摘要：针对悬臂式货架结构，本文分别就其受单侧满载和抗震模拟等工况对悬臂式货架结构的强度、刚度、稳定性及抗震性进行设计计算与SAP2000仿真分析；推导出悬臂式钢货架结构的设计参数与其承载之间的关系，所得设计计算结果基本与SAP2000有限元仿真验证吻合，进一步验证了关系式的适用性，为悬臂式货架结构的参数化设计计算与选型提供了设计参考。
关键词：悬臂式货架、悬臂梁、剪力图、SAP2000仿真分析
作者：高国方 张卫国
速锐智能（明光）有限公司
概述
悬臂式货架的整体结构（如图1，参考《悬臂式货架》），主要由单面或双面底座、悬臂立柱及其支撑体系、悬臂梁和连接销等零部件组成；悬臂立柱和底座采用焊接连接或螺栓群组连接，底座上带有底脚板，进一步把悬臂货架结构牢固地固定在地面基础上，悬臂立柱多采用冷轧的中空型钢并预先冲制好有一定孔距要求的洞孔（如常规的100mm或150mm），以方便调节悬臂梁高度；悬臂采用方管、冷轧的中空型钢或H型钢，悬臂与立柱间采用连接销插接式或螺栓连接式，悬臂梁的安装和调节简易方便且无需使用特定工具；悬臂立柱结构整体还配有支撑体系（背拉或水平拉杆）以确保悬臂立柱实现平面内及平面外的稳定承载，不仅增强了悬臂式货架的稳定性，也提高了其承重能力。
图1 悬臂式货架示意图
悬臂式货架主要用于存放长形物料，如型材、管材、板材、线缆等，适合于存放钢管、型钢等长形的物品。悬臂立柱可分单面存储立柱和双面存储立柱，立柱的高度通常为2000～10000mm，每侧承重能力为1000～20000kg，悬臂可分普通悬臂或伸缩式悬臂．货架高度通常在2.5m以内（如由叉车存取货则可高达6m，更高高度的悬臂货架结构设计需要综合考虑悬臂立柱的结构变形与悬臂梁的变形，并合理调节悬臂的上翘角度），悬臂长度在1.5m以内，每臂载重通常在1000kg以内。本文主要考虑均布荷载作用下的悬臂及其悬臂式货架结构的计算，针对其他荷载形式还需要进一步分析说明。
悬臂式货架受力分析[5]
依据悬臂式货架的基本结构，由低层到最高层，悬臂梁编号依次为1～n，悬臂梁的长度为l，货格高为h，立柱总高为H，悬臂梁上受均布荷q。悬臂式货架受力分析简图，如图2所示。
图2 单面/双面悬臂货架受力简图
1.悬臂式货架立柱受力分析
悬臂货架立柱和底座用焊接（或螺栓群组）连接，在结构上可以近似认为悬臂货架立柱与地面基础为固支节点；悬臂式货架可分单面悬臂式货架与双面悬臂式货架结构，其中单面悬臂式货架的受力分析尤其具有代表性。
（1）悬臂式货架立柱等效轴心压力分析
由上述内容可以看到单面悬臂式货架立柱（如图3）上受来自单根悬臂梁上的最大剪力：，即相当于单面悬臂式货架立柱上受到的轴心压力：，悬臂货架立柱与最下层悬臂处节点以下等效轴心压力：，双面悬臂式货架立柱的等效轴心压力：。
（2）悬臂式货架立柱等效弯矩分析
由上述内容可以看到单面悬臂货架立柱（如图3）上受来自单根悬臂梁上的端部弯矩作用：，即相当于悬臂货架立柱上受到的间隔均匀的相同弯矩作用，，且悬臂立柱的挠度变形控制在规范建议的限值内，确保悬臂立柱满足强度、刚度及稳定性要求。
在弯曲变形很小且材料服从胡克定律的情况下，悬臂立柱在微小变形条件下，其弯矩与荷载呈线性关系。而在线弹性范围内，悬臂立柱的挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很小时，曲率与挠度间呈线性关系。因而，悬臂立柱的挠度和转角均与作用在悬臂立柱上的荷载呈线性关系。在这种情况下，悬臂立柱在几项荷载（如集中力、集中力偶或分布力）同时作用下某一横截面的挠度或转角，就分别等于每项荷载单独作用下该截面的挠度或转角的叠加。即在工程实际中可采用叠加原理来计算悬臂立柱在几项荷载同时作用下的最大挠度和最大转角，并等效为受等间隔等弯矩作用的悬臂梁结构模型；也就是测算作用在悬臂立柱上的每一个弯矩荷载单独作用下的悬臂立柱顶部挠度或转角，再按叠加原理来计算悬臂立柱的最大挠度和最大转角。
图3 悬臂式货架模型中不同层高悬臂立柱受力简图
根据单悬臂任意位置等效到悬臂端部位移的公式：
式中：Mi为任意处弯矩，l为悬臂梁长度，x为任意处弯矩作用点。
式中Mi为分别来自不同层高位置的悬臂梁上传递的等弯矩M，h为悬臂梁层高，l为悬臂货架立柱总高或考虑的某梁柱节点参考高度。
（3）悬臂式货架立柱平面内、平面外稳定计算
在悬臂式货架的单面悬臂满载的情况下，实腹式悬臂货架立柱在弯矩作用平面内形成最大挠度，实腹式悬臂货架立柱存在有残余应力和初弯曲。确定它们的极限承载力时，这些缺陷的取值也是一样的。因确定悬臂货架立柱的承载力时要考虑残余应力和初弯曲的影响，再加上不同的截面形状和尺寸等因素，不论用解析式近似法或数值积分法，计算过程都很繁复。这两种方法都不能直接用于设计构件。其实用计算公式可参考《钢结构设计标准》（GB50017-2017）[2]：
悬臂式货架立柱平面内稳定计算实用公式：
悬臂式货架立柱平面外稳定计算实用公式：
2.均布荷载作用的悬臂梁受力分析
悬臂货架立柱与悬臂梁的节点约束近似为悬臂梁的固定端约束了端截面的移动和转动，故有铅垂约束力FRA和约束力偶MA；如图4。
图4 悬臂式货架悬臂受力简图
由平衡方程、和微分方程
求得悬臂梁所受最大弯矩：
在悬臂梁与悬臂货架立柱的连接节点处，悬臂梁上最大剪力：
悬臂梁与悬臂货架立柱的连接节点处的弯曲应力：
式中：WA为悬臂梁的抗弯截面系数。因为为纯弯曲梁，此时梁的弯曲应力即为正应力。
同时可以得出悬臂梁B点处的挠度：
式中：I 为悬臂梁横截面对中性轴的惯性矩，q为悬臂梁上均布线荷载， l为悬臂长；
参照文献[2]，悬臂梁最大挠度一般控制在l/100, 国外标准有规定为l/180。
悬臂式货架结构选型计算与结构校核
1.悬臂梁选型计算与结构校核
根据上述理论推导，本文针对某项目案例，设计适用于长直杆件存储的悬臂梁式立体货架。单元货架尺寸设计为6000(L)mm×1000(D)mm×3000(H)mm，其中设计货架总高为3000mm，两托举悬臂间距为500mm，单悬臂载重400kg，单元货架层载重2t。
悬臂梁式货架设计的关键是立柱与悬臂梁构件选型。构件截面形状不同，其抗弯截面系数Wz也不同。在选取经济合理的截面时，一般用比值 Wz/A来衡量截面形状的合理性和经济性，其中A表示截面面积。通过比较圆形、矩形、工字型钢等几种标准型材的Wz/A的值，悬臂梁和立柱选用具有良好抗弯和经济性能的矩形管或双C截面拼合，本文采用矩形管进行模拟分析。
悬臂结构理论计算结果，如表1。
表1 悬臂梁计算表
用SAP2000建立悬臂梁结构模型并校核分析[6]，如图5、图6结果显示，悬臂梁最大弯曲应力为：195.43MPa，最大挠度为：-3.1693mm，与手工计算结果接近，均满足货架悬臂应力与挠度形变的设计要求。
图5 等截面悬臂梁SAP2000模拟分析图
图6 线性变截面悬臂梁SAP2000模拟分析图
在现行钢结构设计规范中，对等截面梁的设计有较详细的规定，但对变截面梁的稳定设计却没有规定，然而，在工程项目中经常遇到腹板高度沿梁长呈线性变化的悬臂梁，因而沿梁长截面的惯性矩、翘曲惯性矩、纯扭转惯性矩都不同，其稳定设计较为复杂。本文不讨论此类悬臂梁在均布荷载作用下挠度的解析方法，但可以通过有限元软件进行变截面模拟获得具体的挠度值；如本案采用线性变截面悬臂梁（固支端为矩形截面100×50×2mm，自由端端部为矩形截面60×50×2mm），则该变截面悬臂梁的SAP2000模型分析可获得最大挠度模拟值为：-3.7648mm；即针对等截面梁可建立悬臂梁或柱的截面特性数据库，对于线性的变截面则需要用有限元建立多元素模型进行模拟构建不同类别的挠度调整系数或变截面悬臂梁的柔度系数ζ，即，采用相应根部等截面梁的最大挠度计算值乘系数ζ的表达形式，如本案中的线性变截面悬臂梁的柔度系数ζ经模拟分析为，其中h为变截面悬臂梁根部截面的高度，h1为悬臂梁端部截面的高度；经模拟分析可以满足实际工程项目设计计算与应用。
2.悬臂立柱选型计算与结构校核
悬臂立柱结构理论计算结果，如表2。
表2 悬臂立柱计算表
用SAP2000建立悬臂货架结构模型并校核分析[6]，图7显示悬臂立柱底部最大应力为208.76N/mm2，与理论计算结果203.22MPa接近；图8结果显示，选择某一个悬臂货架立柱及其悬臂节点，经整理获得正常使用状态悬臂立柱各梁柱节点处和悬臂自由端的最大位移（mm）。
图7 悬臂立柱应力分析图
图8 悬臂货架SAP2000模型中悬臂立柱端部节点位移图
根据上述推导结论，通过EXECL表单化计算等间隔均布荷载悬臂作用的悬臂立柱端部水平位移量计算与SAP2000模型位移对比表，如表3、表4。
表3 悬臂立柱端部水平位移量计算与模型对比(单位:mm)
表4正常使用状态SAP2000模拟悬臂货架顶悬臂梁柱处节点和自由端的位移(mm)
以上分析及模拟验证说明，理论计算与必要的有限元模型模拟分析结果基本相符，能够满足实际应用，固支端的位移表明悬臂货架立柱在单侧悬臂满载状态下以悬臂侧发生垂直向侧移变形为主，构建完整悬臂货架结构模型则存在框架间的相互影响；且随着悬臂布置数量及层高不同而形成叠加变形，单悬臂自由端由于荷载作用而呈现一定的挠度，即悬臂呈均布荷载作用下垂位移量，固支端及自由端位移共同影响不同层高悬臂的下垂叠加量，并对存放物料倾斜安全性产生影响，故在实际应用中，需要评估各层悬臂的下垂叠加量（如梁柱之间的制造及其装配误差、紧固件受载下的变形影响等，且以上梁柱构件均未考虑可能的梁柱构件上的孔洞影响、梁柱实际节点与固支的差异等影响因素，必要时可以进行实载对比试验获得必要的承载及强度、刚度和稳定性的影响调整系数），并适当调整悬臂上翘的预留角度（常规设计为水平上翘3°左右角），而不是呈水平布置。
悬臂式货架振动稳定性分析
悬臂式货架系统在仓储过程中，除受到静载荷作用，还会有冲击载荷的作用，同时要考虑到地震影响因素[1]。当利用SAP2000软件对悬臂式货架结构进行模态分析时，它可以快速提供结构性能基本参数、各阶振型的自振频率及其对应的质量参与系数等；本文采用最大静力法，求出货架满载时的模态分析，得到前六阶自振频率如表5所示。地震作用主要考虑底部剪力法的水平震动效应，第一阶振型沿水平方向，其他振型为组合振型，故取第一阶振型为货架固有频率f =1.77 Hz。图9则为悬臂货架模型的模态分析局部截图。
表5 悬臂式货架模型前六阶自振周期
图9 货架前三阶模态截图
1.地震载荷
根据最新版《构筑物抗震设计规范》《建筑设计抗震规范》《钢货架结构设计规范》，震动载荷只需要计算水平方向的作用力。根据当地建筑防地震等级需要，本货架的防震等级为7级，地震加速度取0.15g ，参照美国货架制造业协会2012版的《工业钢结构仓库货架的设计、测试及使用规范》（ANSI MH 16.1-2012），其总的水平载荷：
式中：Cs为地震响应系数，与场地、振动周期以及震动加速度有关；Ip为系统重要因子，对于重要设施及系统中存在关键材料时Ip=1.5，对于其他情况取Ip=1，本文取Ip=1.0；本分析中取PRF=1，货物单层载荷P=20kN，合计设计14层，货架悬臂自重D =0.0456kN，每层有5根悬臂，合计货架单层自重为0.228kN。地震系数：
式中：CV为地震系数，由场地性能和地震速度关联峰值加速度确定，此取CV=0.24；R为安全系数，取R=4；T为货架振动周期，T=1/f=0.56s。则得到水平载荷：
2.有限元模拟分析
考虑到解析计算上的复杂性，建议采用SAP2000[6]有限元模型，并与上述描述的解析结果对比，以确认模型分析的正确性，通过不同工况进行模拟分析，获得广泛的设计适用结果。如工况一：DL+PL获得静力荷载下的挠度值仿真结果；工况二：1.3DL+1.5PL获得整个钢货架结构的极限承载力仿真结果；工况三：采用内置的Chinese2018抗震设置，满载下DL+PL+0.8Qx，可获得相应的抗震设防模拟分析结果（其中：DL为恒载，PL为活载，Qx为x向侧向抗震荷载作用）；通过对整个钢货架结构力学模型的建立、结构静力分析以及模态分析等，以避免激振频率与钢货架结构某阶固有频率接近而引起共振，以保证本结构能够承受一定的装载动载荷。
结论
对悬臂式货架结构进行分析并采用SAP2000有限元软件建模验证，推导出高层重载货架钢结构参数与承载的关系式，为悬臂式货架的参数化设计提供依据，也可以直接采用EXECL进行悬臂式货架的表格化参数设计与计算；本文方法适用于悬臂式货架结构的标准型材及产品系列，针对变截面悬臂结构的解析解法还存在繁琐过程及其复杂性，建议以有限元软件建模验证作为设计主手段，获得相应设计变截面悬臂梁的柔度系数ζ，可以很好地解决工程应用问题。
参考文献:
[1] GB50011-2010,《建筑设计抗震规范》[S].
[2] GB50017-2017,《钢结构设计标准》[S].
[3] CECS23:90,《钢货架结构设计规范》[S].
[4] WB/T 1075-2018,《悬臂式货架》[S].
[5] 刘鸿文.《材料力学》第 5 版[M].高等教育出版社.2011.
[6]《SAP2000中文版使用指南》,北京金土木软件技术有限公司.人民交通出版社.2012.
编辑、排版：罗丹
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