4、解法二：构造关于水平位移x的二次函数
5、解法三：分析矢量速度三角形面积
6、解法四：包络线方程
7、带入数据测试4种不同解法的正确性
8、心得总结
一、案例引出
二、运动过程分析
分析物体运动的水平和竖直方向，由于物体在水平方向不受外力作用，而在竖直方向只受重力作用，即
则我们可以写出物体在任意时刻t的水平和竖直位移，即
我们将方程组进行分离变量t和θ，并带入y=-h，即得到
由于要消元θ，将方程组两边平方得到
相加两个方程，得到
可以看到消元θ后，我们得到关于x和t的一个方程，分离变量得到
上述方程包含x和t，我们构造x^2关于t^2的二次函数f(t^2)，即
我们要求出x的最大值，即求f(t^2)的最大值，则f(t^2)的对称轴为
f(t^2)的最大值在对称轴上取得，即
此时我们利用二次函数求出了t和x，即
下面我们来推导使得x到达最远的角度θ策略，我们回到初始方程组
相除两个方程，并带入求出的x和t，可化简得到
则我们得到使得x取得最大值的角度θ为
四、解法二：构造关于水平位移x的二次函数
解法二和解法一思路是一样的，同样是利用下面方程组来推导
带入第二个方程消去t，并带入y=-h，得到
上述方程包含tanθ和x两个变量，我们将方程视为关于x的二次方程，即
此时特别注意：比较解法一，我们无法利用二次函数的对称轴来求解x的最值，因为这个二次函数的系数不是单变量θ，而是非线性函数tanθ！
故我们先求出根的判别式
可以看到，该二次函数f(x)一定有两个实数解，利用求根公式，得到f(x)的解为
我们令
则我们要求x的最大值，即转化求h(x)的最大值，而h(x)不是初等函数，故需要对h(x)求一阶导数
但是推导到这里，我们发现h(x)的表达式包含分式、非线性函数和开根号等复合函数，导致其导数将非常难求，故我们无法利用数学来推导h(x)的极值
为此，我们只能采取数值计算的方法，通过编程来插值计算h(x)
五、解法三：分析矢量速度三角形面积
上述解法都是从位移方程组出发来消元的，我们重新换一种思路，因为整个运动过程只有重力做功，我们设运动结束的速度为v，列出动能方程，即
至此，我们发现落地速度v是一个常量，分析运动结束的速度矢量三角形，有如下三个分量
可以看到落地速度v（在运动的切线方向）和初速度v0都是常量，只有竖直方向的速度vy是一个变量
我们引入新的变量φ表示：v和v0之间的夹角
则我们用v、v0和φ列出该三角形的面积为
我们在找出该三角形面积的另一个表达式，用vy和vy边上的高即可
至此，三角形面积是相等的，我们将两个面积表达式写在一起，即
我们根据面积的不同表达式得到上述方程，发现含有φ、θ和t三个变量，我们需要消元
由水平位移方程
可以看到整个x的表达式出现在上述方程的右侧，带入得到
至此，我们得到x的关系表达式，且x的大小和正比于变量sin(φ)，而sin(φ)最大值为1，即当
至此我们求出当φ为90度的时候，x取得的最大值，则由几何知识可以得到v和vy的夹角也为θ
从上图几何关系中，我们可以直接求出θ，即
即可以求出使得x取得最大值的夹角θ为
我们求出了x和θ，直接带入水平位移方程，即可求出t，即
可以看到解法三求出的关于x、t和θ的数学表达式和解法一是一样的
六、解法四：包络线方程
我们考虑更一般的情景，还是从水平位移和竖直位移的方程组出发
特别注意，此时我们并没有带入y=-h这个条件，而是将y也当做变量（准确来说是某个函数表达式）
至此，回顾解法二，我们是将上述方程视为关于x的二次方程，但是发现解不出来其一阶导数，故解法二采用数值计算来分析，所以我们需要从数学的角度，重新换一个角度来审视上述方程
所以我们定义
我们构造的函数f(x, θ)有如下数学意义和物理意义：
（1）f(x, θ)的数学意义为：以x和θ为自变量，且包含关于θ隐函数
（2）f(x, θ)的几何物理意义为：表示物体以任意角度做抛物线运动的轨迹方程
由于θ和任意一个抛物线运动都是一一对应的，即θ是抛物线运动轨迹的特征参数，θ是单值的，则在数学上可以翻译为：轨迹函数f(x, θ)对θ的偏导数为0
我们带入f(x, θ)求出θ的偏导数，即
至此我们得到θ和x的关系式，我们将tanθ带入f(x, θ)，化简得到
可以看到，我们推导出了y的函数表达式，且y是以x为单自变量的开口向下的二次函数，数学上我们将y称为：包络线方程
包络线的几何意义为：
（1）包络线是一条光滑连续的曲线
（2）包络线保证同一类运动的轨迹方程（抛物线族）有且和包络线曲线相切有一个交点
（3）同一类抛物线族都在包络线的范围之内
至此，我们令包络线y=-h，即可解出x的最大值，即
将x的表达式带入tanθ，即
即可求出θ
求出x和θ后，带入水平位移方程，即可求出t
可以看到解法四求出的关于x、t和θ的数学表达式和解法一、解法三是一样的
七、带入数据测试4种不同解法的正确性
我们以投掷实心球的场景，假设出手初速度v0=10m/s，身高h=1.7m，重力加速度g=9.78m/s^2
通过python编程实现上述四种解法，得到的结果如下
可以看到无论哪种算法，计算的结果都是一样的，只是思考方向和角度不同
最后，我们在上述场景里可视化画出解法四的包络线方程和抛物线族
可以看到，物体无论以什么角度做斜抛运动，其抛物线运动轨迹（红色）均在包络线方程范围内
8、心得总结
（1）解法一最直接，却要注意消元的选择，保证推导的函数没有包含复合函数，计算量中等
（2）解法二由于带有复合函数，导致求导异常困难，适用数值计算方法，计算量太大
（3）解法三需要一定的技巧和观察能力，计算量最小，高效却不灵活
（4）解法四需要用另一个角度去审视轨迹方程，模型最通用，计算量中等