高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
高考数学直线方程知识点总结大全数学的知识点很乱很杂，高考数学题总能糅合进很多知识点，学好基础知识点很重要，下面就是小编给大家带来的高考数学直线方程知识点总结大全，希望大家喜欢！高考数学直线方程知识点总结1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. (即是垂直的充要条件)4. 直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：2. 定比分点坐标分式。
直线倾斜角斜率直线倾斜角斜率是指直线与x轴之间的夹角的度量，它是直线的一个重要特征。
在数学中，直线的斜率是通过两点的坐标来计算的，而直线倾斜角斜率则是通过斜率来计算的。
直线倾斜角斜率的计算公式是tanθ=k，其中k是直线的斜率。
斜率是直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差的比值。
根据斜率的正负和大小可以判断直线的倾斜方向和程度。
直线倾斜角斜率对于理解直线的性质和解决实际问题非常重要。
下面将从几个方面来介绍直线倾斜角斜率的应用。
直线倾斜角斜率可以用来判断直线的方向。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平；当斜率不存在时，直线垂直。
直线倾斜角斜率还可以用来计算直线与坐标轴的交点。
例如，对于一个直线的倾斜角斜率为k，如果它与x轴的交点为(0, b)，那么可以得到b=0，即直线与x轴相交于原点；如果它与y轴的交点为(a, 0)，那么可以得到a=0，即直线与y轴相交于原点。
直线倾斜角斜率还可以用于求两条直线的夹角。
如果直线1的斜率为k1，直线2的斜率为k2，那么直线1和直线2的夹角θ可以通过tanθ=(k2-k1)/(1+k1k2)来计算。
根据夹角的正负和大小可以判断两条直线的相对方向和夹角的大小。
直线倾斜角斜率还可以用来解决实际问题。
例如，在物理学中，可以通过直线的斜率来计算物体的速度和加速度；在经济学中，可以通过直线的斜率来计算价格和需求的关系；在工程学中，可以通过直线的斜率来计算斜坡的倾斜程度。
直线倾斜角斜率是直线的一个重要特征，它可以用来判断直线的方向、计算交点和夹角，以及解决实际问题。
通过理解和应用直线倾斜角斜率，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决的能力。
§2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第1课时 直线的倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．知识点一 直线的倾斜角定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x 轴相交，将x 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(1)倾斜角θ的取值范围是0°~180°．(2)直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°. (3)每一条直线都有唯一的倾斜角．思考 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过哪些象限？当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过哪些象限？答案 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过一、三象限，当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过二、四象限． 知识点二 直线的斜率1．定义：一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k ＝tan θ为直线l 的斜率；当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在． 2．两点的斜率公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，当x 1＝x 2时，直线l 的斜率不存在；当y 1＝y 2时，直线l 的斜率为0. 思考 每一条直线都有倾斜角和斜率吗？答案 每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但并不是所有直线都有斜率，垂直于x 轴的直线，倾斜角为90°，斜率不存在，其它直线既有倾斜角，又有斜率．1．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)2．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大．(×)3．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α.(×)4．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×)一、直线的倾斜角例1(1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为()A．25°≤θ<155°B．－25°≤θ<155°C．0°≤θ<180°D．25°≤θ<205°答案 D解析因为直线l的倾斜角为θ－25°，所以0°≤θ－25°<180°，所以25°≤θ<205°.(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°答案 C解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.反思感悟(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.反思感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k 03313－3－1－33跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A. 3 B．－ 3 C.33D．－33答案 A(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为．答案0三、直线的倾斜角、斜率的应用例3(1)如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m＝. 答案－6解析k AB＝m－1－2－2＝1－m4，k AC＝8－16－2＝74，∵A，B，C三点共线，∴k AB＝k AC，即1－m4＝74，∴m＝－6.(2)已知直线l的斜率为k，倾斜角为α，若45°<α<135°，则k的取值范围为()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 B解析∵k＝tan α，45°<α<135°，由正切函数图像知当45°<α<135°时，tan α∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．反思感悟(1)斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．(2)由k＝tan α可知直线的倾斜角与斜率，知一求一．由一个的范围，求另一个的范围时应画出正切函数的图像，注意倾斜角的范围．跟踪训练3已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是()A．0°≤θ≤45°B．0°<θ<180°C．0°≤θ≤45°或90°<θ<180°D．0°≤θ≤45°或135°≤θ<180°答案 C解析 k AB ＝m 2－11－2＝－m 2＋1≤1，由正切函数y ＝tan x 的图像知，当tan θ∈(－∞，1)时，0°≤θ≤45°或90°<θ<180°， 故选C.数形结合法求倾斜角或斜率范围典例 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解 如图所示．设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.[素养提升] (1)已知两点求斜率，由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求得；由倾斜角(范围)求斜率(范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决．(2)涉及直线与线段的交点问题常利用数形结合及公式求解，培养学生直观想象的数学核心素养．1．(多选)给出下列四个选项，其中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180° B ．若k 是直线的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案 ABC2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2,2)与(－2,5) 答案 D解析 D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 3．若经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 由tan 45°＝2－31－m＝1，得m ＝2.4．已知直线l 过点A (3－3，6－3)，B (3＋23，3－3)，则直线l 的斜率为 ，倾斜角为 ． 答案 －33150° 解析 k AB ＝(3－3)－(6－3)(3＋23)－(3－3)＝－333＝－33，设倾斜角为θ，又0°≤θ＜180°，且tan θ＝－33. ∴θ＝150°.5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．答案 [0,2]解析 如图所示，直线l 过点A 且不经过第四象限，则直线l 在l 2与l 1之间，∴2l k ≤k l ≤1l k ， 又2l k ＝0，1l k ＝2，∴0≤k l ≤2.1．知识清单： (1)直线的倾斜角．(2)直线的斜率以及两点的斜率公式． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：垂直于x 轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.1．已知点A (3，1)，B (33，3)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B 解析 k AB ＝3－133－3＝33， ∴tan θ＝33且0°≤θ＜180°， ∴θ＝30°.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.43答案 D解析 由m －(－2)3－m ＝2，得m ＝43.3.若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C5．(多选)已知直线l 的斜率的绝对值为3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 AC解析 由题意知|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°. 故选AC.6．(多选)已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(3,0) D ．(0，－3) 答案 CD解析 若设点P 的坐标为P (x ,0)， 则k ＝0－(－1)x －2＝tan 45°＝1，∴x ＝3，即P (3,0)． 若设点P 的坐标为P (0，y )， 则k ＝y －(－1)0－2＝tan 45°＝1，∴y ＝－3，即P (0，－3)．故选CD.7．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是 ． 答案3解析 设直线PQ 的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，∵k PQ ＝－3，∴tan θ＝－3，则θ＝120°. 将直线绕点P 顺时针旋转60°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴其斜率为tan 60°＝ 3.8．已知经过坐标平面内两点A (1,2)，B (－2,2m －1)的直线的倾斜角α满足45°<α<60°，则实数m 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3－332，0解析 k AB ＝(2m －1)－2－2－1＝3－2m 3＝1－23m ，又k AB ＝tan α且45°＜α＜60°， ∴1<tan α<3，即1<1－23m <3，解得3－332<m <0.9．已知直线l 经过两点A (－1，m )，B (m ,1)，问：当m 取何值时， (1)直线l 与x 轴平行？ (2)直线l 与y 轴平行？ (3)直线l 的斜率为13？(4)倾斜角为锐角？解 (1)当m ＝1时，l 与x 轴平行． (2)当m ＝－1时，l 与y 轴平行． (3)k l ＝1－m m ＋1＝13，解得m ＝12.(4)k l ＝1－mm ＋1>0，即(m －1)(m ＋1)<0，解得－1<m <1.10．若A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求证：1a ＋1b ＝12.证明 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，C 两点的坐标表示，也可用B ，C 两点的坐标表示，于是b －2－2＝b －a， 由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.11．已知直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．不存在答案 D解析 1l k ＝1－(－1)1－(－1)＝1，∴l 1的倾斜角为45°， 故l 2的倾斜角为90°， 故l 2的斜率不存在，故选D.12．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，π2 C.⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π 答案 C解析 ∵直线的斜率k ∈(－∞，3]， ∴k ≤tan π3，又α∈[0，π)，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π.故选C. 13．已知直线l 1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l 2与l 1关于x 轴对称，则直线l 2的倾斜角为 ，两直线l 1与l 2的斜率之和为 ． 答案 π－α 0解析 如图，∵l 1与l 2关于x 轴对称，∴α＝β＝γ.又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.故l 2的倾斜角为π－α.所以1l k ＋2l k ＝tan α＋tan (π－α)＝tan α－tan α＝0.14．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k P A .∵k P A ＝－1－42－(－3)＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3， ∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．15．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为 ． 答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)解析 k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0. 要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1. 16．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解 因为y ＋3x ＋2＝y －(－3)x －(－2)， 故y ＋3x ＋2表示曲线y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)上的点P (x ，y )与点Q (－2，－3)连成直线的斜率k PQ . 画出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图像，如图所示．所以k QA ≤k PQ ≤k QB .由已知得A (1,1)，B (－1,5)， 所以k QA ＝43，k QB ＝8.所以43≤k PQ ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.。
直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定♥♥♣♣►知识梳理：一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角。
（2）倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°因此0°≤α＜180°。
2、直线的斜率（1）斜率公式：k=tan α（α≠90°） （2）斜率坐标公式：k=1212x x y y -- （x 1≠x 2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。
当α=0°时，k=0；当0°＜α＜90°时，k ＞0，且α越大，k 越大；当α=90°时，k 不存在；当90°＜α＜180°时，k ＜0，且α越大，k 越大。
二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行；（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k 1=k 2 ⇔ 1 ∥22、两直线垂直的判定：（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；（2）如果两条直线1 、2 的斜率都存在，且都不为0，则1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1 ♥♥♣♣► 例题分析：例1、m 为何值时，经过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率是12．解：∵36121AB m k m-==+，2m =-∴． 即当2m =-时，A ，B 两点的直线的斜率是12．例2、若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围。
解：∵k=21+-a a 且直线的倾斜角为钝角， ∴21+-a a ＜0 解得－2＜a ＜1 例3、已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l的斜率是________． 解：设直线AB 的倾斜角为2α，则直线l 的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tan α＝13，即直线l 的斜率为13. 例4、若直线l 的倾斜角为α，并且sin cos αα+=15，求直线l 的斜率k 。
《直线的倾斜角和斜率》教案教学目的：1。
了解“坐标法”2.理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；3。
已知直线的倾斜角,求直线的斜率4。
已知直线的斜率，求直线的倾斜角5.培养学生“数形结合”的数学思想.教学重点: 斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程.教学难点: 1直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
2运用两点坐标计算直线的斜率授课类型：新授课课时安排: 1课时教具：多媒体教学过程：一。
知识背景与课题的引入1.从本章起，我们研究什么？怎样研究？解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的,解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。
解析几何由此成为近代数学的基础之一。
在解析几何学中，我们常常用一种方法:坐标法. 研究几何图形的性质.坐标法是以坐标系为基础，把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法.本章首先在平面直角坐标系中,建立直线的方程。
然后通过方程,研究直线的交点、点到直线的距离等.2．课题的引入下面就让我们就一起踏着前人的足迹去学习和体会这一门科学的思想方法，用坐标法研究几何问题时,我们首先研究最简单的几何对象-—直线,学习直线的倾斜角和斜率.二。
新课1问题1对于平面直角坐标系内的一条直线它的位置由哪些条件可以确定呢？一个点可以确定一条直线的位置吗？分析：对，两点可以确定一条直线,过一个点可以画出无数条直线，这些直线都与轴正向成一定的角度,我们把直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,于是可以这样确定一条直线,过个定点，确定一个倾斜角便可以确定一条直线;这种方法与两点确定一条直线的方法是一致的.先固定个点，再确定另外一点相当于确定这条直线的方向,确定了方向也就等同于确定了该直线的倾斜角.注:平行于轴或于轴重合的直线的倾斜角为0°问题2直线倾斜角的范围是多少？这样在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，倾斜角刻画了直线倾斜的程度，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不相同的直线，其倾斜角也不相等.问题3(斜率的概念)日常生活中我们可以用一个比值表示倾斜程度的量：例如：坡度（比）= 升高量/前进量能否用一个比值刻画斜率呢？如果是一条直线的倾斜角，我们把倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slop)记作：tank问题4(1）是不是所有的直线都有倾斜角?是（2)是不是直线都有斜率?倾斜角为90°时没有斜率, 因为90°的正切不存在。
两点间的距离公式、直线的倾斜角与斜率 学习目标 （1）掌握两点间的距离公式及中点公式，并能运用公式解题. （2）掌握直线的倾斜角的定义及范围. （3）掌握直线的倾斜角与斜率之间的关系. 概念公式 1、已知点A),(11yx、点B),(22yx，则221212)()(yyxxAB 2、（1）直线的倾斜角定义：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角就叫做直线l的倾斜角。
（2）倾斜角的范围：0 注意写成区间是,0. 3、直线斜率公式k =_______________= （两种）； 特殊：当倾斜角90时，直线没有斜率。当倾斜角0时，直线斜率0k；
当倾斜角900时，斜率0k；当倾斜角18090时，斜率0k.
习题讲解 知识点、两点间的距离公式的应用：
一、选择题中第1题： 1.已知点A(4，3),点B（2,1），则AB=--------------------------------（ ） A．2 B．22 C．32 D．3
【略解】由两点距离公式得：223142)()(22221212yyxxAB 答案为： B
知识点、直线的倾斜角与斜率公式的应用： 一、选择题中的第2、第3、第4题：
2.已知直线l过点)0,0(A和)3,3(P，则直线l的倾斜角为-----------------------------（ ）
A． 4 B． 45 C． 4 或45 D．4
【略解】设直线l的倾斜角为. 直线l的斜率为：1331212xxyyk 1tank 又直线倾斜角的范围为：0 4 .
答案为：A 3.已知).1,2(),,32(aNaaM若直线MN的倾斜角为直角，则a的值为------（ ） A． 1 B．-5 C．-1 D．0 【略解】直线MN的倾斜角为直角的横坐标相等和点NM 即232aa 得出a的值。 答案为： B 4. 已知直线l的倾斜角为，若,51cossin则直线l的斜率为-----（ ）
A．4334或 B．43-34或 C． 34 D．34 【略解】51cossin 又1cossin22
54cos53sin 或
53cos54
sin
又0 0sin
53cos54
sin
34cossintank
答案为：C
知识点、两点间的距离公式的应用： 二、填空题中第5题和第8题：
5.已知点A(2,1)和点B(0,y)的距离AB22，则y的范围是 . 【略解】由两点距离公式得：22)1()20(22yAB 解此不等式可得结果。 答案为：13yy或
知识点、 中点公式的应用： 二、填空题中的第6题：
6、已知点),4(nQ是点)2,3(R和点)6,(mP连线的中点，则nm . 【略解】： 由中点坐标公式得：262234nm 2,5nm 3nm
答案为：3.
二、填空题中第7题： 7.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b= 。
【略解】A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)共线 ACABkk 202220ba 4)(24baab )(2baab ab≠0 abba)(21 2111ba
答案为：21 知识点、两点间的距离公式的应用： 8.已知Rx,则842222xxxxy的最小值= 。 【略解】：先将式子变形：2222)20()2()10()1(xxy 此题转化为：求y的最小值，即点)0,(x分别到点)1,1(、)2,2(的距离之和的最小值。
作图分析：得出10)12()12(22miny 答案为：10
三、解答题中第9题： 9． 在ABC中，已知三点A （2,1），B（-1,2），C(5，2),试判断ABC的形状，并求出ABC的面积。 【解】：由两点距离公式得：AB=10)12()21(22 AC=10)12()25(22
BC=6)22()15(22 AB=AC ABC为等腰三角形。
33-10621212高BCSABC
ABC的面积为3.
本节课中涉及到的三个知识点的综合应用： 三、解答题中的第10、第11题：
10. 已知矩形ABCD中，顶点),3,1(A),4,2(B现它的对角线BDAC和交点M在x轴上，求另两个顶点DC和的坐标。
作出简图： 【解】：设点M的坐标为（m,0），点C的坐标为),(11yx，点D的坐标为),(22yx 由题意得：2302111yxm 3,1211ymx 点C的坐标为 )3,12(m
2402222yx
4,2222ymx 点D的坐标为 )4,22(m
矩形ABCD CDBC 1
CDBCkk
即：11343243m
5m 点C的坐标为 )3,9(，点D的坐标为 )4,8(。
【思考】课后请同学们用向量的方法去求出m的值.( CDBC 0CDBC) 11.已知三角形的顶点)5,0(A，)2,1(B，),6(mC，BC中点为D，当AD的斜率为1时，求m的值及AD的长 作出简图 【解】：设点D的坐标为),(yx。 由题意得：22261myx 21,25myx 点D的坐标为 )21,25(m。
AD
的斜率为1
025521
7m
点D的坐标为 )25,25( 225)525()025(22AD AD的长为225。
知识点、直线的倾斜角与斜率公式的应用： 三、解答题中第12题：
12.已知直线1l的倾斜角的正弦值为,21直线l的斜率是1l的斜率的2倍，求直线l的斜率. 【解】：由题意得：直线1l的倾斜角为，则21sin， 0
30或150
得出结论：直线l的斜率为：33k或33k.
课堂总结 1、已知点A),(11yx、点B),(22yx，则221212)()(yyxxAB 2、（1）直线的倾斜角定义：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角就叫做直线l的倾斜角。
（2）倾斜角的范围：0 注意写成区间是,0。 3、直线斜率公式k =_______________= （两种）； 特殊：当倾斜角90时，直线没有斜率。当倾斜角0时，直线斜率0k；
当倾斜角900时，斜率0k；当倾斜角18090时，斜率0k。
班级__________姓名_____日期2015年_____月____日 单二数学暑期学生自主学习讲义
第14课 直线的方程（p42-44） 命题：朱正良 审核：王建新 学习目标 （1）掌握直线的点斜式方程；要让学生认识到点斜式方程的局限性. （2）掌握直线的斜截式和截距式方程；理解以上两种类型方程的适用条件. （3）掌握直线的一般式方程，会运用待定系数法求方程，会运用直线方程解决有关问题. 概念公式 1、直线方程：⑴两点式： ； ⑵点斜式： ；
⑶斜截式： ； ⑷截距式： ； ⑸一般式： ；（注意各种形式的方程的限制条件） 习题讲解
一、选择题： 1. 已知直线l过点A（3，-1），倾斜角为90，则直线l方程为-------------（ ） A．x－3＝0 B．y+1＝0 C．x+3y＝0 D．y+1＝x-3
【略解】：直线l的倾斜角为90 直线l方程为：3x 即x－3＝0 答案为：A
2.已知0b，则过点（1，-1）的直线023abyax的斜率是-----------（ ） A. 31 B. 31 C. 3 D. 3 【略解】：直线023abyax过点（1，-1） 1x 1y 满足上式 即023aba
ba
又直线023abyax的斜率bak3 31k 答案为： A
3.直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是-----------------------------（ ） A.213, B.213, C.123, D.－2，－3
【略解】：直线x+6y+2=0的变形为：1312yx 直线在x轴的截距是-2 直线在y轴上的截距是31。
或者（方法二）：当0x时，31y，说明直线在y轴上的截距是31； 当0y时，2x，说明直线在x轴的截距是-2。
答案为：B 4.若直线1l：y＝kx－1与直线2l：x＋y－1＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)