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1、1Shanghai University断裂力学理论Fracture Mechanics断裂力学第三讲2裂纹尖端附近的应力场和位移计算34(平面应力) (平面应变) 用张量标记可缩写成型裂纹求解5平面应变 平面应力 平面应力平面应变型裂纹求解6需要注意的是，推导过程中，使用了这个条件，所以。对于稍远处，应该用 所示的来确定应力分量和位移分量。前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要求型裂纹求解7型裂纹求解 设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用8第一步：解II型Westergaard应力函数求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。选取应力函数
2、所以因为型裂纹求解 9得到II型裂纹问题各应力分量表达式为 进而可得到位移分量平面应变 型裂纹求解 10第二步：选II型裂纹的 边界条件： ， 在 处在处选取 能够满足全部边界条件。型裂纹求解 11在裂纹表面 处 虚数 只有实部且为一常数 满足平板周围的边界条件 满足裂纹表面处的边界条件 型裂纹求解 12将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标 当 趋于常数,设: ， 右裂尖附近, 在很小范围内时 用解析函数求解II型裂纹尖端应力强度因子的定义式 型裂纹求解 13第三步：用 求II型裂尖附近的应力场和位移场 应力强度因子是在裂尖时 存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：若以极坐标表示复变量 则
3、可得到型裂纹求解 14平面应变 平面应力 把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式型裂纹求解 15对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹，由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零，只有z方向的位移不等于零 型裂纹求解对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基本方程，可以仿照平面问题的方法导出 16反平面(纵向剪切)问题, 其位移 根据几何方程和物理方程:型裂纹求解问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透) ,无限远处受与 方向平行的 作
4、用.17单元体的平衡方程:位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数. 解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.边界条件:型裂纹求解非零应力分量18选取函数 满足边界条件 型裂纹求解在裂纹表面 处， 只有实部而无虚部，有 满足裂纹表面处的边界条件 当或，都有，即由非零应力分量公式知，满足平板周围的边界条件。 19取新坐标 型裂纹求解同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心移到裂纹的右尖端 当 趋于常数,设: ， 右裂尖附近, 在很小范围内时 用解析函数求解III型裂纹尖端应力强度因子的定义式 20 应力强度因子是在裂尖时 存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：若以极坐标表
5、示复变量 则可得到这就是III型裂纹问题在裂纹尖端附近的应力场表达式 型裂纹求解21则可得到这就是III型裂纹问题在裂纹尖端附近的位移场表达式 型裂纹求解22应力强度因子注意：以上三种类型求解方法，仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。23值得指出的是，上述三种裂纹问题的应力场表达式，虽然是根据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。进一步的分析表明，这些解具有普遍的意义，也就是说，对于其他有限尺寸板的穿透裂纹（包括中心裂纹和边裂纹），在非均匀受力条件下，裂纹尖端附近的应力场（更确切地说是应力场的奇异项）表达式也是相同的，其不同之处仅仅是应
6、力强度因子的不同，因此，对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的应力强度因子就可以了。24通过前面的推导，各种类型裂尖应力和位移场可表示为若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近25线弹性裂尖场特点三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限的，但是在塑性区很小的情况下
7、，在围绕裂尖的一个环状区域内K场是适用的。K场内的位移与 成线性比例关系。26线弹性裂尖场特点三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与( )坐标无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征，是描述裂尖场强度的参数。裂尖场与角分布函数成比例。角分布函数仅与角 有关，而与r无关，对于同一种变形模式，角分布函数是相同的。所以，无论构件的形状、尺寸以及裂纹的尺寸如何，裂尖场都是相同的。 27应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参量裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，
8、应力就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定破坏。即传统的强度条件判断准则失去意义。应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参量引入。 线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹构件的应力强度因子。应力强度因子是有限量，它是代表应力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是合适的。 应力强度因子28名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力裂纹尺寸，即裂纹长或深 形状系数，与裂纹大小、位置有关应力强度因子一般写为：应力强度因子单位：-3/2应力强度因子29应力强度因子 鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半个世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个经久不衰的研究课题
9、，这可从这方面的专著（如二十世纪七十年代Sih的专著和近期的专著）和专门的应力强度因子手册可见一斑。从研究方法上，从解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及数值方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (边界元法)。 30脆性断裂
10、的K准则应力强度因子与应变能释放率的关系 根据前面所述的应变能释放率公式 与应力强度因子 可以发现它们之间应有一定关系。这关系将进一步揭示应力强度因子的物理意义。 以张开型裂纹为例，由于应变能释放率代表裂纹扩展单位面积所释放的应变能。那么逆向思维一下31左图a所示裂纹原长为a，扩展微小长度 （图b）后，释放出的能量可用从图b状态闭合到图c状态所作的功来计算。闭合时作用在裂纹上表面上x位置的应力由图b中的0值，逐渐增加到图a中的 利用上节的裂尖附近应力和位移场，可以计算使裂纹闭合单位面积所作的功，显然这部分功应该等于裂纹扩展单位面积所释放的能量。32由I型裂纹的应力表达式， 当 ， 时 由图b看
11、出，闭合时的位移最初为 其中 ， 注意：图b与图a的坐标原点不同。由I型裂纹的位移表达式： 闭合后，位移为0。 闭合过程中，应力在 段所作的功为 33闭合单位面积所作的功裂纹扩展单位面积所释放的能量=由于：其中， （平面应力）， （平面应变） 可见，应力强度因子与应变能释放率有对应关系： 不仅表示裂尖附近弹性应力场的强度，也可确定裂纹扩展释放的能量率，故：对于线弹性断裂问题， 与 等价34 同理，对于II型和III型裂纹同样可得到类似关系 需要注意：对于I型和II型裂纹问题可分为平面应力和平面应变问题，而对于三型裂纹问题只是一种反平面问题。脆性断裂的K准则我们已经讲了脆性材料裂纹失稳扩展的临界
12、条件为：35可以得到以应力强度因子表示的裂纹失稳扩展的临界条件为：表示裂尖的应力强度因子 达到 时，裂纹失稳扩展。 与 都是材料常数，称为材料的平面应变断裂韧度。在线弹性条件下强调： 与 概念不同， 是表示裂尖应力场强度的一个参量，可用弹性理论方法进行计算，由载荷及裂纹体形状和尺寸决定， 断裂韧度，材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。脆性断裂的K准则36注意：对于线弹性断裂问题，采用G准则和K准则所得的结果是一样的。但是由于利用弹性理论可直接计算应力强度因子，而且试验测定 比 测定方便，故工程一般常用K准则。 根据K准则，可以计算剩余强度（临界应力）和临界裂纹长度，
13、进行断裂安全分析。 例如：对具中心裂纹无限大板，受双轴拉应力 对于其它结构， 表达式不同。可得 37 根据实验和理论分析，断裂韧度随试件厚度增加而下降，如下图。这是由于：1）薄板的裂尖处于平面应力状态，断裂韧度较高，裂纹不易扩展，用 表示；2）随板厚增加，裂尖处于平面应变状态的部分增加，裂纹较易扩展，断裂韧度降低，当厚度降至一定值后，断裂韧度降至最小，称为平面应变断裂韧度，用 表示。断裂韧度与板厚的关系需要注意：金属在平面应力条件下裂尖产生较大塑性变形，K准则（建立在线弹性断裂力学基础上）不适用，而要采用第三章的弹塑性断裂力学的断裂准则。但是当裂尖塑性变形区较小时，通过下一节的修正后，仍可用K
14、准则。38线弹性断裂力学在小范围屈服时的推广39屈服条件单向拉压：薄壁圆筒扭转：在应力空间 在主应力空间谓之屈服条件或屈服面方程单向应力复杂应力c塑性约束系数有效屈服应力，材料屈服点40特雷斯卡（Tresca）假设最大剪应力是屈服的控制因素 材料屈服，屈服函数为：在主应力空间是六棱柱，在平面是六边形 时，41在 平面是六角形 CCC-C-C42 米泽斯 （Mises）假设控制因素是形状改变比能（歪形能、畸变能） Mises屈服条件为：即：或：即Mises屈服条件或屈服方程。43在主应力空间，屈服面是圆柱 是椭圆方程（屈服曲线） Mises屈服条件44在主应力空间屈服面是圆柱 C可由简单实验求出
15、 与六棱柱外接CC-C-C45 C可由简单实验求出 如：由Mises屈服条件：单向拉伸屈服时，即：或：46纯剪切屈服如由Mises屈服条件：纯剪切屈服时，即：47 线弹性裂纹尖端场，其应力场具有 r -1/2 的奇异性， 该奇异性的幅值大小可用应力强度因子来表征。 但从物理学的角度来看，真正奇异的应力是不存在的，也就是说在裂纹尖端附近很小的范围内，K场是不适用的。在裂纹尖端附近的材料必定发生屈服。在外加载荷作用下裂纹尖端的应力有限有两种原因。其一是裂尖附近由于应力集中,裂尖的材料会发生不同程度的塑性变形，其二是裂纹尖端并不是理想的曲率无穷大的形状，而总是有钝化的。 Irwin 小范围屈服理论4
16、8那么线弹性断裂力学能否继续使用呢？如果裂纹尖端的塑性区（或者说偏离K场的区域）很小（这种情况我们称为小范围屈服），从而对裂纹尖端场的总体影响不大。Irwin 通过研究认为在该情况下应力强度因子K 仍有意义，仍然可以认为是K场主导着裂纹的行为。如塑性区尺寸比裂纹长度小一个数量级，工程中一般仍用线弹性理论计算应力强度因子，不过要对应力强度因子进行修正。4950小范围屈服条件 在线弹性情况下，裂纹尖端场完全由应力强度因子K来主导，称为K主导区，其尺寸 取决于裂纹和构件的几何形状。但如果考虑裂纹尖端的弹塑性性质，则在裂纹尖端存在一个塑性区，其尺寸记为 ，显然，随着载荷的增大，越来越多的材料发生屈服，
17、即 越来越大。 Kr51塑性区的存在会改变其相邻区域的场，使之偏离K场，这一明显偏离K场，但仍属于线弹性的区域将裂尖的塑性区和K场连接起来，称为过渡区。如果这一过渡区的尺寸与 相当，同样就不能再将K作为主导参数，K场即失去了其主导地位。因此，要认为K仍然是裂纹断裂形为的主导参数，必须满足：建议的小范围屈服条件 52Irwin 小范围屈服理论53K主导区大小即 是与载荷没有明显关系的，而塑性区尺寸 是载荷的单调函数。随着外载的增大，塑性区不断长大，并使K场失去其主导地位。工程处理上,一般认为，当外加载荷P小于0时可以认为是小范围屈服,其中是P0裂纹体达到全面屈服时的载荷。对于理想塑性材料，P0即
18、是塑性极限载荷。因此，当 时认为裂纹尖端场仍由 K场所主导，所有外载及几何信息仍可通过K来反映，它决定着裂尖附近的塑性区尺寸和塑性变形的大小。54前面已指出，裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近： 小范围屈服是指： 塑性区形状的估算： 作下列假定： （1）忽略裂纹尖端材料屈服后对塑性区外K场的影响； （2）材料为理想塑性，且遵循 Von-Mises 屈服条件。 Irwin 小范围屈服理论55CRACK TIP PLASTICITYFirst approximation:Better approachesselected shape: better size estimationIrw
19、inDugdaleBetter shape but first order approximation for the sizeIrwin approach: stress redistribution; elastic plastic; plane stress56确定塑性区尺寸的Irwin理论 在不考虑裂纹尖端塑性影响的情况下，线弹性裂纹尖端的K场分布为：K场的表达式先假设裂纹尖端塑性区的存在不致改变其周围的应力场，不引起应力松驰，即没有过渡区的存在。则只要将上式代入屈服条件，即可以得到塑性区的尺寸和形状。57Von Mises屈服条件 几种最常用形式为一般形式：平面应力：平面应变：为偏斜
20、应力为主应力屈服应力58根据材料力学主应力求解公式得到型裂纹的应力公式 平面应力 59Irwin 小范围屈服理论可以得到塑性区尺寸rp 为： 对平面应力情况 对平面应变情况 在裂纹延长线上塑性区尺寸ro为： 对平面应力情况对平面应变情况据上式画出 曲线，如下图中实线所示。这条闭合曲线表示裂尖附近塑性区的周边形状，曲线上各点的相当应力等于屈服极限，内部各点超出屈服极限，未考虑应力松弛效应。60Irwin 小范围屈服理论由图可见，平面应变的塑性区远比平面应力的小，原因是：平面应变状态下，沿厚度方向约束所产生的 是拉应力，在三向拉伸应力状态下，材料不易屈服而变脆。 61确定塑性区尺寸的Irwin理论
21、 62说明平面应力与平面应变的塑性区形状不同。这样的形状容易从其应力状态的差异想象出来。 平面应变的塑性区尺寸（在同样的 下）小于平面应力的塑性区尺寸。例如， 平面应变情况下的 仅是平面应力的16%。这是因为在平面应变情况下，裂尖材料承受的是三轴拉伸应力状态，而Von Mises屈服条件（以及Tresca条件）认为静水应力不影响屈服。63确定塑性区尺寸的Irwin理论 64First Order Aproximations of Plastic Zone Shapes Plastic zone shape from Von Mises yield criterionThrough-thickn
22、ess plastic zone in a plate of intermediate thicknessEmpirical Rules to estimating Plane Stress vs. Plane Strain conditions: y B y 1/10 B65利用Tresca屈服条件 在复杂受力下,当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力,材料即屈服.比较发现:平面应变塑性区尺寸小,平面应变处于三向拉伸状态不易屈服.平面应变的有效屈服应力 比 高 塑性区中的最大应力 平面应变 平面应力 Tresca屈服条件下的塑性区尺寸66Irwin 小范围屈服理论可以得到塑性区尺寸rp
24、ecimen in plane stress70应力松弛的修正在上面的分析中，我们假设塑性区不影响其周围的应力分布。即未考虑塑性区内塑性变形引起的应力松弛，即应力再分布影响。这样，就相当于将奇异的K场在裂纹前的塑性区的简单地用Von Mises屈服应力代替。因此，上面给出的塑性区尺寸的解显然无法满足总体静力平衡方程。Irwin认为，我们可以将塑性区尺寸的增大到某一值，使总体的静力平衡方程得到满足。71如图所示，虚线 表示线弹性裂纹尖端场即K场，曲线 表示考虑塑性区引起应力松驰后的应力分布，其中近似认为 是 段的简单平衡。在小范围屈服条件下，认为 下方的面积等于 下方的面积。因此，要使裂纹前方延
25、长线上的应力与外载相平衡，就要求应力松驰后的曲线 与线弹性的K场下面 的面积相等，即： 应力松弛的修正72对于平面应力情况，当 跟据Mises条件 ，即单向拉伸时的屈服极限。 把 ， 代入上面的积分，得到在考虑应力可见，应力松弛使塑性区尺寸增加一倍。松驰条件下，平面应力I型裂纹尖端的塑性区尺寸应力松弛的修正73同理，对于平面应变情况，当 ， 据Mises条件 ，把 代入上面的积分，可以得到在考虑应力松驰时，平面应变 I型可见，平面应变状态下，若考虑塑性区应力松弛影响，塑性区尺寸同样增加一倍。上述结果，是偏安全的近似解。裂纹的尖端塑性区尺寸为应力松弛的修正74关于塑性区的尺寸和形状，两点补充说明
26、：分析没有考虑材料强化,材料强化使裂纹尖端塑性区的尺寸变小,对于设计是偏于安全的.一种非常简化的分析，实际上裂纹尖端的塑性区尺寸和形状与上面的结果都有所偏差。在平面应力情况下，还有其他的塑性区形状，如窄条屈服区。在三维情况下，例如核电站的压力容器和管道中的一个穿透裂纹，塑性区是一个三维的复杂形状。75考虑应力松弛修正后的K在考虑塑性区修正后，裂纹前方的应力场变成了的 分布，也就是说在塑性区以外的应力场相等于向前移动了（ ）的距离。因为 ，所以Irwin建议将裂纹尺寸进行如下的修正:等效裂纹的尖端在屈服区的中心，它由修正裂尖的K场所包围。如果在线弹性情况下，K表示为: 等效裂纹尺寸或当量裂纹尺寸
27、 处称为物理裂纹尖端， 处称为虚设裂纹尖端 修正后76 称为等效裂纹长度等效裂纹模型法指以 代替原裂纹长，对应力强度因子进行修正。这说明，塑性区的存在相当于裂纹长度增加，即裂纹体的柔度增加，因而裂纹的应变能释放率也增加。在引入小范围屈服情况下等效裂纹长度的概念后，线弹性断裂力学中的应力强度因子理论仍然有效。只要将应力强度因子K中的裂纹长度用等效裂纹长度代替即可等效裂纹长度与应力强度因子77等效裂纹长度与应力强度因子应力强度因子 裂纹尖端应力场强弱的标志。 取等效裂纹长度 ，令等效裂尖附近应力场的线弹性理论分布曲线在原裂纹塑性区边界C1 即在 处的应力等于 又因为 ，所以有 应力松弛后的应力强度
28、因子。 78平面应力下 ，有代入上式，并近似设 得 平面应变下，按 则 等效裂纹长度与应力强度因子裂纹的计算边界正好在塑性区的中心 79另外，若按一般采用的公式 则： 继而按等效裂纹长度计算等效应力强度因子 ，一般工程应用中，取 ，又因 ，用等效裂长 代替 ，则有：对于平面应力情况，代入相应的 ，得等效裂纹长度与应力强度因子80同理可得平面应变状态下应力强度因子 可见两种状态下应力强度因子都扩大。上述结论都是近似的，我们假设了 ，且未考虑等效裂长对形状因子Y的影响。对于复杂问题要用逐次逼近法求 ，具体步骤见书。等效裂纹长度与应力强度因子81前面我们已经有 I 型裂纹应力强度因子 KI 的表达式
29、 其中Y(g，a) 称为几何影响因子。引入小范围屈服情况下的等效裂纹长度， 由于而塑性区长度 ro又依赖于应力强度因子 KI，所以，考虑小范围屈服修正后的应力强度因子需要迭代计算。 Irwin的上述理论是在小范围屈服的条件下建立的，即要求:等效裂纹长度与应力强度因子82如何而来？因为平面应变下，沿板厚在第三向拉应力 ,三向拉伸应力作用下,材料不易屈服,即材料的有效屈服应力 比单向拉伸屈服应力要高,而平面应力条件下,有效屈服应力 . 下面进行证明：设 是最大主应力, , ,代入mises准则设塑性约束系数 ,代入上式有83对型裂纹平面应变: 在x轴上, 若取 ,则 ,即对平面应力84把塑性区中最
30、大应力 叫做有效屈服应力用 表示,表面平面应变在 的平面上,屈服区内最大应力 是 的三倍.实际一般试件表面是处于平面应力,只有中心部分才是平面应变,故平均约束系数 ,实验测定 ,用环形切口圆棒试件所做的拉伸试验,在三向拉伸状态下：一般取 ,85复习-线弹性断裂力学 线弹性材料的断裂准则-应力强度因子断裂准则： 条件：塑性区比K场区小得多，而K场区又比裂纹长度小得多86用柔度法确定临界应变能释放率 柔度：变形与载荷的比值 总应变能柔度： 应变能释放率： 临界应变能释放率：复习-线弹性断裂力学87Linear Elastic Crack-tip Fields Mode I:(general case)88Mode III:Mode II:89Angular distributions of crack-tip stresses for the three modes (rectangular: left; polar:right)Details of the applied loading enters only
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