水平集levelset算法原理介绍

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跟踪界面  首先，我们来想象水从一个小山的山顶往下流的画面。我们的目标是，在水往下流的时候，跟踪水前（water front，每一个点的水下一秒流动的方向叫作水前，我们跟踪的是所有点的水前。并且我们的初始条件是，所有初始位置点构成的曲线）。

如下图所示，这是一个V型小山，黑色部分是山顶，越往白色的地方，海拔越低。   红色箭头是水前。

显式轮廓方法  一个方法是，跟踪一系列点，沿着它们的法线方向（normal direction）来演化水前，并且猜测水前的停止位置。

如下图所示，在t=0时刻点集的水前位置，当t=1的时候，点集运动到了虚线位置。

显式演化一个点集的水前，听起来是个好主意，但是它有很大的缺陷，使得我们不得不放弃这种可以直观理解的方法。

那究竟是什么缺陷呢？  如下图所示，这个倒V型的曲线，在它的顶端是一个角（corner）。离角最近的那两个点有着各自的水前，它们方向不一致。随着水前的演化，该角最后的状态将无法得知。红色是0时刻的点状态，粉色是1时刻的点状态。   另外，如果水前是向外扩展的，那么初始的点集可能不够用来得到演化后的水前。需要使用插值法或者在演化出现冲突的时候删掉一些点。并且，点之间的距离要保证足够小，才能得到平滑的水前。这种得到演化水前的机制在应用时是很麻烦的。

在应用上，拓扑变化需要关注的问题更多，比如在分裂和合并的情况下。在我们的小山流水的例子中，左图的中间的红色矩形方框是初始点集，圈住的是山顶最高位置，即将向上下的白色山谷流下去。  在右图中，我们看到，初始点集演化到一定阶段，就会分裂，并且分裂后会与本来在山谷里的曲线合并~问题很明白了，这个方法要解决的挑战是，如何确定在分裂时该插入的点，以及在分裂时该删掉的点呢？    所以，追踪点集的水前，尽管是一个很直观的办法，但却有很难解决的缺陷。

水平集方程  首先，我们来看看这个方法背后的数学理论~  点x(x,y)属于一个随着时间演化的曲线，x(t)为它在t时刻的位置。在任意时刻t，对于每一个点x(t)都是表面φ在高度为0的曲线上的点，即：  φ(x(t),t) = 0

问题还是，这个函数φ到底是什么呢？  只要它给得出我们需要的零水平集，那么它可以是任何定义。。。（这就糟了，怎么造呢）

到此为止，你应该了解，水平集方法是关于演化表面的函数，而不是演化曲线的函数~~（尽管我们的目的是得到轮廓）  这也是这个方法的优雅魅力之处！