0
(三)易错易混
4.(混请倾斜角与斜率的关系)若直线x=2的倾斜角为a,则a的值为()
A.0B.4
C.2D.不存在
5.(忽视斜率与截距对直线的影响)如果4c<0,且8CV0,那么直线Ar+8.y+C=0
不经过第象限.
6.(忽视我距为0的情况)经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
提升关键能力——考点突破掌握类题通法
考点一直线的倾斜角与斜率［基础性J
1.直线/：x+逐y+1=0的倾斜角的大小为()
A.30°B.60°
C.120°D.150°
2.设直线/的方程为x+)，cos0+3=0(0eR),则直线/的倾斜角a的取值范围是()
停，m
A.[0,7t)B.
c.［^?］D,后加写点
3.若点A(4,3),8(5,a),C(6,5)三点共线，则“的值为.
4.直线/过点P(l,0),且与以A(2,1),B(0,目)为端点的线段有公共点，则直
线/斜率的取值范围为.
反思感悟解决直线的倾斜角与斜率问题的方法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的
数形结合法
单调性确定
函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
考点二直线的方程［综合性］
［例1］(1)求过点41,3),斜率是直线y=-4x的斜率的3的直线方程；
(2)求经过点A(—5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.
听课笔记：
反思感悟求解直线方程的两种方法
直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
①设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②
待定系
由条件建立所求参数的方程(组)：③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入
数法
所设直线方程
［提醒］(1)选用点斜式和斜截式时，要注意讨论斜率是否存在.
(2)选用截距式时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)选用一般式Ar+B)，+C=0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.
【对点训练】
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等；
(2)直线过点(5,10),到原点的距离为5.
考点三直线方程的综合应用［综合性J
角度1直线过定点问题
［例2］已知写出以下动直线所过的定点坐标；
(1)若直线方程为)，=丘+3,则直线过定点；
(2)若直线方程为y=fcr+3k,则直线过定点；
(3)若直线方程为x="+3,则直线过定点.
听课笔记：
反思感悟
I.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标.
2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能
够看出“动中有定”.
角度2与直线方程有关的多边形面积的最值问题
［例3］过点P(4,1)作直线/分别交x轴，y轴正半轴于4,8两点.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线/的方程；
(2)当|。川+|08|取最小值时，求直线［的方程.
听课笔记：
一题多变
(变问题)若例3中条件不变，求当|M|-|同|取得最小值时直线/的方程.
反思感悟与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不
等式求解最值.
(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单
调性或基本不等式求解.
【对点训练】
已知直线/：依一丫+1+2-0(&WR).
(1)证明：直线/过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线/交x轴负半轴于点4,交y轴正半轴于点8,△AOB的面积为S(0为坐标原
点)，求S的最小值并求此时直线/的方程.
第九章平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
积累必备知识
1.(2)[0,九)
.fA
3.y—yo=A(x—%o)y=kx+bAx+5y+C=0,A2+B2#:0
4.22
1.答案：(l)x(2)X(3)X(4)X(5)V
6i03(ri
2.解析：cos150°=—z,$询30°=?,所以k=—=一个
_~3
答案：A
NT
3.解析：由中点坐标公式得M(2,4),N(3,2),则如N=3T=-2,所在直
线的方程为：y—2=—2。-3),即2x+y-8=0.
答案：C
4.解析：因为直线x=2垂直于x轴，所以倾斜角a为
答案：C
5.解析：将Ar+8y+C=0化为＞=一X—
VAC<0,BC<0,：.-B<0,-f>0.
.•.直线过一、二、四象限，不过第三象限.
答案：三
6.解析：当直线过原点时，方程为y='x.即x—4y=0.当直线不过原点时，设直
线的方程为x+y=”,把点A(4,1)代入直线的方程可得出=5,故直线方程是x+y—5=0.
答案：％—4y=0或x+y—5=0
提升关键能力
考点一
I.解析：由1：x+遮y+l=0可得y=-3X—3,所以直线［的斜率为k
设直线1的倾斜角为a,则fa〃a=-3,
因为0°<a<180。，所以a=150°.
答案：D
2.解析：当cos9=0时，方程变为x+3=0,其倾斜角为
Vcos6»e[-1,1]且《«(9/0,
“6(-8,-J]U(l.+a»).
即tanaG(—8,—j]U(l.+at>).
又a£[0,7t),:.aG后9呜引
由上知，倾斜角的范围是
答案：c
3.解析：依题意得ICAC=i=l,kAB=ST="_3,由于A,B,C三点共线,
所以Q—3=1,即〃=4.
答案：4
4.
^-a
言=一同所以直线/斜率
解析：如图所示，因为心p=
的取值范围为（-8,-笆+6）.
答案：（一8,—u（1j+。）
考点二
例1解析：（1）设所求直线的斜率为总依题意％=-4Xd
又直线经过点4（1,3）,
41
因此所求直线方程为y—3=-a（x-l）,即4x+3y—13=0.
（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为2"'=1.①
将（一5,2）代入①，解得。=-3,所以直线方程为x+2y+l=0；
当直线过原点时，设直线方程为y=履，
则一5&=2,解得左=一5,
所以直线方程为y=-5x,即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
对点训练
解析：（1）设直线在x,y轴上的截距均为
若。=0,即直线过（0,0）及（4,1）两点，
所以直线的方程为y=〜，即x-4y=0.
若“WO,则直线的方程为=1.
因为直线过点(4,1),所以"'=1,
所以。=5,
所以直线的方程为x+)-5=0.
综上可知，所求直线的方程为x-4y=0或x+y—5=0.
(2)当直线斜率不存在时，所求直线方程为X-5=0；
当直线斜率存在时，设其为&,则所求直线方程为y—10=A(x—5),
即fcv-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式，得炳5=5,解得％=
故所求直线方程为3x—4y+25=0.综上可知，所求直线方程为x—5=0或3%—4>'+25
=0.
考点三
例2解析：(1)当x=O时，y=3,所以直线过定点(0,3)；
(2)直线方程可化为y=k(x+3),故直线过定点(-3,0)；
(3)当y=0时，x=3,所以直线过定点(3,0).
答案:(1)(0,3)(2)(-3,0)(3)(3,0)
例3解析:设直线/：*、=1伍>0*>0),因为直线/经过点P(4,l),所以"
=1.
⑴因为.、=122
所以"216,当且仅当”=8,6=2时等号成立，所以当”=8,6=2时，△AOB的面
积最小，此时直线/的方程为B仁1,即x+4y—8=0.
*+?C+,
(2)因为"lb=l,<2>0,6>0,所以|OA|+|OB|="+^=(a+»1W=5+
当且仅当a=6,6=3时等号成立，所以当|。4|+|。8|取最小值时，直线/的方程为x+
2y—6=0.
一题多变
解析：设A(a，0)，B(0,田，则〃>0">0,直线/的方程为"、=1,所以
|VA\.\丽尸一PA.同
=一(。一4,—1)-(—4,b~\)
=4(67—4)+1=46(+/?—17
=(4〃+份Wc+nw-17
色十竺
=16+ba+l-17>2X4=8
当且仅当a=b=5时取等号，此时直线/的方程为x+y—5=0.
对点训练
解析：(1)证明：直线/的方程可化为MX+2)+(1—>)=0,
|x+2=0*[x=—2.
令1l-y=。，解得Iy=l.
...无论&取何值，直线总经过定点(-2,1).
(2)由方程知，当&W0时，直线在x轴上的截距为一*,在y轴上的截距为1+2A,
¥三-2.
要使直线不经过第四象限，则必须有l+2k>l,解得k>0；
当人=0时，直线为y=l,符合题意，故后的取值范围是[0,+8).
(W。)
解析：(3)由题意可知ZW0,再由/的方程，得A,5(0,1+2。).
I1+2k>0
依题意得，解得%>0.
：S=4|。4卜|。阴=1kL|l+2川
；*(4k+廿4)
22X(2X2+4)=4,
“=”成立的条件是%>0且4%=5即2=2
，Smin=4,此时直线/的方程为X-2），+4=0.
第二节两直线的位置关系
,最新考纲，
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
・考向预测•
考情分析：确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点
和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是高考考查的热点.往往和圆锥曲线综
合起来.题型多为解答题.
学科素养：通过两直线位置关系的判定及应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养.
积累必备知识——基础落实赢得良好开端
一、必记3个知识点
1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件两直线位置关系斜率的关系
平行
两条不重合的直线12,与女2都不存在
斜率分别为h,&2
垂直
k\与22一个为零、另一个不存在
［注意］在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在,
则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑.
2.两条直线的交点
3.三种距离公式
三种距离条件公式
两点间的
A(xi,yi),Bgyi)____________
距离
点到直线P（xo,泗）到直线Ax+By+C=0的距离为dd—________________
的距离
两平行线直线=0到直线Ar+By+C2=0的
d=____________
间的距离距离为d
二、必明2个常用结论
I.两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线A：4x+Sy+Ci=0与直线/2：Avc+B2y+C2=0平行或重合的充要条件是4民
—A2JBI=0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线/i：Aix+Biy+G=O与直线，2：AJX+B2),-HC2—0垂直的充要条件是A1A2+B1B2
=0.
2.六种常用对称关系
(1)点(》，y)关于原点(0,0)的对称点为(一x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,—y),关于y轴的对称点为(一x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(一y,x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a—x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(A—y,k-x),关于直线x—y=左的对称点为(A
+y,x-k).
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).
(1)当直线人和/2的斜率都存在时，一定有左=&2=/|〃/2.()
(2)如果两条直线/|与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()
(二)教材改编
2.［必修2-P|O9习题T3改编］若直线加r-3y-2=0与直线(2—〃?)x—3y+5=0互相平行，
则实数机的值为()
A.2B.-1
C.1D.0
3.［必修2-PIOI习题T2改编］已知点(a,2)(a>0)到直线/：》一了+3=0的距离为1,则a
的值为()
A,银B.2-银
C.迎一1D,银+1
(三)易错易混
4.(忽视斜率不存在的情况)若直线(3a+2)x+(l—4a)y+8=0与(5a—2)x+(a+4)y—7
=0垂直，则a=.
5.(忽视平行线间条数的对应关系)直线2x+2y+\=O,x+y+2=0之间的距离是
(四)走进高考
6.［2020•全国卷HI］点(0,-1)到直线y=«(x+l)距离的最大值为()
A.1B.
C.方D.2
提升关键能力——考点突破掌握类题通法
考点一两条直线的平行与垂直［基础性J
1.直线/i：y=or与直线，2：3=1平行，则〃=()
A.B.
D.-'
C.
2.［2022•上海市长宁区延安中学高三月考］“。=一1”是“直线or+（2a-l）y+l=0和
直线3x+ay+3=0垂直”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.经过直线2x—y=0与x+y—6=0的交点，且与直线2x+y—1=0垂直的直线方程
为（）
A.x+2y—8=0B.x—2y—6=0
C.x+2y—10=0D.x—2y+6=0
反思感悟由一般式确定两直线位置关系的方法
/i：Aix+Biy+Ci=#0)
直线方程
12：A2x+B2y+C2=NO)
/1与/2垂直的充要条件
A1A2+BIB2=0
与，2平行的充分条件
=W(A2&C2WO)
与，2相交的充分条件
#(482#0)
与/2重合的充分条件
==(A252c2WO)
考点二两直线的交点与距离问题［综合性］
角度1交点问题
[例1](1)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+l=O上，若直线MN垂直于直线x+
2y—3=0,则点N的坐标是()
A.(-2,-1)B.(2,3)
C.(2,1)D.(-2,1)
(2)经过两直线尔%—2)，+4=0和/2：x+y-2=0的交点P,且与直线右：3x~4y+5=
0垂直的直线I的方程为.
听课笔记：
反思感悟(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到方
程组的解就可以写出交点的坐标.
(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件
写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程.
角度2距离问题
[例2](1)点(0,-1)到直线3%一4)，+1=0的距离为()
23
A.5B.5
C.5D.1
(2)已知直线尔y=3x—2,直线/2：6x—2y+l=0,则八与L之间的距离为()
诉诉
A.2B.*
Vic而
C.2D.4
(3)[2022•玉林市育才中学模拟匕轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值
是()
A.取B.2+的
听课笔记:
反思感悟
1.点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.
2.两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的
距离；
(2)利用两平行线间的距离公式.
【对点训练】
1.己知三角形的三个顶点4(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为()
A.亚B.2亚
C.11线D.3V16
2.当点尸(3,2)到直线nu-y+l—2m=0的距离最大时，用的值为()
A.&B.0
C.-1D.1
3.已知直线>=丘+2%+1与直线>=一~+2的交点位于第一象限，则实数k的取
值范围是.
考点三对称问题［应用性］
角度1点关于点对称
［例3］过点尸(0,1)作直线/使它被直线h：2x+y-8=0和/2：x-3y+10=0截得的
线段被点P平分，则直线/的方程为.
听课笔记：
反思感悟点关于点对称的求解方法
若点M（与，巧）和点N（x,y）关于点P（a,b）对称，则由中点坐标公式得
fr=2a-巧
ty="一巧，进而求解.
角度2点关于线对称
［例4］已知直线/：2x—3y+l=0,点4（一1，-2）,则点A关于直线/的对称点A的
坐标为.
听课笔记：
反思感悟点关于直线对称的解题方法
若两点PGi,%）与「2（物”）关于直线/：Ax+8y+C=0对称，则由方程组
A（£i+£1）+B（31±31）+C=o,
.口.（-给=1，
72-11''可得到点Pi关于直线/对称的点P2的坐标
（X2,丫2）（其中BWO,X|WX2）.
角度3线关于线对称
［例5］直线2x-y+3=o关于直线X—y+2=0对称的直线方程是（）
A.x—2y+3=0B.x—2y—3=0
C.x+2y+1=0D.x+2y-l=0
听课笔记：
反思感悟线关于线对称的解题方法
求直线/1关于直线/对称的直线，2,有两种处理方法：
(1)在直线上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关
于直线/的对称点，再用两点式写出直线/2的方程；
(2)设点P(x,)，)是直线/2上任意一点，其关于直线/的对称点为P(X|,巾)，根据点关于
直线对称建立方程组，用X,表示出XI,力，再代入直线/|的方程，即得直线/2的方程.
【对点训练】
1.点(1,2)关于直线x+y-2=o的对称点是()
A.(1,0)B.(0,1)
C.(0,-1)D.(2,1)
2.［2022-青铜峡市高级中学月考］已知直线I与直线2x—3y+4=0关于直线x=1对称,
则直线I的方程为()
A.2x+3y-8=0B.3x-2y+l=0
C.x+2y-5=0D.3x+2y—7=0
微专题31直线系方程的灵活应用思想方法
在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行
直线系，垂直直线系和过两直线交点的直线系.
直线系方程的常见类型
⑴平行于已知直线4x+B)，+C=0的直线系方程是：Ar+B)，+4=0a是参数且2r。；
(2)垂直于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是：力=0(2是参数)；
(3)过两条已知直线6：Atx+G=0和，2：A>++C2=0的交点的直线系方程是：
Aix+Biy+Ci+2(Au+B2y+C2)=0(/leR,但不包括/2).
一、平行直线系
［例1］求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线/的方程.
解析：由题意，可设所求直线方程为3x+4y+C=0(C#l),又因为直线/过点(1,2),
所以3Xl+4X2+C=0,解得C=—ll.
因此，所求直线方程为3x+4y—11=0.
二、垂直直线系
由于直线4x+8iy+G=0与AM+B2y+C2=0垂直的充要条件为4A2+8由2=0.因此，
当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.
［例2］求经过点4(2,I),且与直线2%+丫-10=0垂直的直线/的方程.
解析：因为所求直线与直线缄+)，-10=0垂直，所以设该直线方程为x-2y+G=0,
又直线过点A(2,1),
所以有2-2Xl+Ci=0,解得Ci=0,
即所求直线方程为x-2y=0.
三、过两直线交点的直线系
［例3］经过两条直线2r+3y+l=0和x—3y+4=0的交点，并且垂直于3x+4y-7=0
的直线方程为.
f2x+3y+1=0.—P
1x—3y+4=0.
解析：方法一由方程组解得即两直线交点为
片3
•.•所求直线与直线3x+4)-7=0垂直,
，所求直线的斜率为&=4
--(«+-)
由点斜式得所求直线方程为y-9=八"，即4x—3y+9=0.
方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x—3y+，〃=0,
f2x+3y+1=0.
lx—3y+4=0>(—z*3
由方程组可解得两直线交点为'3"，代入4x-3y+m
=0,得，〃=9,
故所求直线方程为4x—3y+9=0.
方法三由题意可设所求直线方程为
(2r+3y+l)+“x-3y+4)=0,
即(2+»x+(3—3»y+l+4/l=0,①
又•••所求直线与直线3x+4y—7=0垂直，
.•.3(2+冷+4(3—32)=0,
.♦/=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.
答案：4x—3y+9=0
名师点评
1.本例3法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜
率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法三则采用了过两直线4x+Sy+G=0与
42x+B2_y+C2=0的交点的直线系方程：Aix+Bly+Ci+).(A2x+B2y+C2)=O,直接设出过两
直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.
2.与直线Ar+By+C=0平行的直线系方程为Ar+By+G=O(CjWC);与直线Ar+8y
+C=0垂直的直线系方程为8r-Ay+G=0.
［变式训练1已知直线东〃氏+8)，+"=0与&”+机)'—1=0互相平行，且小/2之间
的距离为例，求直线八的方程.
第二节两直线的位置关系
积累必备知识
1.k\=kik\ki=—1
3.」〔—一句产一31一免产
人”y.~H|Ct-Cil
三、
1.答案：⑴x(2)X(3)V(4)V
2.解析：两直线平行，其系数满足关系式一3机=—3(2—%)，解得力=1.
答案：C
3.解析：由题意知一五一=1,所以|a+l|=又a>0,所以“=线一
1.
答案：C
4.解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a+2)(54-2)+(1—4n)(a+4)=0,解得：a=
0或a—1.
答案：0或1
5.解析：直线2x+2y+l=0,x+y+2=0之间的距离即直线2x+2y+l=0,2x+2y
HI地
+4=0之间的距离d=四牙=彳.
答案:
►+1I
6.解析:方法一点(0,-1)到直线y=Z(x+l)的距离为1=JR点=
注意到公+1>24，于是2(公+1)》公+2hH=|k+lF，当且仅当人=1时取等号.
四11
即K+1IWVF+T.位，所以d=皿W位，故点(0,—1)到直线y
=-x+i)距离的最大值为m
方法二由题意知，直线/：y=A(x+l)是过点P(-l,0)且斜率存在的直线，点Q(0,
-1)到直线I的最大距离在直线I与直线PQ垂直时取得，此时k=l,最大距离为|PQ|=
答案：B
提升关键能力
考点一
1.解析：直线12：23=1的斜率为1=一
，十1!
因为直线h：y=ax与直线k：23=1平行，所以a=%=-2
答案：D
2.解析：若直线or+(2a-l)y+l=0和直线3x+ay+3=0垂直，
则3a+a(2a-l)=0,解得a=0或a=一1,
则"a=-1"是"直线ax+(2a—l)y+1=0和直线3x+ay+3=O垂直”的充分不必要
条件.
答案：A
(2x—y=0fx=2
3.解析：由题意，联立方程组U+y-6=0,解得卜=4,即交点为p(2,
4),
设与直线2x+y—1=0垂直的直线方程为x—2y+机=0,
把点P(2,4)代入x-2y+m=0,即2—8+m=0,解得m=6,即所求直线方程为工一2》
+6=0.
答案：D
考占一
例1解析：⑴因为点N在直线x-y+l=0上，所以可设点N的坐标为(xo,沏+1).根
据经过两点的直线的斜率公式，得kMN="=".因为直线MN垂直于直线x
.〃=一即"
+2)，-3=0,直线x+2y-3=0的斜率左=一，所以AAWX1,
=2,解得沏=2.因此点N的坐标是(2,3).
俨-2y+4=0jx=0
(x+y-2=O得b=2
(2)由方程组
即P(0,2).因为所以直线/的斜率Z=-3,所以直线/的方程为y—2=一
4，即4x+3y—6=0.
答案：(1)B⑵4x+3厂6=0
|3XQTX〔T+1|
例2解析：(1)点(0,—1)到直线族―4了+1=0的距离为〃=J..F_5
—旦
(2)直线八的方程可化为6x-2y-4=0,则乙与b之间的距离d=跖0=V.
(3)x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值，就是求解(0,2)关于x轴的对
称点，连接对称点与(1,1)的距离即可，
因为(0,2)关于x轴的对称点为(0,-2),
所以，(1-0尸+(1+2)2=V10.
即x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值是V10.
答案：(1)D(2)D(3)C
对点训练
1.解析：设边8c的中点为。(x,y).
3+5TH
因为B(3,-6),C(5,2),所以x='=4,y='=-2,
即0(4,—2),所以40=41+(4+2)，=2V10.
答案：B
2.解析：直线以一〉+1—2m=0过定点Q(2,1),
所以点P(3,2)到直线如一y+1-2m=0的距离最大时，P。垂直该直线,
即m-3一'=一],.•.机=—]
容章.r
|y=kx+2k+1.
[y=-*+2
3.解析：由方程组,解得
.•・交点坐标为篇・霜.
又•.•交点位于第一象限，
解得一t<k<
答案:
考点三
例3解析：设h与1的交点为A(a,8-2a),
则由题意知，点A关于点P的对称点B(—a,2a—6)在I2上，把B点坐标代入力的方程
得一a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线1上，所以由两点式得直线1的方
程为x+4y—4=0.
答案：x+4y—4=0
例4解析：设4(x,y)
由已知得
___3x__+1=0.
33
,x=_i5-
解得
(4,白
故A'
-s)
答案:
例5解析：设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于X—y+2=0的对称点为尸(X0,
州)，
住一手+2=0.
U-y<>).
由孙h①-
内=y-2.
Iyo=x+2.
由点P'(xo,yo)在直线2x—y+3=0上，2(y—2)—(x+2)+3=0,
即x-2y+3=0.
答案:A
对点训练
1.解析：设点4(1，2)关于直线x+y—2=0的对称点是8(a,b).
则有
|a=0
解得必=1
故点(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点是(0,1).
答案：B
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