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从圆锥曲线（特指椭圆、双曲线、抛物线）的定义与标准方程出发，如何去推导与焦点相关的焦半径公式、焦点弦长公式及其相关的结论，进而加以应用．
本文不作特别说明，椭圆、双曲线、抛物线都是针对焦点在 轴上标准方程（其中抛物线考虑标准方程 ）， 分别为椭圆或双曲线的左、右焦点， 是抛物线的焦点， 是相应圆锥曲线上的一点．所有的公式推导均以椭圆方程为例，且优先考虑左焦点对应的相关公式．双曲线可以完全类比椭圆的推导过程得到，特殊情况会另外说明．
焦半径是指圆锥曲线上任意一点与焦点的连线段．对于椭圆与双曲线上的任意一点，都对应两条焦半径；对于抛物线上的任意一点，焦半径唯一存在．
从而焦半径
分子有理化得
于是有
(1)(2)两式相加得
于是我们得到椭圆的焦半径公式（I）：
同理有双曲线的焦半径公式（I）：
当点在双曲线上的不同支上时，绝对值里面式子的正负大家可以自行讨论．
抛物线的焦半径公式可以直接由抛物线的定义得到，即
解得
解得
同理可以推得右焦点对应的焦半径公式
于是我们得到椭圆的焦半径公式（II）：
对于双曲线来说，与椭圆类似可以得到双曲线的焦半径公式（II），需要注意的是，当双曲线上的点在双曲线的不同支上时，焦半径公式（I）中绝对值的正负不同，所以需要分别讨论．双曲线的焦半径公式（II）：
抛物线的焦半径公式为：
椭圆的焦半径公式（II）有两个常用的推论：
推论1 椭圆的焦点弦长公式：
由焦半径公式（II）知
于是
这就是椭圆的焦点弦长公式，容易知道，对于经过椭圆右焦点的弦，此公式同样适用．
事实上，对于双曲线，同样有推论1，即双曲线的焦点弦长公式：
抛物线的焦点弦长公式更为简单，即
所以
为定值．
推论2 椭圆的焦点弦被焦点所分成的两段线段长的调和平均数为定值（即焦半径的倒数和为定值）．
证明 由焦半径公式（I）知
几道练习：
答案
练习3
备注1 椭圆的焦半径公式（I）是从椭圆的第一定义向第二定义过渡的重要桥梁，可以通过椭圆的焦半径公式（I）去发掘椭圆的第二定义．由焦半径公式（I）知