2023年第二届增材制造高峰论坛
宣 讲 征 集
随着我国航空航天事业的持续发展，航空结构件需满足轻质高效、长航时、高机动性等要求，因此，进一步降低结构质量系数，是结构优化设计领域面临的一项严峻挑战。传统轻量化设计大多是基于经典结构的等效替换，通过新工艺、新材料等精益改善和挖掘结构潜能，现已趋近“天花板”。
拓扑优化技术作为结构优化设计的重要分支，通过定义材料属性、载荷工况与约束条件，寻求给定设计域内材料的最优分布形式，是结构轻量化设计、获得高性能创新构型的有效设计方法，现已广泛应用于航空航天、汽车制造等领域。例如，应用填充微观点阵结构的卫星支架多尺度拓扑优化设计，使卫星支架减重17%，动态响应减少25%；考虑切口、保持传统钣金轮廓的涡轮发动机支架的拓扑优化设计，使发动机支架减重25%，考虑增材制造工艺，扩大设计空间的拓扑优化设计，使发动机支架减重66%，最大位移减少约50%；由30多个单独部件组成的稳定器前翼梁支架，应用拓扑优化一体化设计，成功实现前翼梁支架减重30%，显著改善结构性能，提升加工效率。
根据优化算法迭代与更新的不同形式，连续体结构拓扑优化可分为：基于单元网格的拓扑优化方法，如均匀化法、变密度法、渐进结构法等；基于边界演化的拓扑优化方法，如水平集法、移动可变形组件法、特征驱动结构拓扑优化法等。
图1 悬臂梁连续体结构拓扑优化。（a）基于HyperWorks的变密度法；（b）渐进结构法；（c）水平集法；（d）移动可变形组件法；（e）特征驱动法
相对于边界演化的拓扑优化方法（图1c-e），基于单元网格的拓扑方法存在着灰度单元、棋盘格式、网格依赖性及局部极值等数值不稳定现象。棋盘格式和灰度单元的存在为拓扑构型的特征提取和制造增加难度；网格依赖性使拓扑构型中的杆状单元数量增加，可靠性下降；局部极值使拓扑构型难以得到全局最优解。因此，消除拓扑优化结果中的数值不稳定现象，提升拓扑构型的可制造性尤为重要。
如图2所示，改善灰度单元，可通过调节材料插值模型的惩罚因子p与灰度过滤函数，减少中间密度值，获得收敛性较好的拓扑结构。棋盘格式和网格依赖性总是同期出现、同时消失，棋盘格式是网格依赖性的另一种表现方式。 一般改善网格依赖性的方式,也能有效减少结构中的棋盘格式。常采取八节点与九节点等高阶单元法、非协调元法、周长约束法及梯度约束法一定程度上抑制棋盘格式。或采取基于卷积的滤波方法,如灵敏度过滤法、密度过滤法，通过修改目标函数的单元相对密度与灵敏度分析，改善数值不稳定现象。该方法无需增加额外的约束，收敛性较好，计算效率较高，应用更为广泛。此外抑制棋盘格式的方法,可选择更加稳定的有限元模式，或对拓扑结构进行形状优化、采用光顺处理法及灵敏度再分配技术等，以抑制棋盘格式的产生。改善局部极值可以从两方面考虑,一方面，可以优化拓扑算法，寻求更适用于非凸优化问题的全局优化方法，规避一些局部最优解，以输出全局最优解。另一方面，可采用完善迭代初始值与多起点优化加以改进，选取更多组的初始变量，则更有可能找到全局最优解，从而获得更好的优化效果。但该方法效率较低，仅适用于简单模型的参数优化，仍有较大发展空间。
水平集法使用零值水平集函数描绘结构边界，使用Hamilton-Jacobi方程更新水平集函数，结合形状导数与灵敏度分析技术，寻求最佳拓扑结构。移动可变形组件法与移动可变形孔洞法通过优化设计域中一系列组件轮廓/孔洞边界的尺寸、位置等显式几何信息，得到不同工况下的最优承力路径。相对于传统水平集方法，MMC/MMV所采用的设计变量显著减少，计算效率较高，可与CAD/CAE软件无缝连接。特征驱动结构拓扑优化方法结合隐式水平集函数描述结构轮廓工程特征，通过基于梯度的优化方式控制特征结构的移动、缩放等，实现结构特征与拓扑优化的有效融合。
水平集法具有清晰的结构边界，无数值无稳定现象，但该类方法高度依赖于初始参数值，存在不能自主开孔（图3）与弱收敛等问题。针对仅能实现孔洞融合而不能自主开孔的问题，应用拓扑导数（图4a）、基于反应扩散方程，可有效解决自主开孔问题。针对初始依赖性，可利用共轭法计算二维与三维线弹性模型的形状导数，或采用最速下降法更新设计变量，或结合基于全局与局部元胞分割框架的遗传算法，改善优化结果初始依赖性。
图3 水平集法初始依赖性与不能自主开孔问题 (a) 2个初始孔洞；（b）9个初始孔洞；(c)40个初始孔洞
图4 MBB梁水平集拓扑优化。(a)拓扑导数；(b)PS-Kriging插值
尽管显式拓扑框架的移动可变形组件/孔洞法，设计变量较少，计算效率较高，优化设计结果边界清晰，可与CAD/CAE技术实现无缝衔接。但该方法存在一定的初始依赖性及结构低连续性（图1d），引入卷积算子与KS函数，构建基于R函数和格雷维尔配点策略的显式拓扑框架，兼顾超弹性与有限变形的显式拓扑框架，可有效改善迭代收敛性与结构低连续性。
金属增材制造技术虽有效解决复杂拓扑结构的可制造性差的问题,但仍存在某些制造约束，如结构最小尺寸小于束斑直径时，零件实际打印轮廓会超出设计轮廓；激光选区熔化技术所能制造的零件成形几何尺寸受限；悬垂角度选择不当时，会产生零件装配孔材料塌陷（图6a）、结构支撑断裂（图6b）等现象；采用粉末床增材制造技术时，制造含有封闭孔洞的结构存在内部粉末与支撑无法去除等问题（图6c）。因此，在拓扑优化设计中需同时考虑结构几何约束、成形约束、材料性能约束等多种增材制造约束（图7），从产品拓扑优化设计源头改善制造工艺局限性，以实现结构设计制造一体化。
图6 增材制造打印失效。(a)装配孔材料塌陷；(b)支撑结构断裂；(c)内部支撑无法去除
基于单元网格的最小尺寸优化方法主要有投影滤波函数、鲁棒公式、功能梯度函数等。Guest等使用节点体积分数为设计变量，投影到由单元质心和最小允许半径确定的单元空间，提出线性投影函数和使用正则化Heaviside阶跃函数的非线性投影函数，实现最小尺寸控制。但线性投影函数沿边界存在衰落效应(图8a)，拓扑构型存在单节点铰链问题。Sigmund提出基于三场映射的鲁棒公式模型,该方法收敛稳定、结果清晰且尺寸特征可控(图8b)，但隐式表述的模型不能准确控制结构尺寸，计算量较大。随后Wang等提出改进鲁棒公式，消除数值伪影，改善单节点铰链问题，实现拓扑结构局部与全局收敛。Zhou等基于滤波阈值和正则化物理场，定义结构指标函数与几何约束，提出一种计算成本低、易于应用的最小尺寸控制新方法(图8c)。随后Yang等比较不同梯度算子，在鲁棒公式中施加最小尺寸约束，提出新的结构指标函数，更准确的捕捉结构拐点区域与空间梯度信息，优化结构最小尺寸。Rong等使用两组协调设计变量的密度过滤器及Heaviside函数，实现了固相与空相最小尺寸控制。
图8 考虑最小尺寸约束的拓扑优化。(a)节点设计变量与投影函数dmin=2.0mm，dmin=1.0mm；(b)鲁棒公式dmin=1.4/100，dmin=1.4/200；（c）空间梯度算子r=10mm，r=5mm；（d）骨架提取与最小特征优化
Guest以映射方法为基础，构建基于局部区域体积比的最大尺寸约束，Jin基于双向渐进结构法定义最大尺寸约束，皆实现了结构最大尺寸控制。Zhang等基于固体各向同性材料惩罚模型，提取拓扑结构骨架，实现结构最大/最小尺寸控制。
Guo等基于水平集框架提出显式几何尺寸控制方法，通过限制符号距离函数的最大/最小值，同时实现结构最大/最小尺寸精确控制。Xia等引入内切圆的概念，通过约束结构边界到骨架的距离，实现结构最大/最小尺寸控制。Wang等将结构边界与水平集轮廓曲线进行偏移，建立基于偏移距离的显式特征尺寸约束函数，实现结构最大/最小尺寸精确控制，该方法不需要提取几何骨架，可有效提升计算效率。Bai等构造映射新模型与全局约束函数，对违反最大尺寸约束的单元实行“挖孔”处理，结合鲁棒公式，实现结构最大/最小尺寸协同控制。Niu等基于移动可变形组件方法，通过调整组件宽度的上下限，实现结构最大/最小尺寸控制。Liu通过识别与分割结构骨架，提出基于分段长度尺度控制与滤波方法，实现结构动态极限尺寸控制。
图9 MBB梁自支撑优化。(a)悬垂投影约束，柔度+18.9%；(b)优化悬垂角度与打印方向，柔度+1%；(c)多边形特征孔，柔度+9.2%；(d)非线性虚拟温度场，柔度+2.8%
考虑结构连通性约束的拓扑优化设计，主要从消除孔洞、构建孔洞与边界连接隧道及实现孔洞自支撑入手。Liu等提出一种虚拟温度场,将含有封闭孔洞的连通性约束转为最大温度梯度约束,实现熔化粉末流动与水溶性支撑去除(图10a)。Xiong等基于双向渐进结构法，生成连接封闭孔洞与结构边界的最短隧道，结构性能牺牲较少（图10b）。Zhou等提出将孔洞特征的中心点限制在设计域之外的边约束方法（图10c），改善结构连通性，但相关参数的选择直接影响灵敏度计算精度。Wang等提出了基于泊松方程的静电场物理模型，协同考虑结构强度与封闭孔洞连通性，可有效改善结构应力集中与连通性（图10d）。
图10 考虑连通性约束的拓扑优化。(a)虚拟温度场，柔度+26.0%及+53.2%；(b)最短连接隧道，柔度+0.6%；(c)边约束，柔度+19.8%；(d)应力最小化，柔度+136.2%
现阶段考虑材料各向异性的拓扑模型过于简化。结合增材制造过程，建立多元工艺参数下的各向异性精准三维模型、构建特定增材制造工艺参数与材料性能的定量相关性、提升数值稳定性与计算效率等方面仍有待完善。
拓扑优化设计可以依据材料属性、约束条件及载荷工况，在给定设计区域内寻求材料最佳分布形式与最优承力路径，实现高性能轻量化设计。金属增材制造技术基于高能束热源，采用快速熔化与逐层叠加的成形方式，可实现复杂拓扑构型的快速原型制造与实体自由制造。本文将拓扑优化设计与金属增材制造结合，归纳了基于单元网格与边界演化的拓扑优化方法改善结构连续性与可制造性的有效措施，总结了考虑金属增材制造几何尺寸约束、成形约束及材料性能约束的拓扑优化方法，为学者们进一步研究面向金属增材制造的拓扑优化设计提供参考。
1）拓扑优化设计存在设计变量巨大、计算效率较低、求解困难、弱收敛等不足，现有拓扑优化算法往往难以输出可直接增材制造的结构性能最优解，学者们往往基于最优拓扑构型进行二次简化设计，损失结构性能。因此，结合并行计算技术，开展设计变量较少、收敛性较好的算法研究，输出可直接增材制造的最优拓扑结构具有重要现实意义。
2）宏观拓扑优化与微观点阵结构研究日趋完善，将宏观拓扑优化设计与微观点阵结构有效融合，建立多尺度结构之间的高度衔接性，充分利用拓扑优化的高性能构型及增材制造所提供的广阔设计空间，追求高性能的轻量化设计具有广阔发展前景。
3）考虑金属增材制造约束的拓扑优化方法采用较为理想的材料模型，与金属增材制造技术实际打印过程存在一定的差距，因此建立多元工艺参数下的材料各向异性精准拓扑模型、量化金属增材制造设备工艺参数、模拟金属增材制造加工过程及预测零件翘曲变形与开裂，可有效减少残余应力与变形，改善成形精度与表面质量。
论文链接:
刘博宇, 王向明, 杨光, 邢本东. 面向金属增材制造的拓扑优化设计研究进展[J]. 中国激光, 2023, 50(12): 1202301.