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1、VHA第三章 点、线、平面的投影 3-1 点 一、点的两面投影axaa XOaa ax 证明投影规律：aa OXaax=Aa a ax=AaXOVHXOa ab bc cABC例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置二、点的三面投影1.三面投影体系2.点的三面投影XOZYHYWaa axaaYHaYw点的三面投影规律： a a OZ aYHO = aYwO aa OX3.点的投影与坐标的关系XYZ（X，Z）（X，Y）（Y，Z）a aaVHW45例题例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置XOZYHYWaaaaaaAXZYHYWaa例例3-33-3：根据点的两面投影求第三投影(注
2、意特殊位置点的投影规律）45a辅助线45bbbe eec ccdddfffgg g三、两点的相对位置1.1.相对位置的判定相对位置的判定XOZYHYWaaabbbdddbbbaaacccXOZYHYW(b)(d)_不可见者用括号表示2.2.重影点及其投影的可见性重影点及其投影的可见性3-2直线的投影XOZYHYWaaabbb直线的投影可由直线上任意两点的投影决定1. 直线的倾角：对水平投影面的夹角对正投影面的夹角对侧投影面的夹角一、各种位置直线的投影1 投影面的平行线2 投影面的垂直线3 一般位置线XOZYHYWb1、 投影面的平行线a aabb实长（1）水平线XOZYHYWbaaabb（2）
3、正平线 （3）侧平线XOZYHYWaaabbb水平线的投影特征：水平线的投影特征：（4 4）、平行线的投影特征：）、平行线的投影特征：（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长；（2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另外两个投影面的倾角；（3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实长。25XOZYHYWaaa30b bb例题例题1例题例题3-43-4：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。(1)铅垂线XOZYHYWbaaab（b）2、投影面的垂直线(2)正垂线(3)侧垂线（b）XOZYHYWaaabbXOZYHYWbaaa （b）b（1）直线在与其垂直的投影面上
4、的投影积聚 为一点；（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。（4 4）、垂直线的投影特征：）、垂直线的投影特征：XOZYHYWbaaab（b）例题2例题3-5 根据投影图判断下列直线的空间位置bXOZYHYWaaabbXOZYHYWaaabbb（b）XOZYHYWaaabb讨论1、在垂直线投影图上能否量得 、和 ？2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平行线呢？讨论XOZYHYWbaaab（b）bXOZYHYWaaabbXOZYHYWaaabbb3 3、一般位置线的投影特征：、一般位置线的投影特征：（1）三个投影均不反映实长；（2）三个投影均不反映直线与投影面的倾角。3 一般位置
5、线A0zyxXOZYHYWaaa bbb实长实长实长Za- Zb、的余角的余角表示直线与投影轴的夹角直角三角形法：两直角边、斜边、锐角求直线对投影面的倾角及线段的实长例题3例题例题3-63-6 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a,并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角。（注意此题有几解？） XOaab25b例题4例题例题3-73-7 已知直线AB的水平投影ab，和正面投影a,并知AB对H面的倾角为30，求AB的正面投影及实长XOaabbb130ccdd从属性关系：点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上定比性关系：AC：CB=a c :c b =ac:cb=ac :c
6、b 二、直线上的点bXOaabdDdee例题例题3-8:3-8: 在直线AB上找一点K,AK:KB=3:2。 bXOaab32kk例题5例题6例题例题3-9:3-9: 判定点K是否在直线AB上。 kOZYHYWabkkXaabbXa abbkk例题7例题例题3-10:3-10: 已知点C在直线AB上，且AC=20, 求C点的投影。 bXOaab20cc课后思考题XOZYHYW(a)baba bbXOZYHYWaaabb1、判断AB线的空间位置ABCDEFHILKOJMN课后思考题2、请指出立体上棱线的空间位置，并画出相应的投影。思考练习题ABCDEFHGILKOJMN请指出立体棱线的空间位置,
7、并找出其相应的投影a(d)adadb(c)b(c)bci(j)jijik(o)ko(k)(o)ff(f)(h)(h)heee3-3 两条直线的相对位置关系两条直线的相对位置共面: 平行、相交（垂直）不共面：交叉(垂直）一、平行两条直线平行同名投影平行cabcdabd平行例一：acdbabcdabdc例二：cdababcdabcdv当两条直线为某一投影面的平行线时，必须在该投影面内判断两条直线是否平行二、相交两条直线相交 同名投影相交cabcdabdkkcabcdabd交点的投影符合点的投影规律例题3-11：过点A，作直线AB，与已知直线CD相交。aacdcd例题3-12：过点A，作水平线AB，
8、与已知直线CD相交。aacdcd无数解唯一解例题3-13：过线外一点A，作正平线与CD相交。aacdcd例题3-14：从F点作直线，使其与AB、CD均相交cffababc(d)dkke(e)例题3-15：已知两平行线AB、CD，求作于其相交的水平线MN，使其距H面的距离为15。ababcd dc15mnmn三、交叉交叉直线的特征交叉直线的特征:即不平行也不相交ddcabcabefe(f)判定可见性cabcdabdeff (e)ghg(h)例题3-16：判定重影点的可见性。四、垂直定理：互相垂直的两直线，当其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面上的投影反映直角。证明： bc abABBC
9、, BCBb BC 平面ABabbc/BC bc 平面ABab逆定理也成立：如果两直线在某一投影面上的投影互相垂直，而其中有一条直线平行于该投影面，那么这两条直线在空间一定垂直。ddcab cabddcab cabddcabcab相交垂直交叉垂直垂直的两种情况：判断垂直ddcabcabddcabcab例题3-17：求两直线AB与CD之间的距离。(f)ef e公垂线bXOaabcd（d）c例题3-18：已知矩形ABCD的一边AB 平行于H面，完成该矩形的两面投影。ddcabcab3-4 平面的投影ABCDEFHILKOJMNl一、平面表示法OXZYHYWaaabbbccc1、几何元素表示法不在同
10、一直线上的三个点，唯一地确定了一个平面OXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbccc几何元素表示平面的方法2 迹线表示法迹线平面与投影面的交线PvPHPw二、各种位置平面 1平面的倾角与H面夹角与V面夹角与W面夹角（1）正垂面OXZYHYWaaabbbccc2.垂直面PvPwPh2.垂直面（2）铅垂面OXZYHYWaaabbbccc2.垂直面（3）侧垂面OXZYHYWaaabbbccc垂直面的投影特性正垂面铅垂面侧垂面1 在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该直线与投影轴
11、的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。OXZYHaaabbbcccOXZYHYWaaabbbcccOXZYHYWaaabbbccc2 在与倾斜的投影面上的投影为类似形。3、平行面l（1）水平面Ywzx0YHabcabcbacl（2）正平面YwzxoYHabcabbaccl（3）、侧平面a abYwzxoYHabbccc平行面的投影特性Ywzx0YHabcabcb a cYwzxoYHabcabbacca abYwzxoYHabbccc1 1 在与其平行的投影面上的投影反映实形。2 2 在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线，且平行于投影轴OXZYHYWaaabbbccc在三个投影面上的投影都
12、是类似形，不直接反映与在三个投影面上的投影都是类似形，不直接反映与投影面的夹角。投影面的夹角。4、一般位置面例题3-19：根据投影判定平面的位置abcabcababccOXZYHYWaaabbbcccaabbccbbccaaabcabc正平面正平面铅垂面铅垂面正垂面正垂面水平面水平面侧垂面侧垂面侧平面侧平面例题3-20：指出围成立体各平面的空间位置并找出相应的投影ABCDEFHILKOJMN三、平面内的点和直线1、平面内的点、平面内的点点在平面内，则该点必在已知平面内的一条直线上平面内的直线平面内的直线2、平面内的直线、平面内的直线 如果直线在平面内，它必须通过平面内的两点；或通如果直线在平面
13、内，它必须通过平面内的两点；或通过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线过平面内的一点，且平行于平面内的一条直线特殊位置平面上的点可根据其积聚性求出一般位置平面上的点的确定要依靠平面上的直线作为辅助直线abccbakkabccbakk例题3-21：判断K点是否在平面上例题3-22：已知MN是平面ABCD内的一条直线，求其水平投影。ab c d abdcm n mn绿色的直线在平面内吗？例题3-23：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。a b c abcd d例题3-24：判定点K、E点是否在平面ABC内。a b c abce ek k不在！在！平面是可以无限延伸的例题3-25： 完
14、成ABCD的投影。abcdabcod3、平面内的特殊位置线（1） 平面内的投影面平行线特点： 在平面上具有平行线的投影特征例题3-26：在平面内画出水平线、正平线和侧平线a b c abc在平面上可以画出许多条正平线，但方向是一致的。一般位置平面内平行线的空间形态一般位置平面内投影面的平行线的空间形态讨论：1 在一般位置平面内能否画出投影面的垂直线？2 在水平面内能画出几种投影面 的特殊位置线？3 在铅垂面内能画出几种投影面 的特殊位置线？H2 、平面的最大斜度线MNAB最大斜度线垂直于平面内投影面平行线的直线最大斜度线与投影面夹角最大证明：21aB111sinABAaABAa2sin112s
15、insinABAB121sinsin ABAB最大斜度线垂直于平面内投影面平行线的直线最大斜度线与投影面夹角最大HMNAB21aB1最大坡度线垂直于平面内水平线的直线意义：最大斜度线与投影面夹角反映了平面与投影面的夹角。例题3-27：求三角形ABC与H面的倾角a b c abc1 求水平线2 求最大坡度线3 求 角讨论讨论2一条最大坡度线能否决定一个平面？kk 想一想想一想包含水平线AB作一与H面倾角为30的平面a b abcc 30dd 课堂练习题：3-5 线与面、面与面的相对位置 平行关系如果一条直线平行于平面内的任意一条直线，则该直线与该平面互相平行一、 直线与平面平行例题例题1 1：过
16、点A作一水平线AB,使其与平面ECD平行。b ba aXOecdd e c 例题例题2 2：判定直线AB与平面ECD是否平行。OeeccddXaabb例题例题3 3：判定直线AB,与平面ECD是否平行。OeeccddXbbaa例题例题4 4：过点C作一平面平行于直线AB。cc平行于一条直线的平面可以有无数个OXbbaa如果平面内的两条相交直线平行于另一平面内的两条相交直线，则两平面互相平行二、两平面平行例题例题5 5：过点A作一平面与平面DEFG平行OXa ad d egfe g f例题例题6 6：判定两正垂面是否平行。eeccddaabbgg例题例题7 7：判定两平面是否平行。eeccdda
17、abbgg相交问题一、直线与平面相交1、共有点共有点：既属于直线又属于平面 2、可见性可见性：重影点 c ee cdd 1、特殊位置直线与一般面相交（利用积聚性求交点）k k当相交的两个元素中有一个是特殊位置时，从有积聚性的投影下手解题OXb ba (a)2、一般线与投影面垂直面相交（利用积聚性求交点）OXbbkkeeccddaaee cc dd a abb 3、一般线与一般面相交（用辅助线(平面) 求交点）k k交点是可见与不可见的分界点PH用辅助平面（线）求交点的一般步骤：1 1 含已知直线的一个投影作一辅助面（通常为垂直面）；3 3 交线的投影与已知直线的同名投影相交，得交点；4 4 判
18、定可见性：利用重影点。ee cc dd a abb k kPH2 2 求该求该辅助面与已知平面的交线；基本作图题ee cc dd a abb k k例题例题8 8：求直线AB,与平面ECD的交点两平面相交 交线共有线ee ff dd aa c b c4、投影面垂直面相交（利用积聚性求交线）k l k(l)两垂直面的交线是垂直线例题例题9 9：求两平面的交线，并判断可见性。abcdefgfeg5、一般位置平面与投影面垂直面相交（利用积聚性求交线）6、两一般面相交（利用线面交点法求交线）mmn n全交温故知新例题例题1010：求两平面的交线，并判断可见性。m mn n例题例题1111：求两平面的交线，并判断可见性。m mn n互交特殊情况：用辅助平面求两平面的交线Pvk kQvl l平面扩大后再交参与相交的两个平面都是特殊位置时，其交线的投影如何求出？思考题一思考题一两个平面的交线应该在投影图上画多长？思考题二思考题二a b ab垂直（往往是综合性的）（往往是综合性的）如果一条直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线与平面互相垂直1、直线与平面垂直 ee cc dd a abb 1 求垂直线求垂直线：其正面投影垂直于正平线的正面投影；水平投影垂直于水平线的水平投影；2 求交点求交点kk 3 判别可见性判别可见性不可见不可见例题
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