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1、第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影点的投影点的投影直线的投影直线的投影平面的投影平面的投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影。B1B2B3 点在一个投影面上的投影不点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。能确定点的空间位置。a 解决办法？解决办法？前提条件：空间点与两个互相垂直的投影面之间的相前提条件：空间点与两个互相垂直的投影面之间的相对位置的关系是唯一确定的。对位置的关系是唯一确定的。H HV VO OX XY Ya 正面投影正面投影a 水平投影水平投影aa A A投影规律：投影规律：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，
2、轴，即即aaOX;（2）点到任意投影面上的投影距离等于它在另外）点到任意投影面上的投影距离等于它在另外投影面上的投影到对应轴的距离，即投影面上的投影到对应轴的距离，即aax=Aa、aax=Aa。axW WH HV VO OX XZ ZY Ya aa A Aa 正面投影正面投影a 水平投影水平投影a 侧面投影侧面投影1. 前提条件：前提条件： 空间点与三个两两互相垂直的投影面之间的相对空间点与三个两两互相垂直的投影面之间的相对位置的关系是唯一确定的。位置的关系是唯一确定的。a X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 向后向后旋旋转转90向下旋转向下旋转90不动不动注意：注意：O
3、Y轴一分为轴一分为二 ，二 ， Y H 、Yw投影面展开投影面展开45HVOXaaZaXaza”WYHYW带边框的三面投影图带边框的三面投影图OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW去边框的三面投影图去边框的三面投影图2. 点的三面投影规律点的三面投影规律 （1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于）点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴轴 （aaOX) （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴轴 （aa”OZ)HVOXAaaWYZa”axayaz45OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW2. 点的三面投影规律点的三面投影规律( (3)各投影到投
4、影轴的距离，等于该点到通过该轴的各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴的相邻投影面的距离。相邻投影面的距离。(也等于空间点到投影面的距离也等于空间点到投影面的距离) )Aax = a az =A 到到V 面面的距离的距离a ax= a aYW =A 到到H 面面的距离的距离a az = aaYH =A 到到W 面面的距离的距离HVOXAaaWYZa”axayazOXaaZaxaza”YWaYHaYWYH3. 点的投影与坐标的关系点的投影与坐标的关系 HVAaaWYZa”aXayazOXA点到点到W W面的距离面的距离( (Aa”)=A点的点的x坐标（坐标（Oax x) )A点到点到V V面的
5、距离面的距离( (Aa)=A点的点的y坐标（坐标（Oay y) )A点到点到H面的距离面的距离( (Aa)=)=A点的点的z坐标（坐标（Oaz z) )OXaaZazaXa”YHYWaYHaYWXZYyyxxzz【例2-1】已知点已知点A的的水平投影水平投影a和和正面投影正面投影a ,求侧面投影求侧面投影a”。中途返回请按“ESC” 键aa”aOXZYWYH四、空间点的分类四、空间点的分类1. 投影面上的点投影面上的点： 一投影与该点本身重合，另外两投影在投影轴上。一投影与该点本身重合，另外两投影在投影轴上。 2. 投影轴上的点投影轴上的点： 两投影重合于该点本身，另外一投影与原点两投影重合于
6、该点本身，另外一投影与原点O重合。重合。 3. 一点与原点重合一点与原点重合：三个投影亦均与原点重合。：三个投影亦均与原点重合。4. 空间点空间点：三个投影面上的投影均落在投影面内。：三个投影面上的投影均落在投影面内。HVOXCBbWYZDddd”b”bc c”OXZYHYWbb”cc”ccddd”后后前前后后前前左左右右 a a aAb b bBXYZZYHXYWbbaa”b”a1. 两点的相对位置两点的相对位置是指平行于投影轴是指平行于投影轴X、Y、Z 的左右、前后和上下的相对关系。的左右、前后和上下的相对关系。X值大的点值大的点在左在左Y值大的点值大的点在前在前Z值大的点值大的点在上在上
7、B点在点在A点的左边点的左边A点在点在B点的前边点的前边A点在点在B点的上边点的上边左左右右上上下下上上下下五、两点的相对位置和重影点五、两点的相对位置和重影点五、两点的相对位置和重影点五、两点的相对位置和重影点 两点的相对距离，并非指两点的相对距离，并非指两点间的真实距离，而是指平两点间的真实距离，而是指平行行 X、Y、Z轴的距离，即到轴的距离，即到W、V和和H面的距离差面的距离差, ,即：即：2. 两点的相对距离两点的相对距离坐标差：坐标差：X（长度差）（长度差）Y（宽度差）（宽度差）Z（高度差）（高度差）3. 重影点及可见性重影点及可见性 两点位于某一投影面的两点位于某一投影面的同一条同
8、一条投射线上投射线上，则它们在这一个投影面，则它们在这一个投影面上的投影互相重叠，该两点上的投影互相重叠，该两点称为对称为对该投影面的一对重影点该投影面的一对重影点。 一个投影面上重影点的可见性，必须依靠该两点在另外一个投影面上重影点的可见性，必须依靠该两点在另外的投影面上的投影来判定。的投影面上的投影来判定。 规定规定：重合投影标记为：可见点写在前面，把不可见点的：重合投影标记为：可见点写在前面，把不可见点的字母写于后面；或者将不可见点加以圆括号。字母写于后面；或者将不可见点加以圆括号。 HBa(b)AOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW ABDCFEbaa(b)bac(d)dcdc
9、eff ee(f )ef efe(f )cdcdc(d)a(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW3. 重影点及可见性重影点及可见性 H 面 的 重面 的 重影点影点A、BV 面 的 重面 的 重影点影点C、DW面的重面的重影点影点E、F三种情况三种情况六、有轴投影图和无轴投影图六、有轴投影图和无轴投影图 1. 有轴投影图：表示出投影轴的投影图。有轴投影图：表示出投影轴的投影图。 2. 无轴投影图：不画投影轴的投影图。无轴投影图：不画投影轴的投影图。 投影图上不画投影轴时，空间两点的相对位置、相对距离投影图上不画投影轴时，空间两点的相对位置、相对距离没有变化，所以表达其它几何形
10、体时，可以不画投影轴。但是没有变化，所以表达其它几何形体时，可以不画投影轴。但是仍然应该想象成空间存在各种方向的投影面和投影轴。因此，仍然应该想象成空间存在各种方向的投影面和投影轴。因此，三个投影之间互相排列方向，仍旧按有投影轴时一样，投影特三个投影之间互相排列方向，仍旧按有投影轴时一样，投影特性不变，即它们投影之间的连线方向亦不变。性不变，即它们投影之间的连线方向亦不变。 投影的形状、大小不受物体和投影面之间投影的形状、大小不受物体和投影面之间的距离影响。的距离影响。正投影法正投影法2 2. 无轴投影图无轴投影图HVOXBAababOXaabb 当投影面平行移动时，只能引起投影轴的移动，当投
11、影面平行移动时，只能引起投影轴的移动，而不能引起投影图的形状和大小的变化。而不能引起投影图的形状和大小的变化。LH1O1X1La1b1O1X1La1b12. 无轴投影图无轴投影图 在工程上，一般只要求投影图能够表达空间形体的在工程上，一般只要求投影图能够表达空间形体的形状和大小，而不需考虑对投影面的距离。因此，可形状和大小，而不需考虑对投影面的距离。因此，可以不必画投影轴。以不必画投影轴。2.无轴投影图无轴投影图HVOXBAababOXaabbLH1O1X1La1b1O1X1La1b1HVOXBAababOXaabbLH1O1X1La1b1O1X1La1b1不画出投影轴的正投影图就叫做不画出投
12、影轴的正投影图就叫做无轴投影图无轴投影图。2. 无轴投影图无轴投影图【例例2-2】已知已知A点的投影点的投影a、a”，B点的投影点的投影b、b。 求求a、b”。第二节第二节 直直 线线 的的 投投 影影直线的分类及其投影特性直线的分类及其投影特性直线的实长直线的实长 直线上的点直线上的点两直线的相对位置两直线的相对位置直线的投影特性直线的投影特性 空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直线上任意两点的位置确定（或直线上一点及指向）。线上任意两点的位置确定（或直线上一点
13、及指向）。 直线的投影一般仍为直线。直线的投影一般仍为直线。 OXBAababOXaabb直线的投影图直线的投影图 VH 作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影（简称同面投影）即可。两点在同一投影面上的投影（简称同面投影）即可。 在投影图中，直线的投影用在投影图中，直线的投影用粗实线粗实线表示。直线的名称可由表示。直线的名称可由其端点表示（如直线其端点表示（如直线AB，三个投影表示为，三个投影表示为ab、ab、ab）；）；也可以用一个字母表示（直线也可以用一个字母表示（直线L，它的投影表示为它的投影表示为l、
14、l、l)。 两点确定一条直线，将两点两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabmaa a b b b直线投影的基本特性直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下， 直线的投影仍然为直直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点
15、。线，特殊情况为一个点。一、直线的分类及其投影特性一、直线的分类及其投影特性直直 线线一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面垂直线投影面平行线投影面平行线1. 直线的分类直线的分类（1）投影面平行线）投影面平行线 平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直线称为线称为投影面平行线投影面平行线。投影面平行线有三种情况：。投影面平行线有三种情况： 平行于平行于H面的直线称为面的直线称为水平线水平线； 平行于平行于V面的直线称为面的直线称为正平线正平线； 平行于平行于W面的直线称为面的直线称为侧平线侧平线。 2. 直线的投影特性直
16、线的投影特性水平线水平线 ABHXza b a b OYHYWba Zaa b a bb ABVWYXO (1)(1)在在H面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投影面倾角的大小。影面倾角的大小。 H (2)(2)直线在它不平行的两个投影面上直线在它不平行的两个投影面上V、W的两个投影，共同的两个投影，共同垂直于这两个投影面交成的投影轴垂直于这两个投影面交成的投影轴Z。 VWHZXYOZXYHYWZXYHYWOZXYHYW 三种投影面平行线
17、三种投影面平行线BAabababABbOabaabababbaBAabababbOabaabOababbaVWHZXYOVWHZXYO水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线三种投影面平行线三种投影面平行线 投影特性：投影特性：直线在其平行的投影面上的投影，直线在其平行的投影面上的投影，平行于直线平行于直线本身，且反映实长本身，且反映实长；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分别别反映了直线与另两投影面的倾角反映了直线与另两投影面的倾角；在另两投影面上的投影在另两投影面上的投影共共同垂直于这两个投影面交成的投影轴（或分别平行于相应的投同垂直于这两个投影面交成的投
18、影轴（或分别平行于相应的投影轴），且不反映线段的实长。影轴），且不反映线段的实长。 读图时，读图时，一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影轴，轴，即可断定该直线是投影面平行线。即可断定该直线是投影面平行线。ZXYHYWZXYHYWOZXYHYWabababbOcbccbOababba（2）投影面垂直线）投影面垂直线 垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的直线称为直线称为投影面垂直线投影面垂直线。投影面垂直线有三种情况：。投影面垂直线有三种情况： 垂直于垂直于H面的直线称为面的直线称为铅垂线铅垂线； 垂直
19、于垂直于V面的直线称为面的直线称为正垂线正垂线； 垂直于垂直于W面的直线称为面的直线称为侧垂线侧垂线。铅垂线铅垂线 ABH H面垂直线具有下列投影特性：面垂直线具有下列投影特性： (1)在在H面上的投影积聚成一点面上的投影积聚成一点; (2)在另外两个投影面上在另外两个投影面上V、W的投影，反映了实长，并共同平的投影，反映了实长，并共同平行于同一条投影轴行于同一条投影轴Z。ZXOYHYWb a b a a(b)b a(b)a a b ABVWYXZOHOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW 三种投影面垂直线的立体图、投影图三种投影面垂直线的立体图、投影图ABABBAbaa(b)ba(a)
20、babababbaa(b )ababa(b )baba(a)ba(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线投影面垂直线投影面垂直线 投影特性：直线在其垂直的投影面上的投影投影特性：直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点积聚为一点；在另两投影面上的投影在另两投影面上的投影共同平行于这两个投影面交成的投影轴共同平行于这两个投影面交成的投影轴（或分别垂直于相应的投影轴），且（或分别垂直于相应的投影轴），且反映直线实长反映直线实长。 读图时，读图时，只要一投影积聚为一点，只要一投影积聚为一点，即可断定该直线是投影即可断定该直线是投影面垂直线（垂直于积聚
21、投影所在投影面）。面垂直线（垂直于积聚投影所在投影面）。OZXYHYWOZXYHYWababa(b )baba(a)ba(b)baabOZXYHYW（3）一般位置直线）一般位置直线 一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性： 三个投影面上的投影三个投影面上的投影均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴，且小于空间线段的实，且小于空间线段的实长；三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。长；三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。 a a aa b a bb AZVWYXOHBXOYHYWZa b a b ab一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 读图时，读图时，只要直线的任
22、两投影呈倾斜状态只要直线的任两投影呈倾斜状态，即可断定该直，即可断定该直线是一般位置直线。线是一般位置直线。 a a aa b a bb AZVWYXOHBXOYHYWZa b a b ab（3）一般位置直线）一般位置直线 二、一般位置直线的实长和倾角二、一般位置直线的实长和倾角 aa b bAZVYXOHBa aXOa b abZAZBZAZBKa aABZBZAZBZA 直角三角形法：直角三角形法：在直角在直角AKB中中,直角边直角边AKab；BKBbAa,即即A、B两点的两点的Z坐标差；斜边坐标差；斜边AB为实长；为实长；AB与与AK的夹角，就的夹角，就是直线是直线AB 对对H 面的倾角
23、面的倾角。一般位置直线的实长和倾角一般位置直线的实长和倾角 XOa b ab ABYAYBYAYB 直角三角形法求直线的实长及直角三角形法求直线的实长及其对某投影面的倾角其对某投影面的倾角: : 应以线段在应以线段在该投影面上的投影该投影面上的投影长度为一直角边长度为一直角边； 以线段以线段两端点到该投影面的距两端点到该投影面的距离差（坐标差）为另一直角边离差（坐标差）为另一直角边构成构成直角三角形。直角三角形。 直角三角形的直角三角形的斜边为线段的实斜边为线段的实长长，斜边与投影的夹角即为空间直斜边与投影的夹角即为空间直线对该投影面的倾角线对该投影面的倾角。 【例例 】直线直线AB长长30m
24、m，试补全其正面投影，试补全其正面投影ab。 XOB0 分析：分析：根据直角三角形法，由已知直线的根据直角三角形法，由已知直线的H投影及实长，作投影及实长，作出直线出直线AB的的Z坐标差，便可得到点坐标差，便可得到点B正面投影正面投影b，连接，连接ab即可。即可。 a ab作图：作图：（1）过）过b作作ab的垂线；的垂线；（2）过）过a作作30mm长的线段交长的线段交ab的垂线于的垂线于B0；（3）过）过b作作OX轴的垂线与由过轴的垂线与由过a的水平线交于的水平线交于点点b0，在该垂线，在该垂线上量取上量取 ZAZB bB0b0b，连接连接ab即为所求。即为所求。另一解为另一解为ab1。30m
25、mb0 b b1 【例例】 试判断三棱锥各棱线相对于投影面的位置试判断三棱锥各棱线相对于投影面的位置XOa abYHSA、SC:YWZb c s ca (c )s b 一般位置直线一般位置直线 SB : 侧平线侧平线AB、BC:水平线水平线 AC : 侧垂线侧垂线s三、直线上的点三、直线上的点 直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律的投影规律。 (点点E在直线在直线AB上，点上，点 K不在直线不在直线AB上上 )aa bAVXOHBXOa b abb KEek e k ekke b 直线上的点的投影直线上的点的投影 判断点
26、是否在直线上判断点是否在直线上 一般情况下一般情况下，根据点，根据点的两个投影是否在直线的同的两个投影是否在直线的同面投影上就可以确定。面投影上就可以确定。 当当直线是某一投影面直线是某一投影面的平行线的平行线时，还应观察直线时，还应观察直线所平行的那个投影面上的投所平行的那个投影面上的投影，才能判别一点是否在直影，才能判别一点是否在直线上。线上。XOa abYHYWZa b c cc 故故C点不在点不在AB上。上。 b 直线上的线段之比直线上的线段之比 点点E在直线在直线AB上上AE:EBae:eb ae: eb ae: eb。 aa bAVXOHBEe e 由平行投影的特性可知：若点在线上
27、，由平行投影的特性可知：若点在线上，点分空间线段长度之点分空间线段长度之比等于其同面投影长度之比比等于其同面投影长度之比。 【例例 】 试把已知线段试把已知线段AB分成分成AC:CB2:3。 XO 分析：分析：由定比性知：由定比性知：ac:cbac: cbAC:CB2:3，为此，用几何作图的，为此，用几何作图的方法分线段方法分线段AB的一个投影（如的一个投影（如ab）为）为ac:cb2:3，可得，可得C点的水平投影点的水平投影c；然后；然后按直线上点的投影特性在按直线上点的投影特性在ab上定出上定出c，C（c、c）即为所求。即为所求。 a b作图：作图：（1）过投影）过投影a作任意辅助线作任意
28、辅助线aB0，在此线上度量五等分，使在此线上度量五等分，使aC0:C0B0=2:3，确定，确定C0；（2）连）连b和和B0，再过，再过C0作辅助线平行作辅助线平行于于B0b交交ab于点于点c，在水平投影在水平投影ab上得上得分点分点C的水平投影的水平投影c ；（3）再由）再由c向上作铅垂连系线，在正向上作铅垂连系线，在正面投影面投影ab上得分点上得分点C的正面投影的正面投影c。b B0C0ac c四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 两直线在空间的相对位置有三种：即两直线在空间的相对位置有三种：即平行平行、相交相交、交叉交叉。特殊情况下为互相。特殊情况下为互相垂直垂直。两平行、相交直线均。
29、两平行、相交直线均为为共面直线共面直线，交叉两直线为，交叉两直线为异面直线异面直线。c d 1. 平行两直线平行两直线 若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。 VWHcda b c d BACDa b abXZa b a b OYHYWbacdc d c d 1. 平行两直线平行两直线根据投影根据投影判断两直线是否平行判断两直线是否平行: 对于对于一般位置的两直线一般位置的两直线，仅根据直线的任意两个同面投影，仅根据直线的任意两个同面
30、投影是否平行即可判别它们在空间是否平行；是否平行即可判别它们在空间是否平行； XZa b a b OYHYWbacdc d c d XOa 对于对于平行于同一投影面的两直线平行于同一投影面的两直线，则需要有一组是被平行的，则需要有一组是被平行的投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致来确定。来确定。 ZYHYW1. 平行两直线平行两直线b abc d cda b d c XOa ZYHYWb abc d dca b d c 平行平行 不平行不平行 2. 相交两直线相交两直线 若空间两直线相交，则其同面投影也相交，且各投影的
31、交若空间两直线相交，则其同面投影也相交，且各投影的交点符合点的投影规律。点符合点的投影规律。VWHBACDabXZYOcdc d a b k kKc d b a k XZa b a b OYHYWbacdc d c d kk k 反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。 两条一般位置直线，只要任意两组同面投影符合上述条件，两条一般位置直线，只要任意两组同面投影符合上述条件，即可肯定两直线相交。即可肯定两直线相交。 f e f e e
32、fghg h g h 不相交不相交2. 相交两直线相交两直线 如两直线中，只要有一条为如两直线中，只要有一条为某投影面的平行线某投影面的平行线，如要判别，如要判别它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或者利用分比法来判定。者利用分比法来判定。 a b cbadc d c d 不相交不相交2. 相交两直线相交两直线e a 【例例】 判别四边形判别四边形ABCD是否为平面四边形。是否为平面四边形。 O 分析：分析：若四边形若四边形ABCD为平面四边形，则四边形的两对角线一为平面四边形，则四边形的两对角线一定相交，否则为空间四边形。
33、定相交，否则为空间四边形。a作图：作图：（1）连接）连接ac和和ac；（2）连接）连接bd和和bd；（3）检查）检查ac和和bd的交点的交点与与ac和和bd的交点的交点连线是否垂直连线是否垂直于于OX轴。因交点连线轴。因交点连线不垂不垂直于直于OX轴，所以可判别四边形轴，所以可判别四边形ABCD不是平面四边形。不是平面四边形。 a Xb c d bcd否否 空间既不平行又不相交的两直线，称为空间既不平行又不相交的两直线，称为交叉两直线交叉两直线。交叉两。交叉两直线的各面投影不具备两平行或相交直线的投影特性。直线的各面投影不具备两平行或相交直线的投影特性。3. 交叉两直线交叉两直线 XOa ZY
34、HYWb abc d dca b d c 交叉交叉 f e f e efghg h g h 交叉交叉 VXOH3. 交叉两直线交叉两直线 空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投射线上，是射线上，是重影点重影点。投影时，需判断重影点的。投影时，需判断重影点的可见性可见性。 ABCDb a d c abcdMNm(n)n m k (l )LKklaa Xb c d bcOdm(n)m n lkk (l )VH五、一边平行于
35、投影面的直角的投影五、一边平行于投影面的直角的投影 相交两直线的夹角的投影一般不反映角的实际大小，只有当相交两直线的夹角的投影一般不反映角的实际大小，只有当构成夹角的构成夹角的两直线平行于同一投影面时两直线平行于同一投影面时，在该投影面上的投影反，在该投影面上的投影反映两直线间的映两直线间的真实夹角真实夹角， b a c BACabcabcb a c VH 空间垂直空间垂直的两直线，若其中有的两直线，若其中有一条直线平行于某一投影面一条直线平行于某一投影面，另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线在该投影面上的在该投影面上的投影反映直角投影反映直角，
36、此定理称为，此定理称为直角投影定理直角投影定理。 b a c BACabcABBC、ABBbabABABBbcC平面平面abBbcC平面平面abbc。证明：证明： 五、一边平行于投影面的直角的投影五、一边平行于投影面的直角的投影VH 空间垂直空间垂直的两直线，若其中有的两直线，若其中有一条直线平行于某一投影面一条直线平行于某一投影面，另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线在该投影面上的在该投影面上的投影反映直角投影反映直角，此定理称为直角投影定理。，此定理称为直角投影定理。 b a c BAababcb a c 五、一边平行于投影面的直角的投影五、
37、一边平行于投影面的直角的投影 逆定理：即若两直线的逆定理：即若两直线的同面投影垂直同面投影垂直，且其中一条直线平行且其中一条直线平行该投影面该投影面，则可判定该两直线在，则可判定该两直线在空间相互垂直空间相互垂直。 VHb a c BACabcabcb a c 五、一边平行于投影面的直角的投影五、一边平行于投影面的直角的投影 直角投影定理不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于直角投影定理不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交叉交叉垂直的两直线。垂直的两直线。五、一边平行于投影面的直角的投影五、一边平行于投影面的直角的投影【例例】求点求点C到正平线到正平线AB的距离的距离CD。 分析分析：点到直线
38、的距离，是由该点到该直线所引垂线之长。直线：点到直线的距离，是由该点到该直线所引垂线之长。直线AB为正为正平线，所以点平线，所以点C到到AB的距离的距离CD和和AB的正面投影的正面投影ab与与cd一定相互垂直（一定相互垂直（直角直角投影定理投影定理）。因此，先求出垂线的正面投影，然后求出水平投影，最后用直）。因此，先求出垂线的正面投影，然后求出水平投影，最后用直角三角形法求出垂线实长。角三角形法求出垂线实长。 acb a c bd dCD作图：作图：（1 1）作）作cdab交于交于ab一一点点d。（2 2）由）由d 作竖直连系线交作竖直连系线交ab于一点于一点d，并连结，并连结cd。（3 3）
39、利用直角三角形法求）利用直角三角形法求出出CD的实长的实长。【例例】已知正方形已知正方形ABCD对角线的投影，对角线的投影，B在在A的下的下方试完成正方形的两面投影。方试完成正方形的两面投影。 分析分析：正方形对角线一定相交垂直且等长，由正方形对角线一定相交垂直且等长，由acox轴，对角线轴，对角线AC为水为水平线，因此两对角线的水平投影平线，因此两对角线的水平投影acbd。又因。又因BDACac，且对角线半长，且对角线半长KCkc，由对角线的半长的水平投影，由对角线的半长的水平投影kb可求出其可求出其kb的长度和的长度和K、B的的Z坐标差。坐标差。 aeb a c bd 作图：作图：（1 1
40、）求中点的投影）求中点的投影k、k，并过，并过k作对角线作对角线AC的水平投影的水平投影ac。（2 2）直角三角形法求（）直角三角形法求（kbe），求出求出K、B的的Z坐标差，并求出坐标差，并求出b。（3 3）过）过k作对角线作对角线BD的正面投的正面投影影bd，连接对角线的端点，即完，连接对角线的端点，即完成正方形成正方形ABCD的两面投影。的两面投影。oxdk kc第三节第三节 平平 面面平面的投影平面的投影平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置平面上的点和线平面上的点和线平面上的特殊线平面上的特殊线一、平面几何元素表示法一、平面几何元素表示法cbacbaccabbaabccabcc
41、aabccababdd不在一直线不在一直线上三点上三点一直线和线一直线和线外一点外一点相交两相交两直线直线平行两平行两直线直线任意平面任意平面图形图形迹线表示法迹线表示法迹线是平面与投影面的交线。迹线是平面与投影面的交线。 VHWPPHPVPW侧面迹线侧面迹线水平迹线水平迹线正面迹线正面迹线P（迹线平面）（迹线平面）迹线平面表示法迹线平面表示法 作出迹线平面的三面投影，由此三面投影即作出迹线平面的三面投影，由此三面投影即可确定平面。可确定平面。迹线表示法迹线表示法迹线平面表示法如图所示：迹线平面表示法如图所示：PVPHPW注意注意：迹线的符号用平面名称：迹线的符号用平面名称的大写字母附加投影面
42、名称的的大写字母附加投影面名称的下标来表示，下标来表示，PH、PV、PW。 在投影图上，通常只将迹在投影图上，通常只将迹线与重合的那个投影画出，并线与重合的那个投影画出，并用大写带脚标的符号标记，凡用大写带脚标的符号标记，凡和投影轴重合的投影不需画出，和投影轴重合的投影不需画出，也省略标记。也省略标记。 表示特殊位置平面时，主要用此法表示。表示特殊位置平面时，主要用此法表示。二、平面的投影性质二、平面的投影性质1. 平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。 abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO二、平面的投影性质二、平面
43、的投影性质(a)bcad 2. 平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个类似图形，但形状、大小均可变化类似图形，但形状、大小均可变化(图图a)。 二、平面的投影性质二、平面的投影性质(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf积聚投影积聚投影3. 平面垂直于某投影面时，在该面上的投影积聚成一平面垂直于某投影面时，在该面上的投影积聚成一直线直线(图图b)。 二、平面的投影性质二、平面的投影性质(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf4. 平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面图形的真
44、实性状、大小和方向等图形的真实性状、大小和方向等(图图c)。 (c)badc三、平面的分类三、平面的分类根据平面相对于投影面的倾斜角度的不同，根据平面相对于投影面的倾斜角度的不同，可分为三类：可分为三类：一般位置平面一般位置平面：投影面平行面投影面平行面：投影面垂直面投影面垂直面：与各投影面呈一般角度的倾斜。与各投影面呈一般角度的倾斜。垂直于某投影面。垂直于某投影面。平行于某投影面。平行于某投影面。三类平面具有不同的投影特性。三类平面具有不同的投影特性。1. 一般位置平面一般位置平面投影特性：投影特性：（1）三面投影都不放映空间平面图形的实形，三面投影均为原）三面投影都不放映空间平面图形的实形
45、，三面投影均为原形的类似形，其大小小于实形。形的类似形，其大小小于实形。（2）三面投影都不放映该平面与投影面的倾角。）三面投影都不放映该平面与投影面的倾角。abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO2. 投影面平行面投影面平行面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面，它分为三种情况：的平面称为投影面平行面，它分为三种情况：水平面水平面：平行于平行于H面。面。正平面正平面：平行于平行于V面。面。侧平面侧平面：平行于平行于W面。面。2. 投影面投影面平行面平行面XZpppOYHYWXVZWppP”POHY（1）投影面
46、平行面水平面）投影面平行面水平面 水平投影水平投影p反映实形。反映实形。 正面投影正面投影p及侧面投影及侧面投影p”均有积聚性，均有积聚性， 且且p/OX轴；轴；p”/OYW轴轴投影特性：投影特性：2. 投影面平行面投影面平行面q”qqXZOYHYWXVZWOHYqq”qQ 正面投影正面投影q反映实形反映实形 水平投影水平投影q及侧面投影及侧面投影q”均有积聚性均有积聚性 且且q /OX轴；轴；q”/OZ轴轴投影特性：投影特性：（2）投影面平行面正平面）投影面平行面正平面 2. 投影面平行面投影面平行面XZOrrrYHYWXVZWOHYRrrr” 侧面投影侧面投影r”反映实形反映实形 正面投影
47、正面投影r及水平投影及水平投影r 均有积聚性均有积聚性 且且r /OZ轴；轴；r /OYH轴轴投影特性：投影特性：（3）投影面平行面侧平面）投影面平行面侧平面 三种位置平面的投影三种位置平面的投影水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面迹线平面法表示三种平行面迹线平面法表示三种平行面：水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面PVPWPHPWPVPH2. 投影面平行面投影面平行面投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性：（1）平面在所平行的投影面内的投影反映空间实形，与该投）平面在所平行的投影面内的投影反映空间实形，与该投影面的夹角为影面的夹角为0；（2）在其它两个投影面内的投影分别积聚为两条平行
48、于相应）在其它两个投影面内的投影分别积聚为两条平行于相应投影轴的直线，并与该面迹线重合，与这两个投影面的夹角均投影轴的直线，并与该面迹线重合，与这两个投影面的夹角均成成90。读图读图只要有只要有一面投影积聚为一条平行于投影轴的直线一面投影积聚为一条平行于投影轴的直线，则它必，则它必然平行于非积聚投影所在的投影面。非积聚投影反映实形。然平行于非积聚投影所在的投影面。非积聚投影反映实形。2. 投影面平行面投影面平行面3. 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面而倾斜于另外两个投影面的平面，垂直于某一投影面而倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面垂直面。称为投影面垂直面。 投影面垂直面因其所垂直
49、的投影面不同分为：投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分为：（1）H面垂直面或面垂直面或铅垂面铅垂面：垂直于：垂直于H面的平面；面的平面；（2）V面垂直面或面垂直面或正垂面正垂面：垂直于：垂直于V面的平面；面的平面；（3）W面垂直面或面垂直面或侧垂面侧垂面：垂直于：垂直于W面的平面。面的平面。（1）铅垂面）铅垂面 3. 投影面垂直面投影面垂直面VZXYHOpppPXZOYHYWppp 水平投影水平投影p积聚成直线，并反映倾角积聚成直线，并反映倾角和和 正面投影正面投影p和侧面投影和侧面投影p”不反映不反映实形实形投影特性：投影特性：（2）正垂面）正垂面 3. 投影面垂直面投影面垂直面qq”XZq
50、OYHYWaZXYHWqqqaOQV 正面投影正面投影q积聚成直线，并反映倾角积聚成直线，并反映倾角和和 水平投影水平投影q和侧面投影和侧面投影q”不反映不反映实形实形投影特性：投影特性：（3）侧垂面）侧垂面 投影面垂直面投影面垂直面VZXYHWOrrrRaXZOYHYWrrra 侧面投影侧面投影r”积聚成直线，并反映倾角积聚成直线，并反映倾角和和 正面投影正面投影r和水平投影和水平投影r 不反映不反映实形实形投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：（1）在它所垂直的投影面上投影积聚为一直线，此积聚投影与）在它所垂直的投影面上投影积聚为一直线，此积聚投影与该投影面成该投影面成90夹角，同时与相
51、应投影轴的夹角，反映该平面相夹角，同时与相应投影轴的夹角，反映该平面相对于相应投影面的倾角。对于相应投影面的倾角。（2）投影面垂直面的其它投影均比实形小，为原形的类似形状。）投影面垂直面的其它投影均比实形小，为原形的类似形状。 3. 投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面XZOYHYWrrr”aqq”XZqOYHaXZYHOpP”p3. 投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面XZOYHYWrrr”aqq”XZqOYHaXZYHOpP”p读图读图一平面只要有一平面只要有一面投影积聚为直线一面投影积聚为直线，则它必然垂直，则它必然垂直于积聚投影所在的投影
52、面。于积聚投影所在的投影面。迹线平面法表示三种垂直面迹线平面法表示三种垂直面：注意注意：用迹线平面表示法表示平面习惯上只作迹线：用迹线平面表示法表示平面习惯上只作迹线平面的积聚投影，其它两面投影不用作。但必须在平面的积聚投影，其它两面投影不用作。但必须在该积聚投影旁边标注平面的该面迹线的标记。该积聚投影旁边标注平面的该面迹线的标记。PHPVPW铅垂面铅垂面正垂面正垂面侧垂面侧垂面3. 投影面垂直面投影面垂直面三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线性质：一点如果在一平面内，则它必在面内的一条线上性质：一点如果在一平面内，则它必在面内的一条线上判定方法：点在线上，线在面上，则点定在面内。判定方法
53、：点在线上，线在面上，则点定在面内。 例例 已知已知M、N点位于点位于ABC平面上，及平面上，及m 、n， 求求m及及n。mn解题步骤：解题步骤：1.在在abc内连接内连接cm交交ab于于e。2.在在abc内连接内连接ce。3.在在ce上据长对正得上据长对正得m。4.同法作出同法作出n。eemnabcbacff1. 平面上的点平面上的点2. 平面上的直线平面上的直线判定线在面上的方法：若一直线通过平面内的两点，判定线在面上的方法：若一直线通过平面内的两点，或者过一点同时平行于平面内的一条直线，则直线或者过一点同时平行于平面内的一条直线，则直线必在该平面内。必在该平面内。2. 平面上的直线平面上
54、的直线判定线在面上的方法：若一直线通过平面内的两点，判定线在面上的方法：若一直线通过平面内的两点，或者过一点同时平行于平面内的一条直线，则直线或者过一点同时平行于平面内的一条直线，则直线必在该平面内。必在该平面内。 例例 判别判别EFEF线是否在平面线是否在平面ABCABC上。上。efefabcabc解题步骤：解题步骤：由投影可知由投影可知E点不在平面内。点不在平面内。据此确定据此确定EF线不在平面内。线不在平面内。2. 平面上的直线平面上的直线 例例 已知平面已知平面ABCD的的V投影，求作其投影，求作其H投影。投影。 caddabbcee作图步骤作图步骤: :（1 1）在）在V投影中，连接
55、投影中，连接ac与与bd得交点得交点V V投影投影e。（2 2）在）在H投影中作出投影中作出e，并连接并连接be得到得到d点。点。（3 3）连接）连接ad及及dc, ,完成平完成平面面H H投影。投影。3. 投影面平行线投影面平行线问题：一般位置平面内是否一定存在三种位置的投影面问题：一般位置平面内是否一定存在三种位置的投影面 平行线？平行线？PH平行于平行于PH的的水平线水平线同理可作出平面内的正平线（平行于同理可作出平面内的正平线（平行于PV）、侧平线（平行于）、侧平线（平行于PW）结论：结论：一般位置平面内必然存在一般位置平面内必然存在三种位置的平行线，且每三种位置的平行线，且每种平行线
56、均为一组平行于种平行线均为一组平行于平面的同面迹线的平行线。平面的同面迹线的平行线。3. 投影面平行线投影面平行线 例例 求作平面内的正平线和水平线。求作平面内的正平线和水平线。abcabcabcabcabcabcddddee1122解题步骤解题步骤：1.过过a作作a 1 /OX。作出。作出H投影投影1，连接连接a1。即得水平线。即得水平线A1。2. 作作c2 /OX平行于平行于OX。作出。作出V投投影影2,连接连接c2。即得正平线。即得正平线C2。四、平面上的最大坡度线和最大坡度四、平面上的最大坡度线和最大坡度AEDPPHa1H平面上相对于投影面倾角最大的直线称为该平面相对于该投影平面上相对
57、于投影面倾角最大的直线称为该平面相对于该投影面的最大坡度线。面的最大坡度线。平面相对于平面相对于H面面的最大斜度线。的最大斜度线。其垂直于其垂直于PH及及平面内任意一平面内任意一条水平线。条水平线。该最大斜度线相对该最大斜度线相对于于H面的倾角面的倾角，即为平面相对于即为平面相对于H面的倾角面的倾角。最大坡度线最大坡度线分类：分类：对对H面最大斜度线面最大斜度线对对V面最大斜度线面最大斜度线对对W面最大斜度线。面最大斜度线。特点：特点：平面上的最大斜度线必平面上的最大斜度线必垂直于该平面上的相应垂直于该平面上的相应的投影面平行线。的投影面平行线。最大坡度线最大坡度线 例例 求作求作平面平面AB
58、C相对于相对于H面的倾角面的倾角。abcabcabcabcddabcabceemmnnmmdd（1 1）在已知平面内作水平）在已知平面内作水平线线ADAD。（2 2）作）作bmad；作出；作出bm。BM即对即对H面的最大斜度线。面的最大斜度线。（3 3）用直角三角形法求出）用直角三角形法求出BM对对H面的倾角面的倾角。最大坡度线最大坡度线 例例 求作求作平面平面ABC相对于相对于V面的倾角面的倾角。abcabcabcabcddabcabceemmnnnnee（1 1）在已知平面内作正平）在已知平面内作正平线线CE。（2 2）作）作b nc e ；作出；作出bn。BN即对即对V面的最大斜度线。面
59、的最大斜度线。（3 3）用直角三角形法求出）用直角三角形法求出BN对对H面的倾角面的倾角 。原则：原则： 使体上尽量多的面使体上尽量多的面与投影面平行或垂与投影面平行或垂直并让形体结构特直并让形体结构特征明显的方向为主征明显的方向为主视方向。视方向。1、物体的摆放、物体的摆放 五、如何绘制三视图？五、如何绘制三视图？ 2、画图、画图 v定位、布置图。定位、布置图。 v打底稿。先从主视开始。打底稿。先从主视开始。 运用运用“三等三等”规律，画出其他两视图。规律，画出其他两视图。 检查底稿。加深，完成全图。检查底稿。加深，完成全图。AB三视图作图过程三视图作图过程ababa”b”ACacaca”c
60、”BCcbcbc”b”本章结束！本章结束！第十节第十节 直线与平面和平面与平面的相对位直线与平面和平面与平面的相对位置置直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 几何条件：几何条件： 若直线若直线平行平行于平面于平面内的内的任一直线任一直线，则此直，则此直线必与该平面平行。线必与该平面平行。 aedafcbedbfcDE与与ABC相互平行。相互平行。 1、直线与平面平行、直线与平面平行nn 【例例】过过M点作一水平线平行于
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