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1、第10章 结构的稳定与振动§10.1 结构屈曲问题概述 工程中由于结构失稳而导致的事故时有发生，1907年加拿大魁北克大桥桁架下弦杆失稳毁桥和1922年美国华盛顿剧院薄壁大梁失稳倒塌均酿成惨剧。随着工程结构向高层、大跨度方向发展以及大量新型、高强、轻型超薄结构的广泛应用，结构的部件或整体失稳的可能性增大。除了压杆失稳外，各种实际工程结构，如拱、刚架、窄梁、薄壁柱、薄板、扁壳、圆柱壳等都可能产生失稳或称屈曲。结构稳定性问题虽有各种不同定义，但都是研究系统在外界微小干扰时系统状态是否也微小的问题。结构的屈曲问题可大致分为如下几种类型33：1 据结构承载形式分为静力屈曲和动力屈曲，后者由于
2、时间参数的引入而更复杂。2 结构屈曲时的材料性质分为弹性屈曲、塑性屈曲和弹塑性屈曲。后者由于弹塑性交界处材料性质的变化使理论分析变得十分困难。3 按屈曲的性质（参照静力屈曲的研究成果和方法）分为：分叉屈曲，极值屈曲和跳跃屈曲（snap through buckling）。4 按照屈曲后路径是否稳定分为：稳定、不稳定和同时具有稳定及不稳定后屈曲路径的屈曲。5 根据外力与时间的关系分为自治系统屈曲和非自治系统屈曲。早在1744年欧拉（Euler,L.）就进行了弹性压杆屈曲的理论计算。1889年恩格塞（Engesser,F.）给出了塑性稳定的理论解。1891年布里安（Bryan,G.H.）作了简支矩
3、形板单向均匀受压的稳定分析。薄壁杆件的弯扭屈曲问题在20世纪30年代也基本得到解决。对结构稳定性问题的长期研究，极大丰富和发展了经典的弹性稳定理论，已具有重大的工程实用价值。20世纪60年代和70年代开展的对动态屈曲浩瀚领域的深入研究，有可能揭示屈曲、分叉和混沌之间存在的内在联系。从非线性的角度出发，研究弹塑性系统内屈曲向混沌的演化，具有十分重要的意义。应力波在动力屈曲问题中的引入，较好地解释了屈曲局部化现象。对于一个动力学系统，当受到一个任意微小的扰动之后，若始终在原始形态附近的一个有界邻域内运动，则系统是稳定的。丧失这一性质的荷载为临界荷载，与之密切相关的特征量还有屈曲模态和屈曲时间。由于
4、时间参数的引入，使动态屈曲较静态屈曲复杂得多。但结构工程领域目前仍注重于静力屈曲的线性和非线性理论。采用大型有限元程序精细地分析屈曲和后屈曲过程，计及各种非线性效应的影响，仍是今后的一个发展方向。根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可把平衡状态分为稳定、不稳定和随遇三种，研究结构稳定的主要目的就在于防止不稳定平衡状态的发生。由失稳前后平衡和变形性质，结构失稳一般可分为如下两大类：(a) 分支点失稳(b) 极值点失稳(c) 跳跃屈曲图10.1.1 静力屈曲分类第一类，完善体系（受压杆均为理想轴压杆）的分支点失稳（分叉屈曲），失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡
5、具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载；第二类，非完善体系（受压杆或有初曲率或有偏心荷载等“初始缺陷”）的极值点失稳（极值屈曲），失稳前后变形性质没有变化，杆件产生附加挠度，力-位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载（低于欧拉荷载，即两端铰支轴心压杆的临界荷载），达到时结构被压溃，故常称之为压溃荷载。工程中大量稳定问题都属于第二类，但因为第一类稳定问题在数学上容易作为特征值问题处理，力学上表达明确，而且它的临界荷载又近似地代表相应的第二类稳定问题的上限，所以多化为第一类失稳问题来处理。值得一提的是还存在一类仅发生在扁平二杆桁架或扁平三铰拱和扁壳的失稳现象，当荷载、变形达到一定程度时
6、，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。§10.2 杆件结构的稳定计算§10.2.1 压杆稳定计算方法分析分支点失稳时，常用静力法和能量法来确定临界荷载。静力法根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论
7、上的临界荷载值。不论是有限自由度体系还是无限自由度体系，都需要截取隔离体，列平衡方程。前者是代数方程，后者得出挠曲线近似微分方程，据此转化成稳定特征方程，从中求得最小特征根，即为临界荷载Pcr 。能量法根据临界状态的能量特征（即势能为驻值，且位移有非零解）提出的，它为复杂稳定问题提供近似解法。其计算精度取决于所选弹性曲线与实际挠曲线的接近程度（Pcr计算结果总是偏高），不仅必须满足位移边界条件，也应尽可能满足力的边界条件。往往取横向荷载下的挠曲线或级数形式的曲线作为近似挠曲线。实施步骤归纳为：(1)假设压杆失稳时的弹性曲线；(2)写出应变能和外力功的表达式；(3)利用势能驻值条件建立位移（或独
8、立参数）的齐次方程组；(4)由位移有非零解的条件，得稳定方程D = 0及其最小特征值Pcr 。在稳定状态下，微小的扰动使体系在原平衡位置作固有振动，其振动频率将随压力的大小而有所不同，当压力达到某一临界值时，微小振动的频率将趋于零。因此，研究平衡稳定性的动力准则就转化为自振频率的动力特性计算，据此确定临界荷载的方法称动力法。 例1 图10.2.1所示中心受压刚性杆，总质量为m ，沿杆长l均匀分布；上端自由，下端弹性固定，弹簧的转动刚度为c。失稳时该单自由度体系转动了角度并处于平衡状态。试求临界荷载值Pcr，并分析其平衡状态的稳定性。 解：一、静力法对于新的平衡状态（转角为），由静力平衡条件 对
9、于微小位移，有sin，上式改写成： (10.2.1)由于失稳时，0，只有临界荷载 。二、能量法体系总势能表达式为 =U+V其中：外力势能为V=-P=-Pl(1-cos)；弹簧的弹性势能（应变能）为U=c2/2 图10.2.1 例10-1图故体系总势能为 =c2/2-Pl(1-cos) 令 =0，并注意到变分的任意性，得 c-Plsin=0 (10.2.2) 因此， 或写成 （其中 ）为了进一步判断平衡的稳定性，要研究2=(c-Plcos)2的正负号（2恒为正）。当 Pc/l时，只有=0才能满足式（10.2.2），这时c-Plcos0,平衡状态稳定。当P=c/l，也只有=0才能满足式（10.2.
10、2），这时c-Plcos=0，平衡状态是随遇的。仅当Pc/l时，因sin，除零解外有多解，使c-Plcos0，平衡状态是不稳定的。三、动力法34设刚性杆的微段dz质量为dm。根据达朗伯原理，所有力对杆下端A取矩，列动平衡方程，得体系的运动方程： 或 （10.2.3）其中 由式（10.2.3）可知，自振频率 ；而临界状态时 =0即 （结果与前一致）。单根等截面弹性压杆在各种刚性支承理想约束下的临界荷载，已由材料力学求得，据此可估计弹性支承压杆的临界荷载值范围。杆系结构中其它杆件对压杆的作用也可因此简化成弹性支承的作用。对于阶梯形变截面压杆，可分段列微分方程，并联立求解；对于截面按指数规律变化的有
11、实用价值的压杆，可通过求解变系数微分方程得出稳定方程。对于弹性介质上的压杆，用能量法确定其临界荷载较为方便。 例2 试求图10.2.2a所示杆件体系压杆失稳时的临界荷载。 解：结构中，DC、CB、BA三根刚性杆是两个自由度的中心压杆，保持直线平衡状态。若C、B铰点出现水平位移y1、y2，则压杆失稳，出现新的平衡状态。其它杆件对C、B点起弹性约束作用，可简化为受弹性支承的压杆稳定问题求解。计算简图如图10.2.2b所示。弹簧刚度系数k1、k2由EFG杆和HK杆的弯曲变形用单位荷载法确定：。 用静力法求解。取为隔离体，由，得 再取为隔离体，由，得 考虑整体平衡，由 ，得 再由 ，得 整理得，以y1
12、和y2为参数的齐次线性方程组由于压杆失稳，y1和y2不全为零，则有稳定方程展开上式，整理得 解得 取其最小根，并代入k1、k2值，得图10.2.2 例10-2图 例3 图10.2.3a所示有初偏角（1）单自由度非完善体系，试求极值点失稳的临界荷载6。 解：(1)按非线性理论计算设体系发生图10.2.3b所示失稳变形状态，为有限值，刚性杆BD长l=h/cosh，得几何关系 (a)由图10.2.3c，有 b)图10.2.3 例10-3图考虑刚性杆平衡，由，得 将(a)、(b)式代入上式整理得 (c)由，得极值点位置： (d)极值点临界荷载为： (e)由式(c)和式(e)作P-图和Pcr-图如图10
13、.2.4a、b。图10.2.4 两种理论计算曲线(2)按线性理论计算由于是微量，并且由线性几何关系，有 ，于是 得 ， 作不同偏角的P-关系曲线图如图10.2.4c。如上分析可见：初偏角影响临界荷载，对稳定性不利。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。线性理论下不存在极值点，计算出的Pcr偏大，不安全。非完善体系的临界荷载应由非线性理论确定。对于压杆的非弹性屈曲，采用折算模量和切线模量计算，可分别得到实际临界荷载的上下限。屈曲后强度由于结构变形过大，承载能力增加较小，一般不予利用。§10.2.2 典型杆结构的稳定性 组合压杆 由于承重的需要或构造上的原因而在工程施工中广为应用
14、的组合压杆，通常是由两个型钢（肢杆）用若干联接件相联组成的“空腹柱”，按其联接件形式分缀条式和缀板式两种。组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实腹压杆的临界荷载小，究其原因是组合压杆中的肢杆仅在一定的节间距离由联结件联牢，屈曲时剪力产生的变形比较大。当组合压杆的节间数目较多时，其临界荷载可用实体压杆公式近似计算，但对公式中的剪切刚度项需另行处理，以反映联接件的作用，并考虑剪切变形对失稳临界荷载的影响35。 圆环和圆拱 局部水压力作用下的圆环和圆弧拱，竖向均布荷载作用下的抛物线拱及填土荷载作用下的悬链线拱等，当外荷载较小时，都处于中心受压状态（忽略超静定拱轴向变形影响）。当荷载达到临界值时，将失
15、稳而偏离原轴线位置，并同时产生弯矩。对于圆环和圆弧拱，用静力法建立圆弧形曲杆的弯曲平衡微分方程(用径向位移w和荷载q表示)： 式中，d为微段两端截面的相对转角，R为半径。令 ， 代入解得 （n=0,1,2,）当n=2时，得q的最小正值，即临界荷载: qcr=3EI/R3 两铰圆拱的失稳有对称和反对称两种形态，最小临界荷载对应于反对称失稳。但三铰圆拱的最小临界荷载通常是由对称失稳情况所控制。 窄条梁的侧向稳定 承受平面弯曲的梁为了增大其承载能力，经常把截面制成高而窄的形式，这种窄条梁当其荷载达到临界值时（这时梁截面上的压应力达到临界值），将丧失平面弯曲形式的稳定性，梁将偏离原弯曲平面而同时发生斜
16、弯曲和扭转。因此需要根据新的平衡位置，建立两个弯曲微分方程和一个扭转微分方程联立求解，即得控制方程 令 ， 解得稳定方程为 ，其最小正根为 于是得临界弯矩为 ，可见与侧向抗弯刚度EIy和抗扭刚度GIt均有关。 刚架的稳定计算 刚架是梁柱组合的高次超静定结构，为土建工程中钢筋混凝土结构和钢结构的主要结构形式。刚架体系杆件多，在计算受压杆的临界荷载时需考虑杆件之间的相互作用。常用的计算方法有： (1) 简化为单根弹性支承压杆 将直接承受轴向压力的杆件独立出来，把其余部分的作用化为某种弹性支承，得到原体系的计算简图。但仅在弹簧刚度（或柔度）极易求得的情况下，例如只有一根杆件处于压屈状态，其余组成弹簧
17、的杆件互不重复、互不干扰，才宜于作这种简化。如图10.2.5a将遇到确定弹簧刚度的困难，但图10.2.5b则不然，因为右柱为两端铰结压杆。需要注意，右柱虽简化成弹簧却不提供反力，反而加剧侧移，其刚度为负值。(2)位移法 此经典解法是在位移法典型方程中考虑轴向压力影响，修正刚度系数；令自由项都等于零；利用该齐次方程组具有非零解的条件得到刚架稳定方程，可（查表）算出临界荷载。(3)矩阵位移法(有限单元法) 对于压杆单元，在普通单刚上叠加单元几何刚度矩阵，以考虑轴向压力对刚度的影响。整体刚度方程为（K-S）=0,方程右边的荷载列阵为零矩阵。 根据失稳时的静力特征 0， 故 得 K-S=0，把临界荷载
18、问题转化为求矩阵最小特征值问题（见§4.4例4-11）。(a) (b) 图10.2.5 刚架稳定计算简图§10.3 薄板的弹性屈曲 薄板屈曲的微分方程式当板的厚度t与最小宽度b的比值在1/801/100t/b1/51/3时，称为薄板。薄板横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比，可忽略不计。假定等厚度薄板的材料是各向同性的匀质体，且符合虎克定律。薄板屈曲的临界荷载可通过求解中性平衡微分方程获得，也可用能量法、变分法和有限元法求解。薄板的坐标和应力分量如图10.3.1所示。计算实际工程的薄板问题时，常采用小挠度理论，并作如下三个基本假设：(1) 薄板具有一定的抗弯刚度，其垂直于中
19、面的挠度w远小于其厚度t,忽略弯曲引起的薄膜效应。(2) 直法线假设。应力分量z、zx和zy远小于其余三个应力分量x、y和xy，前者引起的应变可忽略。因此垂直于中面的直线段，弯曲后仍保持为无伸缩的直线，并垂直于弹性曲面。(3) 薄板弯曲时中面内的各点都没有平行于中面的位移，即为中性层。弯曲成的弹性曲面在xy面上的投影形状保持不变。根据假设，薄板弯曲问题可简化为平面应力问题，变形特征可用线性偏微分方程描述。与杆件的屈曲不同，薄板屈曲的临界荷载并不代表其破坏荷载，还需考虑其屈曲后强度。考虑薄板中面力以及平行六面体表面由于微弯状态具有的力矩、扭矩和剪力沿三个坐标轴方向的平衡条件（图10.3.2），可
20、得到有关薄板屈曲的三个平衡方程式： (10.3.1)为了简化，可进一步将三式组成一式： (10.3.2)上式包含四个未知量，需考虑几何条件和物理条件，补充三个方程后才能求解。 图10.3.1 薄板示意图 图10.3.2 薄板中面内力 分析薄板弯曲时的几何关系，将几何方程中的应变分量用挠度w表示，代入物理方程（广义虎克定律），得出用位移分量w表示应力分量的弹性方程。在平行六面体的侧面上应力的合力矩就是作用在该侧面上的各个内力矩。于是积分得出三个力矩-位移方程： (10.3.3)式中， 是单位宽度板的抗弯刚度，相当于梁的抗弯刚度EI；上式相当于梁的弯矩-曲率关系式。将式（10.3.3）代入式（10
21、.3.2），可得 或 (10.3.4)其中，是拉普拉斯算子。上式即薄板弹性屈曲的微分方程式，是以挠度w为未知量的四阶常系数线性偏微分方程。方程右边项与中面内力（荷载）有关，如果用薄板单位面积横向荷载q替换，方程即为薄板弯曲的弹性曲面微分方程。 单向均匀受压薄板的临界荷载图10.3.3为一四边简支的矩形薄板，在x轴方向承受均布压力px（以拉为正）。假设板的支承条件容许板边在板平面内自由移动，当板受压时不致在板的中面内引起附加的荷载。将Nx=-px，Ny=Nxy=0，代入式（10.3.4），得屈曲方程为 (10.3.5)由于沿板的简支边无挠度和无弯矩，不仅保持直边，且其曲率为零，则边界条件为： (
22、当x=0 和 x=a时) 和 (当y=0和y=b时)设该屈曲方程的解为双重三角级数： (10.3.6)上式显然满足边界条件，对上式的w求偏导数后代入式（10.3.5），得 (10.3.7)若Amn=0,则w=0，与中性平衡微弯状态不符，只能中括号内算式为零，即 (10.3.8)临界荷载应是使板保持微弯状态的最小荷载，故取n=1,即在y方向板弯成一个半波，于是 (10.3.9)式中：屈曲系数 ，可见该问题临界荷载大小取决于板的尺寸a/b。由 ，得 ；代入上式，得 （当a/b时，k接近于4）故最小的临界荷载为 (10.3.10)但上式仅当a/b是整数是才是正确的。否则应由式（10.3.9）计算。由
23、式（10.3.9）求得临界应力 (10.3.11)上式说明，临界应力与板的宽厚比的平方成反比，与板的长度无关。 四边固定正方形板单向均匀受压屈曲如图10.3.4所示一四边固定的正方形板，在x方向均匀受压。板的边界条件为：在x=0和x=a处， 在y=0和y=a处，。讨论该薄板屈曲时的临界荷载。薄板屈曲问题同样可以用能量法求解。求出薄板在中性平衡状态时的总势能（包含应变能U和荷载势能-W）后，就可用势能驻值原理、瑞利-里兹法、迦辽金法和有限单元法求解薄板的临界荷载。在线性理论中，薄板的应变能可应用材料力学复杂应力状态比能表达式，并代入物理方程和弹性方程积分得出： (10.3.12)外力势能等于外力
24、所作功的负值，可取宽为dy的板条，视为轴心压杆，先求得板条弯曲时外荷载所作的功，然后在整块板积分，即得 (10.3.13)设 ，该位移函数满足边界条件。在求出w的各阶导数后，代入式（10.3.12）和式（10.3.13）计算U和W，则总势能为 由中性平衡概念和势能驻值原理 求得临界荷载为 用级数求出的精确解为 ，可见能量法结果偏大约5.9% 。 图10.3.3 四边简支板单向均匀受压 图10.3.4 四边固定方板单向均匀受压 四边简支矩形板非均布压力下屈曲 分析如图10.3.5所示简支矩形板（板厚为t）在轴向压力和弯矩共同作用下的屈曲问题。设边缘最大压应力为1，离板上边缘为y处的应力为 (10
25、.3.14)当为压应力时取为正值，均匀受压时=0，纯弯曲时=2，压弯共同作用时02。 矩形板在单向受压时将屈曲成几个相等的半波并形成与x轴垂直的直的节线，因此可把每一个半波的板段看成是一个四边简支的矩形板，即把相邻两节线看成是两简支对边，在a范围内在x方向只出现一个半波。取一个满足简支边边界条件的位移函数： 用能量法求解。总势能表示为: = U-W 其中，U用式（10.3.12）计算得：式中，i =1, 2, 3, , 而j只取使（i+j）为奇数时的数值。 在求得总势能后，由可得包含Ai的齐次代数方程组，再由系数行列式等于零求得临界应力 (10.3.15)在=2的纯弯曲中，当a/b=2/3时，
26、k值最小。因此，一块长板在纯弯曲时可屈曲成许多长度为2b/3的半波。在一定的荷载作用下（为定值），屈曲系数k随板的长宽比而变化。除纯弯曲外，其余各种值时，最小k值均发生在a/b=1.0时。图10.3.5 矩形板非均匀受压 (a) 四边简支方板x向均匀受压 (b) 屈曲后的应力分布 图10.3.6 薄板屈曲后应力 单向受压板的屈曲后性能薄板的屈曲荷载不是它的破坏荷载，它的承载能力可大大超过其临界荷载。为了研究板的屈曲后性能，必需应用板的有限变形理论（大挠度理论）。假定薄板的挠度远小于中面尺寸，则在板的有限变形理论中，除了应考虑薄膜应变外，其它小挠度理论的基本假设仍属有效。考虑平衡条件和变形协调条
27、件，并利用广义虎克定律，可导出卡门板的大挠度方程。板的大挠度微分方程组无法求得精确的解析解，只能得出近似解和数值解。用迦辽金法可解得外加平均压应力和板中心挠度的关系式为 (10.3.16)式中，cr是弹性屈曲的临界应力。单向受压、四边简支正方形薄板的屈曲后性能有：(1)当荷载达到弹性屈曲临界应力后，板开始侧向变形，产生挠度，当挠度为有限值时，板的刚度逐渐加大，产生屈曲后强度，板能继续承载，与柱屈曲后的破坏不同。(2)板在屈曲后的应力分布规律与屈曲前相比有两个主要差别：屈曲前无y方向的正应力y，而屈曲后有y，且在板的长度中间为拉应力（薄膜拉应力）；屈曲前x方向的正应力x沿板宽均布，而屈曲后边缘附
28、近的正应力x大于板宽度中间的x（图10.3.6）。(3)在x方向，屈曲前各条纤维具有相同的刚度，屈曲后边缘部分的纤维具有较大的刚度，而中间部分的纤维刚度较差，因此屈曲后继续施加的荷载大部分由刚度较大的边缘部分来承担，从而引起沿宽度方向应力的不均匀分布。§10.4 结构振动微分方程近几十年来结构动力学由于有限元法、子结构综合法等方法的出现和数字计算机的广泛应用，已取得惊人的进展。但结构动力学所依据的数学模型仍按系统参数的空间分布，分为离散型和连续型两大类。离散系统的运动为常微分方程所支配，而连续系统的运动则为偏微分方程所支配。完全描述一个系统运动所需的独立坐标的最小数目称为系统的自由度
29、，对于完整系，自由度与广义坐标的数目相同。通常称描述动力位移的数学表达式为结构的运动方程。研究不同自由度系统运动时，应首先建立运动（振动）控制微分方程。 运动方程的建立 最直接而且方便的建立运动方程的方法是动静法。该法根据达朗伯原理和采用等效粘滞阻尼理论，将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结构上的动荷载。于是作用于质量上的所有力保持动力平衡，这样就把动力问题转化成假想的力系平衡的静力问题来处理，用写静力方程的方法写出体系的运动方程。当进行体系的位移和内力等响应计算时，按动力平衡概念，仍可采用结构静力学方法计算。用动静法（或称直接平衡法）建立有限自由度体系运动方程的一般步骤为： 根
30、据问题的具体情况和对计算精度的要求，确定动力自由度数目，建立计算模型（建模）。 建立坐标系，给出各自由度的位移参数。 沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力； 通过分析质量平衡或考虑变形协调，建立体系的运动方程，具体方法有两种：刚度法（列动力平衡工程）和柔度法（列位移方程)。刚度法取每一运动质量为隔离体，分析质量所受的全部外力。它既有动荷载、惯性力和阻尼力，还有体系变形所产生的阻止质量沿自由度方向运动的恢复力（也称约束反力、弹性力）。建立质量各自由度的瞬时“动平衡”方程，即可得到体系的运动方程。柔度法以结构整体为研究对象，假想加上全部惯性力和阻尼力，与动荷载一起在任意t时刻视作静力荷载，用结构静
31、力分析中计算位移的方法，求j自由度方向单位广义力（Xj=1）作用下，第i(i=1,2,)自由度方向的位移系数ij和荷载引起的i自由度方向位移iP，然后根据叠加原理列出该时刻第i自由度方向位移的协调条件，即可得到体系的运动方程。还可应用虚位移原理和哈密顿原理，建立结构体系运动微分方程36。对于更复杂的体系，特别是对质量和弹性只在有限区域是分布的体系，不直接利用作用于体系内的惯性力或保守力，而用体系的动能和位能的变分来代替这些力的作用，有时更能奏效。引入广义坐标qi的概念和拉格朗日系统，定义拉格朗日函数L=T-V（也称动势，其中T为体系动能，V为体系位能），则运动方程可取拉格朗日方程的形式，即 （
32、10.4.1）式中，Qi*为与非有势力（如阻尼力）相对应的广义力。上式构成n个非齐次、非线性、二阶微分方程组。非线性微分方程组的一般解是不存在的，在给定情况下，可采用某种简化假定，把方程线性化后再求解。 建立运动方程实例在实际问题中，可能有干扰力不直接作用在质点上，如图10.4.1a所示。这时用动静法中的柔度法较为简便。写出质点在各外力作用下的位移为 整理即得质点m的振动微分方程： （其中 ） (10.4.2)对于典型的二层剪切型框架（图10.4.1b），只考虑横梁的质量（m1和m2）,而不考虑其变形，层间刚度为k1和k2，不考虑柱的质量。采用动静法中的刚度法列其自由振动的运动方程时，可先求出
33、结构的刚度系数，如 k11=k1+k2，k21=k12=-k2，k22=k2，考虑各质量在水平方向上的动力平衡，列出平衡方程，即得运动微分方程： (10.4.3)若对上述框架应用拉格朗日方程。考虑在自由振动中，体系虽不受任何外力，但应把弹性反力作为质点所受主动力看待，弹性反力为有势力。设m1和m2的水平位移分别为w1(x,t)和w2(x,t)，这时动能T和位能（势能）V分别为 以L=T-V代入式（10.4.1）可得运动方程： (10.4.4)与式（10.4.3）一致。 (a) 柔度法 (b) 刚度法图10.4.1建立运动方程实例用动静法列运动方程时，也可以应用虚位移原理。只是在列虚功方程时，需
34、要把所有非理想约束的约束反力都看作主动力。如图10.4.2a所示两根刚杆AB与BC以铰B相连。刚杆AB具有均布质量，其集度为，BC为无重刚杆。两个弹簧刚度分别为K1、K2，两个阻尼器的阻尼常数分别为c1、c2，轴向力N不随时间变化。显然，这是一个具有理想约束的单自由度体系，但体系较复杂。若用虚功原理列其运动方程，将更为方便37。选取B点的竖向位移Z(t)为广义坐标。当以体系的平衡位置作为运动起始的零位置时，重量对运动不起影响。外力、弹性反力、阻尼力都视为主动力，再加上假想的惯性力和惯性力矩，体系受力及可能位移示于图10.4.2b。其中，。暂不考虑轴力N影响（产生几何刚度，可使广义刚度减小），写
35、出诸外力在虚位移Z上所作的虚功为 由于虚位移Z是任意的，所以方括号内必为零，即得出系统运动方程（简化形式）： (10.4.5)式中，广义质量，广义阻尼系数，广义刚度，广义荷载，它们都对应于该体系的广义坐标Z(t)。 (a) (b)图10.4.2 例虚功原理应用示 单自由度体系无阻尼自由振动微分方程 ，有阻尼自由振动微分方程 ，式中，k为衰减系数，2k=c/m，c为阻尼系数，m为质量。阻尼比=k/=c/ccr。强迫振动微分方程： （不计阻尼）； （计阻尼）。 多自由度体系（不计阻尼）自由振动微分方程矩阵表达式：（柔度法）；（刚度法）。 微分方程一般解： 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动微分
36、方程（不计阻尼）：（柔度法），（刚度法）多自由度体系有阻尼时的运动方程，一般形式为（刚度法）式中M、C、K为动力特性矩阵，分别称质量、阻尼、刚度矩阵（方阵），F为动荷载列阵。需要指出，体系运动方程中的柔度矩阵与刚度矩阵互为逆矩阵，但对应矩阵元素不存在互为倒数的关系，而且柔度矩阵和刚度矩阵并不等同于力法或位移法中的柔度矩阵和刚度矩阵，因为前者的质量自由度数不同于后者的基本未知量数。 无限自由度体系 梁自由振动基本微分方程 通解 自振频率 ( i=1,2,3,；k为频率特征值)振型函数 实际的无限自由度体系常用以下三种方法简化为有限自由度体系：集中质量法（将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个
37、或某些位置上，认为其它地方没有质量，形成有限个质点）；广义坐标法（当用一系列满足位移边界条件的位移函数的线性组合来近似表示位移曲线时，组合系数即为体系的广义坐标，其个数与自由度数相等，具体应用如Ritz法和振型分解法）；有限单元法（将结构划分为若干个具有分布质量的单元。体系的自由度数为单元结点可发生的独立位移未知量的总个数）。此外，还可用其它能量法求连续分布质量的无限自由度体系的基频。§10.5 结构的动力特性动荷载是时间和位置（坐标）的函数，有确定性与非确定性之分。结构受确定性荷载（周期或非周期）作用时的响应分析通常称为结构振动分析。结构在非确定性荷载（随机荷载）作用下的响应分析，
38、称为结构的随机振动分析。脉动风和地震地运动对建筑物产生的荷载以及车辆荷载都是随机荷载，但已发生的地震作用等荷载（样本）却都是确定性荷载。在动力分析中，结构的动力响应不仅与荷载的幅值及其变化规律有关，而且还与结构的动力特性有关。由结构质量、刚度分布和能量耗散等导出的结构自振频率、结构振型、结构阻尼，称为结构动力特性。对于动力特性相同的不同结构，在相同的动荷载作用下，它们的动力响应（位移、速度和加速度等）是一样的。 结构的自振频率 结构在外界干扰消失后仍在其静力平衡位置附近继续振动，这样的振动称为结构的自由振动。自由振动时的频率称自振频率（或固有频率）。一般来说，自振频率的个数与结构的动力自由度数
39、目相等。自振频率按从小到大的顺序排列成频谱，不同类型的结构，频谱具有稀疏型或密集型等不同的特点。频谱中最小的频率称为结构的基本频率（简称基频）。单自由度体系的自振频率 = （k、m为结构的刚度和质量）。 (10.5.1)有阻尼自振频率，小于无阻尼自振频率，但二者差异甚小，实际分析中一般不计阻尼对频率的影响。多自由度体系的自振频率则由如下频率方程（特征方程）求得：或 (10.5.2)式中，K、M都是结构动力特性矩阵。质量矩阵M有集中质量矩阵和一致质量矩阵之分，前者是对角阵，在分析中可消去转动自由度，进行静力凝聚。而一致质量阵采用计算刚度系数时所用的插值函数，集成的方法也同刚度矩阵，因而有许多非对
40、角线项，导致质量耦合，在分析中必须包括所有的转动和平移自由度。 结构的振型 当结构按频谱中的某一自振频率作自由振动时，各质点的位移相互间比值不随时间变化，任何时刻都保持特定的位移形状的振动模式称为结构的主振型（简称振型）。与基频对应的振型称结构的基本振型。对线性系统（线弹性），结构的位移响应可用结构振型的线性组合来表示。位移幅值向量的齐次方程（K-i2M）= 0或（M -i I）=0 (10.5.3)称为振型矩阵方程，称振型向量矩阵。振型向量具有正交性。n个自由度体系有n个振型向量i (i =1,2, n)，存在：和 (10.5.4)即振型向量对应于不同自振频率的振型向量之间存在着对质量矩阵M
41、和刚度矩阵K的权正交。正交性可用来检验所求得的振型是否正确；在已知振型的情况下，可用于计算该振型对应的自振频率 。振型向量的正交性也是振型叠加法计算动力响应的理论依据。 结构的阻尼 由于振动过程存在能量耗散，实际结构的自由振动总是衰减的，直到最后恢复静止的平衡。能量的耗散作用称阻尼。产生阻尼的因素很多，也很复杂，如结构材料的内摩擦，各构件连接处的摩擦以及周围介质的阻力等。阻尼的作用机理尚未搞清楚，目前通常采用的等效粘滞阻尼理论只是一种假设，即作用于质量的阻尼力与质量的运动速度成正比，与速度方向相反。在多自由度体系的运动方程中，引入阻尼矩阵C，其元素cij 的物理意义是：第j个位移方向单位速度所
42、引起的第i个位移方向的阻尼力，称为粘阻影响系数。在用振型叠加法时，为了使方程解耦，假设体系的阻尼矩阵对振型满足正交性条件，并引入广义粘阻系数Cj* 。通常假设阻尼矩阵C为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合，表达为：C = aM + bK，称比例阻尼或瑞利（Rayleigh）阻尼，式中，a、b为两个常数。则 (10.5.5)而，且，于是可得 ，在实际问题中通常根据两个已知的不相等的j和由实验测得的阻尼比j来计算a、b的值。§10.6 振型叠加法和直接积分法 结构体系运动方程结构体系运动方程是一个二阶线性微分方程组，方程表示与加速度有关的惯性力，与速度有关的阻尼力以及与位移有关的弹性力等左
43、边项与右边项外荷载的动力平衡。方程用矩阵表示为 (10.6.1)式中右边项，地震荷载表示为为地面运动加速度；风荷载，第一项指紊流引起的受迫干扰力，第二项指引起自激振动的空气力；在桥梁车振运动方程中，右边项表示车辆-桥梁的相互作用力等效到自由度r的作用力。在数学上，该运动方程可以用求解常系数微分方程的标准过程来求得方程组的解。但矩阵阶数高、方程耦联，除非利用系数矩阵的特殊性质，否则计算工作量相当大。在实用上，主要采用两种求解方法进行动力分析。一是频域的振型叠加法（也称振型分解法），二是时域的直接积分法（也称逐步积分法）。初看起来，这两种方法似乎完全不同，事实上它们有着密切的关系。振型叠加法本质上
44、是把平衡方程中的有限元位移（几何坐标）基变换为广义位移（正则坐标）基。实用有效的变换矩阵是振型向量矩阵。多自由度体系的动力位移一般主要由前几阶较低频率的振型组成，高阶振型的影响较小，可只取少数几个振型参与计算，使得到的新系统刚度、质量和阻尼矩阵带宽比原来系统矩阵小，而且振型的正交性使原微分方程解耦，从而大大减少计算工作量。然而直接积分法在数值积分前没有把方程变换成另一种形式，所需的运算次数直接正比于分析中的时间步数，所以求较短时间的响应或作时间历程的仿真，用直接积分法是很有效的。但有限元网格的拓扑结构决定了系统矩阵的高阶和稀疏（优化编码所得到的最小带宽是有限的），其分析计算量相当大。 振型分解
45、法 进行正规坐标变换，把一个多自由度体系的n个耦合的运动方程，转换成一组n个非耦合方程是动力分析振型叠加法的基础。该法能用于解任何线性结构的动力响应。把结构的位移向量Y按振型进行分解，阻尼用振型阻尼比表示，利用振型的正交性得到相互独立的关于正则坐标的n个单自由度运动方程，从而把n个自由度体系在任意动荷载作用下的响应的计算问题简化为n个单自由度体系的计算问题，在分别用杜哈梅积分求得各正则坐标的解答后，再转换为几何坐标。因此解法的实质和关键就是将动位移Y分解为各主振型的叠加，求出各质点位移后，即可计算其它动力响应，如加速度、惯性力、动内力等。方法步骤如下： 求体系的自振频率和对应的振型；对于无阻尼
46、自由振动，矩阵运动方程归结为特征问题，用式（10.5.2）和式（10.5.3）确定振型矩阵和频率向量。 计算广义质量和广义荷载 ，,；依次取每一个振型向量i计算。然后用每个振型的广义质量、广义力、振型频率i和给定的振型阻尼比i写出n个振型的解耦的运动方程： (10.6.2) 用杜哈梅积分求解正则坐标下单自由度振动方程对荷载的振型响应：（无阻尼）； （10.6.3） 计算体系的位移响应向量（几何坐标）； 上式表示各振型贡献的叠加。对于大多数类型的荷载，各个振型所起的作用一般是频率最低的振型最大，高振型则趋于减小。因而叠加过程通常不需要包含所有的高振型，根据计算精度和可靠性要求，限定所要考虑的振型数。所求出的结构位移时程函数可作为动力荷载作用下结构响应的基本度量，其它响应都能直接由位移求出。但在计算力时所包含的振型分量要比计算位移使更多一些，以确保精度。 求质点处动弯矩 ，其中 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动，考虑纯强迫振动计算最大动位移和动内力时，可将惯性力和干扰力的最大值（力幅）当作静力荷载加于结构上，直接由非齐次方程组： 和 (10.6.4)求得各质点的振幅和惯性力力幅，并由此得到最大动内力响应（如动弯矩等）。试用振型叠加法计算一个简单系统的位移响应。该系统的控制平衡方程组为 (10.6.5)
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