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1、第二章 赤平投影原理 赤平投影是在两度空间上解析三度空间的直线、平面关系问题的方法。它能够处理线状和面状构造的方位、运动轨迹和角距关系，可以帮助解析复杂的构造问题。但是，它不涉及地质体的具体位置、规模和相互距离，因此，不能代替剖面图、平面图和立体图。 1公元前二世纪，球面和平面三角的创始人、希腊天文学家希巴克斯将其用于天文学、地图学、航海学。1823年纳奥曼应用于晶体学。1920年美国的布彻首先应用于构造地质学。1930年桑德应用于岩组学。1958年我国地质学者何作霖教授著有赤平极射投影在地质科学中的应用。2由于赤平极射投影方法所用工具简单、操作简便，又可用计算机快速计算和图解，所以，近年来不
2、仅在构造地质学方面，而且在天文学、海洋学、工程地质学、钻探掘进学、结晶矿物学、岩组学、矿床地质学、古地磁学、地震地质学、大地构造学等领域，都广泛采用了该方法处理实践中的问题，取得了不同程度的效果。 3第二章 赤平投影原理 1. 直线和平面的几何性质（略）2. 球面几何基本原理3. 球面投影4. 赤平极射投影5. 赤平极射投影网6. 赤平圆外投影或赤平极外投影7. 等面积投影网8. 基本作图方法4第二节球面几何基本原理 1. 主要的球面几何定理(1) 任意平面和球相截而成的交线（或截痕）为一圆（图-1a）。通过球心的平面与球面相交的圆叫大圆，不通过球心的平面与球面相交的圆叫小圆。5第二节球面几何
3、基本原理 (2) 大圆分球和球面为相等的两部分。(3) 通过球面上不在同一直径的两个端点，能且仅能作一个大圆（图-1b）。6第二节球面几何基本原理 (4) 两个大圆的平面的交线是它们的直径，并且把它们平分。(5) 小于180的大圆弧（图-1c）是球面上两点间的最短球面距离。 7第二节球面几何基本原理 2. 轴、极点、极线、球面角及其度量垂直于任意已知圆所在平面的球直径叫做这个圆的轴。轴交球面于相反的两点P和P1，这两点叫做极点（图-2），并互成对蹠(zh)点。任意圆上所有点，如B1、B2、B3、B4，与这个圆的极点P的距离都相等。8第二节球面几何基本原理 极点叫做圆弧的球面中心，PB1、PB2
4、等弧的长度叫做球面半径（ 极距离 ） ，若球面半径等于90，则大圆弧（ A1A2 A3A4 ）叫做P或P1的极线。因此，极点是垂直于极线大圆的直线与球面的交点。大圆弧相交所成的角称为球面角，圆弧的交点叫做球面角的顶点，而圆弧叫做球面角的边。在图2上两个圆弧A2P和A3P在P点相交，故A2PA3为球面角。 910第二节球面几何基本原理 球面角的度量有四种方法：（1）用由平面POA2和POA3所构成的二面角来度量；（2）用直线角A2OA3度量；（3）用弧A2A3度量；（4）用在顶点P处切于球面角的边的切线间的夹角来度量。 球面角与平面角一样，可以是锐角、直角或钝角，其值在0360之间。两个互补球面
5、角的和等于180，有一个公共顶点的所有球面角的和等于360。 11第二节球面几何基本原理 3. 球面坐标系球面上点的位置可用任意坐标系确定，在构造地质学中最常用的是球面坐标系，主要是赤道坐标系和水平坐标系。 （1）赤道坐标系球面上任取一点为极点，作极点的极线，过该极点的大圆就是初始经线，而极线即为赤道（图3）。 12第二节球面几何基本原理 为了确定球面上M点的位置，可以通过M点和极点P作一大圆弧，从M点沿大圆弧到赤道的距离mM叫做M点的纬度，用来表示，相同纬度的坐标曲线叫做纬线，都平行于赤道，均是小圆。 有时用圆心角MOP的对应弧MP来表示，MP称为极距，用代表，极距与纬度的和等于90，即：+
6、90。 13第二节球面几何基本原理 第二个坐标是经度，即M点经线所在平面与初始经线所在平面之间的二面角来表示。经度相同的曲线就是经线。经线和纬线相互垂直。 14第二节球面几何基本原理 （2）水平坐标系图4中M点的位置由下面两个坐标确定：第一个是天顶距圆弧PM或圆心角POM，有时用OM的倾角表示。第二个用通过P和M所做半圆的方位角来度量（）。这种坐标系称为水平坐标系。平面上即为极坐标系。 返回15第三节球面投影 球面投影是以球体的球面作投影面，将通过球心的直线和平面投影（与球面相交）到球面上的方法。通常称这个球为投影球，它有下列几个要素（图5）。 （1）球面：（2）投影中心（O）；（3）三个特征
7、直径（AC、BD、EF），分别为直立、东西和南北三坐标轴。 16第三节球面投影 （4）赤平面（BEDF）；（5）两个直立面（AECF及ABCD）；（6）六个特征点（A、B、C、D、E、F）； （7）两个半球（上半球和下半球）；（8）基圆（赤平面与球面交线）。 17第三节球面投影 直线的投影。假设一直线向正东倾斜（伏），倾伏角40。它的球面投影可用图6中通过球中心的粗的直线与球面交点G或G来表示。G与G为对蹠点，代表的方位意义相同，实际操作时选取一点即可。18第三节球面投影 平面的投影。假投一个平面走向南北，向东倾斜，倾角40，它的球面投影可用图7中带点的平面与球面交线EGFG来表示。因为要求投
8、影的平面通过球中心，所以据上述球面几何定理，EGFG交线必定是个圆，常称作大圆。 19第三节球面投影 用平面的垂线或法线（QQ线）进行投影更为方便，其方法与直线的投影相同。在球面上法线的投影点（极点）与平面投影大圆之间夹角（即球面半径）为90。通常称前者为极点（式）投影，后者为迹式投影。 返回20第四节赤平极射投影 赤平极射投影是投影平面位置和透视方式的组合名称，意指球面上的最高点（上端点）或最低点（下端点）为透视点或发射点，赤道平面作投影平面。用这种方法在赤道平面上所投影成的图形，叫做赤平极射投影图。 21第四节赤平极射投影 1、平面的投影假设地面0点处有一构造面（图8a）,其产状为SW21
9、050。以0点为圆心，任取长度为半径作一球，则构造面将与球相交成一大圆（图8b），该大圆即为构造面的球面投影。 22第四节赤平极射投影 现在以球的最高点或最低点为发射点，分别与下半球或上半球构造面的球面投影半圆弧用射线连起来，诸射线与赤平面的交点联线，既为构造面的赤平极射投影（图8c）。通过投影球中心的一切面状构造，其赤平极射投影均是大圆弧，而且在几何上是圆的一部分。 23第四节赤平极射投影 BDG=HBG，因BG为共用线，HB=DG，HBG=DGB，所以BD=HG，BD是一个圆，因之，HG也是个圆，它们是圆锥体的一对轭切面。 又POF为一直角三角形，PHG也为一直角三角形，ODP=OPD，B
10、DG=BHG，因此，ODP=PHG，所以，OFP=HGP，HGEF。因为HG是一圆，所以EF也是一个圆。 24第四节赤平极射投影 如果面状要素用倾向方位角及倾角给定，并令赤平面南北轴为X，东西轴为Y。通过简单推导，其投影大圆弧可用下列方程式表示：当0时，方程简化为：显然，平面的赤平极射投影大圆弧满足于圆方程。 25第四节赤平极射投影 若采用平面的法线进行投影，则其投影点位于大圆弧的对面象限，二者角距为90（图10），它们的投影位置距投影中心0的距离分别为、。 26第四节赤平极射投影 图11为一投影球直立剖面，设一构造面倾角为，由图可知：OX是平面的投影，XX代表平面的倾角，X是B点的投影，在P
11、OX中，同样，OY是法线OC的投影，Y是C点的投影，在POY中，27第四节赤平极射投影 由上可见：直立平面（倾角为90）的赤平极射投影为赤平面大圆的直径，极点位于基圆；水平面（倾角为0）的赤平极射投影与赤平基圆重合，其极点投影位于赤道基圆中心。倾斜面投影则为介于赤平大圆平面直径和基圆中间的大圆弧，其极点投影位于对面象限，两者角距永为90。 28第四节赤平极射投影 球面几何定理已指出，不通过球心的平面与球面相交成小圆。而球面小圆的赤平面极射投影仍为小圆。当球面小圆水平时，极易看出其赤平极射投影为与赤平大圆同心的小圆（图12a）。球面小圆直立或倾斜时，虽不易看出，但均投影成小圆（图12b、c），而
12、且都是圆或圆的一部分，也都满足圆方程表达式。 29第四节赤平极射投影 2、直线的投影 设直线RS通过投影球中心，并与球面相交Q、Q两点（图14），代表该直线的球面投影。以投影球最高点或最低点为发射点，用射线把Q或Q点联起来，射线和赤平面的交点A或A，就是Q或Q的赤平极射投影。严格说来，OA或OA代表了直线RS的投影，其长短可用表示。 30第四节赤平极射投影 简单模拟即可知道：一条直立线的赤平极射投影位于投影中心O点；一条水平直线的赤平极射影为基圆上两点；倾斜线的赤平极射投影，介于投影中心与基圆之间的两点。因两点为对蹠点，所以任选一点即可。 返回31第五节赤平极射投影网 为了便于迅速绘制赤平极射
13、投影图，进行面、线构造的方位、角距测算，一般是在根据上述原理制作的网上进行的。通用的网是前苏联结晶学家吴尔福（Wulff,1893,1902）创制的，故称吴尔福网或简称吴氏网（15），它的结构要素如下： 32第五节赤平极射投影网 （1）基圆：即赤平面与投影球面交线，是网的边缘大圆。（2）两个直径，分别为投影球南北向和东西向直立平面投影。（3）经线大圆：一系列南北走向，向东斜倾及向西倾斜的通过球心的平面投影（图16）。33第五节赤平极射投影网 （4）纬线小圆：一系列切割投影球不通过球心的东西走向直立平面投影（也见图16），它们将网的南北向直径、经线大圆和基圆等分（角距相等）。 （5）五个特征点：
14、北（0）、东（90）、南（180）、西（270）、圆心（0点）。 34第五节赤平极射投影网 吴氏网的基本特征是：（1）大圆经线和小圆纬线都是圆弧。分别用下列方程表示： 式中是纬线小圆与基圆上中心点角距。 35第五节赤平极射投影网 （2）大圆经线和小圆纬线相互垂直；（3）互相垂直的基圆两直径的刻度格值相同。（4）与网心不同距离上的线段长度是极距的正切函数，所以不同位置上的单位格值所围的面积不等，离网心愈远面积就愈大。 换言之，球面上面积相等的圆或其它图形，投影到吴氏网上之后，面积变得了不相等了（17）。 36第五节赤平极射投影网 （5）赤平极射投影最大的特征是球面上二线或二平面夹角，经投影后仍保
15、持不变，就是赤平极射投影的保角性，所以这种投影又叫做等角投影。这不仅使投影图的作法准确、简便，而且可以直接用量角器在吴氏网上测量二直线或二平面的交角值（18）。返回37第六节赤平圆外投影或赤平极外投影赤平圆外投影也是赤平投影的一种，其原理与赤平极射投影有许多相似之处。基本点也是将球面上的线、面要素投影到赤道平面上。与赤平极射投影的主要区别是发射点和投影的位置不同。 如图1 9所示，BB面的赤平极射投影和等面积投影分别为OX及OX。 38第六节赤平圆外投影或赤平极外投影设圆半径为R，则：故，显然越也了基圆范围。为此按比例缩小，得 当0时，因为39第六节赤平圆外投影或赤平极外投影由此得出的分度投影
16、几乎近于等分，且大体使同样角距的线所围限的面积趋于相等，故通常称为等面积投影。换言之，球面上面积相等的圆或其它图形，投影到赤平面上之后仍保持基相等的面积（图20），但形状却受了歪曲。40第六节赤平圆外投影或赤平极外投影球面上二直线或二平面夹角在投影图上也发生了变异。如若用量角器直接量度，则不能反映真实的角度大小（图21）。相应地，平面迹式投影也非圆弧，而变形四级曲线。 返回41第七节等面积投影网（施密特网） 兰勃脱(Lambert)于1772年首创等面积投影并应用于地理制图中，施密特(Schmidt)用此法制成赤平圆外投影网，并首先引进到岩组学和构造地质学中，故通常称为施密特网或简称施氏网（图22）。42第七节等面积投影网（施密特网） （1）经线大圆和纬线小圆都不是圆或圆的一部分，而是四级曲线。据莱特(
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