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目 录第一章绪论1.1什么是疲劳（1）1.2疲劳断裂破坏的严重性（4）1.3疲劳设计方法（6）1.4疲劳断口特征（8）1.5疲劳断裂研究方法（15）第二章应力疲劳2.1S-N曲线（18）2.2平均应力的影响（22）2.3影响疲劳性能的若干因素（26）2.4缺口疲劳（30）2.5变幅载荷谱下的疲劳寿命（34）2.6随机谱与循环计数法（40）（47）第三章疲劳应用统计学基础3.1疲劳数据的分散性（48）3.2正态分布（49）3.3威布尔分布（57）3.4二元线性回归分析（60）3.5S-NP-S-N（69）（73）PAGE\*romanPAGE\*romaniii第四章应变疲劳4.1单调应力（74）4.2-（77）4.3材料的记忆特性与变幅循环响应计算（80）4.4应变疲劳性能（84）4.5缺口应变分析（89）第五章断裂失效与断裂控制设计5.1结构中的裂纹（99）5.2（101）5.3（107）5.4K1c（108）5.5（113）（116）（117）第六章表面裂纹（119）（123）弯曲载荷作用下有限体中表面裂纹的应力强度因子（136）（137）第七章弹塑性断裂力学简介7.1（139）7.2（144）7.3CTOD（146）（150）思考题与习题（151）第八章疲劳裂纹扩展8.1（151）8.2（156）8.3（163）（169）（171）第九章裂纹闭合理论与高载迟滞效应9.1（173）9.2（176）9.3（181）（186）（186）第十章疲劳寿命预测和抗疲劳设计10.1概述（187）10.2损伤容限设计中的损伤累积方法 （188）10.3耐久性设计概述（193）（196）（197）附录A二维裂纹问题的弹性解（198）B相关试验标准（201）（205）（206） PAGEPAGE10FATIGUEandFRACTURE疲劳与断裂第一章 绪论疲劳(Fatigue)与断裂(Fracture)是引起工程结构和构件失效的最主要的原因。在面向21世纪的今天，人们对传统强度(静载荷作用、无缺陷材料的强度)的认识已相当深刻，工程中强度设计的实践经验和积累也十分丰富，对于传统强度的控制能力也大大增强。因此，疲劳与断裂引起的失效在工程失效中越来越突出。19世纪中叶以来，人们为认识和控制疲劳破坏进行了不懈的努力，在疲劳现象的观察、疲劳机理的认识、疲劳规律的研究、疲劳寿命的预测和抗疲劳设计技术的发展等方面积累了丰富的知识。20世纪50年代断裂力学的发展，进一步促进了疲劳裂纹扩展规律及失效控制的研究。疲劳断裂失效涉及到扰动使用载荷的多次作用，涉及到材料缺陷的形成与扩展，涉及到使用环境的影响等等，问题的复杂性是显而易见的。因此，疲劳断裂的许多问题的认识和根本解决，还有待于进一步深入的研究。尽管如此，了解现代研究成果，掌握疲劳与断裂的基本概念、规律和方法，对于广大工程技术在实践中成功地进行抗疲劳断裂设计无疑是十分有益的。什么是疲劳?人们认识和研究疲劳问题，已经有150年的历史。在不懈地探究材料与结构疲劳奥秘的实践中，对疲劳的认识不断地得到修正和深化。什么是疲劳？这里引述美国试验与材料协会（ASTM）在“疲劳试验及数据统计分析之有关术语的标准定义”（ASTME206-72）中所作的定义：在某点或某些点承受扰动应力，且在足够多的循环扰动作用之后形成裂纹或完全断裂的材料中所发生的局部永久结构变化的发展过程，称为疲劳。上述定义清楚地指出疲劳问题具有下述特点：1）只有在承受扰动应力作用的条件下，疲劳才会发生。所谓扰动应力，是指随时间变化的应力。更一般地，也可称之为扰动载荷，载荷可以是力、应力、应变、位移等。如图1.1所示，载荷随使用时间的变化可以是有规则的。也可以是不规则的，甚至是随机的。如当弯
SSSSmaxΔt0 t恒幅循环
S随机载荷t变幅循环t 0随机载荷t矩不变时，旋转弯曲轴中某点的应力，是恒幅循环（或
图1.1 疲劳载荷形式分类等幅循环）应力；起重行车吊钩分批吊起不同的重物，承受变幅循环的应力；车辆在不平的道路上行驶，弹簧等零构件承受的载荷是随机的。描述载荷—时间变化关系的图或表，称为载荷谱。图1.1给出了应力随时间的变化，由应力给出的载荷谱称为应力谱，类似地，还有应变谱、位移谱、加速度谱等等。显然，在研究疲劳问题时，首先要研究载荷谱的描述与简化。最简单的循环载荷是恒幅应力循环载荷。图1.2所描述的是正弦型恒幅循环应力。显然，描述一个应力循环，至少需要二个量，如循环最大应力Smax和最小应力Smin。这二者是描述循环之应力水平的基本量。疲劳分析中，还常常使用到下述参量，即：应力变程（全幅）ΔS定义为：ΔS=Smax-Smin 应力幅（半幅）Sa定义为：Sa=ΔS/2=(Smax-Smin)/2 平均应力Sm定义为：Sm=(Smax+Smin)/2 应力比R定义为：R=Smin/Smax (1-4)
图1.4飞机轮毂疲劳破坏断口。在与不同使用工况对应的变幅循环载荷作用下的裂纹扩展过程中，裂纹以不同的速率扩展，在断面上留下的不同使用时刻的裂纹形状痕迹，形成了明暗相间的条带。这些条带称为“海滩条带”（beachmark），就象海水退离沙滩后留下的痕迹一样,显示出了疲劳裂纹是不断扩展的过程。同时，裂纹的二个表面在扩展过程中不断地张开、闭合，相互摩擦，使得断口较为平整、光滑；有时也会使海滩条带变得不太明显。由于疲劳裂纹扩展有一个较长的时间过程，则在环境的作用下，裂纹扩展区还常常留有腐蚀的痕迹。裂纹扩展区的大小，海滩条带的形状和尺寸及断口微观形貌等，可为失效分析提供十分丰富的信息。裂纹源通常在高应力局部或材料缺陷处。裂纹源一般是一个，也可以有多个。裂纹的起源位置在高应力区，高应力区通常在材料表面附近。如果材料含有夹杂、空隙等缺陷，局部应力也将升高，使缺陷处成为可能的裂纹源。与静载破坏相比，即使是延性材料，也没有明显的塑性变形。若将疲劳断裂破坏后的断口对合在一起，一般都能吻合得很好。这表明疲劳破坏之前构件并未发生大的塑性变形；即使延性很好的材料，也是如此。这是与单调载荷下的破坏不同的显著特点。工程实际中的表面裂纹，一般呈半椭圆形。如图1.4所示，起源于表面的裂纹，在循环载荷的作用下扩展，通常沿表面扩展较快，沿深度方向扩展较慢，呈半椭圆形。且宏观裂纹一般在最大拉应力平面内扩展。疲劳破坏与静载破坏相比较，有着不同的特点。如表1-2所示：静载破坏是在高应力作用下构件整体强度不足时瞬间发生的；疲劳破坏则是在满足静强度条件的表1-2 疲劳破坏与静载破坏之比较疲劳破坏静载破坏S＜SuS＞Su破坏是局部损伤累积的结果。破坏是瞬间发生的。断口光滑，有海滩条带或腐蚀痕迹。有裂纹源、裂纹扩展区、瞬断区。断口粗糙，新鲜，无表面磨蚀及腐蚀痕迹。无明显塑性变形。韧性材料塑性变形明显。应力集中对寿命影响大。应力集中对极限承载能力影响不大。较低应力多次作用下，构件局部损伤累积的结果。静载破坏断口粗糙、新鲜、无表面磨蚀或腐蚀痕迹；疲劳破坏断口则比较光滑，有裂纹源、裂纹扩展区、瞬断区，有海滩条带或腐蚀痕迹。延性材料静载破坏时塑性变形明显；疲劳断口则无明显塑性变形。局部应力集中对结构极限承载能力影响不大，但对疲劳寿命影响很大。疲劳破坏机理一、疲劳裂纹萌生机理材料中疲劳裂纹的起始或萌生，也称为疲劳裂纹成核。疲劳裂纹形成后，将在使用载荷的作用下继续扩展，直至断裂发生。疲劳裂纹成核处，称为“裂纹源”。裂纹起源于何处？起源于高应力处。一般来说，有二种部位将会出现高应力：应力集中处。材料中含有缺陷、夹杂，或构件中有孔、切口、台阶等，则这类几何不连续处将引起应力集中，成为“裂纹源”。构件表面。在大多数情况下，构件中高应力区域总是在表面（或近表面）处，如承受弯曲或扭转的圆轴，其最大正应力或最大剪应力在截面半径最大的表面处。表面还难免有加工痕迹（如切削刀痕）的影响，环境腐蚀的影响。同时，表面处于平面应力状态，有利于塑性滑移的进行，而滑移是材料中裂纹成核的重要过程。金属大多是多晶体，各晶粒有各自不同排列方位。在高应力作用下，材料晶粒中易滑移平面的方位若与最大作用剪应力一致，则将发生滑移。材料表面材料表面约0.1约0.1m材料表面b)细滑移图1.5 延性金属中的滑移滑移可以在单调载荷下发生，也可以在循环载荷下发生。图1.5中示出了在较大载荷作用下发生的粗滑移和在较小的循环载荷作用下发生的细滑移。 在循环载荷作用下，材料表面发生滑移带“挤出”和“凹入”，进一步形成应力集中，导致微裂纹产生。滑移的发展过程与施加的载荷及循环次数有关，图1.6是多晶体镍中同一位置在不同循环次数时的金相照片，其中的黑色围线是晶粒边界。由图1.6可见，经历了104次循环后，只有少数几处出现滑移，滑移线细，表示其深度较浅，用电解抛光将表面去除几个微米，这些浅滑移线可以消除。随着循环次数增加，滑移线（或滑移带）越来越密集，越来越粗（深），如图中到27104次循环时所示。(a)104次循环 (b)5104次循环 (c)27104次循环图1.6 循环载荷下多晶体镍中滑移的发展应当注意，滑移主要是在晶粒内进行的。深度大于几个微米的少数几条滑移带穿过晶粒，成为“持久滑移带”或称“驻留滑移带”，微裂纹正是由这些持久滑移带发展而成的。滑移只在局部高应力区发生，在其余大部分材料处，甚至直至断裂都没有什么滑移。表面光洁可延缓滑移，延长裂纹萌生寿命。二、疲劳裂纹扩展机理SS阶段1阶段2在循环载荷作用下，由持久滑移带形成的微裂纹沿45最大剪应力作用面继续扩展或相互连接。此后，有少数几条微裂纹达到几十微米的长度，逐步汇聚成一条主裂纹，并由沿最大剪应力面扩展逐步转向沿垂直于载荷作用线的最大拉应力面扩展。裂纹沿45最大剪应力面的扩展是第1阶段的扩展，在11
e图1.8 塑性钝化过程
(a)ScbScbd0at(c)(d)(e)裂纹要收缩，但新开创的裂纹面却不能消失，它将在卸载引入的压应力作用下失稳而在裂尖形成凹槽形；最后，在最大循环压应力作用下，又成为尖裂纹，但其长度已增加了一个Δa样，每一个应力循环，将在裂纹面上留下一条痕迹，称之为疲劳条纹（striation）。疲劳条纹不同于前述之海滩条带,断口上的海滩条带一般是肉眼（或用低倍放大镜）可见的；疲劳条纹在晶粒级出现，必需借助于高倍电子显微镜才能观察到；故一条海滩条带可以包含几千条甚至上万条疲劳条纹。图1.9、1.10示出了我们得到的若干典型疲劳断口观察照片。图1.9所示为铝合金板中埋头铆钉 图1.9孔边疲劳断口海滩条带孔边裂纹的海滩条带（放大10倍）,图1.10所示为Cr12Ni2WmoV钢的疲劳条纹照片（放大2-3万倍）。图1.10 Cr12Ni2WmoV钢疲劳条纹疲劳断口的微观特征1976年，Crooker指出，利用高倍电子显微镜可以观察到三种不同的疲劳裂纹扩展的微观破坏形式。即微解理型（microcleavage），条纹型（striation）和微孔聚合型（microvoidcoalescence）。图1.11是我们在1984年获得的Cr12Ni2WMoV钢疲劳裂纹扩展微观观察照片。图1.11a是微解理型，对应于比较低的裂纹扩展速率（10-5-10-7mm/c）；图1.11b是条纹型，对应的裂纹扩展速率约为10-6-10-3mm/c；图1.11c是微孔聚合型，对应a微解理型 b条纹型 c微孔聚合图1.11 Cr12Ni2WMoV钢疲劳断口微观观察照片于较高的疲劳裂纹扩展速率（10-4-10-1mm/c）。其中，最值得注意的是微观疲劳条纹。疲劳条纹的形成与载荷循环有关，由条纹间距可以估计裂纹扩展速率。微观“疲劳条纹”不同于前述之断口宏观疲劳“海滩条带”，海滩条带的形成与周期载荷循环块对应，肉眼可见；疲劳条纹与单个循环载荷对应，需要利用高倍电镜（103-104倍）才能观察，一条海滩条带可能含有成上千上万条条纹。不同观察工具与疲劳断口观察内容的关系如1-3表所示。表1-3 观察工具与疲劳断口观察内容的关系观察工具肉眼，放大镜金相显微镜电子显微镜放大倍数1-10×10-1000×1000×以上观察对象宏观断口，海滩条带裂纹源，夹杂，缺陷条纹，微解理，微孔聚合由疲劳断口进行初步失效分析由疲劳破坏断口提供的大量信息，可以对构件或结构的失效原因进行分析。等三个特征区域，判断是否为疲劳破坏；若为疲劳破坏，则可由裂纹扩展区的大小，判断破坏时的裂纹最大尺寸；进而可利用断裂力学方法，由构件几何及最大裂纹尺寸估计破坏载荷，判断破坏是否在正常工作载荷状态下发生；还可以观察裂纹起源的位置在何处？再利用金相显微镜或低倍电子显微镜，可对裂纹源进行进一步观察和确认，并且判断是否因为材料缺陷所引起，缺陷的类型和大小若何？高倍电子显微镜微观观察，可以研究疲劳裂纹扩展的机理。由宏观“海滩条带”和微观“疲劳条纹”数据，结合构件使用载荷谱分析，还可能估计裂纹扩展速率。疲劳断口分析，不仅有助于判断构件的失效原因，也可为改进疲劳研究和抗疲劳设计提供参考。因此，发生疲劳破坏后，应当尽量保护好断口，避免损失了宝贵的信息。疲劳断裂研究方法如同1.1节所述，疲劳断裂问题，需要研究载荷谱、裂纹萌生及扩展规律、构件细节应力分析、疲劳寿命预测和抗疲劳设计方法等等。一方面由于涉及因素多，问题复杂，难以找到解析的、普遍的寿命预测方法；另一方面，工程应用的需求迫切。因此，研究问题时必须抓住主要因素，建立简化模型，逐步深化认识。例如，对于载荷谱，先研究恒幅循环载荷的最简单情况，再考虑变幅载荷下的损伤累积，最后考虑随机载荷。对于裂纹萌生及扩展规律，则先研究不含缺陷的光滑材料在恒幅循环载荷载荷作用下的裂纹萌生规律，给出应力—寿命、应变—寿命及不引发裂纹的疲劳极限等基本关系，再讨论应用于构件时所需进行的必要的修正，建立裂纹萌生寿命估算方法，满足无限寿命设计、安全寿命设计的需求。再讨论含裂纹材料的断裂和疲劳裂纹扩展规律，研究断裂判据，研究在不同载荷谱作用下裂纹扩展寿命的预测，建立损伤容限设计方法。关于寿命预测和抗疲劳设计方法，是依赖于对问题的认识水平，从不考虑裂纹向考虑裂纹；从确定性分析向可靠性分析；从控制构件和结构的安全向综合控制设计—制造—使用—维修，以安全和经济为目标；逐步发展、丰富的。此外，还应研究疲劳破坏的基本机理，不断积累、深化对于疲劳断裂破坏的更本质的认识，不断提高抗疲劳设计能力。疲劳断裂研究的基本思路如图1.5所示。随机载荷随机载荷累积损伤方法计数法恒幅循环载荷S，R变幅循环载荷构件细节应力分析寿 安全寿命设命预测实验研究裂纹萌生规律不考虑裂纹构件疲劳性能（各种修正）无限寿命设计材料疲劳性能裂纹扩展规律考虑裂纹裂纹扩展寿命预测方法损伤容限设计图1.5 疲劳断裂研究基本框图小 结1）疲劳是：在某点或某些点承受扰动应力，且在足够多的循环扰动作用之后形成裂纹或完全断裂的材料中所发生的局部永久结构变化的发展过程。2）疲劳的特点是：有扰动应力作用；破坏起源于高应力或高应变的局部；有萌生—扩展—断裂三个阶段；是一个发展过程。描述循环之应力水平的基本量是：Smax和Smin。 导出量有：应力变程： ΔS=Smax-Smin 应力幅：平均应力： Sm=(Smax+Smin)/2 应力比： R=Smin/Smax上述参量中，需且只需已知其中任意二个,即可确定循环应力水平。疲劳研究的任务包括：疲劳载荷谱；疲劳裂纹萌生和扩展的机理及规律，预测与抗疲劳设计的方法。典型疲劳破坏断口的特征是：有裂纹源、疲劳裂纹扩展区和最后断裂区三个部分；裂纹扩展区断面较光滑，通常有“海滩条带”和/或腐蚀痕迹；裂纹源通常在高应力局部或材料缺陷处；无明显的塑性变形。疲劳破坏与静载破坏的区别：疲劳破坏静载破坏S＜SuS＞Su破坏是局部损伤累积的结果。破坏是瞬间发生的。断口光滑，有海滩条带或腐蚀痕迹。有裂纹源、裂纹扩展区、瞬断区。断口粗糙，新鲜，无表面磨蚀及腐蚀痕迹。无明显塑性变形。韧性材料塑性变形明显。应力集中对寿命影响大。应力集中对极限承载能力影响不大。疲劳断口的宏、微观信息，是进行失效分析的重要依据。由于疲劳问题的复杂性，实验研究尤为重要。思考题与习题1-1．什么是疲劳？疲劳问题有那些特征？1-2．试述疲劳断口与静载破坏断口有何不同。1-3. 在失效分析中，疲劳断口可能提供哪些信息？1-4．提高表面光洁度，引入残余压应力可以提高疲劳寿命，为什么？1-5．已知循环最大应力Smax=200MPa，最小应力Smin=50MPa,计算循环应力变程ΔS、应力幅Sa、平均应力Sm和应力比R。1-6．已知循环应力幅Sa=100MPa,R=0.2.计算Smax、Smin、Sm和ΔS. PAGEPAGE48第二章 应力疲劳按照作用循环应力的大小，疲劳可分成为应力疲劳和应变疲劳。若最大循环应力Smax小于屈服应力Sy，则称为应力疲劳；因为作用的循环应力水平较低，寿命循环次数较高（疲劳寿命Nf一般大于104次），故也称为高周疲劳。若最大循环应力Smax大于屈服应力Sy，则由于材料屈服后应变变化较大，应力变化相对较小，用应变作为疲劳控制参量更为恰当，称之为应变疲劳；因为应变疲劳作用的循环应力水平较高，故寿命较低，Nf一般小于104。应变疲劳也称为低周疲劳。本章研究应力疲劳。基本S—N曲线现在先研究材料的疲劳性能。材料的疲劳性能，用作用应力S与到破坏时的寿命N之间的关系描述。在疲劳载荷作用下，最简单的载荷谱是恒幅循环应力。描述循环应力水平需要二个量，为了分析的方便，使用应力比R和应力幅Sa。如前所述，应力比给定了循环特性，应力幅是疲劳破坏的控制参量。R=-1时，对称恒幅循环载荷控制下，实验给出的应力—寿命关系，用Sa-N曲线表达，是材料的基本疲劳性能曲线。应力水平R=-1时，有Sa=Smax,故基本应力—寿命曲线称S-N曲线。应力S可以是Sa，也可以是Smax,因为二者数值相等。寿命Nf定义为到破坏的循环次数。疲劳破坏有裂纹萌生、稳定扩展和失稳扩展至断裂三个阶段，这里研究的是裂纹萌生寿命。因此，“破坏”可定义为：小，观察困难，故这样定义是合理的。出现可见小裂纹（如1mm),5-15%时，可以监测恒幅循环应力作用下的应变变化。当试件出现裂纹后，刚度改变，应变也随之变化，故可用应变变化量确定是否萌生裂纹。S-N曲线的一般形状及若干特性值材料疲劳性能试验所用标准试件，一般是小尺寸(3-10mm)光滑圆柱试件。材料的基本S-N曲线，给出的是光滑材料在恒幅对称循环应力作用下的裂纹萌生寿命。用一组标准试件（通常为7-10件），在给定的应力比R下，施加不同的应力幅Sa，进行疲劳试验，记录相应的寿命N，即可得到图2.1所示的S-N曲线。由图可知，在给定的应力比下，应力S(Sa或Smax)越小，寿命越长。当应力S小于某极限值时，试件不发生破坏，寿命趋于无 S限长。由S-N曲线确定的，对应于寿命N的应力，称SN为寿命为N循环的疲劳强度(fatiguestrength), 记作SN。3
4 5 6 7 N寿命N趋于无穷大时所对应的应力S的极限值
10 10
10 10 fSf，称为材料的疲劳极限(endurancelimit
图2.1 S-N曲线特别地，R=-1的对称循环下的疲劳极限，记作Sf(R=-1)，简记为S-1.由于疲劳极限是由试验确定的，试验又不可能一直做下去，故在许多试验研究的基础上，所谓的“无穷大”一般被定义为：7 6 8钢材，10次循环； 焊接件，2×10次循环； 有色金属，10次循环。满足S＜Sf的设计，即无限寿命设计。S-N曲线的数学表达幂函数式描述材料S-N曲线的最常用形式是幂函数式，即Sm.N=C (2-1)m与C是与材料、应力比、加载方式等有关的参数。二边取对数，有LgS=A+BLgN 式中，材料参数A=LgC/m,B=-1/m。（2-2）式表示应力S与寿命N间有对数线性关系，这一点，可由观察实验数据S、N在双对数图上是否线性而确定。指数式指数形式的S-N曲线表达为：ems.N=C 二边取对数后成为：S=A+BLgN (2-4)式中，材料参数为：A=LgC/mLge,B=1/mLge。表示在寿命取对数，应力不取对数的图中，S与N间有线性关系，通常称之为半对数线性关系。三参数式有时也希望在S-N曲线中考虑疲劳极限Sf，写成：(S-Sf)m.N=C 式中比前二者多一个参数，即疲劳极限Sf，且当S趋近于Sf时，N趋于无穷大。三种形式中最常用的是幂函数式表达的S与N间的双对数线性关系。注意到S-N曲线描述的是高周应力疲劳，故其使用下限为103—104。上限则由疲劳极限定义。S-N
SfMPa描绘材料疲劳性能的基本S-N曲线，应当由R=-1的对称循环疲劳实验给出，或查有关手册得到。在缺乏实验结果时，可依据材料强度Su作如下简单估计，供初步设计参考。
旋800转弯曲500疲劳极限2000
ABSfABSf/SSf=700材料极限强度SuMPa图2.2疲劳极限Sf与极限强度Su之关系将已知金属材料的疲劳极限Sf与极限强度Su数据绘于图2.2中，发现可用斜线OA和水平线AB描述其关系。故对于一般常用金属材料，有下述经验关系：R=-1时，旋转弯曲载荷作用下的疲劳极限可估计为：Sf(bending)=0.5Su Su<1400MPa (2-6)=700MPa Su>1400MPa不同材料旋转弯曲疲劳实验的结果表明，Sf(bending)在(0.3-0.6)Su之间。轴向拉压载荷作用下的疲劳极限可估计为：Sf(tension)=0.7Sf(bending)=0.35Su 不同材料的实验结果在(0.3-0.45)Su之间。承受对称扭转时有Sf(torsion)=0.577Sf(bending)=0.29Su 实验结果大多在(0.25-0.3)Su之间。对于高强脆性材料，极限强度Su取为极限抗拉强度；对于延性材料，Su强度。注意，不同载荷作用形式下的疲劳极限和S-N原因。无实验数据时S-N曲线的估计若疲劳极限Sf和材料极限强度Su已知,S-N曲线可由用下述方法作偏于保守的估计。S-N曲线用双对数线性关系的幂函数形式(2-1)式表达，即Sm.N=C寿命N=1时，S1=Su，即单调载荷作用下，试件在极限强度下破坏或屈服。考虑到S-N曲线描述的是长寿命疲劳，不宜用于N<103以下，故通常假定寿命N=103时，有：S103=0.9Su; (2-9)金属材料疲劳极限Sf所对应的循环次数一般为N=107次，考虑到估计Sf时的误差，作如下偏于保守的假定：N=106时， S106=Sf=kSu, (2-10)式中，反映不同载荷作用形式的系数k，按照前述各式选取。即弯曲时，k取为0.5；拉压时，取为0.35；扭转时，取0.29。由S-N曲线可写出：C=(0.9Su)m×103=(kSu)m×106由上述二式可求得参数为：m=3/lg(0.9/k)； C=(0.9Su)m×106 (2-11)如此估计的S-N曲线，只用于寿命为103-106之间的疲劳强度估计，不能外推。需要再次强调的是，S-N曲线应由疲劳实验给出，任何形式的近似估计都只能供初步设计参考。平均应力的影响 反映材料疲劳性能的S-N曲线，是在给定应力比R下得到的。R=-1，对称循环时的S-N曲线，是基本S-N曲线。本节讨论应力比R的变化对疲劳性能的影响。如图2.3所示，应力比R增大，表示循环平均应
R=-1/3R=-1
R=0 t力Sm增大。且应力幅Sa给定时，有：Sm=(1+R)Sa/(1-R)
图2.3 应力比与平均应力R增大Sm0Sm=0R增大Sm0Sm=0Sm0一般趋势SaR增大,平均应力Sm也增大。由图2.3可见，循环载荷中的拉伸部分增大，这对于疲劳裂纹的萌生和扩展都是不利的，将使得疲劳寿命Nf降低。平均应力对S-N曲线
SaN图2.4 平均应力的影响影响的一般趋势如图2.4所示。平均应力Sm=0(R=-1)时的S-N曲线，是基本S-N曲线；Sm>0,即拉伸平均应力作用，则S-N曲线下移，表示同样应力幅作用下的寿命下降,或者说同样寿命下的疲劳强度降低，对疲劳有不利的影响；Sm<0,即压缩平均应力存在，图中S-N曲线上移，表示同样应力幅作用下的寿命增大,或者说在同样寿命下的疲劳强度提高，压缩平均应力对疲劳的影响是有利的。因此，在实践中，用喷丸、冷挤压和预应变等方法，在高应力细节处引入残余压应力，是提高疲劳寿命的有效措施。Sa-Sm关系给定寿命N下，研究循环应力幅Sa与平均应力Sm之关系，可得到图2.5所示形式的结果。图中的曲线称为等寿命线，当寿命给定时，平均应力Sm越大，相应的应力幅Sa越小；且无论如何，平均应力Sm都不可能大于材料的极限强度Su。极限强度Su为高强脆性材料的极限抗拉强度或延性材料的屈服强度。N=104N=104N=107SuSm图2.5 Sa-S关系
Sa/S-11
Gerber
N=107等寿命线Goodman0
1 Sm/Su图2.6Haigh图对于任一给定寿命N，其Sa-Sm关系曲线还可以画成图2.6之无量纲形式。这种图称为Haigh图。图中给出了金属材料N=107时的Sa-Sm关系，分别用疲劳极限S-1和Su进行了归一化。显然，当Sm=0时，Sa就是R=-1时的疲劳极限S-1，Sa/S-1=1；当Sa=0时，载荷成为静载，在极限强度Su下破坏，有Sm=Su。或Sm/Su=1。因此，等寿命条件下的Sa-Sm关系可以表达为：(Sa/S-1)+(Sm/Su)2=1 (2-13)这是图中的抛物线，称为Gerber曲线，数据点基本上在此抛物线附近。另一表达形式，是图中的直线。即(Sa/S-1)+(Sm/Su)=1 (2-14)上式称为Goodman直线，所有的实验点基本都在这一直线的上方。直线形式简单，且在给定寿命下，由此作出的Sa-Sm关系估计是偏于保守，故在工程实际中常用。对于其他给定的N，只需将上述S-1换成Sa(R=-1)即可。Sa(R=-1)=SN(R=-1),后者即是由基本S-N曲线给出的、N循环寿命所对应的疲劳强度。利用上述关系，已知材料的极限强度Su和基本S-N曲线，即可估计不同应力比或平均应力下的疲劳性能。例2.1:构件受拉压循环应力作用，Smax=800MPa,Smin=80MPa。若已知材料的极限强度为Su=1200MPa，试估算其疲劳寿命。解：1)工作循环应力幅和平均应力：Sa=(Smax-Smin)/2=360MPaSm=(Smax+Smin)/2=440MPa估计对称循环下的基本S—N曲线：由(2-7)式，拉压循环应力作用时，可估计疲劳极限为：Sf(tension)=0.35Su=420MPa若基本S—N曲线用幂函数式SmN=C表达，利用(2-9)(2-10)式之假设，则由(2-11)式有：m=3/lg(0.9/k)=7.314；C=(0.9Su)m×103=1.536×1025循环应力水平等寿命转换为了利用基本S—N曲线估计疲劳寿命，需要将实际工作循环应力水平等寿命地转换为对称循环（R=-1,Sm=0)下的应力水平Sa(R=-1)，由Goodman方程有：(Sa/Sa(R=-1))+(Sm/Su)=1可解出： Sa(R=-1)=568.4估计构件寿命对称循环(Sa=568.4,Sm=0)条件下的寿命，可由基本S—N曲线得到，即N=C/Sm=1.536×1025/568.47.314=1.09×105（次）由于工作循环应力水平(Sa=350,Sm=420)与转换后的对称循环(Sa=583,Sm=0)是等寿命的，故可估计构件寿命为N=1.09×105次循环。等寿命疲劳图现在对图2.5之坐标系作进一步的讨论。将Sa-Sm关系图重画于图2.7。设任一过原点的射线OB，斜率为k,
R=-1DSaS-1
R=0A hB k知， R=1k=S/S
O SuC Sma m且有：
图2.7Sa-S关系R=Smin/Smax=(Sm-Sa)/(Sm+Sa)=(1-k)/(1+k)每一条过原点的射线都有一个确定的k值，由上式可知，k与应力比R有一一对应的关系，故射线上各点有相同的R。且有：k=1（45线）时，Sm=SaR=0;k=（90线）Sm=0，R=-1;k=0（0线）时，Sa=0，R=1;过任意一点B作45射线OA的垂线CD如图，有k=Sa/Sm=(OAsin45-hsin45)/(OAcon45+hcon45)=(OA-h)/(OA+h)故可知：R=(1-k)/(1+k)=h/OA=h/AC上式说明CD线可作为应力比R的坐标线，A处R=0，C处R=1，D处R=-1;其他的R值在CD上线性标定即可。
S2(Smax)-1 0 1 RA Su再将图2.7旋转45度，画成图2.8，看水平和铅垂坐标S1和S2代表什么？
S-1Sa
D对于图上任一点A，有：
0 C S1(Smin)图2.8等寿命疲劳图坐标Sin=Sa/OA,cos=Sm/OA,由ΔAOC可知：S1=OC=OASin(45-)=OA(Sin45cos-cos45Sin)222=( /2)OA((Sm-Sa)/OA)=( /2)Smin222可见，坐标轴S1表示Smin
/2标定；类似地，可证明坐标2轴S2表示Smax，同样应按 /2标定。2如此得到的图，称为等寿命疲劳图。Smax/MPa600400200
R600400Sa600400Sa/MPa200400Sm/MPa20000600450006004501=N601=N401=N002701=002701=NSmin/MPa图2.97075-T6作为一例，图2.9示出了7075-T6铝合金材料的等寿命疲劳图。利用等寿命疲劳图，可直接由读出给定寿命N下的Sa、Sm、Smax、Smin、R等各种循环应力参数，便于工程设计使用。在给定的应力比R下，由图中相应射线与等寿命线交点读取数据，即可得到不同R下的S-N曲线。此外，还可利用此图进行载荷间的等寿命转换。影响疲劳性能的若干因素大多数描述材料疲劳性能的基本S-N曲线，是小尺寸试件在旋转弯曲对称循环载荷作用下得到的。试件的试验段加工精细，光洁度高。除上节讨论的平均应力的影响外，还有许多因素对于疲劳寿命有着不可忽视的影响。如载荷形式、构件尺寸、表面光洁度、表面处理、使用温度及环境等等。故在构件疲劳设计时，应当对材料的疲劳性能进行适当的修正。载荷形式的影响节2.1.3中讨论S-N曲线的近似估计时，已经指出，材料的疲劳极限，随加载形式的不同有下述变化趋势：Sf（弯）＞Sf（拉）＞Sf（扭）SmaxSmaxddSSmaxSmaxddSmaxSmaxD D料抵抗疲劳破坏的能力（内因），故疲劳破坏通常发生在高应力区或材料缺陷处。假如图中作用的循环最大应力Smax相等，因为拉压循环时高应力区域的材料体积较大，存在缺陷并由此引发裂纹萌生的可能性也大。所以，同样的应力水
弯曲 拉伸图2.10 载荷、尺寸不同时的高应力区域体积平作用下，拉压循环载荷作用时寿命比弯曲短；或者说，同样寿命下，拉压循环时的疲劳强度比弯曲情况低。至于扭转时疲劳寿命降低，体积的影响不大，需由不同应力状态下的破坏判据解释，在此不作进一步讨论。尺寸效应试件尺寸不同对疲劳性能的影响，也可以用高应力区体积的不同来解释。由图2.10可见，应力水平相同时，试件尺寸越大，高应力区域材料体积越大。疲劳发生在高应力区材料最薄弱处，体积越大，存在缺陷或薄弱处的可能越大，故大尺寸构件疲劳抗力低于小尺寸试件。或者说，在给定寿命N下，大尺寸构件的疲劳强度下降；在给定的应力水平下，大尺寸构件的疲劳寿命降低。尺寸效应可以用一个修正因子Csize表达，修正因子是一个小于1的系数，常常可由设计手册查得。对于常用金属材料，在大量实验研究的基础上，也有一些经验公式给出修正因子的估计。如Shigley和Mitchell于1983年给出：Csize=1.189d-0.097 8mmd250mm (2-15)当直径d<8mm时，Csize=1。此式一般只用作疲劳极限修正。尺寸修正后的疲劳极限为：Sf'=CsizeSf.尺寸效应对于长寿命疲劳影响较大。应力水平高，寿命短时，材料分散性影响相对减小。故若用上述尺寸因子修正整条S-N曲线，则将过于保守。表面光洁度的影响由疲劳的局部性显然可知，若试件表面粗糙，将使局部应力集中的程度加大，裂纹萌生寿命缩短。材料基本S-N曲线是由光洁度良好(7以上)的标准试件测得的，类似于尺寸修正，光洁度的影响也可以用小于1的修正因子描述。描述光洁度影响的修正因子称为表面光洁度系数，图2.11示出了不同表面加工、不同材料强度下表面光洁度系数变化的一般趋势。材料强度越高，光洁度的影响越大；应力水平越低，寿命越长，光洁度的影响越大。表
1.0镜面抛光精磨镜面抛光精磨机械加工热轧锻造盐水腐蚀0.8光0.6度0.4数0.20400 700 1000 1300抗拉强度 (Mpa)图2.11表面光洁度系面加工时的画痕、碰伤，可能就是潜在的裂纹源，应当注意防止碰划。241241esSm2'4' 3 1' S03'一般来说，疲劳裂纹总是起源于表面 。为了提高疲劳性能，除前述改善光洁度 外，常常采用各种方法在构件的高应力表 t面引入压缩残余应力(residualstress)
11图11
残余压应力使循环平均应力下降，达到提高疲劳寿命的目的。其机理如图2.12所示。若循环应力如图2.12中1-2-3-4所示，平均应力为Sm；则引入压缩残余应力Sres后,实际循环应力水平是原1-2-3-4各应力与-Sres的叠加，成为1'-2'-3'-4',平均应力降为Sm'；由节2.2知，疲劳性能将得到改善。表面喷丸处理；销、轴、螺栓类冷挤压加工；紧固件干涉配合等；在零构件表面引入残余压应力,都是提高疲劳寿命的常用方法。材料强度越高，循环应力水平越低，寿命越长，延寿效果越好。在有应力梯度或缺口应力集中处采用喷丸，效果更好。在构件高应力表面引入压缩残余应力，可以提高疲劳寿命。但在温度、载荷、使用时间等因素的作用下，应力松驰有抵消这种作用的可能。例如，钢在350C以上,铝在150C以上，就可能出现应力松驰。反之，残余拉应力则是有害的。焊接、气割、磨削等都会引入残余拉应力，使疲劳强度降低或寿命减小。有时可下降达50%
500镀镍+喷丸镀镍+喷丸 喷丸+镀镍 镀镍 300S20015012104 105 106 107 N12
图2.3
镀镍、喷丸对疲劳性能的影响影响。图2.13示出了某普通钢材镀镍及喷丸处理对其S-N曲线的影响。镀锌或镀镉，对疲劳性能的影响要小一些，但对磨蚀的防护效果比镀铬差。力，这二种作用对于提高材料疲劳性能都是有利的。实验表明，渗碳或渗氮处理可使钢材疲劳极限提高一倍。对于缺口件，效果更好。反之，热轧或锻造，会使材料表面脱碳，强度下降并在材料表面引入拉伸残余应力。这二种不利的作用，可能使材料疲劳极限降低50%，甚至更多。材料强度越高，影响越大。温度和环境的影响材料的S-N曲线一般是在室温、空气环境下得到的。在诸如海水、水蒸汽、酸碱溶液等腐蚀介质环境下的疲劳，称为腐蚀疲劳。腐蚀介质的作用对疲劳是不利的。腐蚀疲劳过程是力学作用与化学作用的综合过程，破坏机理十分复杂。腐蚀环境通常会使材料表面氧化。在一般的情况下，氧化膜层可起保护作用，以免金属材料进一步受到腐蚀。但在疲劳载荷作用下，将使氧化膜层局部开裂，新的表面再次暴露于腐蚀环境中，造成再次腐蚀并在材料表面逐步形成腐蚀坑。腐蚀使表面粗糙，腐蚀坑形成应力集中，加快了裂纹的萌生，使寿命缩短。这是对裂纹萌生阶段腐蚀疲劳的最一般解释。影响腐蚀疲劳的因素很多，一般有如下趋势：载荷循环频率的影响显著。无腐蚀环境作用时，在相当宽的频率范围内（如200Hz以内），频率对材料S-N曲线的影响不大。但在腐蚀环境中，随着频率降低，同样循环次数经历的时间增长；腐蚀的不利作用有较充分的时间显示，使疲劳性能下降的影响明显。在腐蚀介质(如海水)中，半浸入状态（或海水飞溅区）比完全浸入更不利。耐腐蚀钢材（如高铬钢），抗腐蚀疲劳的性能较好；许多普通碳钢的疲劳极限则下降较多，甚至因腐蚀环境而消失。电镀层对于材料腐蚀有保护作用。尽管镀铬在空气环境下会使疲劳强度下降，但却可改善腐蚀环境下的疲劳性能。金属材料的疲劳极限一般是随温度的降低而增加的。但随着温度下降，材料的断裂韧性也下降，表现出低温脆性。一旦出现裂纹，则易于发生失稳断裂。对此，应当十分注意。高温将降低材料的强度，可能引起蠕变，对疲劳也是不利的。同时还要注意，为改善疲劳性能而引入的残余压应力，也会因温度升高而消失。缺口疲劳前面讨论的是光滑材料的S-N曲线。然而，实际零构件常常存在着不同形式的缺口（如孔、圆角、槽、台阶等），缺口应力集中将使疲劳性能严重下降。疲劳缺口系数缺口产生的应力集中程度，可以用弹性应力集中系数描述。弹性应力集中系数Kt是缺口处最大实际应力与该处名义应力S之比，即:Kt=/S (<ys)名义应力S是不考虑缺口引入的应力集中，按净面积计算的。图2.14是带中心圆孔板的应力集中系数。弹性应力集中系数Kt，可以由弹性理论分析、有限元计算或实
Kt=321
W d S=P/t(W-d)Kf为：
0 0.10.2 0.3 0.40.5 d/W13图2.4有限宽圆孔板的应力集中系数13Kf=Sf/Sf' (2-16)式中，Sf为光滑件疲劳极限；Sf'为缺口件疲劳极限。缺口应力集中，将使得疲劳强度下降，故Kf是反映缺口影响的、大于1的系数。显然，疲劳缺口系数Kf是与弹性应力集中系数Kt有关的。Kt越大，应力集中越强烈，疲劳寿命越短，Kf也越大。但实验研究的结果表明，Kf并不等于Kt。因为弹性应力集中系数Kt只依赖于构件的几何，疲劳缺口系数Kf却与材料有关。一般来说，Kf小于Kt。二者之关系可写为：q=(Kf-1)/(Kt-1) (2-17)q=0,Kf=1,Sf'=Sf,缺口对疲劳性能无影响；q=1，Kf=Kt，Sf'=Sf/Kt，缺口对疲劳性能影响严重；故q称为缺口敏感系数，其取值范围为0q1。缺口敏感系数q与缺口几何及材料有关,可以从有关设计手册中查得。此外，在缺口最大实际应力不超过屈服应力时，疲劳缺口敏感系数也可用下述经验公式估计：Peterson公式： q
11p/
或 Kf
Kt11p/
(2-18)1 a/r1 a/r
或 Kf
Kt1
图2.
几何相似缺口高应力区体积/Kf对整条是S-N曲线进行修正，则将过于保守。例如，当寿命N=103时，定义系数Kf/KS'KSf 103
'10
(2-20)Kf'是N=103时，光滑件疲劳强度与缺口件疲劳强度之比。由不同材料的缺口疲劳实验结果可得到有如图2.16所示之趋势，即：在短寿命（N=103）时，对于高强度、硬材料，(Kf'-1)/(Kf-1)约为0.7左右，Kf'比Kf略小；对于低强度、软材料，(Kf'-1)/(Kf-1)只有0.2左右，表示缺口影响的系数Kf'比疲劳极限对应的疲劳缺口系数Kf小得多。可见，不宜
'-1Kf-1
1.00.80.60.4用Kf对整条S-N曲线进行修正。需要估计缺口件S-N用类似于节2.1.3
(N=103)0.20 500 100015002000 钢200 500 700 N=103时，有:
150
300
450 镁S' S
/K'
极限强度Su(MPa)103
103
(2-21)
图2.
关系15假定寿命N=106时，有：15S'S /K
(2-22)f f f由此二点在双对数坐标上确定的直线，即缺口S-N曲线，如图2.17所示。光滑件缺口件Sf/Kf光滑件缺口件Sf/Kf光滑件Sf/Kf缺口件S103 SufS103/K'f1710N103 6 lgN 1 3 61710N1016图2.716
缺口S-N曲线的近似估计
8利用Su估计缺口S-N曲线若缺乏对于Kf'的估计，将(2-21)式的假定换为：N=1时，有:S1'=Su. (2-23)由此得到的缺口S-N曲线，如图2.18所示。Su是材料的极限拉伸强度。需要注意的是，缺口件与光滑件的强度并不相同，且S-N曲线反映的是低应力、长寿命疲劳性能。因此，所估计的S-N曲线（无论光滑或缺口件），只能估计长寿命疲劳性能（N>103）。变幅载荷谱下的疲劳寿命前面已经讨论了恒幅载荷下的疲劳裂纹萌生。利用S-N曲线，在已知应力水平（如工作应力幅Sa和应力比R）时，可以估计寿命；若给定了设计寿命，则可估计可以使用的应力水平。然而，大部分构件的实际工作载荷是变幅载荷。本节研究变幅循环载荷作用下的疲劳裂纹萌生寿命估计。变幅载荷谱
S拐弯 拐弯着陆 着陆滑行 滑行 滑行100 20018N(起落次数)18得到的载荷谱，称为实测载荷谱；其二是在没有适当的类似结构或模型可用时，依据设
图2.9
变幅载荷块谱计目标分析工作状态，结合经验估计载荷谱，这样给出的是设计载荷谱。图2.19为某飞机主轮毂的载荷谱示意图。此构件的工况分为滑行、拐弯、着陆等，分别对应不同的载荷水平。载荷循环次数可以按起落数计算，一个起落包含各种工况下的许多变幅载荷循环。起落数与载荷循环数间可以换算，如由滑行距离和机轮直径，即可计算一段滑行所对应的循环数。图中将100个起落合并作为一个典型载荷循环块，整个变幅载荷谱是该载荷块谱的重复作用。类似地，汽车在不同的路面上行驶，可以由“万公里”形成一个典型载荷循环块；飞机在起降、巡航、格斗等不同状态下飞行，可以由“百飞行小时”形成一个典型载荷循环块；海洋结构、水坝等受水位变化、潮汐作用，可以由“年”形成一个典型载荷循环块;等等。Miner线性累积损伤理论 Palmgren(1924)--Miner(1945)由变幅载荷谱，可以得到如图2.20所示的载荷S—循环次数n图。若构件在某恒幅应力水平S作用下，循环至破坏的寿命为N，则可定义其在经受n次循环时的损伤为：D=n/N (2-24)n2n3SSn2n3S3图29变幅载荷谱
图2.201
线性累积损伤显然，在恒幅应力水平S作用下，若n=0,则D=0，构件未受疲劳损伤；若n=N，则D=1，构件发生疲劳破坏。构件在应力水平Si下作用ni次循环下的损伤为Di=ni/Ni。若在k个应力水平Si作用下，各经受ni次循环，则可定义其总损伤为：破坏准则
kkDDi1
Ni （i=1,2,..k，) (2-25)Dni
Ni1 (2-26)这就是最简单、最著名、使用最广的Miner线性累积损伤理论。其中，ni是在Si作用下的循环次数，由载荷谱给出；Ni是在Si作用下循环到破坏的寿命，由S—N曲线确定。图2.21中示出了最简单的变幅载荷（二水平载荷）下的累积损伤。从图中坐标原点出发的射线，是给定应力水平Si下的损伤线。注意到Ni是由S—N曲线确定的常数，则损伤D与载荷作用次数n的关系,由(2-24)式的线性关系描述。因此，上述Miner累积损伤理论是线性的。图中，构件在应力水平S1下经受n1次循环后的损伤为D1，再在应力水平S2下经受n2次循环，损伤为D2，若总损伤D=D1+D2=1，则构件发生疲劳破坏。由(2-25)式还可看到，Miner累积损伤，是与载荷Si的作用先后次序无关的。Miner理论的应用利用Miner理论进行疲劳分析的一般步骤为：——确定构件在设计寿命期的载荷谱，选取拟用的设计载荷或应力水平；——选用适合构件使用的S-N曲线；（通常需要考虑构件的具体情况，对材料S-N曲线进行修正而获得）——确定恒幅应力水平Si下的寿命Ni；由载荷谱给出的、在应力水平Si下的循环次数ni，计算其损伤,Di=ni/Ni；按(2-25)式计算总损伤D。——判断是否满足疲劳设计要求。若在设计寿命内的总损伤D<1,构件是安全的；若D>1，则构件将发生疲劳破坏，应降低应力水平或缩短使用寿命。例2.2已知构件可用的S-N曲线为S2N=2.5×1010；设计寿命期间的载荷谱如表中前二栏所列。试估计其可承受的最大应力水平。解：假定对应于100%载荷P时的应力S=200MPa,其余各级载荷对应的应力水平Si列于表中第三栏。设计载荷Pi循环数ni(106)Si(MPa)Ni(106)Di=ni/NiP0.052000.6250.0800.8P0.11600.9760.1020.6P0.51201.7360.2880.4P5.0803.3061.280总损伤 D=Di=ni/Ni=1.75再由S-N曲线得到在各恒幅应力循环下的寿命Ni,如第四栏所列。计算各级应力下的损伤，列于第五栏。求得的总损伤为Di=ni/Ni=1.75。由上述计算结果可知，若选取应力S=200MPa,则在设计寿命内总损伤D=1.75>1,构件将发生疲劳破坏。因此，需要降低所选取的应力水平，重新计算。再取应力S=150MPa,计算结果得：D=Di=ni/Ni=0.985<1,构件能够达到设计寿命。故S=150MPa，基本上是构件可承受的最大应力水平。例2.3某构件S-N曲线为S2N=2.5×1010；若其一年内所所承受的典型应力谱如表
典型块谱及其损伤计算作为一个循环块，损伤为
/N；整个SSi(MPa)(106)Ni(106)ni/Ni1500.011.1110.0091200.051.7360.029900.103.0860.033600.356.9440.050ni/Ni=0.121寿命有个循环块，则总损伤应当是：D=ni/Ni因此，按照Miner理论，疲劳破坏的判据应为：D=ni/Ni=1 (2-27)此式与(2-26)式形式上相差一个。注意到在此式中，ni是一个循环块中应力水平Si的作用次数，寿命期内共有个循环块；而(2-26)式中ni是整个寿命期内应力水平Si的作用次数，则二者反映的都是寿命期间内的总损伤。由表中计算结果可知，该构件一年内形成的损伤为ni/Ni=0.121，故由(2-23)式有：=1/ni/Ni=1/0.121=8.27（年）通过上述二例可见，对于承受变幅疲劳载荷的构件，应用Miner累积损伤理论，可解决下述二类问题，即：已知设计寿命期间的应力谱型，确定应力水平。一般分析步骤为：选取一假定应力水平Sni最大一级载荷估计，使ni/Ni=0.8-0.9)由S-N曲线查得或算出各Si下的Nic)计算各ni/Ni, 求损伤和D=
Ni;d)若 D＞1, 选取较小的S,重新按a到c的步骤计算D＜1, 选取较大的S,重新按a到c的步骤计算直到D=1为止，求得所能允许的最大应力水平S。已知一典型周期内的应力块谱，估算使用寿命。一般分析步骤为：列表计算典型应力块（如一年）
Ni=0.121个典型周期（年，万公里，起落）年，由Miner理论有DNi1/Ni应当指出，Miner理论只是一种近似的、经验的累积损伤理论。如果将其写为：D=ni/Ni=Q则Q之值可能大于1，也可能小于1，其分散性是很大的。大量试验研究的结果表明，Q的取值范围为0.3-3.0。这种分散性除受材料疲劳性能本身分散性的影响外，主要是来自载荷的次序效应。载荷谱中，高、低载荷的作用次序和排列形式，对疲劳寿命是有影响的。因此，在实际应用时，必须考虑到足够的安全储备。设计时，视构件的重要程度及其疲劳分析的可靠性，一般取Q为0.1-0.5。相对Miner理论如前所述，总损伤D=1是Miner线性累积损伤的经验破坏准则。考虑谱序影响，事实上应为：D
Ni=Q (2-28)Q与载荷谱型、作用次序及材料分散性有关。实际上，对某具体构件，Q的取值可以借鉴过去的、类似构件的使用经验或试验数据而确定，这样估计的Q值，可以反映实际载荷次序的影响。若由过去的使用经验或试验，已知某构件在其使用载荷谱下的寿命；在要预测另一类似构件在相似谱作用下的疲劳寿命时，只须将Miner累积损伤式作为一种传递函数，而不必假定其损伤和为1。这就是相对Miner理论，是WalterSchutz于1972年提出的。相对Miner理论的实质是：取消损伤和D=1
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