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1、第七章参数估计1. 一随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以 mm计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值及方差(7 2的矩估计，并求样本方差S2。_ 1 n解：卩，72 的矩估计是？=X =74.002 ,；:?2 二 v(Xi-X)2=6 10-6n i=S2 =6.86 10-6。2. 二设X1, X1,，Xn为准总体的一个样本。求以下各总体的密度函数或分布 律中的未知参数的矩估计量。(1)f (x)0cex 40 1) ,x c0,其它其中c>0为，0>1, 0为未知参数。f (X)Xx"0二
2、0 兰xE10,其它.其中0>0, 0为未知参数。(5) P(X =x)二 m Px(1-P)2,x =0,12 ,m,0 :： p ：1, p为未知参数。解：(1) E(X) = j 三xf(x)dxc0c0x "dx二 " 1 二誥，令，得0X -c(2) E(X)二 xf (x)dx 0x 0dx 二 v 0,令 、0=X,得 0 二(一X )2J0J0 +1J0 +11-x 7(5) E (X) = mp 令 mp = X , 解得 p 丛 m3. 三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。n解：(1 )似然函数L(0)"f (xi) = 0nc
3、n0(x1x' xn)"i dd ln L(0)d 0nIn L(0) = n In(0)n0ln c (1 - 0)'TnXj,i dnL(e)=u f(Xi)i 4n_n-e P(XiX2Xn) e，In L(e)二于n(e) C. e -1)、 I nXid In L(B)d e_n2L = InXj=O, e=n 'Tn xi2。解唯一故为极大似然估 2、e i4i =1计量。(5)nL( p) -Jl Ii生PX 二Xinnm、送 Ximn£Xip (1 P) t ,nIn L(p) » In mi 土n、Xii =1nIn p
4、(mn - ' Xi) In(1 - p),i=1d In L(p)dpn' Xi i =1pnmn -' Xi空 0 1 - p解得 pn7 Xii =2mnX，解唯一故为极大似然估计量。m4.四2设Xi , Xi,，Xn是来自参数为的极大似然估计量及矩估计量。入的泊松分布总体的一个样本，试求入解：1矩估计 X 冗入,E X =入故P= X为矩估计量。n2极大似然估计L入：| PXi ；入二i =1nJi入Tx1! x2!Xn!nIn L(入)八 Xi Ini &n入二.In Xi n 入i =12i An = 0 ,解得P = X为极大似然估计量。n1 Xi
5、d In L (入) i 彳d入)Xi(其中e，Xj =0，)5.六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有 10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求 p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下样品中属石灰石的石子数观察到石灰石的样品个数0167 23 26 21 12 310解：入的极大似然估计值为?= X =0.499四(1)设总体X具有分布律X123Pk2 e(1 e)(1 e) 2其中0(0< 0<1)为未知
6、参数。取得了样本值X1=1 , X2=2, X3=1，试求B的矩估计值和最大似然估计值。解：(1 )求B的矩估计值E(X) =1 e2 - 2 2B(1 - 0) - 3(1 - 0)2二B 3(1 - 0) 0(1 一 0) =3 -2 0令E(X) =3 _20 = X那么得到e的矩估计值为0 =3 -X212 13(2)求e的最大似然估计值3似然函数 L(e)=PXi =XiH PX1 =1px2 =2PX3 =1i d2 2二 e 2e(1 -e) e= 2e5(1 - e)In L( e)=ln2+5ln e+ln(1 e)求导d In L(e)_ 51 0d61 -得到唯一解为0=
7、568 九设总体X N (卩，/),X!，Xn是来自X的一个样本。试确定n常数c使c、(Xi 1 -Xi)2为/的无偏估计。i 4解：由于nJn 二n 二2 2 2 2Ec'(Xi 1 -Xi)二 cP，E(Xi 1 - Xi) = » D(Xi i - Xi) (E(Xj 1 - Xj)i 4i 4i =4n -1n=c' D(Xi 1) D(Xi) (EXi 1 -EXJ2心 (2/ 02) =c(2n-1),i 4i 412(n -1)n -1时Q (Xi 1i吕-Xj)2为二2的无偏估计十设X1, X2, X3, X4是来自均值为B的指数分布总体的样本，其中B
8、未知,设有估计量11T-1(X1 X2)1(X3 X4)63T2 =(X1 2X2 3X3 4X4) 5T "1X2 X3(1) 指出T1, T2, T3哪几个是B的无偏估计量；(2) 在上述B的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：(1)由于人服从均值为B的指数分布，所以E (Xi )= Q D (Xi )= 02,i=1,2,3,4由数学期望的性质 2° , 3°有11E(TJE(XJ E(X2) /Eg) Eg)二 0631 E(T2)=1【E(X1) 2E(X2) 3E(X3) 4E(X4)=2051E(T3)=1【E(X1) Eg) E(X3)Eg)之即Ti
9、, T2是B的无偏估计量(2)由方差的性质 2°, 3°并注意到Xi, X2, X3, X4独立，知1152D(Ti) =36【D(Xi) D(X2) £D(X3)D(X4)=磊 e2112D(T2)=162(X1)d(X2)D(X3) d(X4) =4 eD (T1)> D (T2)所以T2较为有效。14.十四设某种清漆的9个样品，其枯燥时间(以小时计)分别为 6.05.7 5.86.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。设枯燥时间总体服从正态分布N (朽2),求的置信度为0.95的置信区间。(1)假设由以往经验知(=0.6 (小时)(2)假设2为未
10、知。解: (1)卩的置信度为0.95的置信区间为(X二2 za ),Jn 0 6计算得 X =6.0,查表Z0.025 =1.96, "0.6,即为(6.0 _ 0；1.96) =(5.608,6.392)(2)卩的置信度为0.95的置信区间为(X _ S t a (n-1),计算得X =6.0，查v n表 to.o25(8)=2.3O6O.S2 丄(Xi X)22.648j 8Q Q= 0.33.故为(6.0 一 一 2.3060) - (5.558,6.442)16.十六随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的
11、炮口速度的标准差2的置信度为0.953的置信区间。解：2的置信度为0.95的置信区间为(治 T)S2 (n -1)S2、一忌 11 811(74 21 1) (爭n T) 31)一(帀誌 2( , 21)其中 a=0.05, n=9查表知X0.025 (8) =17.535, X0.975(8) =2.18019.十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n 1= n2=20.得燃烧率的样本均值分别为X1 =18cm/s,x2 =24cm/s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差一的置信度为0.99的置信区间。解：山一血的置信度为0.99的置信区间为(Xi0.052202) =(一6.04, -5.96).其中 a=0.01 , z0.005=2.58,ni=n2=20, oi =七=0.05 , Xi =18, X? =2420.二十设两位化验员 A, B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为 SA =0.5419, SB =0.6065.设oA, 02分别为A, B所测 定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比oA.' ffB的置信度为0.95的置信区间。
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