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摘 要：指出两个国内起重机设计规范中增大系数的差异，说明了增大系数的由来。通过对国内外标准规范中增大系数的比较，首次提出将增大系数中的欧拉临界力视为规定强度，用安全系数和抗力系数进行修正的方法。该方法不用人为地设计修正系数，不用制定特别的修正规则，简单易行，具有合理的安全性和一致性。
关键词：起重机；压弯构件；整体稳定性；增大系数；规定强度
0 引言在压弯构件整体稳定性计算中，有一个计算因子1/(1-N /N E) 被称为增大系数[1] 或弯矩增大系数。其中，N为作用在构件上的轴向力 ；N E 为构件的名义欧拉临界力，N E ＝ π2EA/λ2，E 为构件材料的弹性模量，A 为构件的毛截面积，λ 是构件对相关轴线的计算长细比。增大系数的另一种形式是N E / ( N E-N )。
GB/T 3811 － 2018《起重机设计规范》中的计算公式是按许用应力法给出的，增大系数为1/(1-N /N E)，该规范要求当该公式用于极限状态法时，增大系数中的N E 应除以γm，γm 为极限状态法中的抗力系数，一般取为1.1。
GB/T 13752 － 2017《塔式起重机设计规范》中的压弯构件整体稳定性计算公式，也给出了相同形式的增大系数，即1/(1-N /N E)。由于GB/T 13752 － 2017 的计算公式是按极限状态法给出的，该规范要求当该公式用于许用应力法时，增大系数中的轴力N 需乘以调整系数α，并取α＝ 1.22。
这两个规范（也是两种方法）都给出了形式相同的增大系数。其中N E 相同，但N 的差别在于许用应力法没有考虑分项载荷系数γp（危险度系数在两种方法中的作用是相同的，在此不做讨论）。
1）按GB/T 3811 － 2008 规定，在许用应力法增大系数的基础上，将其改为极限状态法的增大系数在这里用N 0 代替前面的N ，N 0 为不考虑载荷分项载荷系数的轴向力。为了简化讨论，用γp´N 0 表示考虑分项载荷系数的轴向力，设γp′为当量载荷分项载荷系数。
如果极限状态法的增大系数中的N E 不除以γm，就应当写为：1/(1-γp′N 0 / N E)。显然，1/(1-γp′N 0 / N E) ＞1/(1-N 0 / N E)，也就是说即使N E 不除以γm，极限状态法的增大系数也大于许用应力法的增大系数。
按GB/T 3811 － 2008 的要求，将N E 除以γm，极限状态法增大系数就应当写为：1/(1-γp′N 0 / N E/γm)，于是有：1/(1-γp′N 0 / N E/γm) ＝ 1/(1-γp′γm N 0 / N E)。显然，1/(1-γp ′γm N 0 / N E) ＞ 1/(1-γp ′N 0 / N E) ＞ 1/(1-N 0 / N E)，N E除以γm 后的极限状态法增大系数更大了。也就是说按GB/T 3811 － 2008 的要求确定的许用应力法增大系数小于极限状态法的。
2）按GB/T 13752 － 2017 的规定，在极限状态法增大系数的基础上，将其改为许用应力法的增大系数在这里用N γ 代替前述的N ，N γ 是考虑了载荷分项载荷系数的轴向力。为了便于讨论，设N γ ＝ γp′N 0 。
如果许用应力法增大系数中的N 不乘以α，就应写为：1/(1-N γ γp′ / N E)。显然，1/(1-N γ / γp′ / N E) ＜ 1/(1-N γ/N E)，也就是说如果N 不乘以α，许用应力法的增大系数就会小于极限状态法的增大系数。
按GB/T 13752 － 2017 的要求，将N 乘以α，增大系数就应当写为：1/(1-αN γ / γp′ / N E)。于是有：1/(1-αN γ/ γp′ / N E) ＝ 1/(1-(α / γp′) N γ / N E)。
显然两个增大系数的大小取决于比值α / γp′。如果α / γp′＞ 1 则有1/(1-(α / γp′) N γ / N E) ＞ 1/(1-N γ /N E)，即许用应力法的增大系数大于极限状态法的增大系数。如果α / γp′＜ 1，则有1/(1-(α / γp′) N γ / N E)＜1/(1-N γ /N E)，即许用应力法的增大系数小于极限状态法的增大系数。
在GB/T 22437.1 － 2018《起重机 载荷与载荷组合的设计原则 第1 部分：总则》中，载荷组合B 的载荷分项载荷系数为1.22 和1.16，载荷组合C 的载荷分项载荷系数为1.16 和1.10（忽略温度载荷）。载荷分项载荷系数的最大值为1.22，所以当α ＝ 1.22 时，恒有α/ γp′＞ 1，也就是说按GB/T 13752 － 2017 的要求确定的许用应力法的增大系数是大于极限状态法的。
两个规范都对增大系数进行了修正，但却得到了对立的两种结果。
1 增大系数的由来受压杆件轴线的非直线性和轴向载荷的偏心作用，是压弯构件最常见的两种形式。
1.1 受压杆件轴线的非直线性可以简化为图1 所示的具有初弯曲的轴压构件，即一个两端简支、长度为l、初始挠度为y0 的杆件AB，在端部轴向（Z 向）载荷N 的作用下，产生了挠度为y 的变形。
图1 具有初弯曲的轴压构件
设初弯曲为一正弦曲线
式中：f 为跨中最大初挠度。最大初挠度平衡方程为
求得最大挠度umax 和最大弯矩Mmax 都在跨中，即结果说明在轴力N0 的作用下，初始挠度f 和初始弯矩Nf 都被放大了，所以1/(1-N /N E ) 被称为挠度增大系数或弯矩增大系数，简称增大系数，这个增大系数是通过理论推导得到的，是一个纯理论表达式。
1.2 载荷的偏心作用可以简化为图2 所示的具有初偏心的轴压构件，即
一个两端简支、长度为l 的杆件AB，在偏心距为e0 的端部轴向（Z 向）载荷N 的作用下，产生了挠度为y 的变形。
图2 轴压载荷偏心作用的构件
其平衡方程为
则有
由上式解得最大位移umax 和最大弯矩Mmax 都在跨中，即有
其中
此式亦表示为增大系数。从以上对两个力学模型的分析和理论推导，得到了1/(1-N /N E ) 和
两个增大系数。在N /N E 比值较小的情况下（一般是不大于0.3），这两个增大系数的数值相差不大（见表1），所以在工程实用中都用1/(1-N /N E) 作为增大系数[3]。
以上试图通过简单的例子来说明两个问题，其一是增大系数1/(1-N /N E ) 有一定的近似性，即力学模型的近似性和用1/(1-N /N E ) 代替
的近似性；其二是它的理论表达式与设计方法（许用应力法还是极限状态法）无关。
在实际应用中，增大系数1/(1-N /N E ) 不可能与设计方法无关。因为许用应力法的N 不考虑载荷分项载荷系数而极限状态法要考虑，所以许用应力法和极限状态法中N 的取值不同，在起重机设计中后者为前者的1.1 ～ 1.22 倍。这样，如果N E 不变，极限状态法的增大系数就要比许用应力法的增大系数大许多。一个理论公式，由设计方法的不同而使计算结果出现很大差异，需要通过修正来消除或减小这种差异。然而，1/(1-N /N E) 只是一个理论公式，同工程上应用的其他理论公式一样，出于对安全因素的考虑，在实际使用时要进行一些修正。因此，国内外相关标准规范都对增大系数进行了修正，但修正方法有所不同。
2 国内设计规范对增大系数的修正2.1 GB/T 3811 － 2008《起重机设计规范》（许用应力法）在GB/T 3811 － 1983 的3.6.2.1 中，双向或单项压弯构件稳定性计算公式给出的增大系数是1/(1-N / 0.9N E )，此式中系数0.9 是相当于轴压力N 由实际载荷变为额定载荷时的载荷系数1.1 的倒数。在用极限状态法计算时，载荷是用设计载荷，即额定载荷乘以载荷系数和组合系数而成，在用许用应力方法计算时，括弧中仍用设计载荷，故有0.9 这一系数存在[3]。
在GB/T 3811 － 2008 中，系数0.9 被去掉，并要求用极限状态法时，增大系数中的N E 应除以γm（γm ＝1.1），实际上就是说极限状态法应当用1/(1-N / 0.9N E)作为增大系数。
2.2 GB50017 － 2017《钢结构设计规范》（极限状态法）在GBJ17 － 1988 中，对弯矩作用在对称轴平面内的实腹式压弯构件，弯矩作用平面内的稳定性计算公式中，增大系数用了1/(1-kN / N E) 的形式，不过这里的修正系数k 与文中所述问题无关，所要关注的是这里用了N E（没除以γm）。
在GB50017 － 2003 和GB50017 － 2017 中， 用N E´ 代替了N E，增大系数改成了1/(1-N /N E´)，这里的N E´ ＝N E /1.1。对此做法的解释是考虑了抗力分项载荷系数，N E´ 相当于欧拉临界力N E 除以抗力分项载荷系数的平均值1.1[7]。这里对NE 使用了抗力分项载荷系数，这与GB/T 3811 － 2008 对极限状态法所要求的，在思路上一致，即把N E 视为规定强度R （与材料屈服点、弹性稳定性或疲劳强度对应的应力值）[26]，亦称为材料强度标准值或公称强度。
2.3 GB50018 － 2002《冷弯薄壁型钢结构设计规范》（极限状态法）在GB50018 － 2002 中，对于双轴对称截面的压弯构件，当弯矩作用于对称平面内时，增大系数的形式是1/（1-kN / N E´），这里的N E´ ＝N E /1.165，这是因为冷弯薄壁型钢结构的抗力分项载荷系数γR ＝ 1.165。
2.4 TB 10091 － 2017《铁路桥梁钢结构设计规范》（许用应力法）在TB 10091-2017《铁路桥梁钢结构设计规范》的受压，并在一个主平面内受弯曲或与此相当的偏心受压总稳定性计算公式中有一个μ1，μ1 为考虑弯矩因构件受压而增大所引用的值，即有
式中：n1 为压杆容许应力安全系数，根据不同的载荷组合取1.7 或1.4。π 2EA m/λ2 就是N E。于是有π 2EA m/(n1λ2) ＝NE /n1=N E´，μ1 ＝ 1-N /N E´，而1/μ1 ＝ 1/(1-N /N E´) 就是增大系数，此处的N E 除以的是压杆容许应力安全系数。
3 国外设计规范对增大系数的修正3.1 国际标准化组织ISO 10721:1997《钢结构- 第1 部分：材料和设计》（极限状态法）在附录A（资料性附录）中给出的一个压弯构件整体抗力方程中直接写出了增大系数的表达式，增大系数与理论增大系数相同，即1/(1-N /N E)，此处的N 包括载荷分项载荷系数。
3.3 美国机械工程师协会ASME NOG-1-2015《桥式和门式起重机建造规范》。该标准用的是许用应力设计法（ASD），在承受轴向压缩和弯曲构件的计算公式中直接写出增大系数1/(1-σ/σ´e)，其中σ 为计算轴向应力，σ´e 与轴压构件稳定性许用应力相同，为欧拉临界应力除以23/12 和载荷条件系数（load condition factor）。载荷条件系数与载荷组合有关，工作载荷取1.2，施工载荷取1.2，恶劣环境载荷取0.9，极端环境载荷取0.67，由此不同的载荷组合被除的系数就不同（2.3、1.73、|1.28），体现了起重机设计的特点。GB/T 3811 － 2008 和GB/T 22437.1 － 2018中给出的许用应力法不同载荷组合的安全系数亦不同。
3.4 美国起重机制造商协会CMAA 70 － 2015《电动桥式和门式起重机规范》采用许用应力法（ASD），与ASME NOG-1 － 2015 相同。在承受轴向压缩和弯曲构件的计算公式中直接写出了增大系数1/（1-σa /σe），其中σa 为计算轴向应力，σe与轴压构件稳定性许用应力相同，为欧拉临界应力除以23/12 和一个与载荷组合有关的系数，主要载荷下正常使用取1.1，主要载荷和附加载荷下正常使用取1.0，特殊载荷取0.89，表现出与ASME NOG-1－2015 相同的特点，即不同载荷组合的安全系数不同（2.1、1.92、1.71）。
3.5 美国国家公路与运输协会2017 版《桥梁设计规范》采用载荷和抗力系数设计法（LRFD），即极限状态法。该规范在数学模型一章，作为几何大变形理论的近似方法，定义了力矩增大系数。其中杆端无侧移（只考虑P-δ 效应）的力矩增大系数δb ＝ Cm/[1-Pu /(φKPe)]，其中弯矩梯度系数Cm 和刚度折减系数φK 在混凝土构件时取0.75，钢构件时取1，在此均取1；Pu 为考虑载荷系数的轴压力，Pe 为欧拉极限力。所以，该规范的增大系数与理论增大系数相同，即1/（1-N /N E）。
3.6 美国钢结构协会1989 版《建筑钢结构规范》用的是许用应力设计法（ASD），增大系数以应力的形式给出：1/(1-fb/F´e),fb 为计算轴向压缩应力，F´e 等于欧拉应力除以安全系数23/12（在塑性计算中把23/12 去掉了）。
1999 版《建筑钢结构规范》用的是载荷和抗力系数设计法（LRFD）（极限状态法），增大系数为B1 ＝Cm/(1-Pu/Pel)，这里的Pel 为欧拉临界力。以上两个规范，方法不同，相互独立。从2005 版开始，到2010 版、2016 版，《建筑钢结构规范》把许用强度设计法（ASD，即许用应力法）和载荷与抗力系数设计法（LRFD）) 结合到一起，两种方法用同样的公式，于是在增大系数中出现了载荷调整系数α，用来消除两种方法中增大系数（更准确点说是计算轴压力与欧拉临界力比值）的差异。
前述各规范（2005 版的正文，2010 版和2016 版的附录）在近似的二阶分析中定义了考虑P-δ 效应的乘数B1，B1 在形式上与AASHTO 规范大致相同，B1＝ Cm/(1-αPu/Pel)。其中Cm 的取值为1，α 为许用应力法/ 极限状态法载荷调整系数（ASD/LRFD force leveladjustment factor），极限状态法α ＝ 1，许用应力法α＝ 1.6。
3.7 美国《建筑设计与施工手册》在美国《建筑设计与施工手册》中，DSD 法和LRFD 法使用的计算公式不一样，但增大系数没有本质上的区别。许用应力法的增大系数是B1 ＝ Cm/(1-fa/Fe´ )，其中fa 为计算压缩应力，Fe´ 为欧拉临界应力除以23/12；极限状态法的增大系数是B1 ＝ Cm/(1-Pu/Pe)，其中Pu 为考虑载荷系数的轴向压力，Pe 为欧拉极限力。两个增大系数中的Cm 取值相同，这里都取1。
3.8 美国船级社（ABS）ABS 出版的《海上结构屈曲和极限强度评价指南》有ASD 法和LRFD 法两个版本，两个版本使用的计算公式形式相同，都把增大系数直接写进了计算公式。在2018 年更新的ASD 法版本中，增大系数是1/[1-σa/(η1σE)]，其中σa 为轴向压应力，σE 为欧拉临界应力。η1 为许用强度利用系数（allowable strength utilizationfactor）， 它包含了一个称为调整系数（adjustmentfactor）的因子ψ，η1 在规范中的作用相当于安全系数的倒数，调整系数ψ ＝ 0.87 时，η1 ＝ 0.522（静载荷）或η1 ＝ 0.696（组合载荷）（0.522 ＝ 12/23 应该不是巧合）。这相当于用欧拉临界应力除以安全系数。在2016 年发布的LRFD 法版本中，增大系数是1/[1-Puc/(ψ2PE/γR)]，其中Puc 为轴向压力，PE 为欧拉临界压力，ψ2 为调整系数，γR 为抗力系数（γR ＝ 1.05）。需要指出的是，在两种方法中，调整系数的取值相同，它只与载荷性质和几何性质有关，与设计方法无关。在LRFD 法中，ψ2 ＝ 0.87时，调整系数的倒数和抗力系数的乘积为1.21。
3.9 澳大利亚标准AS 3990—1993《机械设备——钢结构》（工作应力法，即许用应力法）没有定义增大系数，而是把1/(1-fac/0.6Foc) 直接写在了计算公式中。这里的fac 为轴向压缩应力；Foc 欧拉临界应力；系数0.6 与许用压缩应力的系数相同，该规范没有安全系数的符号和定义，而是直接用小于1 的数值乘以规定强度得到许用应力（permissiblestress）。可以认为这里是欧拉临界力除以安全系数。
4 关于增大系数修正方法1）将前述各规范对增大系数的修正进行表2 所示梳理。为了便于比较，把增大系数统一写成1/(1-kN/NE)的形式，k 为修正系数。表中安全系数用n、抗力系数用γm、载荷分项载荷系数用γp 表示。2）从表2 可以看出，涉及到许用应力法的规范，除了GB/T 3811 － 2008 以外，国内外都使用了大于1的系数进行了修正。涉及到极限状态法的建筑规范，国外有五个规范除了载荷系数γp 外没有其他修正系数，国内有三个规范、国外有一个规范在γp 的基础上又用抗力系数γm 进行了修正。
在表2 所列许用应力法专用规范中，国内的TB10091 － 2017 和国外7 个规范都用安全系数作为k。实际上就是在放大系数中用欧拉临界应力除以安全系数，把欧拉应力当作规定强度来处理，这样做符合许用应力法的设计规则。
在表2 所列极限状态法专用规范中，除了N 要考虑分项载荷系数外， 国内的GB 50017 － 2003、GB50017 － 2017、GB 50018 － 2002 和美国的《ABS 指南》在增大系数中使用了用抗力系数，即用欧拉应力除以抗力系数，这是将欧拉临界力（应力）当作规定强度来处理，这样做亦符合极限状态法的规则。国内有两个、国外有5 个规范没有对欧拉临界力（应力）使用抗力系数。在表2 所列的规范中，中国的GB/T 3811 － 2008、GB/T 13752 － 2017 和美国的《建筑钢结构规范》ANSI/AISC 360 是许用应力法和极限状态法共用一个公式的规范，这几个规范对增大系数的修正方法也不同。对增大系数进行修正，无论是许用应力法用安全系数去除欧拉极限力，还是极限状态法用载荷系数去乘轴向压力、用抗力系数去除欧拉极限力，最终的结果都使实际增大系数比理论增大系数大，使得计算结果更安全。
在许用应力法和极限状态法共用一个公式时，更需要考虑一致性问题，即指许用应力法和极限状态法计算结果的一致性，即不能使两种方法计算的增大系数差异太大。
5 增大系数修正方法的建议5.1 修正方法的建议综上所述，国内外规范对增大系数的修正方法基于安全性和一致性两个目的，考虑到起重机的实际情况，建议在起重机设计规范中采用一个统一的修正原则：将轴向压力看作外载荷，将欧拉临界压力看作规定强度，用许用应力法和极限状态法的基本规则对轴向压力和和临界压力进行修正。首先，在这个统一原则下，两种设计方法各自的计算系数（安全系数、抗力系数、载荷分项载荷系数等）保证了修正的安全性，其次在极限状态法体系建立的过程中，已经考虑了与许用应力法计算结果的一致性，即极限状态法相对许用应力法的校准问题。[21] 符合这个统一原则的具体方法是：
1）许用应力法 计算轴向压力不考虑载荷分项载荷系数，用所验算的载荷组合下的安全系数n 去除理论增大系数中的欧拉临界压力，得到修正后的临界压力。
2）极限状态法 计算轴向压力要考虑载荷分项载荷系数，用所验算的载荷组合下的抗力系数γm 去除欧拉临界压力，得到修正后的临界压力。
由表2 可知，以上统一原则下的修正方法，在单独的许用应力法规范中和极限状态法规范中均有部分的应用，但至今没有人把它整合到同一个规范中，作为统一的原则提出过。
5.2 一致性分析在极限状态法中，轴向压力是多种载荷分别乘以分项载荷系数后组合在一起作用的结果，各种载荷效应在轴向压力中所占比例的大小，也对增大系数的大小有影响。对起重机而言，产生轴向压力的载荷主要有起重机自重载荷和起升载荷，这两种载荷的分项载荷系数是不同的，下面对这两种载荷的不同比例下的增大系数进行比较，来评价它们对一致性的影响。如果只考虑起重机自重载荷和起升载荷对轴向力的影响，在不计载荷系数的轴向压力N0 中，由起升载荷产生的部分为NQ，由起重机自重产生的部分为NG，NQ+NG ＝ N0，NQ/NG ＝ a，则许用应力法的增大系数ωA和极限状态法的增大系数ωB 可分别写为
修正方法要做的是在保证安全性的前提下，使k1＝ n(a+1) 和k2 ＝ γm(γpQa+γpG) 的值尽量接近。根据GB/T22437.1 － 2018，以具有代表性的常用的载荷组合B1为例，不考虑高危险度系数，安全系数n 取1.34，抗力系数γm 取1.1，起重机自重载荷分项载荷系数γpG 取1.16，起升载荷分项载荷系数γpG 取1.22。于是有
k1 和k2 的相对偏差为
由此可以看出，λ 随a 的增大而减小。当a ＝ 0（全部由自重载荷作用）时，λ ＝ 0.050；当a ＝∞时（全部由起升载荷作用）λ ＝ -0.001 5；当a ＝ 32 时，λ ＝ 0。这说明按此方法计算的修正系数，虽然在常用范围内许用应力法大于极限状态法，但偏差在0 ～ 5% 之间，这样的一致性可以接受。据不完全统计，在门式起重机门腿的稳定性计算中a ＝ 0.03 ～ 1.8，λ ＝ 0.048 6 ～ 0.016 4。PSHSD6 型（三列六层升降横移）停车设备最底层立柱的稳定性计算中a ＝ 1.42，λ ＝ 0.019 2。
增大系数ωA 和ωB 的大小除了受k1 和k2 值的影响外，也受NG /NE 的影响。在a ＝ [0.03 ～ 1.8] 区间内，当NG/NE ≤ 0.2 时，k1NG /NE 和k2NG /NE 的值比较接近。需要指出的是，ωA 和ωB 是形如y=(1-x)-1 的幂函数，x 越接近1，y 对x 的变化越敏感。
5.3 对N 0 /N E 的限制对许用应力法要满足k1NG /NE ＜ 1，故有
因为(a+1) NG ＝ N0，由此得到许用应力法轴向压力和欧拉临界力之比的另一个限制条件
同理，由k2NG /NE ＜ 1 得到极限状态法轴向压力和欧拉临界力之比的另一个限制条件为
这些限制条件在初步设计阶段就应当考虑。
6 结论1）增大系数修正方法的核心是首次提出在增大系数中把欧拉临界压力看作规定强度。欧拉临界压力作为规定强度，在两种设计方法中要分别除以安全系数和抗力系数，计算载荷也按两种设计方法的规定处理。这些都是许用应力法和极限状态法的基本规则，是计算中要遵守的一般求。
2）在提出的修正方法中，所有系数都是设计规范中已有的，即不必人为地设计修正系数。修正方法中的基本规则也是通行的，也不用重新制定特殊规则。
3）在提出的修正方法中，安全性是通过许用应力法和极限状态法的基本规则保证的；一致性是通过许用应力法和极限状态法的各种系数保证的，在常用的范围内可以得到满意的一致性。
4） 本文提出的修正方法， 仅限于按GB/T22437.1 － 2018 定义的载荷、安全系数、分项安全系数（分项载荷系数）和抗力系数。
参考文献[1] GB/T 3811 － 2008 起重机设计规范[S].[2] GB/T 13752 － 2017 塔式起重机设计规范[S].[3] 胡宗武，顾迪民. 起重机设计计算—遵循国标《起重机设计规范》的计算法[M]. 北京：机械工业出版社，1989.[4] 吕烈武，沈世钊，沈祖炎，等. 钢结构构件稳定理论[M].北京：中国建筑工业出版社，1983.
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