上2篇文章介绍了二向应力状态和三向应力状态下的应力圆，且都在ANSYS中进行了复现。那么，在有限元理论中又是怎么描述一点的应力状态的呢？为了解答这个疑问，我们需要先介绍两个概念：应力矩阵和应力向量。
ANSYS对于一点的应力，一般采用向量标记：
在一些特殊场合下，也会写成矩阵形式：
其中应力分量的含义如下图所示（图片来自ANSYS帮助文档），6个分量会随着参考坐标系角度的改变而改变：
2.一点应力状态的矩阵描述
假设有两个坐标系O（X Y Z）和O’（X’ Y’ Z’），对于同一点的应力状态，在这两个坐标下的应力分别为 σ 和 σ’，记：
则有：
这个公式就是应力圆的矩阵方程。特别的，对于二向应力状态，有：
其中，β 即为转角。
可以将变换矩阵[T]写成一个2×2矩阵，如下：
对应的[σ]和[σ’]也可以写为一个2×2矩阵：
这样，便得到了二向应力状态下的应力圆的矩阵方程。
3.回顾与小结
对于一点的应力状态，笔者所写的“应力圆”三篇文章，算是回答了“是什么”这个最基础的问题。第一篇介绍了二向应力圆，第二篇介绍了三向应力圆，本篇又简单的介绍了应力圆的矩阵方程。由表及里，也算是一个完整的“圆”。如果大家有什么问题欢迎讨论，大家一起学习进步。
文章的最后，再补充一点自己的思考，希望能起到抛砖引玉的作用：对于一个一般的三向应力状态，如果用画二向应力圆的方法，会得到什么？在“应力球”中，当只改变一个转角时，轨迹会是什么样子？
对于第一个问题，答案还是圆，这里就不验证了，感兴趣的可以自己实验。对于第二个问题，可以在第二篇文章中的计算结果基础上，添加如下命令流：
/POST1
ALLS
SET,LAST
*DIM,STRE,ARR4,36,36,36,4
*DO,K,1,36
*DO,J,1,36
*DO,I,1,36
LOCAL,11,0,0,0,0,5*I,5*J,5*K
RSYS,11
*GET,STRE(I,J,K,1),NODE,1,S,X
*GET,STRE(I,J,K,2),NODE,1,S,XY
*GET,STRE(I,J,K,3),NODE,1,S,XZ
*ENDDO
*ENDDO
*ENDDO
/PREP7
CSYS,0
LDELE,ALL
N=0
*DO,K,1,36
*DO,J,1,36
*DO,I,1,36
N=N+1
K,N,STRE(I,J,K,1),STRE(I,J,K,2),STRE(I,J,K,3)
STRE(I,J,K,4)=N
*ENDDO
*ENDDO
*ENDDO
N=0
*DO,I,9,36,9
*DO,J,9,36,9
LSEL,NONE
N=N+1
*DO,K,1,35
L,STRE(I,J,K,4),STRE(I,J,K+1,4)
*ENDDO
CM,LINE%N%,LINE
*ENDDO
*ENDDO
ALLS
上述代码的含义是，对整体坐标系O，以某角度存在的参考坐标系O’，绕O’的Y轴转动O’，记录参考坐标系下的SX、SXY、SXZ，并描绘出其在应力球中的轨迹。每个相对O初始角度不同的O’，在绕O’的Y轴转动时，应力表现在应力球中，会出现一条不同的轨迹，如下图所示：
为了方便显示每条轨迹，这里做了线的分组，前9条轨迹显示如下图所示，可以看到每条轨迹在XZ平面上的投影都是一个圆。