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摘要：张弦梁结构中的找形分析是指给定结构设计状态几何，求解结构施工放样状态下的几何，目前常采用“逆迭代”方法进行分析计算，但该方法迭代次数较多，效率不高。因此，本文尝试将悬索桥分析设计中常用的“节线法”引入到张弦梁结构找形分析中来，详细阐述了该方法的原理及实现流程，并通过midas Gen对某张弦梁结构进行了验证，结果表明，通过“节线法”计算出来的结果所产生的主梁及拉索变形均满足要求，证明该方法可行，具有一定推广价值。
关键词：张弦梁结构 节线法 找形分析
张弦梁结构是将上弦刚性受压构件通过撑杆与下弦拉索组合在一起形成自平衡的受力体系，是一种大跨度预应力空间结构体系。该结构上弦刚性构件可以是实腹式梁，也可以是格构式桁架，据此对不同的张弦结构可称作张弦梁或张弦桁架。
1.1 张弦梁结构的特点
张弦梁结构在保证充分发挥索的抗拉性能的同时，由于引进了具有抗压和抗弯能力的桁架或梁而使体系的刚度和稳定性大为增强［1］。对张弦梁结构中索施加一定的预拉力，这既可使索具有适当的初始绷紧度，也可对索与桁架或梁之间的受力比例进行必要调整；既充分发挥了索的抗拉能力，又调整了桁架或梁的内力分布（使桁架或梁中的内力分布趋于均匀）。
1.2 形态定义
张弦梁结构像悬索结构等柔性结构一样，根据张弦结构的加工、施工及受力特点，通常将其结构形态定义为零状态、初状态和荷载态三种。
1.零状态
零状态是拉索张拉的前状态，实际上是指构件的加工和放样状态，通常也称结构放样态。
当索张拉完毕后，结构上弦构件的形状将发生偏离，从而不能满足建筑的要求，因此，张弦梁结构上弦构件的加工放样要考虑这种索张拉后带来的变形影响，这是张弦梁结构要进行零状态定义的原因。
2.初状态
初状态是拉索张拉完毕后，结构安装就位的形态，通常也称预应力态。初状态是建筑施工图中所明确的结构外形。
3.荷载态
荷载态是外荷载作用在初状态结构上发生变形后的平衡状态。
1.3 找形分析
张弦梁结构中的找形分析是指给定结构设计状态几何，求解结构施工放样状态下的几何，这又有两层含义：初状态预应力分布的确定和零状态放样几何的确定［2］。
这种方法的不足是需要先假设零状态几何，迭代次数较多，效率不高。所以本文尝试将节线法引入到张弦梁结构找形分析中，在结构初状态下直接计算求得拉索张力。
节线法采用了日本Ohtsuki博士［5］使用的计算索平衡状态方程式，是利用桥梁自重和主缆张力的平衡方程计算主缆坐标和主缆张力的方法。目前大量运用在悬索桥分析设计中［5-8］。
其基本假定如下：
（1）吊杆仅在横桥向倾斜，垂直于顺桥向；
（2）主缆张力沿顺桥向分量在全跨相同；
（3）假定主缆与吊杆的连接节点之间的索呈直线形状，而非抛物线形状；
（4）主缆两端坐标、跨中垂度、吊杆在加劲梁上的吊点位置、加劲梁的恒荷载等为已知量。
一般来说将索分别投影在竖直面和水平面上，利用在各自平面上张力和恒荷载的平衡关系进行分析，下面分别介绍竖向平面和水平面内的分析过程。
2.1 竖向平面分析
如图1所示的X-Z平面内，Wsi是将加劲梁和吊杆荷载平均到主缆上的均布荷载，Wci是主缆的自重。根据力的平衡条件，在第i个节点位置的平衡方程式如下：
其中：Ti为节点i-1和节点i之间的主缆单元的张力；li是主缆单元的长度；Tx是主缆张力的水平分量，在全跨相同。
在横向，即Y-Z平面上的力的平衡如图2所示。
图1 X-Z平面上的平衡Fig.1 The balance of themain cable shape and force on the X-Z plane
根据力的平衡可得：
其中：Pi是第i个吊杆的张力；hi是吊杆的长度。由式（1）和式（2）可以得到N-1个方程。
式（3）中的未知数为zi（i＝1，2，…，N-1）和Tx，共有N个未知数，所以还需要一个条件才能解开方程组。作为追加条件，使用跨中垂度f与跨中、两边吊杆的竖向坐标的关系公式（式（4）），其关系示意见图3。
图2 Y-Z平面上的平衡Fig.2 The balance of themain cable shape and force on the Y-Z plane
图3 跨中与两边吊杆竖向坐标的关系Fig.3 The relationship between the vertical coordinates of themiddle span and the two sides
2.2 水平面内的分析
与竖向平面的分析一样，也可以得到如下N-1个水平面内的平衡关系公式：
式中，Tx水平张力可由竖向平面内的分析获得，主缆两端的y轴坐标y0、yN为已知值，所以共有N-1个未知数yi（i＝1，2，…，N-1）可通过方程组计算。
本文拟用通用有限元程序midas Gen，对某一张弦梁结构进行找形分析，用“节线法”计算结构的初状态结构预应力分布。
3.1 张弦梁结构参数
该结构由四榀张弦梁构成，如图4所示。单榀张弦梁由上部拱形梁、下部拉索及中间撑杆构成，如图4c所示。跨度81m，撑杆之间间距4.5m，主梁中点垂度8m，各榀间距20m，其中第1榀与第2榀之间施加横向系杆作为支撑。
图4 模型示意图Fig.4 Schematic diagram of themodel
主梁截面采用箱型截面，其尺寸为1200mm× 600mm×25mm×25mm，斜撑与撑杆截面均为φ24×6mm的圆钢管，主梁与斜撑、撑杆材质为Q345钢材；下部的拉索为337根φ7的高强冷拔镀锌钢丝组成的扭绞型拉索，等效为φ68.38mm的圆形截面。
3.2 节线法流程
结构找形目标：自重工况下，结构初状态的位移趋近于0。
利用节线法计算张弦结构的初状态结构预应力分布的流程如下：
1.对拉索及撑杆单元进行分组编号
本文按照各榀顺序定义拉索i（i＝1，2，…，18）和撑杆i（i＝1，2，…，17）编号。
2.折算每根撑杆所承担的上部结构质量
与悬索桥相比，张弦梁结构的竖向撑杆垂直于X-Z平面，所以公式（2）中zGi＝zi，减少了部分计算量。
撑杆下节点坐标值与拉索受力有关，也决定撑杆的重量，计算开始时，无法准确确定该部分重量的数值，故先将撑杆和拉索单元全部删除（后面再进行修正），在原撑杆上节点处施加铰接边界，如图5所示。在自重工况下，原撑杆上节点处的Z向支反力即为每根撑杆所承担的上部结构的重量，如表1所示。
图5 撑杆承担重量折算模型Fig.5 The bear weight conversion model
表1 撑杆承担重量折算结果Tab.1 The bear weight conversion results
第一跨折算力Fi/kN第二跨折算力Fi/kN第三跨折算力Fi/kN第四跨折算力Fi/kN 1 95.169322 1 187.892354 1 184.041367 1 91.362921 2 31.826082 2 31.826082 2 31.826082 2 31.765591 3 94.041033 3 187.448877 3 179.772055 3 86.099416 4 31.354549 4 31.354549 4 31.354549 4 31.465412 5 92.737363 5 186.589699 5 178.953028 5 85.081745 6 30.685109 6 30.685109 6 30.685109 6 30.839614 7 92.074536 7 186.183343 7 178.568709 7 84.587557 8 30.354862 8 30.354862 8 30.354862 8 30.529375 9 91.861874 9 186.054339 9 178.446741 9 84.430295 10 30.354862 10 30.354862 10 30.354862 10 30.530679 11 92.074934 11 186.18294 11 178.568305 11 84.590523 12 30.685125 12 30.685125 12 30.685125 12 30.843613 13 92.739943 13 186.58695 13 178.950279 13 85.087148 14 31.354983 14 31.354983 14 31.354983 14 31.472617 15 94.050679 15 187.434862 15 179.758039 15 86.141543 16 31.836827 16 31.836827 16 31.836827 16 31.776865 17 95.596164 17 188.720748 17 184.869761 17 91.282752
3.计算过程
利用节线法计算拉索的形状，把张弦梁的荷载换算成集中荷载，加载到拉索上，计算简图如图6所示。
图6 拉索形状计算简图Fig.6 The calculation of cable shape
在平衡状态下，跨中位置C处力矩平衡方程为：
其中：Fi是各撑杆折算之后的竖向力；RAz和RAx分别是支座A处的竖直和水平反力；xC和zC分别是跨中点C的x轴和z轴的坐标值。
通过已求出的拉索水平张力和支反力，可以求出拉索端部第一根撑杆位置处的下节点坐标（图7a），再根据公式（3），即可求解撑杆第i处的下节点坐标值（图7b），依次类推，求出所有节点的坐标。
详细的计算过程，可通过Excel制作求解过程，如表2所示（以第一榀为例）。表中：ΔH1＝RAz/（Tx·4.5），ΔHi+1＝ΔHi-（FiTx/4.5），Z1＝0-ΔH1，Zi+1＝Zi-ΔHi+1。
图7 节点坐标计算图示（单位：m）Fig.7 Node coordinate calculation（unit：m）
表2 拉索水平力及撑杆下节点坐标计算过程Tab.2 The calculation process of the horizontal force and cable strut joint coordinates
撑杆编号折算力Fi/kN节点间距/m到中垂点C的距离di/m对中垂点C的等效弯矩Mi/kN·m支座反力Ry/kN Txi/kNΔHi/m下节点编号Zi坐标值1 95.169 4.5 36 3426.096 544.174 1414.631 1.7310 138 -1.7310 2 31.826 4.5 31.5 1002.522 544.174 1414.631 1.4283 139 -3.1593 3 94.041 4.5 27 2539.108 544.174 1414.631 1.3271 140 -4.4864 4 31.355 4.5 22.5 705.477 544.174 1414.631 1.0279 141 -5.5143 5 92.737 4.5 18 1669.273 544.174 1414.631 0.9282 142 -6.4425 6 30.685 4.5 13.5 414.249 544.174 1414.631 0.6332 143 -7.0757 7 92.075 4.5 9 828.671 544.174 1414.631 0.5356 144 -7.6112 8 30.355 4.5 4.5 136.597 544.174 1414.631 0.2427 145 -8.0000 -7.8539 9 91.862 4.5 0 0.000 544.174 1414.631 0.1461 146 10 30.355 4.5 4.5 136.597 544.174 1414.631 0.2427 147-7.8539 11 92.075 4.5 9 828.674 544.174 1414.631 0.5356 148-7.6112 12 30.685 4.5 13.5 414.249 544.174 1414.631 0.6332 149-7.0757 13 92.740 4.5 18 1669.319 544.174 1414.631 0.9282 150-6.4425 14 31.355 4.5 22.5 705.487 544.174 1414.631 1.0279 151-5.5143 15 94.051 4.5 27 2539.368 544.174 1414.631 1.3271 152-4.4864 16 31.837 4.5 31.5 1002.860 544.174 1414.631 1.4283 153-3.1593 17 95.596 4.5 36 3441.462 544.174 1414.631 1.7310 154-1.7310合力544.174 10721.992 544.174 1414.631
4.数据修正
当第一次求得所有撑杆下节点坐标之后，撑杆及拉索的长度和重量也随之确定，此时需要对撑杆索承担的重量进行修正，考虑撑杆和拉索的自重，其过程如表3所示（以第一榀为例）。
通过2～3次的修正，就可以满足精度的要求，最终得到所有拉索的水平力的分量及各撑杆下节点所对应的坐标，如表4、表5所示。
表3 修正后重量Tab.3 Corrected weight
撑杆编号1 190.609 1.361 1.35 2 35.667 2.503 1.332 3 192.296 3.524 1.316上部自重/kN撑杆自重/kN拉索自重/kN总重/kN 193.320 39.502 197.136 4 36.999 4.338 1.302 42.639 5 192.926 5.041 1.291 199.257 6 37.513 5.543 1.283 44.339 7 193.402 5.940 1.277 200.619 8 37.769 6.141 1.274 45.183 9 193.565 6.238 1.272 201.075
表4 最终索力结果Tab.4 Final cable force
第一跨Txi/kN 第二跨Txi/kN 第三跨Txi/kN 第四跨Txi/kN 1 1563.109 1 2645.737 1 2559.911 1 1479.251 2 1563.109 2 2645.737 2 2559.911 2 1479.251 3 1563.109 3 2645.737 3 2559.911 3 1479.251 4 1563.109 4 2645.737 4 2559.911 4 1479.251 5 1563.109 5 2645.737 5 2559.911 5 1479.251 6 1563.109 6 2645.737 6 2559.911 6 1479.251 7 1563.109 7 2645.737 7 2559.911 7 1479.251 8 1563.109 8 2645.737 8 2559.911 8 1479.251 9 1563.109 9 2645.737 9 2559.911 9 1479.251 10 1563.109 10 2645.737 10 2559.911 10 1479.251 11 1563.109 11 2645.737 11 2559.911 11 1479.251 12 1563.109 12 2645.737 12 2559.911 12 1479.251 13 1563.109 13 2645.737 13 2559.911 13 1479.251 14 1563.109 14 2645.737 14 2559.911 14 1479.251 15 1563.109 15 2645.737 15 2559.911 15 1479.251 16 1563.109 16 2645.737 16 2559.911 16 1479.251 17 1563.109 17 2645.737 17 2559.911 17 1479.251 18 1563.109 18 2645.737 18 2559.911 18 1479.251
表5 最终节点坐标Tab.5 Final node coordinate
节点号Zi/m节点号Zi/m节点号Zi/m节点号Zi/m 138-1.707 102-1.725 66-1.729 30-1.711 139-3.131 103-3.125 67-3.129 31-3.137 140-4.454 104-4.465 68-4.467 32-4.454 141-5.491 105-5.477 69-5.480 33-5.494 142-6.422 106-6.427 70-6.428 34-6.421 143-7.068 107-7.049 71-7.050 35-7.070 144-7.605 108-7.607 72-7.607 36-7.605 145-7.857 109-7.835 73-7.837 37-7.860 146-8.000 110-8.000 74-8.000 38-8.000 147-7.857 111-7.835 75-7.837 46-7.860 148-7.605 112-7.607 76-7.607 45-7.605 149-7.068 113-7.049 77-7.050 44-7.070 150-6.422 114-6.427 78-6.428 43-6.421 151-5.491 115-5.477 79-5.480 42-5.494 152-4.454 116-4.465 80-4.467 41-4.454 153-3.131 117-3.125 81-3.129 40-3.137 154-1.707 118-1.725 82-1.729 39-1.711
midas Gen中可以通过“水平力”（表4中的结果）方式给索单元施加预应力，程序将按弹性悬链线索单元进行分析，计算出各索单元的轴向索力。
5.验证
建立张弦梁结构模型，输入计算得到的拉力值，并更新相应节点坐标。在自重工况下，结构位移（以第一榀为例）如图8所示，其中主梁变形在0.02mm左右，拉索变形在1.5mm左右，满足精度要求，说明上述计算过程合理有效。
图8 验证模型位移结果Fig.8 Validation ofmodel displacement results
本文尝试将悬索桥分析设计中常用的节线法引入到张弦梁结构找形分析中来，以某张弦梁结构为例，详细阐述了该方法的原理及实现流程，并通过midas Gen进行验证，节线法计算出来的索拉力与结构共同作用下，主梁变形在0.02mm左右，拉索变形在1.5mm左右，满足要求，证明该方法可行。
通过本文的阐述不难发现，节线法在计算过程中，并不依赖有限元程序，可以完全实现手算，具有良好的推广性。但应该注意的是，节线法适用的张弦梁结构需要满足2个基本条件—撑杆布置方式为竖向、拉索终端锚固位置即是支座位置。若不满足，计算方法需做相关修正。
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App lication of Nodal Line Method in Form Finding Analysis of Beam String Structure
Shu Zhe Qian Jiang Zhu Feng（M IDAS Information Technology（Beijing）Co.，Ltd.，100044，China）
KEYWORDS：Beam string structure Nodal linemethod Form finding analysis