给定一个字符串 (s) 和一个字符模式 (p)。实现支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。
'.' 匹配任意单个字符。
'*' 匹配零个或多个前面的元素。
匹配应该覆盖整个字符串 (s) ，而不是部分字符串。
说明:
s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。示例 1:
示例 2:
示例 3:
示例 4:
示例 5:
题目难度：⭐⭐⭐
这是一道有点难度的题，如果你看了一遍题目之后，没有什么好的想法，不用心急，深呼吸，让我们一起来探索如何解决这道题。
其实题目的要求，就是实现一个最简单的正则表达式，即.与*的匹配，一提到正则表达式，你也许会想到形如 ^[A-Z]:\\{1,2}[^/:\*\?<>\|]+\.(jpg|gif|png|bmp)$ 之类的一大串乱七八糟的代码，觉得看着都蛋疼，还要让我来实现？？？emmmm，不要方，问题不大，不要被正则表达式这个名号给吓到，要相信，问题总比方法多🤣。何况这里只需要解析两个特殊字符，岂不是小菜一碟。
明人不说骚话，撸起袖子就开干。
先重新阅读一遍题目，对题目要求的理解和把握很关键，这决定了之后的思考会不会跑偏，后面的几个示例可以用来验证自己理解是否正确。
从后面给的栗子里可以看出，题目的意思是要求字符串s与字符模式p能完全匹配才能算是通过，而不是在s中找到一个p能匹配的子字符串。
脑袋一拍，那一个字符一个字符来匹配不就完事了？嗯，先试试看。把题中的栗子拿出来画成图，然后进行观察。
在形成自己的思路后，一定要对这几个栗子进行验证，不然代码写完以后才发现理解错了题目的意思就很尴尬了。🌝
对于一个位于字符模式p中的字符c来说，只有三种情况：
我们先来看第一种情况，当c == '.'的时候，因为可以匹配任意字符，那么，直接跳过即可，对于第三种情况，那么只要s中对应的字符字符c相同即可，你看，很简单吧，我们已经完成三分之二了。接下来，再来看看最后一种情况。
如果c == *，那么代表可以匹配零个或者多个前面的字符，比如a*可以匹配a、aaaa、aaaaa也可以匹配空字符，所以它其实是个修饰符，用来修饰它前面的字符，必须要跟其他字符一起使用，所以在我们在一个个遍历模式串中的字符的时候，还需看看后面跟的字符是不是*，如果是的话，那么就要进行特殊处理了。
*代表匹配0个或多个它前面的字符，所以有两种情况，一种是0个，一种是多个。
梳理一下思路，每次从p中拿出一个字符来与s中的字符进行匹配，如果该字符后续的字符不是*，那么直接与s中对应字符进行匹配判断即可，如果匹配上了，那么就将两个游标都往后移动一位。如果匹配过程中遇到不相等的情况，则直接返回false。如果后续字符是*，那么就如上面所分析的，分成两种情况，一种是匹配0个，那么只需要跳过p中的这两个字符，继续与s中的字符进行比较即可，如果是匹配多个，那么将s中的游标往后移动一个，继续进行判断，这两个条件只要其中一个能满足即可。
对于上面分析*字符的说明也许还不够清晰，继续画图：
等等，你有没有闻到一丝递归的味道，既然对于每个在模式串中的字符都可以采用相同的策略进行处理，那不就是暗示这里可以使用递归吗。机智如我😝
先来写一下伪代码来继续理清思路，毕竟这可是一道复杂度为三星级别的题，万万不可轻敌。
emmm，这个伪代码好像不太合格，几乎把代码写完了，23333，接下来只需要考虑一下边界情况，把代码补全就行了，当然，还可以将代码美化一下：
大功告成，提交一下。
emmm，递归的效率一般都比较差，只击败了28%的用户。
当然，一般能用递归解决的地方，都可以使用非递归的方式解决，下面，我们来使用另一种解决方案。
动态规划？？？emmm，如果你不经常接触算法的话，也许对这个名词不太熟悉，所以我先简单的介绍一下。
动态规划，简单来说就是，动态的去进行，规划。😂言归正传，其实动态规划也是一种分治的思想，将问题分解成一个个子问题，通过解决所有子问题，来求得原问题的解，一般用于求解最优问题。但是跟分治法不同的地方在于，动态规划的子问题往往是相互关联的，拿最简单的斐波拉契数列来说，我们使用分治的思想，对于求fib(6)，使用的公式是fib(6) = fib(5) + fib(4)，于是将原来的问题便转化为求解fib(5)和fib(4)，继续递归，fib(5) = fib(4) + fib(3)，然后再继续递归fib(4) = fib(3) + fib(2) 、fib(3) = fib(2) + fib(1) 这里fib(1) = 1 和 fib(2) = 1为初始条件，于是就能求出fib(6)，初看起来似乎没什么毛病，但是仔细想一想，由于每次递归都是无状态的，所以其实做了很多重复的计算，画个图来感受一下：
动态规划就可以很好的解决这个问题，动态规划的思想跟上面是一样的，但不同的是，动态规划会将每次计算的结果存起来，因此就解决了。简单一点理解，就是在分治的基础上加入了一个状态数组，来存储中间计算的结果，以减少重复计算的耗时。当然，动态规划又分为两种，一种是自顶向下，就是刚才所说的方法，另一个种是自底向上，还是拿上面的斐波拉契数列来说，要计算fib(6)，因此我们先计算fib(3) = fib(2) + fib(1) ，再计算fib(4) = fib(3) + fib(2) 和fib(5) = fib(4) + fib(3)，这样，就能算出fib(6) = fib(5) + fib(4)的结果了。
在动态规划中有几个比较关键的概念：子问题，状态，状态空间，初始状态，状态转移方程。
子问题：与原问题形式相同或者类似，只不过规模变小了，子问题都解决后，原问题即解决。
状态空间：由所有状态构成的集合，上面的栗子比较简单，状态空间是一维空间。
状态初始条件：即状态的初始状态，上面的栗子里fib(1) = 1和fib(2) = 1就是初始条件。
状态转移方程：用来表示状态之间是如何转换的方程，即如何从一个或者多个已知的状态求出另一个状态，可以使用递推公式表示。上面栗子的公式为fib(n) = f(n - 1) + f(n -2) (n > 2)
关于动态规划的介绍就结束了，接下来我们来看如何在这道题上面使用。
我们先来考虑自顶向下的算法。为方便起见，假定使用符号s[i:]表示字符串s中从第i个字符到最后一个字符组成的子串，p[j:]则表示模式串p中，从第j个字符到最后一个字符组成的子串，使用 match(i,j) 表示s[i:]与p[j:]的匹配情况，如果能匹配，则置为true，否则置为false。这就是各个子问题的状态。
那么对于match(i,j)的值，取决于p[j + 1]是否为'*'。
这样表述一下是不是就清晰了不少。
以s = "aab"; p = "c*a*b"为例，先构建一个二维状态空间来存储中间计算得出的状态值。横向的值代表i，纵向的值代表j，match(0,0)的值即问题的解，用f代表false，t代表true。
接下来描述一下后续的计算过程：
你看，其实很简单吧。😅
接下来转化成代码：
来跑一下结果：
击败了99.95%，不错不错。
已经很晚了，但我还是想把另一种方法也一起写完。🙄
还有一种方法，叫做自底向上方法，也是动态规划中的一种，这种方法的思路其实很简单粗暴，即从最后一个字符开始反向匹配，还是以刚才的栗子为例，从i = 3, j = 5 开始依次往左往上循环计算，match(3,5) == true，核心的逻辑并没有变。因为最边缘的值的匹配都是可以直接计算出来的，下面推算其中的一部分：
剩下的部分可以自行推导。代码如下：
提交一下：
效率也是相当高的，虽然比自顶向下方法多计算了不少值，但是减少了方法调用次数，省去了多次递归调用方法的开销，而且每次计算的过程相当简单，所以并不能说它的效率比自顶向下的方法低，要视具体情况而定。
写到这，今天的题总算是完成的差不多了，长呼一口，来回顾一下今天的收获吧：
首先我们用分治法，使用递归来解决，但是效率偏低。
于是我们用了动态规划的思想来解决这个问题，与分治法最大的不同便在于动态规划会存储中间的计算状态，以减少重复计算。
先是用了自顶向下的方法，跟分治法几乎没有差异，只是多使用了一个二维数组。
接着用自底向上的方法来解决，从最后的字符开始匹配，将多次递归调用转为在一个循环体中完成。