图形变换转莫小

主要内容:图形处理是CAD/CAM中的关键技术,包括图形生成、编辑和图形变换。

计算机图形学

计算机图形学的概念

计算机图形学的研究内容

图形变换

点的变换

二维图形的变换

二维图形的齐次变换

二维图形的基本变换

复合变换

三维图形的齐次变换

三维图形的基本变换

复合变换

1、什么是计算机图形学

计算机图形学(Computer Graphics)是近30年来发展迅速、应用广泛的新兴学科,是计算机科学最活跃的分支之一。计算机图形学是研究在计算机中如何表示图形,以及利用计算 机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法的一门学科。随着计算机技术的发展,计算机图形学在CAD/CAM等计算机应用领域中占有越来越重要的地 位。

计算机图形学的研究内容是十分丰富的。虽然许多研究工作已经进行了多年,取得了不少成果,但 随着计算机技术的进步和图形显示技术应用领域的扩大和深入,计算机图形学的研究、开发与应用还将得到进一步的发展。

2、图形变换的概念

根据需要将已定义的图形从屏幕的某一位置移动到另一位置,或改变图形的大小和形状或利用已有 的图形生成复杂的图形,这种图形处理的方法称为图形的几何变换,简称图形变换。图形变换是计算机图形学的核心基础,通过图形变换,能够很方便地由简单图形 派生出所需要的图形。图形变换主要包括二维图形和三维图形的几何变换,投影变换等。图形变换通常采用矩阵变换的方法,图形变换不同,其变换矩阵也不同,本 节将重点介绍图形变换的矩阵方法及图形变换的程序设计。

2.1 点的变换

在计算机绘图中,常常要进行诸如比例、对称、旋转、平移、投影等各种变换,图形可以用点集来 表示,也就是点集定了,图形也就确定了。如果点的位置变了,图形也就随之改变。因此,要对图形进行变换,只要变换点就可以了。

由于点集可以用矩阵的方法来表达,因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现,即   旧点(集)×变换矩阵 矩阵运算 新点(集)。

2.2 二维图形变换

二维图形变换主要包括比例,对称、错切、旋转、平移等。

2.2.1 比例变换(以原点为中心)

等比例变换                               不等比例变换

讨论:

若sx=sy=1, 则为恒等变换,即变换后点的坐标不变。

若sx=sy≠1,则为等比例变换,变换结果是图形等比例放大(sx=sy>1)或等 比例缩小(sx=sy>1)。

若sx≠sy,变换结果是图形产生畸变。

2.2.2 对称变换

对称变换是指变换后的点与变换前的点对称于X轴或Y轴,或对称于某一特定的直线(如45° 线),或对称于某一特定的点(如原点)。

a=-1, d=-1, b=c=0时产生队原点的对称变换。

当:a=d=0, b=1,c=1,时产生对+±45°的对称;

a=d=0, b=-1, c=-1时产生对-45°的对称。

2.2.3 错切变换

1)沿X轴错切

2)沿y错切

注意:上述错切方向均是指第Ⅰ象限的点而言,其余象限的点的错切方向应作相应的改变。

沿Y向错切           旋转变化                     平移变化

2.2.4 旋转变换(绕原点)

规定:图形的旋转是绕坐标原点旋转θ角,且逆时针为正,顺时针为负,变换矩阵为:

2.2.5 平移变换

2.3 二维图形的齐次坐标

从上面的讨论可知,平移与比例、旋转变换的变换矩阵结构不一致,平移变换时需要作加法,而其 他变换则作乘法,这样就不可能组合这三个变换为一个合成矩阵,从而给运算带来不便。因此引入齐次坐标变换。

2.3.1 齐次坐标

那么引进齐次坐标有什么必要,它有什么优点呢?

1) 它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。

2.4 二维图形的齐次坐标矩阵变换

2.4.1 基本变换

用齐次坐标表示点的变换将非常方便,二维齐次坐标变换的矩阵的形式是:

这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。

二维图形各种基本变换的变换矩阵及图示如表4-1所示。

表4-1

变换类型

变换矩阵

矩阵元素的说明

变换图示

平移变换

m, n分别是在X轴,Y轴上的平移量

比例变换

全比例变换

S是全图的比例系数

对称变化

以X轴对称

以Y轴对称

以坐标原点对称

以45º直线对称

以-45º直线对称

错切变换

沿X轴向错切

沿Y轴向错切

旋转变换

2.4.2 复合变换

在实际图形变换中,经常需要对图形连续施行几个基本变换,这种由若干个基本变换组成的变换称 为复合变换。

几个变换矩阵依次相乘称为变换矩阵的级联。利用变换矩阵的级联可得到总变换矩阵。在求变换矩 阵的级联中,基本变换次序是不能改变的。

3、 三维图形变换

3.1 三维图形基本几何变换

3.1.1 平移

平移是将对象从一个位置(x, y, z)移到另一个位置(x′,y′, z´)的变换。

3.1.2 比例

比例变换指将原有的图形在X,Y,Z三个方向上进行放大或缩小的变换。

3.1.3 对称变换

对称变换也称为镜像变换。三维对称变换是相对于坐标面进行的。

3.1.4  错切变换

错切变换是使图形沿错切方向的坐标发生变换,而另一方向的坐标值不变,

从而达到使原图形发生特定变化的目的。

3.1.5  旋转

二维旋转变换指绕坐标原点或任意点旋转,而三维旋转指绕坐标轴或任意轴旋转,分为三种基本旋 转:绕z轴旋转,绕x轴旋转,绕y轴旋转。通常规定,从坐标轴正向往原点看,逆时针方向为正。

3.2 三维图形的复合变换

如果旋转所绕的轴不是坐标轴,而是任一直线,则变换过程变显得较复杂。例如,绕空间任一直线 旋转q角,可通过以下步骤完成。

1平移,使直线经过坐标原点;

3 将需变换的图形绕Z轴旋转q角;

4 对步骤2作逆变换,使其回到原先的方位角;

5 对步骤1作逆变换,将轴平移到原位。

3.3 投影变换

3.3.1 概念

投影(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可描述 为:project(object(x,y,z)) →object(x′,y′)。投影的要素除投影对象,投影面外,还有投影线。按照投影线角度的不同,有两种基本投影方法:

1)平行投影(parallel projection)。它使用一组平行投影线将三维对象投影到投影平面上去,如下图所示。

2)透视投影(perspective projection)。它使用一组由投影中心产生的放射投影线,将三维对象投影到投影平面上去。

由平行投影方法表现三维对象的图,称为正视图和轴测图,由透视投影方法表现三维对象的图,称 为透视图。

平行投影有两种方法:

1)正交平行投影(orthographic P.P.) 投影线与投影平面成90°角。

将三维物体正交平行投影于xoz和yoz平面上,分别获主视图与侧视图。设计中常用正交平行 投影来产生三视图称为正视图。它们具有x,y方向易于测量的特点,因此作为主要的工程图纸。

2)斜交平行投影(oblique P.P.) 投影线与投影面成α交角。斜交平行投影也称轴测投影,所获的图称轴测图。

3.3.2 正平行投影(三视图)

投影方向垂直于投影平面的投影称为正平行投影,我们通常所说的三视图均属于正平行投影。三视图的生成就是把x、y、z坐标系的形体投影到z=0的平面,变 换到u、v、w坐标系。一般还需将三个视图在一个平面上画出,这时就得到下面的变换公式,其中(a,b)为u、v坐标系下的值,tx、ty、tz均如图中 所示。

1)主视图

(2)俯视图变换矩阵

3.3.3 轴测投影变换

用平行投影法将物体连同确定该物体的直角坐标系一起沿不平行于任一坐标平面的方向投射到一个 投影面上,所得到的图形,叫作轴测投影,简称轴测图 。

投影面P称为轴测投影面,投射线S的方向称为投射方向

(1)正轴测投影:投影方向垂直轴测投影面

正轴测图的形成:

正轴测可以看成先将空间物体绕Z轴逆时针旋转一个角度γ,则投影就可以反映两个面的性质, 再将物体向前倾一个角度α(绕X轴顺时针旋转α角),最后向XOZ面(即V面)投影而得到。

变换矩阵:

(2)几个基本概念

1)空间坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测 投影轴,简称轴测轴。

2)轴间角:轴测轴之间的夹角称作轴间角

3)轴向伸缩系数:轴测单位长度与空间坐标单位长度之比,称为轴向伸缩系数

沿O1X1轴的轴向伸缩系数:O1A1 /OA=p,

沿O1Y1轴的轴向伸缩系数:O1B1/OB=q

沿O1Z1轴的轴向伸缩系数:O1C1/OC=r

(3)轴测投影的种类

正轴测投影:投射方向垂直于轴测投影面

3)正三等轴测投影:p≠q≠r

斜轴测投影 : 用平行斜角投影法得到的轴测投影称为斜轴测投影。投射方向倾斜于轴测投影面。 斜轴测投影变换是通过将物体先沿x含y错切,再沿z含y错切,最后向V面投影实现。其变换矩阵为

轴测投影面P平行于XOZ坐标面,投影方向不应平行于任何坐标面,凡是平行于XOZ坐标面的 平面形,其斜轴测投影均反映实形。

1)斜二等轴测投影的伸缩系数为p=r=1,q=0.5

轴间角为:∠XOZ=90°∠XOY=∠YOZ=135° 变换矩阵中d=f=0.354

THE END
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