选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！
2 范围直线\(l\)倾斜角\(α∈[0^∘ ,180^∘)\).\(l\)与\(x\)轴垂直时，\(α=90^∘\).
1 定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\) .当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时，\(α=0^∘\) ， \(k=\tan 0^∘=0\);当直线\(l\)与\(x\)轴垂直时，\(α=90^∘\) ,\(k\)不存在.
2 倾斜角α与斜率k之间的关系\(k=\tan α\)，\(α∈[0^∘ ,180^∘)\).【例】 若直线\(l\)的斜率为\(-1\)，则其倾斜角是\(\underline{\quad \quad}\).解析 \(∵k=\tanα=-1\)， \(\therefore \alpha=\dfrac{3 \pi}{4}\).
3 斜率公式经过两点\(P_1 (x_1 ,y_1)\) ,\(P_2 (x_2 ,y_2)(x_1≠ x_2)\)的直线的斜率公式是\(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).使用斜率公式的时候要注意\(x_1≠ x_2\)的前提条件.【例】 已知点\(A(1,5)\)，\(B(2,m)\)，而直线\(AB\)的斜率为\(-2\)，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．解析 直线\(AB\)的斜率 \(k_{A B}=\dfrac{5-m}{1-2}=m-5=-2\)，所以\(m=3\).
4 求斜率的方法(i)已知直线上两点，根据斜率公式 \(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)\)求斜率；(ii)已知直线的倾斜角\(α\)或\(α\)的某种三角函数根据\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\)来求斜率.
5 斜率的几何意义形如 \(\dfrac{y-b}{x-a}\)的代数式可以理解为过点\(M(a,b)\)与点\(N(x,y)\)直线的斜率\(k_{MN}\).如 \(\dfrac{y+2}{x-1} \mid\)的代数式可以理解为过点\(M(1,-2)\)与点\(N(x,y)\)直线的斜率 \(k_{MN}\).
【典题1】 下列叙述正确的是( )A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．直线倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^ \circ≤α<180^ \circ\)C．若一条直线的倾斜角为\(α(α≠90^\circ)\)，则此直线的斜率为\(\tanα\)D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是\(0^\circ\)或\(90^\circ\)解析 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故A错误．由于直线倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^\circ≤α<180^\circ\)，故B正确．若一条直线的倾斜角为\(α(α≠90^\circ)\)，则此直线的斜率为\(\tanα\)，故\(C\)正确．与\(x\)轴垂直的直线的倾斜角是\(90^\circ\)，与\(y\)轴垂直的直线的倾斜角是\(0^\circ\)，故\(D\)正确，故选：\(BCD\)．
1.一条直线\(l\)与\(x\)轴相交，其向上的方向与\(y\)轴正方向所成的角为\(α(0^\circ<α<90^\circ)\)，则其倾斜角为( )A．\(α\) \(\qquad \qquad\) B．\(180^\circ－α\) \(\qquad \qquad\) C．\(180^\circ－α\)或\(90^\circ－α\) \(\qquad \qquad\) D．\(90^\circ+α\)或\(90^\circ－α\)
3.如果直线\(l_1\)与\(l_2\)关于\(x\)轴对称，且与\(x\)轴相 交，它们的倾斜角分别为\(α_1\)，\(α_2\)，则\(α_1\)与\(α_2\)的关系是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
答案 \(AD\)解析 如图，直线线\(l_1\),\(l_2\),\(l_3\)的斜率分别为\(k_1\),\(k_2\),\(k_3\)，倾斜角分别为\(α_1\),\(α_2\),\(α_3\)，则\(k_2>k_3>0\),\(k_1<0\)，故 \(\dfrac{\pi}{2}>\alpha_{2}>\alpha_{3}>0\)，且\(α_1\)为钝角，故选：\(AD\)．
答案 \(α_1+α_2=180^\circ\).
【典题1】 已知点\(A(2,－1)\),\(B(3,m)\)，若 \(m \in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1, \sqrt{3}-1\right]\)，则直线\(AB\)的倾斜角的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .解析 根据题意，设直线\(AB\)的倾斜角为\(α\)，点\(A(2,－1)\),\(B(3,m)\)，则直线\(AB\)的斜率 \(k=\dfrac{m+1}{3-2}=m+1\)，又由 \(m \in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1, \sqrt{3}-1\right]\)，则\(k\)的取值范围为 \(\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]\)，即\(\tanα\)的范围为 \(\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]\)，又由\(0≤α<π\)，则 \(α \in\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\).点拨 知斜率范围求倾斜角范围，结合正切函数图象求解，注意倾斜角范围\([0，π)\)便可.
【典题2】若直线经过两点\(A(m,2)\)，\(B(-m,2m-1)\)且倾斜角为\(45^\circ\)，则\(m\)的值为( )A． \(\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{1}{2}\)解析 经过两点\(A(m,2)\)，\(B(-m,2m-1)\)的直线的斜率为 \(k=\dfrac{2 m-1-2}{-m-m}\)．又直线的倾斜角为\(45^\circ\)， \(\therefore \dfrac{2 m-1-2}{-m-m}=\tan 45^{\circ}=1\)，即 \(m=\dfrac{3}{4}\)．故选：\(A\)．点拨 求直线斜率可用\(k=\tanα\)或斜率公式 \(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
1.已知直线\(l\)的倾斜角为\(150^\circ\)，则直线\(l\)的斜率为( )A． \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B． \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) C． \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad\qquad \qquad \qquad\) D． \(-\sqrt{3}\)
2.斜率为\(2\)的直线经过点\((3,5)\)，\((a,7)\)，\((-1,b)\)三点，则\(a\),\(b\)的值是( )A．\(a=4，b=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(a=－4，b=－3\)\(\qquad \qquad\)C．\(a=4，b=－3\) \(\qquad \qquad\) D．\(a=－4，b=3\)
3.过点\((0,1)\)与\((2,3)\)的直线的斜率为\(\underline{\quad \quad}\)，倾斜角为\(\underline{\quad \quad}\)．
4.已知点\(A(-m,5)\)，\(B(1,3m)\)，且直线\(AB\)的倾斜角为\(135^\circ\)，则实数$ m=\underline{\quad \quad}$．
5.若直线\(l\)的斜率\(k\)的变化范围是 \([-1, \sqrt{3}]\)，则它的倾斜角的变化范围是 .
参考答案
答案 \(C\)解析 \(k=\tan 150^{\circ}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
答案 \(C\)解析 \(k=\dfrac{7-5}{a-3}=\dfrac{b-5}{-1-3}=2\)，解得\(a=4\)，\(b=－3\).
答案 \(1\) \(45^\circ\)解析 \(k=\dfrac{3-1}{2-0}=1\)，又\(\tanα=1\)，得\(α=45^\circ\).
答案 \(1\)解析 \(k_{A B}=\dfrac{3 m-5}{1+m}\)， \(k_{A B}=\tan 135^{\circ}=-1\)，则 \(\dfrac{3 m-5}{1+m}=-1\)，解得\(m=1\).
答案 \(\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)解析 设直线的倾斜角为\(α\)，则\(α∈[0,π)\)，由 \(-1 \leq k \leq \sqrt{3}\)，即 \(-1 \leq \tan \alpha \leq \sqrt{3}\)，\(\therefore \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\).
点拨 注意数形结合，理解判断斜率大小的方法: 直线越陡斜率绝对值|k|越大.
1.已知两点\(A(－3,4)\)，\(B(3,2)\)，过点\(P(1,0)\)的直线\(l\)与线段\(AB\)有公共点，则直线\(l\)的斜率k的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
2.已知实数\(x,y\)满足\(2x+y=8\)，当\(2≤x≤3\)时， \(\dfrac{y+1}{x-1}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
1.下列说法正确的是( )A．一条直线和\(x\)轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角B．直线的倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^\circ≤α≤180^\circ\)C．任何一条直线都有斜率D．任何一条直线都有倾斜角
2.直线\(l\)经过第二、四象限，则直线l的倾斜角\(α\)的范围是( )A．\(0^\circ≤α<90^\circ\) \(\qquad \qquad\) B．\(90^\circ≤α<180^\circ\) \(\qquad \qquad\) C．\(90^\circ<α<180^\circ\) \(\qquad \qquad\) D．\(0^\circ≤α<180^\circ\)
3.若三点\(A(-1,-2)\),\(B(4,8)\),\(C(5,x)\)在同一条直线上，则实数\(x\)的值为( )A．\(10\) \(\qquad \qquad\) B．\(－10\) \(\qquad \qquad\) C．\(5\) \(\qquad \qquad\) D．\(-5\)
4.已知直线过\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)两点且倾斜角为 \(\dfrac{5}{6} \pi\)，则\(m\)的值为( )A． \(-\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) C． \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
5.若过点\((a,－2)\)和\((4,a)\)的直线斜率不存在，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.直线\(l\)经过点\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\)， \((-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})\)，则直线\(l\)倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
7.已知点 \(A(\sqrt{3}, 2)\)，\(B(4,－3)\)，若直线\(l\)过点\(P(0,1)\)与线段\(AB\)相交，则直线\(l\)的倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
8.已知坐标平面内三点\(A(－ 1,1)\)，\(B(1,1)\)， \(C(2, \sqrt{3}+1)\)．(1)求直线\(AB\),\(BC\),\(AC\)的斜率和倾斜角；(2)若\(D\)为\(△ABC\)的边\(AB\)上一动点，求直线\(CD\)斜率\(k\)的变化范围．
参考答案
答案 \(D\)解析 对于\(A\)：一条直线向上的方向与\(x\)轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角，故\(A\)不正确；对于\(B\)：直线倾斜角的范围是\(0^\circ≤α<180^\circ\)，故\(B\)不正确；对于\(C\)：倾斜角为\(90^\circ\)的直线没有斜率，故\(C\)不正确；对于\(D\)：任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，故\(D\)正确．
答案 \(B\)
答案 \(A\)解析 三点\(A(-1,-2)\),\(B(4,8)\),\(C(5,x)\)在同一条直线上，\(\therefore k_{A B}=k_{A C}\)， \(\therefore \dfrac{-2-8}{-1-4}=\dfrac{-2-x}{-1-5}\)，解得\(x=10\)．故选：\(A\)．
答案 \(C\)解析 根据题意，直线\(AB\)的倾斜角为 \(\dfrac{5}{6} \pi\)，则其斜率 \(k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，又由\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)，则\(AB\)的斜率 \(k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m\)，则有 \(m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，故选：\(C\)．
答案 \(4\)
答案 \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)解析 \(∵\)直线\(l\)经过点\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\)，\(\therefore k_{l}=\dfrac{t^{2}-1}{3-2}=t^{2}-1\)，\(\because-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}\)，\(∴0≤t^2≤2\)，则\(t^2－1∈[－1,1]\)，设直线\(l\)的倾斜角为\(θ(0≤θ<π)\)，则\(\tanθ∈[－1,1]\)，得 \(\theta \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)．
1.已知在直角坐标系中，等边\(△ABC\)中\(A\)与原点重合，若\(AB\)的斜率为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(BC\)的斜率可能为( )A． \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)\(\qquad \qquad\) C． \(-\dfrac{\sqrt{3}}{5}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
参考答案
1.已知点\(P\)在直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)上，点\(Q\)在直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}\)上，线段\(PQ\)的中点为\(M(x_0,y_0)\)，且\(－1≤x_0+y_0≤2\)，则 \(\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．