但至今没有人翻译过。我用搜狗翻译，略作修订。
这是对那些美丽方法的最简单的介绍，这些方法通常被称为“微分”和“积分”这样的可怕名字。
第二版 1914年
一个傻瓜能做的，另一个傻瓜也能。（古老的猿猴谚语）
鉴于有多少傻瓜会计算，对于其他傻瓜来说，学习如何掌握同样的技巧， 学习掌握相同技巧竟被认为是一项既困难又乏味的任务。
一些微积分技巧相当容易，而另一些则极其困难。 写高等数学教科书的傻瓜——他们大多是聪明的傻瓜——很少费心向你展示简单的计算是多么容易。相反，他们似乎希望以最困难的方式来向你展示他们有多么聪明。
我自己是个相当愚笨的人，不得不摒弃那些难点，现在我恳请向我的同伴们展示那些并不难的部分。彻底掌握这些内容，其余的就会迎刃而解。一个傻瓜能做到的，另一个傻瓜也能做到。
微积分中那些令人望而生畏的符号，往往一开始就把许多学生吓得不敢尝试学习这门学科。但实际上，只要理解了这两个主要符号的含义，这种恐惧就会烟消云散。
这些可怕的符号是:
(1) d仅仅意味着“一点点”。
因此dx表示x 的一点点；或者du表示一点点的u。 普通数学家可能会更礼貌地说 “一个元素”，而不是 “一点点”，但意思是一样的。并且你会发现， 这些一点点(或元素)可能被认为是无限小的。
(2) ∫ 仅仅是一个拉长的S，如果你愿意的话，可以称它为“的总和”。
因此∫ dx表示x的所有一点点的总和；或者∫ dt是t的所有一点点的总和。普通数学家称这个符号为“的积分”。现在任何一个傻瓜都可以看到，如果x被认为是由许多小点点组成的，每一个都叫做dx，如果你把它们加在一起，你就得到所有dx的和，(就是和整个x一样)。 “积分” 这个词的意思就是 “整体”。如果你把一个小时的时间想象成被切成3600个叫做秒的一点点。3600个一点点加在一起就是一个小时。
当你看到一个以这个可怕的符号开始的表达式时，你会知道它只是给你一个指令，告诉你现在要执行的操作(如果你能做到的话)是把后面的符号所指示的所有的小点点加起来。
仅此而已。
我们会发现，在我们的计算过程中，我们必须处理微小程度的各种阶（或等级）的小量。
我们还必须了解在什么情况下，我们可以认为这样的小量是如此微小，以至于我们可以忽略它们。一切都取决于相对的微小程度。
在确定任何规则之前， 让我们先考虑一些熟悉的例子。 一小时60分钟，一天24小时，一周7天。因此，一天有1440分钟，一周有10080分钟。
显然，与一整周相比，1分钟是一个非常小的时间量。事实上，我们的祖先认为它比一小时小，称之为“一分钟”，意思是一个叫做分的分数——即六十分之一。当他们需要更小的时间细分时，他们把每分钟分成60个更小的部分，在伊丽莎白女王的时代，他们称之为“第二次分”(“second min`utes”)(即微小程度的第二阶小量)。现在我们把这些微小程度的第二阶小量称为“秒”(“seconds”)。但是很少有人知道为什么这么叫。
现在如果一分钟和一整天比起来那么小，那一秒相比之下又小了多少！
另一个例子，想想1法寻与1英镑相比（1英镑 = 20 先令，1先令 = 12 便士，1 便士 = 4 法寻）:它的价值仅仅超过1/1000。与1英镑相比，1法寻或多或少都没有那么贵重:它当然可以被视为一个小量。但是拿1法寻和1000英镑相比:相对于这个更大的数目，并不比1法寻的千分之一对于1英镑更重要。在百万富翁的财富中，即使是一个金元也是相对微不足道的。
现在，如果我们把任何一个数的分数定为构成我们称之为相对小的比例，我们就可以很容易地说出其他有更高阶的微小程度的分数。因此，如果为了计时，1/60被称为一个小分数，那么1/60的1/60是小分数的小分数，可以被认为是第二阶微小程度的小量。∗
*数学家们谈论二阶“量级”(就是大的程度)的时候，当他们实际的意思是二阶微小程度。这对于初学者来说非常困惑。
或者，如果出于任何目的，我们拿1%(即1/100)作为一个小分数，则百分之一的百分之一，即1/10000，将是第二阶微小程度的小分数；并且1/1000000将是第三阶微小程度的小分数，就是百分之一的百分之一的百分之一。
最后，假设出于某种非常精确的目的，我们应该把1/1000000看作“小”。因此，如果一个一流的计时器在一年中不损失或增加超过半分钟，它必须保持1/1051200的精度。如果为了这个目的，我们那么，把1/1000000(或百万分之一)看作一个小量，百万分之一的百万分之一，也就是(或十亿分之一)将是二阶微小程度的小量，相比之下，可以完全忽略不计。
然后我们看到，一个小数量本身越小，对应的二阶小量就越可以忽略不计。因此，我们知道，在所有情况下，只要我们把第一阶的小量本身取得足够小，我们都有理由忽略第二阶——或第三阶(或更高阶)——的小量。
但是，必须记住，如果小数量在我们的表达式中作为因子乘以其他因子出现，如果其他因子本身很大，它们可能变得很重要。只要乘以几百，哪怕1法寻也变得很重要。
现在在微积分中，我们把x的一小份写作dx。像dx、du和dy这样的东西被称为“微分”，即x、u或y的微分，视情况而定。[你把它们读作dee-eks、dee-you或dee-wy。] 如果dx是x的一点点，并且本身相对较小，这并不意味着像 x dx，或 x^2 dx，或 a^x dx这样的量可以忽略不计。但是dx × dx是二阶的一个小量，可以忽略不计。
一非常简单的例子可以说明这一点。
让我们把x想象成一个可以增长的量，当它增长一个小增量 dx时，变成 x+dx 。
x+dx的平方展开后是 x^2 + 2x dx + (dx)^2。第二项 2x dx 不可忽略，因为是一阶量；而第三项 (dx)^2 有二阶的微小程度，是x^2的一点点的一点点。因此，如果我们把dx在数值上取为，比如说，x的1/60，那么第二项是x^2的2/60，而第三项是x^2的1/3600。这最后一项显然不如第二项重要。但是如果我们更进一步，把dx取为x的1/1000，那么第二项将是x^2的2/1000，而第三项将是x^2的1/1000000。
几何上，这可以描述如下：画一个正方形(图 1)，我们将取其一边来表示x。现在，假设正方形通过每边增加一点点dx来变大。放大的正方形由原来的正方形x^2、顶部和右侧的两个矩形——每个矩形的面积都是x dx(或合起来是2x dx)、和右上角大小是(dx)^2的小正方形组成。在图2中我们将dx取为x的一个相当大的部分，大约为1/5。但是假设我们只取为1/100——大概是用细笔画的一条墨线的厚度。那么角上的小正方形只有x^2的1/10000，实际上是看不见的。显然(dx)^2是可以忽略不计的，只要我们认为增量dx本身足够小。
让我们打个比方。
假设一个百万富翁对他的秘书说：下周我会把我收到的钱的一小部分给你。假设秘书对他的儿子说:我会给你我所得的一小部分。假设每种情况下的一小部分为1/100。现在如果百万富翁在接下来的一周内收到1000英镑，秘书会收到10英镑，男孩会收到2先令（1英镑 = 20 先令）。与1000英镑相比，10英镑是个小数目；但是两先令确实是一个很小很小的数量， 属于第二级微小程度。
但是，如果这个分数是1/1000，而不是被定为1/100，收入比例又会如何呢？然后，虽然百万富翁得到了他的1000英镑。秘书只有1英镑，而这个男孩只有不到1法寻！
机智的迪恩.斯威夫特*曾写道:
“所以， 博物学家观察到，一只跳蚤
“有更小的跳蚤寄生于它。
“它们又有更小的跳蚤来咬它们，
"就这样就这样无止境地进行下去。"
*论诗:一首狂想曲(20页)，印刷于1733年——通常被错误引用。
一头牛可能会担心一只普通大小的跳蚤——一种一阶微小程度的小生物。但是他可能不会为一只跳蚤的跳蚤而烦恼；作为第二阶的微小程度，它可以忽略不计。即使是一大堆跳蚤的跳蚤，对一头牛来说也是微不足道的。
在整个计算过程中，我们都在处理增长的数量和增长率。我们把所有的量分为两类:常数和变量。那些我们认为是固定值的，我们称之为常数，我们通常用从字母表开始的字母用代数表示，如a，b，或c；而那些我们认为能够增长的，或者(正如数学家所说的)能够“变化”的，我们用字母表末尾的字母来表示，比如x，y，z，u，v，w，或者有时还包括t。
此外，我们通常同时处理多个变量，并考虑一个变量依赖于另一个变量的方式:例如，我们考虑抛射的物体达到的高度依赖于达到该高度的时间。或者我们被要求考虑一个给定面积的矩形，并问它长度的任何增加将如何使它的宽度相应减少。或者我们认为梯子斜率的任何变化都会导致梯子达到的高度发生变化。
假设我们有两个相互依赖的变量。因为这种依赖关系，一个的改变会带来另一个的改变。让我们称其中一个变量为x，另一个依赖于它的是y。
假设我们让x变化，也就是说，我们要么改变它，要么想象它被改变，通过给它加一点我们称之为dx的东西。我们因此导致x变成x + dx。那么，因为x被改变了，y也会改变，变成y + dy。这里的dy在某些情况下可能是正的，在其他情况下可能是负的；它不会(除非奇迹出现)和dx一样大。
举两个例子。
(1) 设x和y分别是直角三角形的底和高(图 4)，其另一侧的斜率固定为30度。如果我们假设这个三角形扩张，但仍保持其角度不变，那么，当底部增大，变成x+dx时，高度变成y + dy。这里，增加dx导致y增加的高度为dy，底边为dx的小三角形，与原三角形相似；很明显比率dy/dx的值与比率y/x的值相同。因为角度是30度。这里可以看到dy/dx=1/1.73.
(2) 在图5中让x代表，固定长度的梯子底端距墙壁的水平距离；让y成为它到达墙壁的高度。现在y显然取决于x。很容易看出，如果我们把底端A拉得离墙更远一点，顶端B就会低一点。让我们用科学的语言来阐述这一点。如果我们把x增加到x+dx，那么y将变成y-dy；也就是说，当x接收到正增量时，导致y的增量是负的。
是的，但是多少？假设梯子很长，当底端A离墙19英寸时，顶端B离地面只有15英尺。现在，如果你把底端再拉出1英寸，顶端会下降多少？全部用英寸表示:x = 19英寸，y = 180英寸（1英尺=12英寸）。现在x的增量，我们称之为dx，是1英寸:或者x + dx = 20英寸。
y会减少多少？新高度是y-dy。如果我们用勾股定理求出高度。那我们就能知道dy是多少了。梯子的长度是
显然，新的高度，也就是y-dy，将是这样的
现在y是180，所以dy是180-179.89 = 0.11英寸。
所以我们看到，使dx增加1英寸会导致dy减少0.11英寸。
dy与dx之比可以这样表述:
也很容易看出(除了在一个特定的位置) dy的大小与dx不同。
现在，通过微分学，我们在寻找，寻找，寻找一个奇怪的东西，一个单纯的比率，也就是说，当两者都无限小的时候，dy与dx的比例。
这里要注意的是，只有当y和x以某种方式相关时（就是每当x变化时，y也会变化），我们才能找到这个比率dy/dx。例如，在刚刚取的第一个例子中，如果三角形的底边长度x变得更长，三角形的高度y也变得更大，并且在第二个例子中，如果梯子的脚距墙壁的距离x变得更大，梯子达到的高度y以相应的方式减小，开始时缓慢，但是随着x变得更大而越来越快。在这些情况下，x和y之间的关系是完全确定的，可以用数学方法表示，为
(其中l是梯子的长度),并且dy/dx具有我们在每种情况下发现的含义。
如果，像以前一样，x是梯子底部离墙的距离，y是墙的水平长度，或者里面的砖的数量，或者自建成以来的年数，x的任何变化自然不会引起y的任何变化；在这种情况下,dy/dx没有任何意义，也不可能找到它的表达式。每当我们使用微分dx，dy，dz等时，暗示了x，y，z等之间存在某种关系。这种关系称为x，y，z等的“函数”。例如，上面给出的两个表达式，即
，是x和y的函数。这样的表达式隐含地包含(即包含而不明显地表现出来)用y表示x或者用x表示y的手段，为此它们被称为x和y中的隐函数；它们可以分别转化为以下列形式
后一个表达式明确地(也就是说，清楚地)用y表示x的值，或者用x表示y的值，因此它们被称为x或y的显式函数。例如
是x和y中的隐函数；可以写成
(x的显式函数)
(y的显式函数)。我们看到一个x，y，z的显式函数，简单来说就是当x，y，z等发生变化时（一次变一个或者几个一起变），它的值正在改变。因此，显式函数的值被称为因变量，因为它取决于函数中其他变量的值；这些其他变量被称为自变量，因为它们的值不是由函数假定的值决定的。例如，如果u = x^2 sinθ，x和θ是自变量，u是因变量。
有时几个量x，y，z之间的确切关系不是不知道就是不方便陈述；人们只知道，或方便陈述，这些变量之间有某种关系，所以不能单独改变x或y或z而不影响其他变量；在x，y，z中存在的函数由符号F(x，y，z)(隐函数)或x = F(y，z)，y = F(x，z)或z = F(x，y)(显函数)来表示。有时用字母F或φ代替F，使y = f(x)，y = F(x)，y = φ(x)都表示同一事物，即y的值取决于x的值，以某种没有说明的方式。
我们将比值dy/dx称之为 “y相对于x的微分系数”（后面直接叫做 “微分”）。对于这个非常简单的东西来说，它是一个庄严的学名。但是当事情本身如此简单的时候，我们不会被庄严的名字吓倒。我们将不再害怕，而只是对给出一个长得拗口的名字这样愚蠢行为念一个简短的咒语；在解放了我们的思想之后，我们将继续讨论这个简单的东西本身，即比率dy/dx。
在学校学的普通代数中，你总是在寻找一些你称之为x或y的未知量；或者有时有两个未知的数量需要同时寻找。你现在必须学会用新的方式去搜寻；猎物现在既不是x也不是y，而是你还得去寻找这只叫做dy/dx的小东西。找到dy/dx的值的过程称为“微分”。但是，记住要找的是当dy和dx本身无限小时的这个比值。微分的真实值是，当每一个变化量都被认为是无穷小的时候，它在极限情况下所近似的值。
现在让我们学习如何去寻找dy/dx。
永远不要陷入学生的错误思维，认为dx意味着d乘以x，因为d不是一个因数——它意味着“的一个元素”或“的一份”等等。人们这样读dx:“dee-eks”。
在这种情况下，读者没有人来指导他，这里可以简单地说，一个人用下面的方法来读微分系数。微分系数（简称微分）dy/dx 读作“dee-wy by dee-eks”或“dee-wy over dee-eks”。
du/dt 同样读作“dee-you dee-tee”。
我们将在后面章节遇到二阶微分系数。他们是这样的:
;读作 “dee-two-wy over dee-eks-squared”，这意味着相对于x对y进行微分的操作已经(或必须)执行了两次。
另一种表示函数已被区分的方法是给函数的符号加一撇。因此如果y = F(x)，这意味着y是x的某个未指定的函数，我们可以写F’(x)来替代d(F(x))/dx。类似地，F’’(x)将意味着原始函数F(x)已经相对于x被微分了两次。
现在让我们看看，基于基本原理，我们如何对一些简单的代数表达式求微分。
例 1。
让我们从简单的表达式
开始。现在记住微积分的基本概念是增长。数学家称之为变化。现在由于y和x^2彼此相等，很明显如果x增长，x^2也会增长。如果x^2增长，那么y也会增长。我们要找出的是y的增长和x的增长之间的比例。换句话说，我们的任务是找出dy和dx之间的比率，或者，简单地说，找出dy/dx的值。
让x，那么，长大一点，变成x+dx；类似地，y会变大一点，变成y+dy。那么，显然，扩大的y将等于扩大的x的平方，这仍然是真的。
写下来，我们有:
进行平方展开运算，我们得到:
(dx)^2是什么意思？请记住，dx意味着x的一点点。那么(dx)^2就意味着x的一点点的一点点；也就是说，如上所述，是微小程度的二阶小量。因此，与其他项相比，它可能被视为微不足道而被丢弃。不说了，我们还有:
现在让我们从等式中减去y = x^2，我们就剩下
除以dx，我们发现 dy/dx = 2x
这*就是我们着手寻找的。在我们面前的例子中，y的增长与x的增长之比是2x。
*注意——该比值dy/dx是y相对于x微分的结果。微分就是求微分系数。假设我们有x的另一个函数，例如，
, 如果让我们对它关于x微分，我们应该求du/dx，或者
，是一回事。
。然后，如果我们被告知要对它进行微分，这意味着我们必须找到它相对于t的微分系数。因此，我们的工作将是试图求dy/dt，也就是说，求
数值示例。
假设x = 100，∴ y = 10，000。然后让x增长直到变成101(也就是让dx = 1)。那么放大的y会是101 × 101 = 10201。但如果我们同意可以忽略第二阶的小量，相比10000，1可能会被忽略；所以我们可以把放大的y丢弃个位数剩下10200。y从10000增长到10200；增加的那一点点是dy，因此是200。
dy/dx=200/1= 200。根据前面段落的代数运算，我们得到dy/dx = 2x。事实也是如此；对于x = 100和2x = 200。
但是，你会说，我们忽略了整个单位1。
好吧，再试一次，让dx再小一点。
试试dx = 1/10。那么x + dx = 100.1，并且
现在最后一个数字1只是10000的百万分之一，完全可以忽略不计；所以我们可能会取10020，末尾没有小数。而这使得dy = 20和dy/dx = 20/0.1 = 200，还是和2x一样。
例2。
试着用同样的方法微分
我们让y长到y + dy，x长到x + dx。
那么我们有
立方展开，我们得到
现在我们知道，我们可以忽略二阶和三阶的小量；因为，当dy和dx都做得无限小时，相比之下(dx)^2和(dx)^3将变得无限小。
所以，认为它们可以忽略不计，就剩下:
减去
，我们有:
例3。
尝试微分
。像以前一样，让y和x都增长一点，我们有:
算出四次幂，我们得到
然后剔除包含dx的所有高次幂的项，相比之下它们可以忽略不计，我们有
减去原来的
，我们就剩下
现在这些情况都挺容易的。让我们收集结果，看看能否推断出任何一般规律。将它们放在两列中，一列是y的值，另一列是的相应值:因此
只要看看这些结果:微分操作似乎有减少x的1次方的效果(例如在最后一种情况下把x^4减少到x^3)，同时乘以一个数(实际上是最初作为指数出现的那个数)。现在，当你看到这个的时候，你可能很容易猜测对x的其他次幂微分会怎么样。您可能会认为微分x^5会得到5x^4，微分x^6会得到6x^5。如果你还有点犹疑不决，试试这些中的一个，看看这个猜想是否正确。
试试
然后
忽略所有包含高阶小量的项，我们就剩下
减去
还剩下
因此 ，
和我们想的一样。
从逻辑上来看，我们应该得出结论，如果我们想处理任何更高次的幂，称之为x^n，我们可以用同样的方式处理它。
那么，我们应该期待得到
比如，设n = 8，那么对y = x^8微分会得到
事实上，微分x^n给出的结果nx^(n-1)的规则适用于n为正整数的所有情况。【用二项式定理展开(x + dx)^n马上就能看出这一点。】但是对于n有负值或分数的情况是否成立的问题需要进一步考虑。
负指数的情况。
。然后像以前一样继续:
用二项式定理对此进行展开，我们得到
因此，忽略微小程度的高阶小量，我们有:
减去初始
，我们得到
而这仍然符合上面推断的规律。
分数次幂的例子。
然后，和以前一样，
减去原来的
，忽略剩下的高次幂项:
。同一般规则一致。
总结。让我们看看我们已经走了多远。我们得到了下面的规则：要微分x^n，乘以指数，并把指数减1，因此得到
微分以下内容:
你现在已经学会了如何微分x的幂。多容易啊！
在我们的方程中，我们认为x在增长，作为x增长的结果，y也改变了它的值并增长了。我们通常认为x是一个可以变化的量；并且，把x的变化看作一种原因，我们把y的变化看作一种结果。换句话说，我们认为y的值取决于x的值。x和y都是变量，但x是我们操作的变量，y是“因变量”。在前面的所有章节中，我们一直试图找出y中的从属变量与x中的独立变量之间的比例关系。
我们的下一步是找出出现常数，即当x或y改变它们的值时不变的数字，对微分过程产生的影响，。
添加了常数。
让我们从一个附加常数的简单例子开始，这样:
就像以前一样，让我们假设x增长到x+dx，y增长到y+dy。
然后:
忽略高阶小量，这就变成了
减去原来的
，就剩下:
所以这个5已经完全消失了。它没有对x的增长增加任何影响，也没有进入微分系数。如果我们用7，或700，或任何其他数字，来代替5，这个数也会消失。所以，如果我们用字母a，或b，或c来表示任何常数，当我们微分时，它就会消失。
如果附加常数为负值，如-5或-b，它同样会消失。
乘以常数。
举一个简单的实验案例:
然后像刚才那样处理，我们得到:
然后，减去原来的
，忽略最后一项，有
让我们通过解出方程
，通过给x指定一组连续的值，0，1，2，3等来说明这个例子。并找到相应的y和dy/dx 值。.
我们将这些值列表如下:
现在将这些值以方便的比例绘图，我们得到两条曲线。图6和6a。
仔细比较这两个图，并通过检查验证导出曲线纵坐标的高度。图6a，在相应的x值与原始曲线（图6）的斜率*成比例。在原点的左侧，原始曲线的斜率为负(即从左到右向下)，微分曲线的相应坐标为负。
*参见第76页。关于曲线的斜率。
如果我们回头看第18页，我们将会看到简单地对
进行微分会得到2x。所以
的微分系数正好是
的7倍大。如果我们取
，微分系数会是
的8倍。如果我们取
，我们将得到
如果我们从
开始，我们应该得到
因此，只要任何仅仅是乘以一个常数的项，当它被微分时，在结果中都会重新出现乘以一个常数。对于乘法来说是正确的，对于除法来说也是正确的：因为在上面的例子中，如果我们取常数1/7而不是7，我们应该在微分后的结果中得到相同的1/7。
一些进一步的例子。
下面进一步的例子，完全计算出来，将使你完全掌握微分过程，就像应用于普通代数表达式一样，并使你自己计算出本章末尾给出的例子。
(1) 微分
是一个相加常数，然后会消失(见第25页).
然后我们可以马上写出
(2) 微分
这项消失，它是一个相加常数；对于
以指数形式写为
，我们有
(3) 如果
求y相对于x的微分系数。
一般来说，这种表达需要的知识要比我们目前所获得的多一点；然而，尝试一下是否可以用更简单的形式来表达总是值得的。
首先，我们必须试着把它变成y =一些只涉及x的表达式。
表达式可以写为
平方，我们得到
这简化为
因此
(4) 半径为r、高度为h的圆柱体的体积由公式
给出。求r = 5.5英寸， h = 20英寸时，体积随半径的变化率。如果r = h， 求当半径变化1英寸时体积变化400立方英寸的圆柱体的尺寸。
体积V相对于半径r的变化率为
如果r = 5.5英寸，h = 20英寸。这变成了dV/dr = 690.8。意味着1英寸半径的改变会引起690.8立方英寸体积的改变。这很容易验证，因为r = 5和r = 6的体积分别是1570立方英尺和2260.8立方英寸。且2260.8 - 1570 = 690.8。
还有，如果
(5) 弗雷辐射高温计的读数θ与被测物体的摄氏温度t有关系
其中θ1是对应于被观察物体的已知温度t1的读数。
比较高温计在800℃、1000℃、1200℃时的灵敏度。假设温度为1000℃时读数为25。
灵敏度是读数随温度的变化率，即
。公式可以写成
我们有
当t = 800，1000和1200时，我们分别得到
= 0.0512、0.1和0.1728。
灵敏度从800℃到1000℃大约增加了一倍，到1200℃又增加了四分之三。
对以下表达式求微分:
自己编一些其他的例子，试着去微分。
(7) 如果lt和l0分别是一根铁棒在温度t℃和0℃时的长度。则
。求每摄氏度下竿长的变化。
(8) 已经发现，如果c是白炽灯的烛光功率，V是电压，
，其中a和b是常数。
求出烛光功率随电压的变化率，并计算在
和b = 6的情况下，计算一盏灯在 80、100和120伏下烛光功率每伏的变化。
(9) 一根直径为D，长度为L，比重为σ的弦，用力T拉伸，其振动频率n由下式给出
求D，L，σ，T单独变化时频率的变化率。
(10) 一根管子能承受的最大外部压力P不致于坍塌，由下式给出
其中E和σ是常数，t是管的厚度，D是管的直径。(这个公式假设4t比D小)。
比较厚度和直径分别微小变化时P的变化率。
(11) 根据基本原理，找出下列各项随半径变化的速率:
(a) 半径为r的圆的周长；
(b) 半径为r的圆的面积；
(c) 斜尺寸l的圆锥的侧面面积；
(d) 半径为r、高度为h的圆锥的体积；
(e) 半径为r的球体的面积；
(f) )半径为r的球体的体积。
(12)铁棒在温度T下的长度L由下式给出
，其中lt是温度t时的长度。
找出当温度T变化时，适合在车轮上收缩的铁轮胎直径D的变化率。
我们已经学会了如何微分简单的代数函数，如
，现在我们必须考虑如何处理两个或多个函数的和。例如，设
会是什么？我们如何着手这项新工作？
这个问题的答案很简单：逐个把它们微分，这样：
如果你对这是否正确有任何疑问，尝试一个更一般的例子，按照基本原理来操作。这就是方法。
设y = u+v，其中u是x的任意函数，v是x的任意其他函数。然后，让x增加到x + dx，y就增加到y+dy；u将增加到u+du；和v至v + dv。
我们将得到：
y + dy = u + du + v + dv。
dy = du + dv，
除以dx，我们得到：
这证明了程序的合理性。您可以分别微分每个函数并添加结果。因此，如果我们现在以上一段为例，输入两个函数的值，我们将得到，使用所示的符号,
就和之前的结果一样。
如果x有三个函数，我们称之为u，v和w，那么
y = u+v+w；
那么
至于减法，一下子就来了；因为如果函数v本身有一个负号，它的微分系数也是负的；所以通过微分y=u-v，我们应该得到
但是当我们谈到乘积时，事情并不那么简单。
假设我们被要求微分这个表达
我们该怎么办？结果肯定不会是
；因为很容易看出，
都没有被计入该乘积。
现在我们可以用两种方法来处理。
第一种方法。先进行乘法运算，算出结果后，再进行微分。
因此，我们将
相乘。
这就得到了
现在微分一下，我们得到：
第二种方法。回到基本原则，考虑一下等式
y = u×v；
其中u是x的一个函数，v是x的任何其他函数。那么，如果x增长到x+dx；和y至y+dy；u变成u + du，v变成v + dv，我们就有了：
y + dy = (u + du) × (v + dv)
= u v + u dv + v du + du dv。
现在du dv是一个小数量的二阶小，因此在取极限时可以被丢弃，剩下
y + dy = u v + u dv + v du。
然后减去原来的y = u v，我们就剩下
dy = u dv+v du；
除以dx，我们得到的结果是：
这说明我们的指令会是这样的：要求两个函数的乘积的微分，将每个函数乘以另一个函数的微分系数，然后将这样得到的两个乘积相加。
你应该注意到这个过程相当于：当你微分v时，把u当作常数；然后当你微分u时，把v当作常数；整个微分系数
将是这两种处理的总和。
现在，找到了这个规则，把它应用到上面考虑的具体例子中。
我们要微分以下乘积
；和
然后，根据刚刚确立的一般规则，我们可以这样写：
和之前的结果一样。
最后，我们必须微分商。
想到这个例子，
。在这种情况下，试图事先算出除法是没有用的，因为
不会分成
，它们也没有任何共同的因子。因此，除了回到基本原则，找到一个规则，别无他法。
所以我们会把
其中u和v是自变量x的两个不同函数。那么，当x变成x+dx，y就变成y+dy；你会变成u+du；v会变成v + dv。那么
现在执行代数除法，这样：
由于这两个余数都是二阶小量，它们可以被忽略，除法可能到此为止，因为任何其他的余数都是更小的量级。
所以我们有：
这可以写成
现在减去原来的
，我们就剩下：
因此
这指示我们如何微分两个函数的商。除数函数乘以被除数函数的微分系数；再减去被除数函数乘以除数函数的微分系数。最后除以除数函数的平方。
回到我们的例子
写下
然后
商的计算通常很繁琐，但没有什么难的。
下面给出了一些很多的例子。
(1) 微分
作为常数，
消失了，我们有
；所以我们得到
(2) 微分
把x以指数形式表示，我们得到
现在
或者，
(3) 微分
这个可能写成：
27°消失了，我们有
或者，
或者，
(4) 微分
一种直接的方法将在后面解释。但是我们现在可以毫无困难地处理它。
展开立方，我们得到
因此
(5) 微分
或者，更简单地说，相乘然后微分。
(6) 微分
说明与前面例子相同。
(7) 微分
这可以写成
同样，这可以通过先将两个因子相乘，然后求微分来更简单地得到。然而，这并不总是可能的；例如，见170页的例8，其中必须使用微分乘积的规则。
(8) 微分
(9) 微分
(10) 微分
以指数形式写为,
因此
(11) 微分
(12) 一个横截面为正方形的蓄水池，其侧面与垂直方向成45°角倾斜。底边长200英尺。当水深变化1英尺时，求流入或流出的水量的表达式；因此，当深度在24小时内从14英尺减少到10英尺时，以加仑为单位计算每小时抽取的水量。
高度为H，A和a 分别为上、下底面积的平顶金字塔 （上、下底面均为正方形，侧面为梯形）的体积公式为
。很容易看出， 由于斜坡是45°，如果深度是h， 正方形水面的边长是200 + 2h英尺，所以水的体积是
= 深度变化每英尺的体积变化立方英尺。
当h=12时，从14英尺到10英尺的平均水平是12英尺，
50，176立方英尺。
相当于对应于在24小时内深度变化为4英尺的每小时加仑数=
(13) 饱和蒸汽的绝对压力（以大气压为单位）与温度 t℃（高于80℃）的关系由杜隆定律给出为
求100℃时压力随温度的变化率。
用二项式定理展开
因此
当t = 100时，温度每摄氏度变化0.036个大气压。
(1)微分
(2) 假如
，求
(3) 求
的微分系数
(4) 微分
(5) 如果x = (y + 3) × (y + 5)，求
(6) 微分
求的微分系数
(11)白炽灯灯丝的温度t与通过灯的电流C之间的关系是
求一个表达式，给出对应于温度变化的电流变化。
(12) 已经提出了下列公式来表示在温度t℃下导线的电阻R之间的关系。同一根导线在0摄氏度时的电阻R0，a，b，c为常数。
求由以上每个公式给出的电阻随温度的变化率。
(13) 我们发现某类标准电池的电动势E随温度t而变化的关系式为
伏特。
求在15°，20°，25°时每度电动势的变化。
(14) 用强度为i的电流维持长度为l的电弧所必需的电动势已由艾尔顿女士给出
其中a，b，c，k是常数。
求电动势变化的表达式(a)相对于弧长；(b)相对于电流强度。
让我们试试在微分函数的运算上重复几次的效果。从一个具体案例开始。
第一次微分，
第二次微分，
第三次微分，
第四次微分，
第五次微分，
第六次微分 ， = 0.
有一种符号，我们已经熟悉了，被一些作家使用，十分便利。这是为了对x的任何函数使用通用符号f(x)。在这里，符号f()被理解为“的函数”，而没有说明特定函数的含义。所以y = f(x)这个陈述只是告诉我们y是x的函数，它可能是
或者
，或者cosx或者x的任何其他复杂函数。
微分系数的对应符号是f’(x)，比
更容易写。这叫做x的“导函数”。
假设我们再次求导，我们将得到“二阶导函数”或二阶微分系数，用f’’(x)表示；诸如此类。
现在我们来概括一下。
第一次微分，
第二次微分，
第三次微分，
第四次微分，
等等，等等。
但这不是指示连续微分的唯一方法。对于，
如果原始函数为 y = f(x)；一次微分给出
两次微分给出
这更方便地写成
，或者更通常地写成
同样，我们可以把它写成三次微分的结果
f’’’(x)。
例子。
现在让我们试试
类似地，如果
对于以下表达式求
(4)求练习三中第1至第7题和40页的第1个至第7个例子第二次和第三次导函数。
微积分中一些最重要的问题是时间是自变量，我们必须考虑一些其他量的值，这些值随着时间的变化而变化。随着时间的推移，有些东西会变大；另一些东西变小了。随着时间的推移，火车离起点的距离越来越长。随着岁月的流逝，树越长越高。下面哪个以更快的速度增长：一棵12英寸高的植物在一个月内变成14英寸高，或者一棵12英尺高的树在一年内变成14英尺高？
在这一章中，我们将充分利用变化率这个词。与贫困率或水费没有任何关系(除了即使在这里，这个词也意味着一个比例——一个比率——那么多便士一磅)。即使与出生率或死亡率无关，尽管这些词暗示了每千人口中有如此多的出生或死亡。当一辆汽车从我们身边呼啸而过时，我们会说：多么惊人的速度！当一个败家子挥金如土时，我们注意到那个年轻人的生活节奏非常快。我们所说的速度是什么意思？在这两种情况下，我们都在对正在发生的事情和发生的时间长度进行心理比较。如果汽车以每秒10码从我们身边飞驰而过，一个简单的心算就会告诉我们，这相当于——当它持续的时候——每分钟600码的速率，或者超过每小时20英里。
那么10码每秒的速度等于600码每分钟的速度在什么意义上是对的？10码和600码不一样，一秒和一分钟也不一样。我们所说的速率相同的意思是：在两种情况下，经过的距离和经过的时间的比率是相同的。
再举个例子。一个人可能只有几英镑，却能够以每年数百万英镑的速度花钱——只要他只是以这种速度花钱几分钟。假设你把一先令交给柜台支付一些货物；假设这个操作只持续一秒钟。然后，在那短暂的操作中，你以每秒1先令的速度花钱，这个速度等于每分钟3英镑，或者每小时180英镑，或者每天4320英镑，或者每年1576800英镑！如果你口袋里有10英镑，你只可以以每年100万英镑的速度继续消费5.25分钟。
据说，桑迪到伦敦还没超过五分钟，就 "砰 "的一声掉了一便士。如果他整天以这个速度花钱，比如说12个小时，那么他每小时要花6先令，或每天3镑12先令，或每周21镑12先令，不考虑休息天的话。
现在试着把这些想法用微分符号表示出来。
如果你在花钱，你在短时间内花的钱被称为dy，它的支出率将是dy/dt，或者更确切地说，应该用负号写成-dy/dt，因为dy是减量，而不是增量。但金钱不是微积分的好例子，因为它通常是跳跃式地增减 ，而不是连续流动——你可能一年挣200英镑， 但它不会整天源源不断地流入； 它可能每周、每月或每季度才以一笔款项的形式进来； 你的支出也是以突然付款的形式出现。
一个更能说明速率概念的例子是运动物体的速度。 从伦敦(尤斯顿站)到利物浦有200英里。如果一列火车7点离开伦敦，11点到达利物浦，你知道，既然它在4小时内行驶了200英里，那么它的平均速度一定是每小时50英里；因为200/4=50/1。在这里，你实际上是在对经过的距离和经过的时间进行心理比较。你在把一个除以另一个。如果y是整个距离，t是整个时间，显然平均速率是y/t。现在，速度实际上并不是一路恒定的：在出发时，以及在旅程结束时的减速过程中，速度更小。可能在某些地方，当跑下坡时，速度超过每小时60英里。如果在时间的任何特定单元dt中，经过的距离的相应单元是dy，那么在这段路程中，速度是dy/dt。一个量(在本例中是距离)相对于另一个量(在本例中是时间)的变化率，可以用一个量相对于另一个量的微分系数来表示。科学上表示的速度是在任何给定方向上通过的非常小的距离的比率；因此可以被写为
但是如果速度v不是均匀的，那么它必须要么增加，要么减少。速度增加的比率叫做加速度。如果一个运动的物体，在任何特定的时刻，在一个单元时间dt中获得一个附加的速度dv，那么在那个时刻的加速度a可以写为
但是dv本身就是
。因此我们可以把
通常写成
当一列铁路列车刚开始移动时，它的速度v很小；但是它正在快速加速——由于发动机的努力，它正在加速。所以它的
很大。 当它达到最高速度时，它就不再加速了，所以它就降到了零。但是当它接近它的停止点时，它的速度开始减慢；如果踩下刹车，可能会非常快地减速，在减速或放慢速度期间，
的值，即
将为负值。
加速一个质量m需要持续施加力。加速质量所需的力与质量成正比，也与所施加的加速度成正比。因此我们可以写出力f，表达式
f = ma
或者
但是，因为m是一个常量，这个式子可以写成
，我们上面看到的和f是一样的。也就是说，力可以表示为质量乘以加速度，也可以表示为动量的变化率。
同样，如果一个力被用来移动某物(对抗一个相等和相反的反作用力)，它确实做了功；所做的功的量是通过力与力的作用点向前移动的距离的乘积来衡量的。所以如果一个力f向前移动一个长度y，所做的功(我们可以称之为w)是
w = f×y；
我们把f作为一个恒力。如果力在y范围的不同部分变化，那么我们必须找到它从点到点的值的表达式。如果f是沿长度为dy的小单元的力，所做的功的量将是f × dy。但是因为dy只是长度的一个单元，所以只会做一个单元的功。如果我们把w写成功，那么功的一个单元就是dw；我们有
dw = f×dy；
这可以被写入
dw = ma dy
或者
此外，我们可以转置表达式并写为
这给了我们力的第三个定义；如果它被用来在任何方向上产生位移，力(在那个方向上)等于在那个方向上单位长度上做功的比率。在最后一句话中，比率这个词显然不是用在它的时间意义上的速率，而是用在它作为比率或比例的意义上。
艾萨克·牛顿爵士(和莱布尼茨一起)是微积分方法的发明者，他认为所有变化的量都是流动的；我们现在称之为微分系数的比率，他认为是流动的速率，或者说是所讨论的量的流动。他没有使用dy、dx和dt的符号(这要归功于莱布尼茨)，而是使用了自己的符号。如果y是一个变化或“流动”的量，那么他的变化率(或“流量”)的符号是
。如果x是变量，那么它的流量叫做
。字母上的点表示它已经被微分了。但是这个符号并没有告诉我们什么是独立变量，微分是相对于这个独立变量起作用的。当我们看到
我们知道y是相对于t来微分的。如果我们看到 我们知道y相对于x来微分的。但是如果我们只看到y˙，我们不能不看上下文就知道这是否意味着 ，或者另一个变量是什么。因此，这种流量符号比微分符号更缺乏信息，因此很大程度上已经不再使用。但它的简单性给了它一个优势，只要我们同意只在时间是自变量的情况下使用它。在那种情况下y˙ 表示dy/dt, u˙表示 du/dt ；x˙˙表 示 d2x/dt2
采用这种流量符号，我们可以写出以上段落中考虑的力学方程，如下所示：
距离x，
速度v = x˙ ，
加速a = v˙ = x˙˙ ，
力f = mv˙ = mx˙˙，
功w = x × mx˙˙。
例子。
(1)一个物体移动时，它从某一点O移动的距离x(以英尺为单位)由x = 0.2t^2 +10.4的关系式给出，其中t是从某一时刻起经过的时间(以秒为单位)。求物体开始运动后5秒的速度和加速度，也求所走距离为100英尺时的对应值。还要找到它运动的前10秒的平均速度。
(假设距离和向右的运动为正。)
现在 x = 0.2t^2 +10.4,
v = x˙ = 0.4t ; 且 a = v˙ = x˙˙ = 0.4 = 常数。
当t = 5时，v = 0.4 × 5 = 2 英尺/秒。；a = 0.4英尺/ 秒^2。
当x = 100，100 = 0.2t^2 + 10.4，或t^2 = 448，t = 21.17秒；v = 0.4 × 21.17 = 8.468英尺/秒。
当t = 10时，行驶距离= 0.2×10^2+10.4 -10.4 = 20英尺。
平均速度=20/10 = 2英尺/秒。
(与区间中间t = 5的速度相同；因为，加速度不变，当速度从t = 0时的零开始均匀变化到当t = 10时的速度4英尺/秒。)
(2) 在上述问题中，让我们假设 x = 0.2t^2 + 3t + 10.4
v = x˙ = 0.4t +3 ; 且 a = v˙ = x˙˙ = 0.4 = 常数。
当t = 0，x = 10.4，v = 3英尺/秒，时间从物体通过距离O点10.4英尺点的瞬间算起。此时，它的速度已经是3英尺/秒了。要求出它开始运动（设v = 0）以来经过的时间，那么令v=0，然后是 0.4t +3 = 0。
t = -7.5秒。
在开始被观察之前物体移动了7.5秒。5秒后，t = -2.5，v = 0.4×-2.5+3 = 2英尺/秒。
当x = 100英尺时，
100 = 0.2t^2+3t+10.4；即t^2+15t-448 = 0；
因此t = 14.95秒。v = 0.4 × 14.95 + 3 = 8.98英尺/秒。
要想知道在运动的前10秒内运动的距离，人们必须知道物体从开始运动时的点距离O点有多远。
当t = -7.5时，x = 0.2 ×(-7.5)^2-3×7.5+10.4 = -0.85 英尺，也就是在O点的左边0.85英尺。
当t = 2.5时，x = 0.2 × 2.5^2 + 3 × 2.5 + 10.4 = 19.15。
因此，在10秒内，行驶的距离是19.15 + 0.85 = 20英尺。平均速度= 20/10 = 2英尺/秒。
(3) 当距离由x = 0.2t^2-3t+10.4给出时，考虑类似的问题。那么v = 0.4t-3，a = 0.4 =常数。
当t = 0时，如前所述x = 10.4， v = -3；所以物体的运动方向与之前的情况相反。然而，由于加速度是正的，我们看到这个速度将随着时间的推移而减小，直到当v = 0或0.4t-3 = 0时， 即t = 7.5秒
它变为零。此后，速度变为正；物体开始运动后5秒，t = 12.5秒，v = 0.4×12.5-3 = 2 英尺/秒。
当x = 100时，
100 = 0.2t^2- 3t+10.4， 即t^2-15t-448 = 0，
得到 t = 29.95；v = 0.4×29.95-3 = 8.98 英尺/秒。
当v为零时，x = 0.2×7.5^2-3×7.5+10.4 =-0.85，告诉我们物体在它停止之前移动到点O向后0.85英尺处。10秒后，t = 17.5，x = 0.2×17.5^2-3×17.5+10.4 = 19.15 英尺。
行驶距离= 0.85 + 19.15 = 20.0，平均速度也是2英尺/秒。
(4) 考虑另一个同样类型的问题，x = 0.2t^3-3t^2+10.4；v = 0.6 t^2-6t；a = 1.2t-6。加速度不再恒定。
当t = 0，x = 10.4，v = 0，a = -6时。物体处于静止状态，但正准备以负加速度运动，即获得一个朝向O点的速度。
(5) 如果x = 0.2t^3-3t+10.4，则v = 0.6t^2-3，a = 1.2t。
t = 0时，x = 10.4；v = -3；a = 0。
物体正以3英尺/秒的速度向O点移动。仅在那个瞬间，速度不变。
我们看到，运动的条件总是可以从时间-距离方程及其第一次和第二次导函数中立即确定。在后两种情况下，前10秒的平均速度和开始后5秒的速度将不再相同，因为速度不是均匀增加的，加速度不再恒定。
(a) 1秒后;
(b)完成一次旋转后。
它在什么时候静止，到那一瞬间为止，它已经转了多少圈？
写出加速度
ω = θ˙ = dθ/dt = 2-0.3t^2 ，
α = θ˙˙ = d2θ/dt2 = -0.6t 。
t = 0时，θ= 3；ω = 2 弧度/秒；α = 0.
当t = 1时，ω= 2-0.3 = 1.7弧度/秒； α= 0.6弧度/秒^2。
这是一种顿挫；车轮正在减速。
1转后
θ = 2π = 6.28; 6.28 = 3+2t-0.1t^3。
通过绘制曲线图，θ= 3+2t-0.1t^3，我们可以得到θ = 6.28的t值；它们是2.11和3.03(还有第三个解是负值)。
当t = 2.11时，
θ = 6.28; ω= 2-1.34 = 0.66 弧度/秒；α= 1.27弧度/秒^2。
当t = 3.03时，
θ = 6.28; ω= 2-2.754 = -0.754 弧度/秒；α= 1.82弧度/秒^2。
速度方向相反。在这两个时刻之间，轮子显然是静止的；当ω = 0时它处于静止状态，即0 = 2-0.3t^2时，或t = 2.58秒时。它已经完成了 θ / 2π = ( 3+2x2.58-0.1x 2.58^3)/6.28 = 1.025转。
习题五
(1) 如果y = a+bt^2+ct^4；求dy/dt 和 dy2/dt2 。
(2) 在空间中自由落体用t秒描述空间s，单位为英尺，用方程s = 16t^2表示。画一条曲线，显示s和t之间的关系。也可以从物体被放下的时间来确定物体在下列时间的速度：t = 2秒；t = 4.6秒；t = 0.01秒。
(3) x = at - 1/2 g t^2 ;求x˙ 和x˙˙ 。
(4) 如果一个物体根据法律运动
s = 12-4.5t+6.2t^2，
当t = 4秒时，求其速度（以英尺为单位） 。
(5) 求上例提到的物体加速度。加速度对t的所有值都一样吗？
θ= 2.1 - 3.2t +4.8 t^2。
当1.5 秒过去后，求该轮的角速度(弧度每秒)。还要求它的角加速度。
(7) 滑块移动时，在其运动的第一部分，其与起点的距离s(以英寸为单位)由以下表达式给出
s = 6.8 t^3-10.8t； t以秒为单位。
求任意时刻速度和加速度的表达式；
进而求在3秒后的速度和加速度。
(8) 上升气球的运动是这样的，它的高度h，以英里为单位，在任何时刻由表达式 h = 0.5 + 0.1 (t-125)^(1/3)
以秒为单位给出。
求任意时刻速度和加速度的表达式。绘制曲线，显示上升前十分钟的高度、速度和加速度的变化。
(9) 将一块石头向下抛入水中，在到达水面后的任何瞬间t秒，其深度p(单位为米)由下式给出
p = 4 / (4+t^2) + 0.8t -1。
求任意时刻速度和加速度的表达式。10秒后求速度和加速度。
求速度从第5秒到第10秒翻倍时n的值；
当速度在数值上等于第10秒结束时的加速度时，求n。
有时，人们会被要求求导的表达式过于复杂，难以直接处理。例如，方程 y = (x^2 + a^2)^(3/2) 对于初学者来说就很棘手。现在解决这个难题的技巧是：用某个符号，比如u，来代替表达式 x^2 + a^2 ；那么方程就变成了 y = u^(3/2) ，这样就可以很容易地求导了；因为 dy/du = 3/2 u^(1/2) 。然后对表达式 x^2 + a^2
求关于x的导数，得到 du/dx = 2x。接下来就一帆风顺了；因为 dy/dx = dy/du x du/dx，也就是说，
dy/dx = 3/2 u^(1/2) 2x
= 3/2 (x^2 + a^2)^(1/2) 2x
= 3x (x^2 + a^2)^(1/2)这样就完成了求导。以后，当你学会了如何处理正弦、余弦和指数函数时，你会发现这个技巧越来越有用。
考虑微分系数的几何意义是有用的。首先，任何关于 x 的函数，例如 x^2、sqrt(x) 或 ax + b，都可以绘制为一条曲线；如今，每个学生都熟悉绘制曲线的过程。
假设 PQR（图 7）是相对于坐标轴 OX 和 OY 绘制的一段曲线。考虑曲线上的任意一点 Q，该点的横坐标为 x，纵坐标为 y。现在观察当 x 变化时 y 如何变化。如果 x 增加一个小增量 dx，向右移动，可以观察到 （在这个特定曲线中） y 也增加一个小增量 dy（因为这个特定的曲线恰好是上升的曲线）。然后 dy/dx 是曲线在 Q 和 T 两点之间倾斜程度的度量。实际上，从图中可以看到，曲线在 Q 和 T 之间有许多不同的斜率，因此我们不能很好地谈论 Q 和 T 之间的曲线斜率。然而，如果 Q 和 T 非常接近，以至于曲线的小部分 QT 实际上是直线，那么可以说 dy/dx 是曲线沿 QT 的斜率。直线 QT 延伸到两侧，只在部分 QT 处与曲线相切，如果这部分是无限小的，直线将只在实际上一个点处与曲线相切，因此是曲线的切线。
这条切线显然与 QT 具有相同的斜率，因此 dy/dx 是曲线在点 Q 处的切线的斜率，就能得到 dy/dx 的值。
我们已经看到，“曲线的斜率”这个简短的表达式没有确切的意义，因为曲线有许多斜率——实际上，曲线的每一小部分都有不同的斜率。“曲线在一点的斜率”才是一个完全定义的东西；它是位于该点的曲线非常小的部分的斜率；我们已经看到，这与“曲线在该点的切线的斜率”相同。
注意 dx 是向右的一小步，而 dy 是相应的向上一小步。这些小步必须被认为是尽可能短的——实际上无限短的——尽管在图表中我们必须用不是无限小的片段来表示它们，否则就无法看到它们。
我们将在以后大量使用 dy/dx 表示曲线在任何一点的斜率这一情况。
如果曲线在某一点以 45° 的角度上升，如图 8 所示，dy 和 dx 将相等，dy/dx 的值为 1。
如果曲线上升得比 45° 更陡（图 9），dy/dx 将大于 1。
如果曲线上升得非常平缓，如图 10 所示，dy/dx 将是一个小于 1 的分数。
对于水平线或曲线中的水平部分，dy = 0，因此 dy/dx = 0。
如果曲线向下倾斜，如图 11 所示，dy 将是一个向下的步骤，因此必须被视为具有负值；因此 dy/dx 也将具有负号。
如果“曲线”恰好是一条直线，如图 12 所示，dy/dx 的值将沿着它所有点保持不变。换句话说，它的斜率是恒定的。
如果曲线随着向右移动而变得更加向上倾斜，dy/dx 的值将随着陡峭程度的增加而变得越来越大，如图 13 所示。
如果曲线随着移动而变得越来越平缓，dy/dx 的值将随着平缓部分的到达而变得越来越小，如图 14 所示。
如果曲线首先下降，然后再次上升，如图 15 所示，呈现出向上凹的形状，那么显然 dy/dx 将首先为负，随着曲线变平而减小，然后在曲线底部达到时为零；从这一点开始，dy/dx 将具有增加的正值。在这种情况下，y 被称为通过最小值。最小值的 y 并不一定是 y 的最小值，它是对应于曲线底部的 y 的值；例如，在图 28（第 99 页），曲线底部对应的 y 的值为 1，而 y 在其他地方的值比这更小。最小值的特征是 y 在其两侧必须增加。
注意——对于使 y 最小的特定 x 值，dy/dx 的值为 0。
如果曲线首先上升然后下降，dy/dx 的值最初为正；然后在达到顶点时为零；然后随着曲线向下倾斜而为负，如图 16 所示。在这种情况下，y 被称为通过最大值，但最大值的 y 并不一定是 y 的最大值。在图 28 中，y 的最大值为 2 1/3，但这绝不是 y 在曲线的其他点可以有的最大值。
注意——对于使 y 最大的特定 x 值，dy/dx 的值为 0。
如果曲线具有图 17 的奇特形状，dy/dx 的值将始终为正；但将有一个特定的地方，斜率最不陡峭，dy/dx 的值将是一个最小值；即，小于曲线的任何其他部分。
如果曲线具有图 18 的形状，dy/dx 的值在上部为负，在下部为正；而在曲线变成实际垂直的鼻部时，dy/dx 的值将是无限大。
现在我们已经理解了 dy/dx 表示曲线在任何一点的斜率，让我们来看一些我们已经学会如何微分的方程。
(1) 作为最简单的例子，考虑这个方程： y = x + b
如果我们在图 19 中使用相同的 x 和 y 的比例尺绘制它，当 x = 0 时，对应的纵坐标将是 y = b；也就是说，曲线在 y 轴上的交点高度为 b。从这里开始，它以 45° 的角度上升；对于向右给定的任何 x 值，我们都有一个相等的 y 值上升。这条线的斜率为 1:1。
现在对 y = x + b 进行微分，我们得到 dy/dx = 1。这条线的斜率是这样的：对于向右的每一个小步 dx，我们向上走一个相等的小步 dy。这个斜率是恒定的——总是相同的斜率。
(2) 考虑另一个例子：我们知道这条曲线，像前面的例子一样，将从 y 轴上的高度 b 开始。但在我们绘制曲线之前，让我们通过微分找到它的斜率；这给出 dy/dx = a。斜率将是恒定的，其角度的正切值在这里称为 a。让我们给 a 分配一个数值——比如说 1/3。那么我们必须给它这样的斜率，使其上升 1，需要横向移动 3；或者 dx 将是 dy 的三倍，如图 21 所放大。因此，在图 20 中以这个斜率绘制这条线。
(3) 现在来看一个稍微复杂一点的例子。 y = a x^2 + b
同样，这条曲线将从 y 轴上的高度 b 开始。
现在进行微分。[如果你忘记了，回到第 25 页；或者，不要回头，而是思考微分。]
dy/dx = 2ax
这表明斜率不会是恒定的：它随着 x 的增加而增加。在起点 P，其中 x = 0，曲线（图 22）没有斜率——也就是说，它是水平的。在原点的左侧，其中 x 有负值，dy/dx 也将有负值，或者将从左向右下降，如图中所示。
让我们通过计算一个特定实例来说明这一点。取方程 y = 1/4 x^2 + 3
并对其进行微分，我们得到
dy/dx = 1/2 x
现在给 x 分配一系列连续的值，比如说从 0 到 5，并通过第一个方程计算对应的 y 值；以及通过第二个方程计算 dy/dx 的值。将结果制表如下：
x & y & dy/dx \\ \hline 0 & 3 & 0 \\ 1 & 3.25 & 0.5 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 5.25 & 1.5 \\ 4 & 7 & 2 \\ 5 & 9.25 & 2.5 \\ \end{array} \]
然后在两个曲线中绘制它们，图 23 中绘制 y 对 x 的值，图 24 中绘制 dy/dx 对 x 的值。对于任何指定的 x 值，第二个曲线中纵坐标的高度与第一个曲线的斜率成比例。
如果曲线在某个点突然形成尖角，如图 25 所示，那么在该点斜率会突然从向上倾斜变为向下倾斜。在这种情况下，dy/dx 显然会从正变为负。
以下示例展示了刚刚解释的原则的进一步应用。
(4) 求曲线 \[ y = 0.5x + 3, \] 在 x = -1 处的切线斜率。求这条切线与曲线 \[ y = 2x^2 + 2, \] 的交点处的角度。
切线的斜率是曲线在它们相切点的斜率（见第 76 页）；也就是说，它是该点曲线的 dy/dx。这里 dy/dx = -0.5/x^2，对于 x = -1，dy/dx = -1，这是切线和曲线在该点的斜率。切线是一条直线，其方程为 y = ax + b，其斜率为 dy/dx = a，因此 a = -1。另外，如果 x = -1，y = 0.5(-1) + 3 = 2.5；并且由于切线通过这个点，该点的坐标必须满足切线的方程，即 \[ y = -0.5x + b, \] 因此 2.5 = -0.5 \times (-1) + b，且 b = 2；因此切线的方程为 \[ y = -0.5x + 2. \]
现在，当两条曲线相交时，交点是两条曲线共有的点，其坐标必须满足每条曲线的方程；也就是说，它必须是通过将两条曲线的方程结合起来形成的联立方程组的解。这里曲线在由解 \[ y = 2x^2 + 2, \]
\[ y = -0.5x + 2 \]
或 2x^2 + 2 = -0.5x + 2；
即，x(2x + 0.5) = 0。 该方程的解为 x = 0 和 x = -0.25。
曲线 y = 2x^2 + 2 在任意一点的斜率是 dy/dx = 4x。
对于x=0处的斜率是0；曲线是水平的。
对于点 x = -0.25， dy/dx = -1。因此曲线在该点的斜率向右下方，其和水平轴的夹角保证 tan θ = 1；即与水平轴成45°。
直线的斜率是-0.5；即 在该点的斜率向右下方，其和水平轴的夹角保证 tan ϕ = 1；即与水平轴成26°34‘的角。 在第一个点曲线和直线以 26°34‘的角相交，在第二个点与直线以 45°-26°34‘ = 18°26′ 的角相交。
(5) 要画一条直线，通过坐标为 x = 2, y = -1 的点，作为曲线 y = x^2 - 5x + 6 的切线。求切点的坐标。
切线的斜率必须与曲线的 dy/dx 相同；即，2x - 5。
直线的方程为 y = ax + b，由于它满足 x = 2, y = -1 的值，则 -1 = a * 2 + b；另外，它的 dy/dx = a = 2x - 5。
切点的 x 和 y 必须同时满足切线和曲线的方程。
我们有以a，b，x，y表示的4个等式：y = x2 − 5x + 6, (i)
y = ax + b, (ii)
−1 = 2a + b, (iii)
a = 2x − 5, (iv)将这些方程联立求解：简化后得到：解得 x = 3 和 x = 1。代入原方程，得到 y = 0 和 y = 2，因此切点为 x = 1, y = 2 和 x = 3, y = 0。
注意：在处理曲线问题时，学生会发现通过实际绘制曲线来验证推导结果是非常有启发性的。
练习 VIII. （见第 256 页的答案。）
(1) 使用毫米比例尺绘制曲线 y = 3/4 x^2 - 5。在对应于不同 x 值的点测量其斜率的角度。通过对方程求导，找出斜率的表达式；并从自然正切表中查看这是否与测量的角度一致。
(2) 求曲线 y = 0.12x^3 - 2 在横坐标为 x = 2 的特定点的斜率。
(3) 如果 y = (x - a)(x - b)，证明在曲线的特定点，当 dy/dx = 0 时，x 的值为 1/2(a + b)。
(4) 求方程 y = x^3 + 3x 的 dy/dx；并计算对应于 x = 0、x = 1/2、x = 1、x = 2 的点的 dy/dx 的数值。
(5) 在方程为 x^2 + y^2 = 4 的曲线中，求斜率为 1 的点的 x 值。
(6) 求方程为 x^2/3^2 + y^2/2^2 = 1 的曲线在任意点的斜率；并给出 x = 0 和 x = 1 处斜率的数值。
(7) 曲线 y = 5 - 2x + 0.5x^3 的切线方程为 y = mx + n，其中 m 和 n 是常数。如果切线在 x = 2 的横坐标处与曲线相切，求 m 和 n 的值。
(8) 两条曲线 y = 3.5x^2 + 2 和 y = x^2 - 5x + 9.5 在什么角度相交？
(9) 在 x = 3 和 x = 4 的点处绘制曲线 y = ±√(25 - x^2) 的切线。求切线交点的坐标及其相互倾斜角。
(10) 直线 y = 2x - b 在一点处与曲线 y = 3x^2 + 2 相切。求切点的坐标及 b 的值。
微分过程的主要用途之一是找出在什么条件下，被微分的量达到最大值或最小值。这在工程问题中常常非常重要，因为在许多情况下，我们希望知道什么条件会使成本最低或效率最高。
现在，让我们从一个具体的例子开始。考虑方程：y = x^2 − 4x + 7.
通过为 x 分配一系列连续的值，并找到对应的 y 值，我们可以很容易地看出这个方程表示的是一条具有最小值的曲线。
x & y \\ \hline 0 & 7 \\ 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 7 \\ 5 & 12 \\ \end{array} \]
这些值在图 26 中绘制出来，显示 y 在 x = 2 时似乎有一个最小值 3。但你能确定最小值发生在 2，而不是 2.25 或 2.75 吗？
当然，通过代入任何代数表达式，我们可以通过计算许多值来逐渐找到可能是最大值或最小值的特定值。
这是另一个例子： y = 3x − x^2.
\[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -1 & -4 \\ 0 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 3 & 0 \\ 4 & -4 \\ 5 & -10 \\ \end{array} \]
绘制这些值，如图 27 所示。 很明显，在 x = 1 和 x = 2 之间会有一个最大值；看起来最大值的 y 应该大约是 2.25。尝试一些中间值。如果 x = 1.25，y = 2.187；如果 x = 1.5，y = 2.25；如果 x = 1.6，y = 2.24。我们如何确定 2.25 是真正的最大值，或者它是否恰好在 x = 1.5 时发生？
现在，听起来像是在耍花招，要确信有一种方法可以直接得到最大值（或最小值），而不需要进行大量的初步试验或猜测。而这种方法取决于微分。回顾一下前面的页面（第 78 页），关于图 14 和 15 的评论，你会发现，每当曲线达到其最大或最小高度时，该点的 dy/dx = 0。现在这给了我们所需的线索。当你面前有一个方程，并且你想找到使 y 为最小值（或最大值）的 x 的值时，首先对其进行微分，然后将 dy/dx 写成等于零，然后解出 x。将这个特定的 x 值代入原方程，你将得到所需的 y 值。这个过程通常被称为“等于零”。
看看它是如何简单地工作的，以本章开头的例子为例，即： \[ y = x^2 - 4x + 7. \]
微分后，我们得到：dy/dx = 2x - 4。
现在将其等于零： \[ 2x - 4 = 0. \]
解这个方程得到 x：
\[ 2x = 4, \]
\[ x = 2. \]
现在我们知道最大值（或最小值）将恰好发生在 x = 2。
将 x = 2 代入原方程，我们得到：
\[ y = 2^2 - (4 \times 2) + 7 \] \[ y = 4 - 8 + 7 \] \[ y = 3. \]
现在回顾图 26，你会发现最小值发生在 x = 2，且 y = 3。
尝试第二个例子（图 24），即：
\[ y = 3x - x^2. \]
微分后，dy/dx = 3 - 2x。
等于零后，
\[ 3 - 2x = 0, \]
\[ x = 1.5; \]
将这个 x 值代入原方程，我们发现：
\[ y = 4.5 - (1.5 \times 1.5), \]
\[ y = 2.25. \]
这给了我们确切的信息，即在我们通过尝试许多值时留下的不确定性。
现在，在我们继续其他情况之前，我们有两个评论。当你被告知要将 dy/dx 等于零时，你最初会感到一种反感，因为你知道 dy/dx 在曲线的不同部分有不同的值，这取决于它是向上倾斜还是向下倾斜。所以，当你突然被告知要写 dy/dx = 0 时，你会感到不满，并倾向于说这不可能是真的。现在你将不得不理解“方程”和“条件方程”之间的基本区别。通常，你处理的方程是自身成立的，但在这种情况下，例如我们目前的例子，你必须写下不一定是真的方程，而是只有在满足某些条件时才成立的方程；你写下它们是为了通过求解它们来找出使它们成立的条件。现在我们想要找出 x 的特定值，当曲线既不向上倾斜也不向下倾斜时，即在 dy/dx = 0 的特定位置。所以，写下 dy/dx = 0 并不意味着它总是等于 0；但你写下它是为了找出 x 将是多少，如果 dy/dx 是零。
第二个评论是，如果你自己有头脑，你可能已经提出了：这个备受赞誉的过程等于零完全失败了，告诉你你找到的 x 将给你 y 的最大值还是最小值。确实如此。它本身不会区分；它为你找到了正确的 x 值，但让你自己找出对应的 y 是最大值还是最小值。当然，如果你已经绘制了曲线，你已经知道了。
例如，考虑方程：
\[ y = 4x + \frac{1}{x}. \]
不考虑它对应的曲线是什么，对其进行微分，并等于零：
\[ dy/dx = 4 - x^{-2} = 4 - \frac{1}{x^2} = 0; \]
\[ x = 0.5; \]
将这个值代入，
\[ y = 4 \]
将是最大值还是最小值。但哪个？你稍后将被告知一种方法，这取决于第二次微分（见第 12 章，第 109 页）。但目前，如果你简单地尝试任何与找到的值略有不同的 x 值，看看对应的 y 值是大于还是小于已经找到的值。
尝试另一个简单的最大值和最小值问题。假设你被要求将任何数字分成两部分，使得乘积最大？如果你不知道等于零的技巧，你会如何去做？假设 60 是要分割的数字。你可以尝试将其分成两部分并相乘。例如，50 乘以 10 是 500；52 乘以 8 是 416；40 乘以 20 是 800；45 乘以 15 是 675；30 乘以 30 是 900。 这看起来像是最大值：尝试改变它。31 乘以 29 是 899，这不太好；32 乘以 28 是 896，这更糟。所以似乎将数字分成两个相等的部分将得到最大的乘积。 现在看看微积分告诉你什么。假设要分割的数字称为 n。那么如果 x 是一部分，另一部分将是 n - x，乘积将是 x(n - x) 或 nx - x^2。所以我们写 y = nx - x^2。 现在对其进行微分并等于零；
\[ dy/dx = n - 2x = 0 \]
解出 x，我们得到 n/2 = x。
所以现在我们知道，无论 n 是什么数字，如果我们将其分成两个相等的部分，乘积将是最大的；并且这个最大乘积的值总是等于 1/4n^2。
这是一个非常有用的规则，适用于任何数量的因素，因此如果 m + n + p = 一个常数数字，m × n × p 在 m = n = p 时是最大的。
测试案例。
让我们立即应用我们的知识来解决一个我们可以测试的情况。
假设 y = x^2 - x；
让我们找出这个函数是否有最大值或最小值；如果有，测试它是否是最大值或最小值。
微分后，我们得到
\[ dy/dx = 2x - 1. \]
等于零后，我们得到
\[ 2x - 1 = 0, \]
\[ 2x = 1, \]
\[ x = 0.5. \]
也就是说，当 x 被设为 0.5 时，对应的 y 将是最大值或最小值。因此，将 x = 0.5 代入原方程，我们得到
\[ y = (0.5)^2 - 0.5, \]
\[ y = -0.25. \]
这是最大值还是最小值？为了测试它，尝试将 x 稍微大于 0.5，比如说使 x = 0.6。然后
\[ y = (0.6)^2 - 0.6 = 0.36 - 0.6 = -0.24, \]
这比 -0.25 高，表明 y = -0.25 是最小值。 为自己绘制曲线并验证计算。 进一步的例子。 一个非常有趣的例子是由一条既有最大值又有最小值的曲线提供的。它的方程是：
\[ y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1. \]
现在 dy/dx = x^2 - 4x + 3. 等于零后，我们得到二次方程，
\[ x^2 - 4x + 3 = 0; \]
解这个二次方程得到两个根，即
\[ x = 3 \] \[ x = 1. \]
现在，当 x = 3 时，y = 1；当 x = 1 时，y = 2.333。第一个是最大值，第二个是最小值。 原方程计算的值如下，可以绘制曲线（如图 28）： \[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -1 & -4.333 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2.333 \\ 2 & 12.333 \\ 3 & 1 \\ 4 & 2.333 \\ 5 & 19 \\ \end{array} \]
另一个练习最大值和最小值的例子是由以下方程提供的： 半径为 r 的圆的方程，其中心 C 的坐标为 x = a, y = b，如图 29 所示，是：
\[ (y - b)^2 + (x - a)^2 = r^2. \]
这可以转换为
\[ y = \sqrt{r^2 - (x - a)^2} + b. \]
现在我们事先就知道，通过简单地检查图形，当 x = a 时，y 将是其最大值 b + r 或最小值 b - r。但让我们不要利用这个知识；让我们开始寻找使 y 为最大值或最小值的 x 的值，通过微分和等于零的过程。
\[ dy/dx = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{r^2 - (x - a)^2}} \times (2a - 2x), \]
简化为
\[ dy/dx = \frac{a - x}{\sqrt{r^2 - (x - a)^2}}. \]
然后 y 为最大值或最小值的条件是：
\[ \frac{a - x}{\sqrt{r^2 - (x - a)^2}} = 0. \]
由于没有任何 x 的值会使分母无限大，唯一的条件是使零成立的是 x = a。
将这个值代入原方程，我们得到 y = √(r^2) + b；
由于 r^2 的根是 +r 或 -r，我们有两个结果的 y 值，
\[ y = b + r \]
\[ y = b - r. \]
第一个是顶部的最大值，第二个是底部的最小值。
如果曲线是这样的，没有地方是最大值或最小值，等于零的过程将产生不可能的结果。
例如： \[ y = ax^3 + bx + c. \]
那么 dy/dx = 3ax^2 + b.
等于零后，我们得到 3ax^2 + b = 0,
\[ x^2 = -\frac{b}{3a}, \]
\[ x = \sqrt{-\frac{b}{3a}}, \]
这是不可能的。 因此 y 没有最大值也没有最小值。
几个更多的例子将使你能够彻底掌握微积分的这一最有趣和最有用的应用。
(1) 什么是一个内切于半径为 R 的圆中的矩形的边长，使其面积最大？ 如果一边称为 x， 另一边 = √((对角线)^2 - x^2);
由于矩形的对角线必须是直径，另一边 = √(4R^2 - x^2)。
然后，矩形的面积 S = x√(4R^2 - x^2),
\[ dS/dx = x \times d(\sqrt{4R^2 - x^2})/dx + \sqrt{4R^2 - x^2} \times d(x)/dx. \]
如果你忘记了如何微分 √(4R^2 - x^2)，这里有一个提示： 写 4R^2 - x^2 = w 和 y = √w，然后求 dy/dw 和 dw/dx；如果不能进行下去，请参考第 66 页。
你会得到
\[ dS/dx = x \times -x/\sqrt{4R^2 - x^2} + \sqrt{4R^2 - x^2} = (4R^2 - 2x^2)/\sqrt{4R^2 - x^2}. \]
为了最大值或最小值，我们必须有
\[ (4R^2 - 2x^2)/\sqrt{4R^2 - x^2} = 0; \]
即，4R^2 - 2x^2 = 0 和 x = R√2.
另一边 = √(4R^2 - 2R^2) = R√2；两边相等；图形是一个正方形，其边长等于半径上构造的正方形的对角线。在这种情况下，我们当然处理的是最大值。
(2) 当一个圆锥形容器的斜边长度为 l 时，其开口半径 R 是多少，使其容量最大？
如果 R 是半径，H 是对应的高，H = √(l^2 - R^2).
体积 V = πR^2 × H/3 = πR^2 × √(l^2 - R^2)/3.
按照前面问题的处理方式，我们得到
\[ dV/dR = πR^2 \times -R/3\sqrt{l^2 - R^2} + 2πR/3\sqrt{l^2 - R^2} \]
\[ = (2πR(l^2 - R^2) - πR^3)/3\sqrt{l^2 - R^2} = 0 \]
对于最大值或最小值。
或者，2πR(l^2 - R^2) - πR^2 = 0，R = l√(2/3)，显然是一个最大值。
(3) 求函数 y = x/(4 - x) + (4 - x)/x 的最大值和最小值。 我们得到
\[ dy/dx = ((4 - x) - (-x))/(4 - x)^2 + (-x - (4 - x))/x^2 = 0 \]
对于最大值或最小值；或者
\[ 4/(4 - x)^2 - 4/x^2 = 0 \]
并且 x = 2.
只有一个值，因此只有一个最大值或最小值。
对于 x = 2, y = 2,
对于 x = 1.5, y = 2.27,
对于 x = 2.5, y = 2.27；
因此它是一个最小值。（绘制函数的图形是有启发性的。）
(4) 求函数 y = √(1 + x) + √(1 - x) 的最大值和最小值。（绘制图形是有启发性的。）
微分后立即得到（见第 67 页的例子 1）
\[ dy/dx = 1/2\sqrt{1 + x} - 1/2\sqrt{1 - x} = 0 \]
对于最大值或最小值。 因此 √(1 + x) = √(1 - x) 并且 x = 0，唯一的解
对于 x = 0, y = 2.
对于 x = ±0.5, y = 1.932，所以这是一个最大值。
(5) 求函数 y = (x^2 - 5)/(2x - 4) 的最大值和最小值。 我们有
\[ dy/dx = (2x - 4) \times 2x - (x^2 - 5)2/(2x - 4)^2 = 0 \]
或者 \[ 2x^2 - 8x + 10/(2x - 4)^2 = 0; \]
或者 x^2 - 4x + 5 = 0；
其解为 \[ x = 5/2 ± \sqrt{-1}. \]
这些是虚数，因此没有实数 x 的值使得 dy/dx = 0； 因此既没有最大值也没有最小值。
(6) 求函数 (y - x^2)^2 = x^5 的最大值和最小值。
这可以写成 y = x^2 ± x^(5/2).
\[ dy/dx = 2x ± 5/2x^(3/2) = 0 \] 对于最大值或最小值；
即，x(2 ± 5/2x^(1/2)) = 0，这在 x = 0 和 2 ± 5/2x^(1/2) = 0 时满足， 即对于 x = 16/25. 所以有两个解。
首先取 x = 0. 如果 x = -0.5, y = 0.25 ± 2√(-0.5)^5,
并且如果 x = +0.5, y = 0.25 ± 2√(0.5)^5. 在一侧 y 是虚数；即， 没有可以由图形表示的 y 值；图形因此完全在 y 轴的右侧（见图 30）。
在绘制图形时会发现，曲线似乎在原点处有一个最小值；但它没有继续下去，就像最小值应该做的那样，而是重新走回头路（形成所谓的“尖点”）。因此没有最小值，尽管条件满足最小值，即 dy/dx = 0. 因此总是需要通过在两侧各取一个值来检查。
现在，如果我们取 x = 16/25 = 0.64. 如果 x = 0.64, y = 0.7373 并且 y = 0.0819; 如果 x = 0.6, y 变为 0.6389 并且 y = 0.0811; 并且如果 x = 0.7, y 变为 0.8996 并且 y = 0.0804.
这表明曲线有两个分支；上部分没有通过最大值，但下部分确实通过了。
(7) 一个圆柱的高度是其底面半径的两倍，其体积在增加，以便其所有部分始终与彼此保持相同的比例；即，在任何时刻，圆柱都与原始圆柱相似。当底面半径为 r 英尺时，表面积以每秒 20 平方英寸的速率增加；其体积的增加速率是多少？
面积 = S = 2(πr^2) + 2πr × 2r = 6πr^2.
体积 = V = πr^2 × 2r = 2πr^3.
dS/dr = 12πr,
dV/dr = 6πr^2,
dS = 12πr dr = 20,
dr = 20/12πr,
dV = 6πr^2 dr = 6πr^2 × 20/12πr = 10r.
体积的变化速率为 10r 立方英寸。
为自己制作其他例子。很少有主题能提供如此丰富的有趣例子。
回到逐次求导的过程，可能有人会问：为什么要进行二次求导呢？我们知道，当变量是空间和时间时，通过二次求导我们能得到运动物体的加速度，而且在应用于曲线的几何解释中， dy/dx 表示曲线的斜率。但在这种情况下， d²y/dx² 意味着什么呢？显然，它表示斜率变化的变化率（每单位长度）—— 简而言之，它是斜率曲率的一种度量。
假设斜率是常数，如图 31 所示。这里，dy/dx 是恒定值。然而，假设是另一种情况，如图 32 所示，斜率本身向上逐渐增大，那么 d (dy/dx)/dx，即 d²y/dx²，将是正值。如果斜率在向右移动时逐渐减小（如图 14，第 80 页），或者如图 33 所示，即使曲线可能向上移动，但由于其变化使得斜率减小，所以它的 d²y/dx² 将是负值。
现在是时候向你介绍另一个秘密了 —— 如何判断通过 “令其等于零” 得到的结果是最大值还是最小值。技巧如下：在求导（以便得到令其等于零的表达式）之后，进行二次求导，然后查看二次求导的结果是正还是负。如果 d²y/dx² 结果为正，那么你得到的 y 值是最小值；但如果 d²y/dx² 结果为负，那么你得到的 y 值一定是最大值。这就是规则。其原因应该相当明显。考虑任何有最小值点的曲线（如图 15，第 80 页），或者如图 34，其中 y 的最小值点标记为 M，曲线向上凹。在 M 点左侧，斜率向下，即负的，并且变得越来越不那么负。在 M 点右侧，斜率变为向上，并且越来越向上。显然，当曲线经过 M 点时，斜率的变化使得 d²y/dx² 为正，因为随着 x 向右增加，它的作用是将向下的斜率转换为向上的斜率。
同样，考虑任何有最大值点的曲线（如图 16，第 81 页），或者如图 35，曲线是凸的，最大值点标记为 M。在这种情况下，当曲线从左到右经过 M 点时，其向上的斜率转换为向下或负的斜率，因此在这种情况下，“斜率的斜率” d²y/dx² 是负的。现在回到上一章的例子，用这种方法验证在任何特定情况下得到的结论是最大值还是最小值。下面有几个计算示例。
（1）以下函数的最大值或最小值：
对于 (a)：dy/dx = 8x - 9 = 0；x = 1 又 1/8，y = -11.065。d²y/dx² = 8，它是正的；因此这是一个最小值。对于 (b)：dy/dx = 9 - 8x = 0；x = 1 又 1/8；y = +11.065。d²y/dx² = -8，它是负的；因此这是一个最大值。
（2）求函数 y = x³ - 3x + 16 的最大值和最小值。dy/dx = 3x² - 3 = 0；x² = 1；x = ±1。d²y/dx² = 6x；当 x = 1 时，它是正的；因此 x = 1 对应最小值 y = 14。当 x = -1 时，它是负的；因此 x = -1 对应最大值 y = +18。
（3）求 y = (x - 1)/(x² + 2) 的最大值和最小值。dy/dx = [(x² + 2)×1 - (x - 1)×2x]/(x² + 2)² = (2x - x² + 2)/(x² + 2)² = 0；即 x² - 2x - 2 = 0，其解为 x = +2.73 和 x = -0.73。d²y/dx² = -[(x² + 2)²×(2x - 2) - (x² - 2x - 2)(4x³ + 8x)]/ (x² + 2)⁴。分母总是正的，所以确定分子的符号就足够了。如果我们令 x = 2.73，分子是负的；最大值 y = 0.183。如果我们令 x = -0.73，分子是正的；最小值 y = -0.683。
（4）某工厂产品的处理费用 C 随每周产量 P 根据关系 C = aP + b/(c + P) + d 变化，其中 a、b、c、d 是正常数。产量为多少时费用最少？dC/dP = a - b/(c + P)² = 0（求最大值或最小值）；即 a = b/(c + P)²，P = ±√(b/a) - c。由于产量不能为负，P = +√(b/a) - c。现在 d²C/dP² = +b (2c + 2P)/(c + P)⁴，对于 P 的所有值都是正的；因此 P = +√(b/a) - c 对应最小值。
（5）用某种灯照明一座建筑物，每小时的总费用 C 为 C = N ((Cₗ/t)+(EP Cₑ/1000))，其中 E 是商业效率（每烛光的瓦特数），P 是每盏灯的烛光功率，t 是每盏灯的平均使用寿命（小时），Cₗ是每小时使用的更新成本（便士），Cₑ是每 1000 瓦特每小时的能源成本。此外，灯的平均使用寿命 t 与它运行的商业效率 E 之间的关系近似为 t = mEⁿ，其中 m 和 n 是取决于灯的类型的常数。求照明总费用最少时的商业效率。
我们有 C = N ((Cₗ/m) E⁻ⁿ+(P Cₑ/1000) E)，dC/dE = (P Cₑ/1000)-(n Cₗ/m) E⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0（求最大值或最小值）。Eⁿ⁺¹ = (1000×n Cₗ)/(m P Cₑ)，E = ⁿ⁺¹√((1000×n Cₗ)/(m P Cₑ))。这显然是最小值，因为d²C/dE² = (n + 1)(n Cₗ/m) E⁻⁽ⁿ⁺²⁾，对于正值的 E 是正的。对于一种特定类型的 16 烛光功率的灯，Cₗ = 17 便士，Cₑ = 5 便士；并且发现 m = 10 和 n = 3.6，E = ⁴.⁶√((1000×3.6×17)/(10×16×5)) = 2.6 瓦特每烛光功率。
第13章：其他有用的技巧
部分分数分解
我们已经看到，当我们对一个分数进行微分时，我们必须进行相当复杂的操作；如果分数本身不是简单的，那么结果将是一个复杂的表达式。如果我们能够将分数分解为两个或更多的更简单的分数，使得它们的和等同于原始分数，那么我们就可以通过分别对这些更简单的表达式进行微分来继续进行。结果的微分将是两个（或更多）微分的和，每个微分都相对简单；虽然最终的表达式当然与不使用这种技巧得到的表达式相同，但通过这种方式获得的结果会更简单，并且以简化的形式出现。
让我们看看如何达到这个结果。首先尝试将两个分数相加以形成一个结果分数。以分数 1/(x + 1) 和 2/(x - 1) 为例。每个学生都可以将它们相加并找到它们的和为 (3x + 1)/(x^2 - 1)。同样，他也可以将三个或更多的分数相加。现在这个过程当然可以逆转：也就是说， 如果给出这个最后的表达式，肯定可以以某种方式将它重新拆分成原来的组成部分或部分分式。只是在我们遇到的每一种情况下，我们不知道如何进行这种拆分。为了找出答案，我们将首先考虑一个简单的情况。但重要的是要记住，以下所有内容仅适用于所谓的 “真分式” 代数分式，这意味着像上面这样的分式，其分子的次数低于分母的次数；也就是说，分子中 x 的最高次数小于分母中 x 的最高次数。如果我们必须处理像 (x² + 2)/(x² - 1) 这样的表达式，我们可以通过除法简化它，因为它等同于 1 + 3/(x² - 1)；而 3/(x² - 1) 是一个真分式代数分式，可以像下面解释的那样进行拆分成分部分式的操作。
案例一：如果我们对许多分母仅包含 x 的项而不包含 x²、x³ 或 x 的任何其他次幂的分式进行加法运算，我们总是发现最终结果分式的分母是相加形成结果的那些分式的分母的乘积。因此，通过对这个最终分式的分母进行因式分解，我们可以找到我们正在寻找的部分分式的每个分母。
假设我们希望从 (3x + 1)/(x² - 1) 反推回我们知道的组成部分 1/(x + 1) 和 2/(x - 1)。如果我们不知道这些组成部分是什么，我们仍然可以通过写
(3x + 1)/(x² - 1)=(3x + 1)/((x + 1)(x - 1))=(A/(x + 1))+(B/(x - 1))
来为找到它们做准备，在知道要填什么之前先留出分子的空白位置。我们总是可以假设部分分式之间的符号为正，因为如果是负号，我们只会发现相应的分子为负。现在，由于部分分式是真分式，分子只是没有 x 的数字，我们可以随意称它们为 A、B、C 等。所以，在这种情况下，我们有
(3x + 1)/(x² - 1)=(A/(x + 1))+(B/(x - 1))。
如果现在我们对这两个部分分式进行加法运算，我们得到 [(A (x - 1)+B (x + 1))/((x + 1)(x - 1))]；并且这个必须等于 (3x + 1)/((x + 1)(x - 1))，分子必须相等，得到 3x + 1 = A (x - 1)+B (x + 1)。
现在，这是一个有两个未知数的方程，似乎在求解它们并找到 A 和 B 之前我们需要另一个方程。但还有另一种解决这个困难的方法。这个方程对于 x 的所有值都必须成立，因此对于使 x - 1 和 x + 1 等于零的值也必须成立，即分别为 x = 1 和 x = -1。如果我们令 x = 1，我们得到 4 = (A×0)+(B×2)，所以 B = 2；如果我们令 x = -1，我们得到 - 2 = (A× - 2)+(B×0)，所以 A = 1。用这些新的值替换部分分式中的 A 和 B，我们发现它们变成了 1/(x + 1) 和 2/(x - 1)；事情就这样完成了。
作为另一个例子，让我们取分数 (4x^2 + 2x - 14)/(x^3 + 3x^2 - x - 3)。分母在 x 被赋予值 1 时变为零；因此 x - 1 是它的一个因子，显然另一个因子将是 x^2 + 4x + 3；
这可以再次分解为 (x + 1)(x + 3)。因此我们可以写这个分数为：
(4x^2 + 2x - 14) /(x^3 + 3x^2 - x - 3)
=A/(x+1)+B/(x−1)+C/(x+3),
制作三个部分因子。
按照前面的方法进行，我们发现：
4x^2 + 2x - 14
=A(x−1)(x+3)+B(x+1)(x+3)+C(x+1)(x−1).
现在，如果我们使 x = 1，我们得到：
−8=A×0+B(2×4)+C×0
即 B = -1.
如果 x = -1，我们得到：
−12=A(−2×2)+(B×0)+C×0,
所以 A = 3.
如果 x = -3，我们得到：
16=(A×0)+(B×0)+C(−2×−4),
所以 C = 2. 因此部分分数是：
3/(x+1)−1/(x−1)+2/(x+3),
这比从其导出的复杂表达式更容易对 x 进行微分。
案例 II. 如果分母的一些因子包含 x^2 的项，并且不方便分解为因子，那么相应的分子可能包含 x 的项，以及一个简单的数字；因此，表示这个未知分子时，我们不能使用符号 A，而应该使用 Ax + B；其余的计算与前面相同。
尝试，例如：(-x^2 - 3)/((x^2 + 1)(x + 1)).
(-x^2 - 3)/((x^2 + 1)(x + 1))
=(Ax+B)/((x^2 + 1)+C/(x+1);
-x^2 - 3 = B)(x+1)+C(x^2+1).
使 x = -1，我们得到 -4 = C × 2；因此 C = -2；
因此 -x^2 - 3 = (Ax + B)(x + 1) - 2x^2 - 2;
并且 x^2 - 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1).
使 x = 0，我们得到 -1 = B;
因此 x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1; 或 x^2 + x = Ax(x + 1);
并且 x + 1 = A(x + 1),
所以 A = 1，部分分数是：
(x−1)/(x^2+1)−2/(x+1).
取另一个例子，分数 (x^3 - 2)/((x^2 + 1)(x^2 + 2)).
我们得到
(x^3 - 2) / (x^2+1)(x^2+2)
=(Ax+B)/(x^2+1)+(Cx+D)/(x^2+2)
=( (Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1) ) / (x^2+1)(x^2+2) .
在这种情况下，确定 A、B、C、D 不那么容易。将采用更简单的方法。由于给定的分数和通过添加部分分数得到的分数相等，并且具有相同的分母，分子也必须完全相同。在处理像我们这里这样的代数表达式时，相同幂次的 x 的系数相等且符号相同。
因此，由于
x^3 - 2 = (Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)
=(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+2B+D,
我们有 1 = A + C；0 = B + D（左侧表达式的 x^2 系数为零）；0 = 2A + C；并且 -2 = 2B + D。这里我们有四个方程，从这些方程中我们很容易得到 A = -1；B = -2；C = 2；D = 0；因此部分分数是 2(x + 1)/(x^2 + 2) - (x + 2)/(x^2 + 1)。这种方法总是可以使用的；但是首先展示的方法在因子仅为 x 的情况下会发现最快。
案例 III. 当分母的因子中有一些被提升到某个幂次时，必须考虑到可能存在具有该因子的各个幂次作为分母的部分分数，直到最高幂次。例如，在分解分数(3x² - 2x + 1)/((x + 1)²(x - 2)) 时，我们必须考虑可能存在分母为 x + 1、(x + 1)² 以及 (x - 2) 的部分分式。
可能有人会认为，由于分母为 (x + 1)² 的分式的分子可能包含 x 的项，所以我们必须在其分子中用 Ax + B 来表示，即写成 (3x² - 2x + 1)/((x + 1)²(x - 2))=(Ax + B)/((x + 1)²)+C/(x + 1)+D/(x - 2)。
然而，如果我们尝试这样去求 A、B、C 和 D，会发现无法成功，因为这样会得到四个未知数，而我们只有三个关系式来联系它们。但实际上
(3x² - 2x + 1)/((x + 1)²(x - 2))=(x - 1)/((x + 1)²)+1/(x + 1)+1/(x - 2)。
如果我们写成
(3x² - 2x + 1)/((x + 1)²(x - 2))=A/((x + 1)²)+B/(x + 1)+C/(x - 2)，
则有
3x² - 2x + 1 = A (x - 2)+B (x + 1)(x - 2)+C (x + 1)²，
由此可得当 x = 2 时，C = 1。将 C 的值代入，移项、合并同类项并除以 x - 2，得到 - 2x = A + B (x + 1)，当 x = - 1 时，A = - 2。再将 A 的值代入，得到 2x = - 2 + B (x + 1)，所以 B = 2。因此，部分分式为
2/(x + 1)-2/((x + 1)²)+1/(x - 2)，
而不是之前认为的 1/(x + 1)+(x - 1)/((x + 1)²)+1/(x - 2)。之所以会这样，是因为 (x - 1)/((x + 1)²) 可以拆分成 1/(x + 1)-2/((x + 1)²)，所以这三个分式实际上是等价的。
我们可以看到，在每个分子中只需要考虑一个数值项，最终就能得到正确的部分分式。
然而，当分母中有 x² 的某个因式的幂次时，相应的分子必须是 Ax + B 的形式。例如，对于
(3x - 1)/((2x² - 1)²(x + 1))=(Ax + B)/((2x² - 1)²)+(Cx + D)/(2x² - 1)+E/(x + 1)，
3x - 1=(Ax + B)(x + 1)+(Cx + D)(x + 1)(2x² - 1)+E (2x² - 1)²。
当 x = - 1 时，可得 E = - 4。代入、移项、合并同类项并除以 x + 1，得到
16x³ - 16x² + 3 = 2Cx³ + 2Dx² + x (A - C)+(B - D)。
由此可得 2C = 16，即 C = 8；2D = - 16，即 D = - 8；A - C = 0，即 A = 8；B - D = 3，即 B = - 5。所以部分分式为
(8x - 5)/((2x² - 1)²)+8 (x - 1)/(2x² - 1)-4/(x + 1)。
检查结果是有用的。最简单的方法是在给定的表达式和得到的部分分式中都用一个值（比如 x = 1）来代替 x。
每当分母只包含一个因式的幂次时，有一个非常快速的方法：例如，对于 (4x + 1)/(x + 1)³，令 x + 1 = z，则 x = z - 1。代入后得到
(4 (z -1)+1)/z³=(4z - 3)/z³ = 4/z² - 3/z³。
所以部分分式为 4/(x + 1)² - 3/(x + 1)³。
在求导中的应用。要求对 y = (5 - 4x) / (6x² + 7x - 3)求导，我们有：dy/dx = - ( 4 (6x² + 7x - 3) + (5 - 4x) (12x + 7) ) / (6x² + 7x - 3)²
= (24x² - 60x - 23) / (6x² + 7x - 3)²
如果我们将给定的表达式拆分成 1/(3x-1) - 2/(2x+3) ，
则有：
dy/dx = -3/(3x-1)² +4/(2x+3)²这与上面直接求导后拆分的结果实际上是相同的。但是，如果在求导后再进行拆分就会更复杂，这很容易看出来。当我们处理这类表达式的积分时，我们会发现拆分部分分式是一个非常有用的辅助方法（见第 228 页）。练习十一（答案见第 259 页）将下列分式拆分：
考虑函数y=3x，它可以表示为x=y/3，后一种形式被称为原函数的反函数。对于 y=3x， dy/dx = 3；对于 x=y/3 ， dx/dy = 1/3
，我们可以看到
dy/dx = 1/(dx/dy)
或者 dy/dx dx/dy = 1。再考虑 y=4x²， dy/dx = 8x，其反函数为 x=y^(1/2)/2
dx/dy = 1/ (4y^(1/2)) = 1/(8x) ，这里同样有 dy/dx×dx/dy = 1。可以证明，对于所有能写成反函数形式的函数，都可写成 dy/dx = 1/(dx/dy) 或 dy/dx×dx/dy = 1。这意味着，若给定函数，对其反函数求导更易时，可先求反函数导数，其倒数就是原函数导数。例如，求 y = ²√((3/x) - 1) 的导数。之前学过设 u = (3/x) - 1，求 dy/du 和 du/dx，得
dy/dx = - 3/(2x²√((3/x) - 1))。若忘了此方法或想用其他方法检验结果等，可这样做：其反函数是 x = 3/(1 + y²)，
dx/dy = - (3×2y)/(1 + y²)² = - 6y/(1 + y²)²，
所以
dy/dx = 1/(dx/dy) = - (1 + y²)²/(6y) = - ((1 + (3/x) - 1)²)/(6× ²√((3/x) - 1)) = - 3/(2x²√((3/x) - 1))。
又如 y = 1/³√(θ + 5)，反函数是 θ = 1/y³ - 5（即 θ = y⁻³ - 5），
dθ/dy = - 3y⁻⁴ = - 3³√((θ + 5)⁴)，
所以 dy/dθ = - 1/(3√((θ + 5)⁴))，与其他方法结果相同。你会发现这个技巧后面很有用，建议用它检验练习一（第 24 页）第 5、6、7 题，例题（第 67 页）第 1、2、4 题，及练习六（第 72 页）第 1、2、3、4 题结果来熟悉它。你会意识到微积分在很多方面像艺术而非科学，像其他艺术一样要通过练习掌握。所以要多做例题并自拟题目，直到熟练掌握各种技巧。
第14章：真正的复利和有机生长定律
假设有一个数量以这样的方式增长，即其增长的增量在给定时间内总是与其自身的大小成比例。这类似于按照某个固定利率计算金钱利息的过程；因为本金越大，在给定时间内获得的利息就越多。
现在我们必须在计算中清楚地区分两种情况，这取决于计算是按照算术书上所说的“简单利息”进行，还是按照“复利”进行。因为在前一种情况下本金保持不变，而在后一种情况下利息被加到本金上，因此本金会通过连续的增加而增长。
(1) 按简单利息计算。考虑一个具体的例子。假设初始本金为100英镑，年利率为10%。那么所有者每一年将获得10英镑的增量。假设他继续每年提取他的利息，并将其存放在袜子里，或者将其锁在保险箱里。那么，如果他继续这样做了10年，到那时为止，他将获得了10次10英镑的增量，或者100英镑，加上最初的100英镑，总共是200英镑。他的财产将在10年内翻倍。如果利率是5%，他将不得不存10年才能使他的财产翻倍。如果利率只有2%，他将不得不存50年。很容易看出，如果年利息的价值是本金的1/n，他将不得不存n年才能使他的财产翻倍。或者，如果y是最初的资本，年利息是y/n，那么在n年后，他的财产将是：
y + ny/n = 2y.
(2) 按复利计算。和前一样，假设所有者开始时有100英镑的本金，年利率为10%；但是，而不是将利息存起来，而是每年将利息加到本金上，因此本金逐年增长。那么，在一年结束时，本金将增长到110英镑；在第二年（仍然是10%），这将获得11英镑的利息。他将以121英镑开始第三年，这121英镑的利息将是12英镑2先令；因此他将以133英镑2先令开始第四年，以此类推。很容易计算出，到十年结束时，总本金将增长到259英镑7先令6便士。实际上，我们看到在每一年结束时，每1英镑都将获得1/10英镑的利息，因此，如果这总是被加上，每一年都将本金乘以11/10；并且如果连续进行十年（这将使因子乘以十次），将使原始本金乘以2.59374。让我们用符号来表示这个。将y0表示原始本金；1/n表示每次操作中添加的分数；yn表示第n次操作结束时的资本价值。那么
yn = y0(1 + 1/n)^n.
但是这种按年计算复利的方式实际上并不完全公平；因为在第一年期间，100英镑应该已经在增长。在半年结束时，它至少应该是105英镑，并且公平地计算第二半年的利息应该是基于105英镑。这将相当于称为5%的半年利率；进行20次这样的操作，每次本金都乘以21/20。如果按照这种方式计算，十年后本金将增长到265英镑6先令7便士；因为
(1 + 1/20)^{20} = 2.653.
但即使这样，这个过程仍然不完全公平；因为即使在第一个月结束时，也会有一些利息产生；半年的计算假设本金在半年内保持不变。假设我们将一年分成10个部分，并且为每个十分之一的年计算1%的利息。我们现在有100次持续十年的操作；或者
yn = 100(1 + 1/100)^{100};
这计算结果为270英镑9先令7便士。
即使这样也不是最终结果。让我们将十年分成1000个周期，每个周期为1/100年；利息为每个这样的周期的1/10%；然后
yn = 100(1 + 1/1000)^{1000};
这计算结果为271英镑13先令10便士。
进一步细分，将十年分成10000个部分，每个部分为1/1000年，利息为每个这样的周期的1/100%。然后
yn = 100(1 + 1/10000)^{10000};
这计算结果为271英镑16先令3便士。最
后，可以看出我们真正试图找到的是表达式 (1 + 1/n)^n的最终值，这显然大于2；并且随着我们使n变得越来越大，这个表达式的值越来越接近一个特定的极限值。无论n有多大，这个表达式的值都越来越接近数字2.71828...，一个永远不应该忘记的数字。
让我们用几何图形来说明这些事情。在图36中，OP代表原始值。OT是价值增长的整个时间。它被分成10个相等的周期，每个周期都有一个相等的向上步骤。在这里，dy/dx是常数；如果每个向上步骤是原始OP的1/10，那么经过10个这样的步骤，高度将翻倍。
如果我们取20个步骤，每个步骤的高度是前面步骤的一半，那么在结束时高度仍然会翻倍。
或者n个这样的步骤，每个步骤的高度是原始高度OP的1/n，将足以使高度翻倍。
这是简单利息的情况。在这里，1增长直到它变成2。
在图37中，我们有对应于几何级数的几何图形。每个连续的纵坐标是前一个纵坐标的1 + 1/n，即(n + 1)/n倍。向上步骤不是相等的，因为每个步骤现在是该点曲线的1/n。如果我们字面上取10个步骤，以1 + 1/10为乘法因子，最终的总数将是(1 + 1/10)^{10}或2.594倍的原始1。但是如果我们取足够大的n（相应的1/n足够小），那么最终值(1 + 1/n)^n，即1将增长到的值，将是2.71828。
Epsilon。对于这个神秘的数字2.7182818等，数学家们分配了希腊字母ε（发音为epsilon）。所有学校男孩都知道希腊字母π（称为pi）代表3.141592等；但是有多少人知道epsilon意味着2.71828呢？然而，它是一个比π更重要的数字！
那么epsilon是什么？
假设我们让1以简单利息增长直到它变成2；然后，如果以相同的名义利率和相同的时间，我们让1以真正的复利增长，而不是简单利息，它将增长到epsilon的值。这个按比例增长的过程，每时每刻都与那一刻的大小成比例，有些人称之为对数增长率。单位对数增长率是那个在单位时间内将1增长到2.718281的速率。它也可以被称为有机增长率：因为有机生长（在某些情况下）的特征是，有机体在给定时间的增量与其自身的大小成比例。
如果我们将100%作为单位速率，并且任何固定周期作为单位时间，那么让1以单位速率算术增长单位时间的结果将是2，而让1以单位速率对数增长相同时间的结果将是2.71828...。
关于Epsilon的更多信息。我们已经看到我们需要知道当表达式(1 + 1/n)^n的值，当n变得无限大时。算术上，这里列出了一堆值（任何人都可以通过普通对数表的帮助来计算）得到的，假设n = 2；n = 5；n = 10；等等，直到n = 10,000。
(1 + 1/2)^2 = 2.25。
(1 + 1/5)^5 = 2.488。
(1 + 1/10)^10 = 2.594。
(1 + 1/20)^20 = 2.653。
(1 + 1/100)^100 = 2.705。
(1 + 1/1000)^1000 = 2.7169。
(1 + 1/10,000)^10,000 = 2.7181。
然而，值得尝试另一种方法来计算这个极其重要的数字。
因此，我们将利用二项式定理，并用它来展开表达式(1 + 1/n)^n。
火车站里有火车，火车上面有旅客。旅客们提着大行李，不是上车就是下车。