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1、AaBCbcS投射线汇交投射线汇交于投影中心于投影中心透视投影图透视投影图轴测投影图轴测投影图PZ1X1O1Y1ZOXYS标高投影图标高投影图问题的提出问题的提出 根据一个投影不能确定空间形体的形状和位置根据一个投影不能确定空间形体的形状和位置两个不同形状物体的两个不同形状物体的H面投影相同面投影相同多面正投影图多面正投影图点点1 1 两投影面体系中点的投影两投影面体系中点的投影2 2 三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影3 3 两点的相对位置两点的相对位置4 4 判断重影点的可见性判断重影点的可见性例题例题1例题例题2基本要求基本要求基本要求基本要求1 1、熟练掌握点在第一分角中各种
2、位置的投影特、熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性及作图方法；性及作图方法；2 2、熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系；、熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系；3 3、掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别、掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别 两投影面体系中点的投影两投影面体系中点的投影五五、两面、两面投影图的性质投影图的性质三、两投影面体系中点的投影三、两投影面体系中点的投影二、两投影面体系的建立二、两投影面体系的建立一、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置一、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置四四、两面两面投影图的画法投影图的画法一、点的两个投影能确定该点的空间位置一、点的两个
3、投影能确定该点的空间位置HVOXaaA二、两投影面体系的建立二、两投影面体系的建立HVXO水平投影面水平投影面 H 垂直投影面垂直投影面 V 投投 影影 轴轴 OX两投影面体系的建立两投影面体系的建立 两投影面体系由两投影面体系由V面和面和H面二个投面二个投影面构成。影面构成。V面和面和H面将空间分成四个面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。分角中来研究。三三 、两投影面体系中点的投影、两投影面体系中点的投影HVOXA点的水平投影点的水平投影 aA点的垂直投影点的垂直投影 a
4、 aAZYXaax点的二面投影图点的二面投影图 点的二面投影图是将空间点向二个投点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定一个面后得到的。展开时，规定V面不动面不动，H面向下旋转面向下旋转9090 。用投影图来表示空间。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。同投影面上的投影来表示点的空间位置。 四四、两面、两面投影图的画法投影图的画法HHVOXa aAaxXHVOa aaxxzy五五、两面、两面投影图的性质投影图的性质
5、1) aa OX 2) a ax =Aa , aax =Aa HVOXa aAaxXHVOa aaxxzy两点的投影规律两点的投影规律 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线面投影之间的连线aa垂直于投影轴垂直于投影轴0X ；点的一个投影到；点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。轴相邻的投影面之间的距离。 通常不画出投影图的范围通常不画出投影图的范围XOa aaxxzy2 2 三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影三、三投影面体系中点的投影规律三、三投影面体系中点的投影规律二、三投影面体系中点的投影二、三投影面体
6、系中点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立四、特殊点的投影四、特殊点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立HVXO水平投影面水平投影面 - - H H V - - OX正面投影面正面投影面 - - V V V W - - OZ 侧面侧面投影投影面面 - - W H W - - OY ZYW 两投影面体系及三投影面体系的建立两投影面体系及三投影面体系的建立 三投影面体系由三投影面体系由V、H、W三个投影面三个投影面构成。构成。 H、V、W面将空间分成八个分角，面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物
7、体放在第一分角中来研究。我们通常把物体放在第一分角中来研究。 二、二、 三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影A A点的点的水平投影水平投影 a A A点的点的正面投影正面投影 a A A点的侧面点的侧面投影投影 a Ha aa VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA点的三面投影图点的三面投影图 点的三面投影图是将空间点向三个投点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定一个面后得到的。展开时，规定V面不动面不动，H面向下旋转面向下旋转9090 ，W面向右旋转面向右旋转9090 。用投影图来表示空间
8、点，其实质是在同一用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在三个不同投影面上的投影来平面上用点在三个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。表示点的空间位置。 1. a az = aay = x a az = aax = y a ax =a ay = z 三、三、 三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律2. a a ox a a ozHVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay点的投影规律点的投影规律 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到点的一个投影到某投影轴的
9、距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。与该投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的因此在求作点的投影时，应保证做到投影时，应保证做到: :点点的的V面投影与面投影与H面投影之间的连线垂直于面投影之间的连线垂直于0X轴轴，即，即aa上上0X ；点的；点的V面投影与面投影与W面投影之间的面投影之间的连线垂直连线垂直0Z轴，即轴，即a a上上0Z；点的；点的H面投影到面投影到0X轴的距离及点的轴的距离及点的W面投影到面投影到0Z 轴的距离两者轴的距离两者相等，都反映点到相等，都反映点到V面的距离。面的距离。点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角
10、坐标面，投影轴若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。 点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即三个坐标就可确定，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。投影即可求出其第三投影。
11、四、特殊点的投影四、特殊点的投影HVOXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a各种位置点的投影各种位置点的投影空间点空间点 点的点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。三个投影都不在投影轴上。投影面上的点投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。轴上。投影轴上的点投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点 点
12、的三个坐标为零，三个投点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。影都与原点重合。 XOZY3 3 两点的相对位置两点的相对位置两点中两点中X 值大值大的点的点 在左在左两点中两点中Y 值大值大的点的点 在前在前 两点中两点中Z 值大值大的点的点 在上在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。定的。X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y坐标值坐标值大的点在前；大的点在前；Z坐标值大的点在上。坐标值大的点在上。 根据一
13、个点相对于另一点上下、左根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。位置并作出其三面投影。4 4 判断重影点的可见性判断重影点的可见性c(c)ddCDa(b)abAB重影点及可见性判别重影点及可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的这两点称为该投影面的重影点重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的等。从投影方向
14、观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。之不可见，不可见点的投影加括号表示。1 已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影。的水平投影。XZYWYHOa a a注：因为平面是无限大的，所注：因为平面是无限大的，所 以一般以一般不画出平面边框。不画出平面边框。ZYXYOa aa例题例题 已知已知A点在点在B点之前点之前5毫米
15、，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米，求毫米，求A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 9851 直线的投影直线的投影 直线直线2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置3 一般一般位置直线的实长位置直线的实长4 属于直线的点属于直线的点 基本要求基本要求 5 两直线的相对位置两直线的相对位置基本要求基本要求（1 1）熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；）熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；（2 2）掌握直线上的点的投影特性及定比关系；）掌握直线上的点的投影特性及定比关系；（3 3）掌握两直线平行、相交、交叉三种相对位置的）掌握两直线平行、相交、交叉三
16、种相对位置的投影特性，能根据两直线的投影判别两直线的相对位投影特性，能根据两直线的投影判别两直线的相对位置。置。1 1 直线的投影直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况下唯一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下唯一点。HabDCc(d)AB2 2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置一、特殊位置直线一、特殊位置直线1 1、直线平行于一个投影面、直线平行于一个投影面 (1) (1) 水平线水平线 (2) (2) 正平线正平线 (3) (3) 侧平线侧平线2 2、直线垂直于一个投影面、直线垂直于一个投影面 (1) (1) 铅垂线铅垂线 (2) (2) 正垂线正垂线 (3) (3) 侧垂线侧
17、垂线3 3、从属于投影面的直线、从属于投影面的直线二、一般位置直线二、一般位置直线(1) 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：投影特性：1、a b OX ; a b OYW 2、ab=AB 3、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小XZYO（2）正平线）正平线 平行于正面投影面的直线平行于正面投影面的直线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小XZYO（3）侧平线）侧平线 平行于
18、平行于侧侧面投影面的直线面投影面的直线XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB（1）铅垂线）铅垂线 垂直于水平投影面垂直于水平投影面的直线的直线AB（2）正垂线正垂线 垂直于垂直于正面正面投影面的直线投影面的直线OXZYba(b)aba投影特性：投影特性： 1、 a b 积聚
19、积聚 成一点成一点 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXa(b) baOYHYWab（3）侧垂线）侧垂线 垂直于垂直于侧面侧面投影面的直线投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaa(b)abZXa(b)baOYHYWab（1）从属于）从属于V 面的直线面的直线ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa（2）从属于）从属于V 投影面的铅垂线投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa(3) 从属于从属于
20、OX轴的直线轴的直线ZXabaOYHYWa(b)bOOXZYABbba(b)aaOXZY一般位置直线一般位置直线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于实长均小于实长 2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3 、 不反映不反映 、 、 实角实角A AB BC CD DE E(F)(F) 例例 判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置a ad db bc cd dbbc ce(f)e(f)b b(e (e) )c c(f (f) )a(e)a(e)d(f)d(f)a aEFEF是铅垂线
21、是铅垂线CFCF是正垂线是正垂线DFDF是侧垂线是侧垂线CDCD是水平线是水平线ADAD是正平线是正平线BCBC是侧平线是侧平线例1A AB BC CD DE E(F)(F) 例例 判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置判断形体中的轮廓线与投影面的相对位置a ad db bc cd dbbc ce(f)e(f)b b(e (e) )c c(f (f) )a(e)a(e)d(f)d(f)a aEFEF是铅垂线是铅垂线CFCF是正垂线是正垂线DFDF是侧垂线是侧垂线CDCD是水平线是水平线ADAD是正平线是正平线BCBC是侧平线是侧平线例1 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到
22、的基本求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便简捷。问题之一，而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便简捷。一、直角三角形法的作图要领一、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。影面的夹角。
23、 二、直角三角形的四个要素二、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。来作直角边不能搞错。四、作图四、作图1 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角2 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的
24、夹角 角角3 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角一般位置线段的实长及其与投影面的夹角一般位置线段的实长及其与投影面的夹角|zA-zB |ABABbbaaCXO1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abABbbaaCXO2 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|XZYO3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角A
26、bab即为所求即为所求。1 1. .过过aa作一直作一直线与线与a ba b 成成3030 角，角，过过bb作作a b a b 的垂线，二线相交的垂线，二线相交，得，得 一一直角三角形。直角三角形。3030 角角 所对的直角边的边长所对的直角边的边长 即为即为A A、B B两点的两点的Y Y坐坐 标差标差YY。b bY YY Y =30=30 X Xb ba aa a 例例 过过A A作直线作直线ABAB与与CDCD相交，交点相交，交点K K距距H H面面 为为2020，线段，线段ABAB长为长为5050，求作，求作ABAB的投影。的投影。2. 2. 用直角三角形法求用直角三角形法求 出出AK
27、AK的实长。的实长。例3（直角三角形法）3. 3. 用等比性按用等比性按ABAB的实的实 长求出长求出B B点的投影。点的投影。2020b bb ba ac cd dc cd dX Xa aABAB实长实长=50=50k kk k1. 1. 在在OXOX轴上方距轴上方距OXOX轴轴 为为2020作一水平线，作一水平线， 与与c d c d 交于交于k k ，向，向 下求出下求出k.k. 例例 过过A A作直线作直线ABAB与与CDCD相交，交点相交，交点K K距距H H面面 为为2020，线段，线段ABAB长为长为5050，求作，求作ABAB的投影。的投影。2. 2. 用直角三角形法求用直角三
28、角形法求 出出AKAK的实长。的实长。3. 3. 用等比性按用等比性按ABAB的实的实 长求出长求出B B点的投影。点的投影。2020b bb ba ac cd dc cd dX Xa aABAB实长实长=50=50k kk k1. 1. 在在OXOX轴上方距轴上方距OXOX轴轴 为为2020作一水平线，作一水平线， 与与c d c d 交于交于k k ，向，向 下求出下求出k.k.直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性： 1 1 从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断
29、已知点是否在直线上。用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2 2 定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。知点是否在侧平线上。3 3 属于直线的点属于直线的点ABbbaaXOccCc一、一、平行两直线平行两直线二、二、相交两直线相交两直线三、三、交叉两直线交叉两直线四、四、交叉两直线
30、的可见性交叉两直线的可见性 例题例题 4 两直线的相对位置两直线的相对位置一、平行二直线一、平行二直线1、空间两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。、空间两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直反之，若两直线在投影面上的各同面投影相互平行，则空间两直线平行。线在投影面上的各同面投影相互平行，则空间两直线平行。2、平行两线段之比等于其投影之比。、平行两线段之比等于其投影之比。XbaadbbccXbaabdcdcABCD二、相交二直线二、相交二直线 空间两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两空间两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。直线。 反之，若两直线在
31、同一投影面上的投影相交，且交点属于反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则空间两直线相交。两直线，则空间两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk三、三、 交叉两直线交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 b Xa abc d dc11 (2 )2XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21四、判断两直线重影点的可见性四、判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的判断重影点的可见性时，需要看可见性时，需要看重影
32、点在另一投影重影点在另一投影面上的投影，坐标面上的投影，坐标值大的点投影可见，值大的点投影可见，反之不可见，不可反之不可见，不可见点的投影加括号见点的投影加括号表示。表示。例题例题 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置dacboYWYHzXaacddcbb例题例题 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)72平面平面1 1 平面的表示法平面的表示法2 2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3 3 属于平面的点和直线属于平面的点和直线 基本要求基本要求73基本要求基本要求1 1掌握平面的几何元素表示法掌握平面的几何元素表示法2 2
33、熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，方法，能由已知平面的两个投影求作其第能由已知平面的两个投影求作其第三投影。三投影。3 3 掌握平面内的点和直线的几何条件及作图掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。方法。744-1 4-1 平面的表示法平面的表示法一、用几何元素表示平面一、用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。线；任意平面图形。二、平面的迹线表示法二、平面的迹线表示法
34、 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。 75用几何元素表示平面用几何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd762 2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性一、投影的垂直面一、投影的垂直面1 1 铅垂面铅垂面2 2 正垂面正垂面3 3 侧垂面侧垂面二、投影的平行面二、投影的平行面1 1 水平面水平面2 2 正平面正平面3 3 侧平面侧平面三、一般位置平面三、一般位置平面投影面垂直面投影面垂直面( (正垂面正垂
37、的位置在形体中的位置投投 影影 图图投投 影影 特特 点点投影面垂直面投影面垂直面（铅垂面）（铅垂面）铅垂面侧垂面投影面垂直面投影面垂直面( (侧垂面侧垂面) )1. W1. W投影积聚为一斜线投影积聚为一斜线; ;2. 2. HH、V V投影有类似性投影有类似性; ;3 3. . W W的积聚投影与的积聚投影与OYOYWW、 OZOZ轴的夹角，分别反轴的夹角，分别反 映侧垂面对映侧垂面对HH、V V面的面的 夹角夹角、角角. .a ab bc cd da ab bc cd daa (b)(b)c c(d)(d)a ac cd db bO OX XWWY YZ ZY YHHaa(b)(b)c
38、c(d)(d)d dc ca ab bc c(d)(d)aa(b)(b)WWV VHH空空 间间 位位 置置在形体中的位置在形体中的位置投投 影影 图图投投 影影 特特 点点A AD DC CB Bb bc cd da aa ad dc cb b水平面空空 间间 位位 置置在在 形形 体体 中的中的 位位 置置 投投 影影 图图 投投 影影 特特 点点1 1. . HH投影反映实形；投影反映实形； 2 2. . V V投影积聚为一平行投影积聚为一平行 于于OXOX轴的水平线；轴的水平线；3 3. . W W投影积聚为一平行投影积聚为一平行 于于OYOYW W 轴的水平线。轴的水平线。水平面平行
39、面水平面平行面（水平面水平面）d(a)d(a)c(b)c(b) a(b)a(b)d(c)d(c)d da ab bc ca ad db bc cd(a)d(a)c(b)c(b)a(b)a(b)d(c)d(c)a ad db bc cA AB BD DC Cd(a)d(a) c(b)c(b)d(c)d(c)a(b)a(b)V VWWHHY YWWO OZ ZY YHHX X正平面空空 间间 位位 置置 在在 形形 体体 中的中的 位位 置置 投投 影影 图图 投投 影影 特特 点点1 1. . V V投影反映实形；投影反映实形；2 2. . HH投影积聚为一平行投影积聚为一平行 于于OXOX轴的
40、水平线；轴的水平线；3 3. . WW投影积聚为一平行投影积聚为一平行 于于OZOZ轴的铅直线。轴的铅直线。投影面平行面投影面平行面( (正平面）正平面）a(b)a(b)d(c)d(c)a(d)a(d)b(c)b(c)c ca ab bd dA AB BD DC Cc cb ba ad da(b)a(b)d(c)d(c)Z ZY YHHY YWWO OX Xb(c)b(c)a(d)a(d)d(c)d(c)a(b)a(b)a(d)a(d)b(c)b(c)V VWWHHa ad dc cb b侧平面空空 间间 位位 置置在形体中的位置在形体中的位置 投投 影影 图图 投投 影影 特特 点点1 1.
41、 . WW投影反映实形；投影反映实形；2 2 V V投影积聚为一平行投影积聚为一平行 于于OZOZ轴的铅直线；轴的铅直线；3 3. .H H投影积聚为一平行投影积聚为一平行 于于OYOYH H轴的铅直线。轴的铅直线。投影面垂直面投影面垂直面（侧平面）（侧平面）d(c)d(c)b(a)b(a)e(f)e(f)ddaabbc ce ef fb(c)b(c)d(e)d(e)a(f)a(f)V VWWHHD DE EF FB BA AC Ca(f)a(f)b(c)b(c)d(e)d(e)b(a)b(a)e(f)e(f)d(c)d(c)bbdde eaac cf fa(f)a(f)b(c)b(c)d(e
42、)d(e)b(a)b(a)d(c)d(c)e(f)e(f)Y YWWO OX XZ ZY YHHf fc cbbdde eaa83三、一般位置平面三、一般位置平面投影特性投影特性: 1 、 abc 、 a b c 、 a b c 均为均为 ABC的类似形的类似形 2 、 不反映不反映 、 、 的真实角度的真实角度 abcbacababbaccbacCAB84属于平面的点和直线属于平面的点和直线85一、属于一般位置平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线1 平面上的直线平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的两点； 通过平面上的一点且平
43、行于平面上的一条直线。通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2 平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。 例题例题平面内的点和直线 平面
44、内的点和直线平面内的点和直线属于平面内的点和直线，必须符合下述条件之一：属于平面内的点和直线，必须符合下述条件之一： 1. 若点在平面内的已知直线上，则该点属于此平面。若点在平面内的已知直线上，则该点属于此平面。 2. 若直线通过平面内的两已知点，则该直线属于此平面。若直线通过平面内的两已知点，则该直线属于此平面。 3. 若直线通过平面内一已知点，且平行于平面内的任一已知若直线通过平面内一已知点，且平行于平面内的任一已知直线，则该直线属于此平面。直线，则该直线属于此平面。C CB BA AC CB BA AX Xa ab bc ca ab bc cX Xa ab bc ca ab bc cA
45、AB BC CD DK KE EX Xb bc ca ab bc ca aMMN Nm mn nmmn nK Kk kk kk kd de ed de ek k平行平行87例题例题 已知已知 ABCABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D D是否属于该平面。是否属于该平面。ddabcabcee88例题例题 已知点已知点D D在在 ABCABC上，试求点上，试求点D D的水平投影的水平投影 。ddabcabcee平面内的点和直线（例） 平面内的点和直线平面内的点和直线 例例 判别判别E E点是否属于点是否属于ABAB和和CDCD两平行直线所表示的平面。两平行直线所表示的平面。（过（过e
46、e 在平面上作一直线在平面上作一直线 AFAF，看，看afaf是否通过是否通过e e点，若点，若afaf通通过过e e点，则点，则E E点在平面上；反之，点在平面上；反之，E E点不在点不在平面平面上。）上。）f ff fe ee eO OX Xa aa ab bc cc cd dd db bE E点不在点不在平面平面上上 例例 已知已知DEDE在在 ABCABC上，求上，求DEDE的的HH投影。投影。O OX Xd de ea ab bc ca ab bc cd de em mn nmmn n90d例题例题 已知点已知点E E在在 ABCABC上，试求点上，试求点E E的正面投影的正面投影
47、。edabcabce平面内取直线（例）平面内的直线和点（续）平面内的直线和点（续） 例例 求四棱台前棱面求四棱台前棱面BCDEBCDE上上点点A A的的HH面投影面投影a a. . 在前棱面上通过点在前棱面上通过点A A引一辅引一辅助线助线BFBF，作出，作出BFBF的的H H面投影面投影b bf f后，则后，则a a必然在必然在b bf f上。上。 在前棱面上通过点在前棱面上通过点A A引一水引一水平辅助线平辅助线GHGH，作出，作出GHGH的的H H面投面投影影ghgh后，则后，则a a必然在必然在ghgh上。上。c cd de eb bd de eb bc cg gh hf fa ag
48、gh hf fa a方法方法1 1方法方法2 2平面内的直线和点平面内的直线和点 例例 求四棱台前棱面求四棱台前棱面BCDEBCDE上上点点A A的的HH面投影面投影a a. . 在前棱面上通过点在前棱面上通过点A A引一辅引一辅助线助线BFBF，作出，作出BFBF的的H H面投影面投影b bf f后，则后，则a a必然在必然在b bf f上。上。 在前棱面上通过点在前棱面上通过点A A引一水引一水平辅助线平辅助线GHGH，作出，作出GHGH的的H H面投面投影影ghgh后，则后，则a a必然在必然在ghgh上。上。c cd de eb bd de eb bc cg gh hf fa ag g
49、h hf fa a方法方法1 1方法方法2 292二、属于平面的投影面平行线二、属于平面的投影面平行线 平面上投影面平行线平面上投影面平行线既在平面上又平行于投既在平面上又平行于投影面的直线。影面的直线。 在一个平面上对在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。93VHP属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线PVPH平面内的水平线和正平线平面内的直线和点平面内的直线和点平面内的投影面平行线平面
50、内的投影面平行线 平面内的投影面平行线指属于平面内并平行于一个投影面平面内的投影面平行线指属于平面内并平行于一个投影面的直线。的直线。 平面内平行于平面内平行于HH面的直线，称为面的直线，称为平面内的水平线平面内的水平线。 平面内平行于平面内平行于V V面的直线，称为面的直线，称为平面内的正平线平面内的正平线。O OX Xe ee eADAD是三角形平是三角形平面内的水平线面内的水平线KEKE是三角形平是三角形平面内的正平线面内的正平线ddd dX XO OY YHHY YWWZ Zbbaac cb ba ac ca ab bc cd db bc ca aa ab bc cd dC CB BA
51、 AD DV VO OHHX Xd dk kn nmmk kn nm m95abcbac例题例题 已知已知 ABCABC给定一平面，试过点给定一平面，试过点C C 作属于该平面的正平线，作属于该平面的正平线，过点过点A A 作属于该平面作属于该平面 的水平线的水平线。mnnm例：判断线面与投影面的位置 例例 在表中填写指定线面对投影面的相对位置在表中填写指定线面对投影面的相对位置. . 一般线一般线c ca(c)a(c)bbb bb bc cd de ef fe ef fdde ef fd da aa a側垂线側垂线水平线水平线一般线一般线側平线側平线一般面一般面側垂面側垂面正垂面正垂面ABA
52、BACACBEBEDEDE平面平面ABEDABED平面平面ACFDACFDDFDF平面平面DEFDEF平面平面ABCABC水平面水平面 例例 在表中填写指定线面对投影面的相对位置在表中填写指定线面对投影面的相对位置. . 一般线一般线c ca(c)a(c)bbb bb bc cd de ef fe ef fdde ef fd da aa a側垂线側垂线水平线水平线一般线一般线側平线側平线一般面一般面側垂面側垂面正垂面正垂面ABABACACBEBEDEDE平面平面ABEDABED平面平面ACFDACFDDFDF平面平面DEFDEF平面平面ABCABC水平面水平面与投影面与投影面相对位置相对位置平
53、面平面名称名称Q QR RS SP PMMN N例：判断平面与投影面的位置 例例 在表中填写指定表面与投影面的相对位置，在表中填写指定表面与投影面的相对位置， 在投影图上注明各指定表面的名称在投影图上注明各指定表面的名称. . 水平面水平面正垂面正垂面侧垂面侧垂面側平面側平面正平面正平面水平面水平面Q QP PN NMMS SR Rs ss ss sq qq qqqn nn nnnr rr rr rmmmmmmp pp ppp与投影面与投影面相对位置相对位置平面平面名称名称Q QR RS SP PMMN N 例例 在表中填写指定表面与投影面的相对位置，在表中填写指定表面与投影面的相对位置， 在
54、投影图上注明各指定表面的名称在投影图上注明各指定表面的名称. . 水平面水平面正垂面正垂面侧垂面侧垂面側平面側平面正平面正平面水平面水平面Q QP PN NMMS SR Rs ss ss sq qq qqqn nn nnnr rr rr rmmmmmmp pp pppd d例：作正方形的投影 例例 过过A A点作平行于点作平行于V V面的正面的正 方形方形ABCD,ABCD,边长为边长为25, 25, 对角对角 线线ACAC垂直于垂直于HH面。面。长长2525c cd d(c)(c)c c长长4040b b(b)(b) 例例 过点过点A A作矩形作矩形ABCD,ABCD,短短边边 AB=25A
55、B=25且垂直于且垂直于V V面，面， 长边长边AD=40AD=40，=30=30 ， 求作矩形求作矩形ABCDABCD的投影。的投影。长长2525(c)(c)d db b30 30 d db b45 45 a aa aa aa ad d 例例 过过A A点作平行于点作平行于V V面的正面的正 方形方形ABCD,ABCD,边长为边长为25, 25, 对角对角 线线ACAC垂直于垂直于HH面。面。长长2525c cd d(c)(c)c c长长4040b b(b)(b) 例例 过点过点A A作矩形作矩形ABCD,ABCD,短短边边 AB=25AB=25且垂直于且垂直于V V面，面， 长边长边AD=
56、40AD=40，=30=30 ， 求作矩形求作矩形ABCDABCD的投影。的投影。长长2525(c)(c)d db b30 30 d db b45 45 a aa aa aa ad d例：应用题1例例 已知正方形已知正方形ABCD的一的一 边边 BC的的H、V投影，另一边投影，另一边 AB的的V投影方向，求作此投影方向，求作此 正方形正方形ABCD的投影。的投影。d dc cb bb bc ck kk k作图步骤作图步骤1.1.过过b b作作bcbc的垂线的垂线, ,此即为此即为ABAB 边的边的HH投影方向。投影方向。2.2.在在ABAB边上任取一点边上任取一点K K，用，用 直角三角形法求出其实长。直角三角形法求出其实长。 3.3.在直角三角形的斜边上量取在直角三角形的斜边上量取 bcbc长（反映了正方形边长），长（反映了正方形边长）， 用等比性即可确定用等比性即可确定A
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