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应力（Stress）是材料力学中的核心概念，表示单位面积上材料内部抵抗变形的力。通过系统分析应力状态并结合适当强度理论，可有效预测材料在复杂载荷下的失效行为，为工程设计提供依据。
在CAE辅助设计分析中，不同的强度理论涉及不同的应力概念，本文介绍应力、正应力、切应力、主应力、等效应力、应力张量、应力三轴度等概念的介绍。
【1】定义：应力是物体在外力作用下，内部单位面积上产生的内力。
【2】物理意义
它反映了材料在受力时的内部响应，是材料是否发生破坏或变形的重要指标。
【3】应力的概念
在受力构件的某截面C上任取一点 P，围绕该点取微小面积ΔSc。
应力示意图
假设ΔSc 上分布内力的合力为ΔP，其大小和方向与 P 点的位置有关。定义ΔSc 范围内单位面积上内力的平均集度为：
平均内力集度p称其为点P的应力（stress），反映了内力在点P的强弱程度，材料的强度分析主要是对应力进行计算。
在以上的定义中，过P点的截面C是任意的，这样的截面有无穷多个，所有这些截面上应力的集合称为P点的应力状态。
【4】单位制
在国际标准单位制（SI）中，应力的基本单位为Pa，1 Pa= 1 N/m2。
应力计算中长度单位常用mm，应力单位常用MPa，1 MPa = 1 N/mm2 = 106 Pa。
【1】定义
正应力：将应力p分解为沿截面法向的分量σn，称为正应力/Normal Stress。
切应力：将应力p分解为沿截面切向的分量τn，称为切应力/Shear Stress。
正应力和切应力是应力的两个分量。
正应力：
切应力：
【2】方向与符号约定
正应力：拉应力为正，压应力为负。如拉伸金属棒时，截面产生拉应力；受压柱体内部为压应力。
切应力：方向由截面取向和受力方向决定，通常遵循右手法则。如剪刀剪切纸张时，刀刃接触面产生切应力。
【3】区别与联系
【4】工程应用
组合应力：实际结构中常同时存在正应力和切应力（如梁的弯曲与剪切、组合），需通过应力张量分析。
强度理论：
① 最大正应力理论适用于脆性材料（如铸铁）。
② 最大切应力理论（Tresca）适用于延性材料（如钢材）。
应力集中：几何突变处（如孔洞、缺口）会显著提高局部应力，需在设计时考虑。
正应力与切应力是材料力学的基础概念，分别对应垂直与切向的受力状态。理解它们的产生条件、计算方式及对材料行为的影响，是结构设计和强度分析的核心。实际应用中需结合具体载荷类型（拉压、剪切、弯曲、扭转）进行综合分析。
【1】应力状态
通过某一点可以作无数个不同方位的截面，这些截面上的应力情况就称为一点的应力状态。
研究一点的应力状态，称为应力分析。理论分析已经证明，在过受力构件中一点的所有截面中，只要有三个正交面上的应力是已知的，则所有其他截面上的应力都能确定。
【2】主平面与主应力
主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面 。
主应力：主平面上的正应力称为主应力。
在受力构件内的任意点总可以找到三个互相垂直的主平面，因此总存在三个互相垂直的主应力，通常用σ1、σ2、σ3表示，规定σ1、σ2、σ3按代数值大小排列，即σ1≥σ2≥σ3。
主应力有三个分量，分别是：
① 最大主应力/σ1：指作用在某一方向上最大的正应力。
② 中间主应力/σ2：是作用在与最大和最小主应力方向垂直的方向上的应力。
③ 最小主应力/σ3：指作用在某一方向上的最小正应力。
主应力方向即是材料中应力最大的方向（σ1）、最小的方向（σ3）以及中间方向（σ2），这三个方向相互垂直且称为应力主轴。
【3】物理意义
主应力反映了材料内部某点的最大拉压应力状态，是判断材料是否发生屈服或断裂的重要依据。
【1】定义
等效应力是材料力学中的一个标量值，用于将复杂多轴应力状态（如拉伸、压缩、剪切等组合作用）简化为一个等效的单轴应力值。
等效应力在材料力学的第四强度理论（畸变能密度理论）中引入，该理论认为：畸变能密度是引起屈服流动破坏的主要因素，其计算公式为：
【2】等效应力性质
① 等效应力与空间坐标轴的选取无关。根据公式，只与应力偏量的第二不变量J2有关，与空间坐标轴的选取无关。
② 叠加一个静水应力状态不影响等效应力的数值。静水应力可用应力球张量表示，而应力偏量的第二不变量J2与应力球张量无关。
③ 主应力全反号时，数值不变。因此等效应力适用于拉压性能相同或相近的材料。
【3】物理意义
等效应力的理论基础是畸变能密度理论（第四强度理论），认为材料的屈服与形状改变能（畸变能）相关，而非体积变化。
第四强度理论认为不论什么材料、也不管材料处于什么应力状态，只要畸变能密度υd达到与材料性质有关的某一极限值，则材料就发生屈服。
等效应力是工程分析中的核心工具，将复杂应力状态简化为直观的标量值，帮助快速判断结构安全性。实际应用中需结合材料特性、工况和安全系数综合评估。
【1】标量、矢量、张量的概念
张量：张量矢量概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。
矢量：既有大小又有方向的物理量。
标量：只有大小（数值）而没有方向的物理量。
【2】一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合，称为一点的应力状态。
x面的应力：
y面的应力：
z面的应力：
【3】应力张量
应力张量：在连续介质中应力描述了单位面积上的内力。应力张量σ𝑖𝑗是一个3×3的矩阵，其每个分量σ𝑖𝑗 表示在法线方向为 𝑖 的平面上，沿𝑗 方向的应力分量。
一点的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为应力张量。
弹塑性力学中物体的变形通常可以分为体积改变和形状改变两种，体积改变往往是由各个方向相等的应力引起的，这种应力作用下固体发生的变形一般是弹性变形，而塑性变形往往由形状改变产生。
应力张量
σ𝑖𝑗 ：应力状态
σmб𝑖𝑗 ：应力球张量
б𝑖𝑗 ：克罗内克函数
S𝑖𝑗 ：应力偏张量
应力球张量
应力球张量：它表示各方向承受相同拉（压）应力而没有剪应力的状态。引起微元体积膨胀或收缩，与单元体的体积变形有关。
应力球张量：
在弹塑性力学中，常设静水压力作用下，物体或质点承受各项均等的压力，习惯上把处于任意各向均等主应力状态的下的应力张量称为静水应力张量。球应力张量是静水应力张量的特例，任一应力状态的球应力张量，都是指包含于该应力状态中的由三个正应力分量平均值σm组成的静水应力张量，即分量为平均正应力的静水应力张量。
单位球张量：
б𝑖𝑗 ：是一个二元函数，该函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。
平均应力：
σm ：平均应力或静水压
应力偏张量
S𝑖𝑗 ：应力偏张量
应力偏张量：是塑性变形时物体内一点的应力张量的分量随坐标变化而变化，应力偏张量只能使物体产生形状变化，而不能产生体积变化，即材料的塑性变形（屈服）是由应力偏张量引起。应力偏张量表示实际应力状态对其平均应力状态的偏离，它引起微元形状的改变。
材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的 。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。
【1】第一不变量Ι1
物理意义：第一不变张量与平均应力（静水应力）相关，它反映了体积变化的趋势。
【2】第二不变量Ι2
物理意义：与形状畸变相关，常用于塑性力学中的屈服准则（如Tresca准则）。
【3】第三不变量Ι3
物理意义：表征应力状态的不对称性，在断裂力学中与材料的破坏模式相关。
在塑性力学中，常将应力张量分解为静水应力部分和偏应力部分；和应力张量一样，应力偏量也可以求对应的主应力，以张量形式表示的求解方程组。
J1、J2、J3称为应力偏量的第一、第二、第三不变量；应力偏量与应力张量的主方向一致。
当坐标轴取为主应力σ1、σ2、σ3的方向时（即主向空间），应力偏量不变量的计算公式可以进一步简化：
J2的表达式与材料力学中应力单元体的形状改变应变能密度公式相近，为
因此应力偏量的第二不变量与单元体的形状改变有关。
【1】应力三轴度
应力三轴度（Stress Triaxiality） 是描述材料在复杂应力状态下受力特性的重要参数，用于表征静水压力（平均应力）与等效（偏应力）的比值，反映材料的应力状态对塑性变形、损伤和断裂行为的影响。
应力三轴度的数学表达式为：
平均应力：
等效应力：
应力三轴度的值可为正或负，具体取决于应力状态（拉伸或压缩）。
【2】典型的应力三轴度
应力三轴度是连接宏观应力状态与微观损伤机制的关键桥梁，在材料设计、结构安全评估和制造工艺优化中具有重要价值。
应力三轴度是连接宏观应力状态与微观损伤机制的关键桥梁，在材料设计、结构安全评估和制造工艺优化中具有重要价值。