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1、会计学1 应力与应变分析应力与应变分析 1一点的应力状态 一、一点的应力状态 受力构件一点处各个不同截面上的应力情况 1) )代表一点的应力状态代表一点的应力状态； 2研究应力状态的目的 找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方 位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。 二、研究应力状态的方法单元体法 1单元体 围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点： 2) )每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示； 3) )平行面上的应力大小相同、方向相反平行面上的应力大小相同、方向相反； 4) )三个相互垂直面上的应力已知三个相互垂直面上的应力已
2、知。 第第2页页/共共59页页第1页/共59页 2单元体上的应力分量 1) )单元体上的应力分量共有单元体上的应力分量共有 九九个，独立分量有个，独立分量有六六个；个； 2) )应力分量的应力分量的角标规定角标规定： x O z y dz dx dyX Y Z O s sys sy s sz s sz t tzy t tyz t tyz t tzy t tyx t tyx t txy t txy s sx s sx t tzx t txz t tzx t txz 第一角标表示应力作用 面，第二角标表示应力 平行的轴；两角标相同 时，只用一个角标来表 示。例如txy表示x面上 平行于y轴的切应力
3、， sx表示x面上平行于x轴 的正应力； 3) )面的方位用其法线方向表示，例如面的方位用其法线方向表示，例如x面表示法线平行面表示法线平行 于于x轴的面；轴的面； 第第3页页/共共59页页第2页/共59页 4) )切应力互等定理切应力互等定理： yxxyxzzxzyyz t tt tt tt tt tt t ， 5) )应力矩阵应力矩阵： zzyzx yzyyx xzxyx ij s st tt t t ts st t t tt ts s s ss ss s s ss ss s s ss ss s s s 333231 232221 131211 3截取单元体的方法与原则 1) )在一点用与
4、三个坐标轴在一点用与三个坐标轴( (笛卡尔坐标和极坐标，依笛卡尔坐标和极坐标，依 问题和构件形状而定问题和构件形状而定) )垂直的平面垂直的平面截取，因其微小，截取，因其微小， 看成微小正六面体；看成微小正六面体； 2) )单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求； 3) )几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法： 第第4页页/共共59页页第3页/共59页 F Me Me FF Me Me 横截面、周向面、直 径面各一对，从上表 面截取 C t s s 横截面、周向面、直径面各一对 B 一对横截面，两对纵截面 A sF/A s tMe /Wp A B
5、C 第第5页页/共共59页页第4页/共59页 B C A F C A B tB tC sCsC sA sA 第第6页页/共共59页页第5页/共59页 1主应力、主单元体、主平面的概念 三、应力状态的分类(按主应力) 1) )主平面主平面： 单元体上切应力为零的平面 2) )主单元体主单元体：各面均为主平面的单元体，主单元体上 有三对主平面； 旋转旋转 y x z s s2 s s3 s s1 s sx s sz t txy t txz t tzx t tzy t tyz t tyx s sy 3) )主应力主应力： 主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且 s1s2s3。 x y z (
6、(找主平面、主单元体和主应力找主平面、主单元体和主应力 ) ) 第第7页页/共共59页页第6页/共59页 2应力状态按主应力分类 1) )单向应力状态单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态； 2) )平面应力状态平面应力状态： 有二个主应力为零的应力状态，也 称为二向应力状态； 3) )三向应力状态三向应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态， 也称为空间应力状态； 4) )单向应力状态又称为单向应力状态又称为简单应力状态简单应力状态；平面和空间应；平面和空间应 力状态又称为力状态又称为复杂应力状态复杂应力状态。 4) )围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主围绕一点至少存在一个主
7、单元体，应力分析的主 要目的就是寻找要目的就是寻找主单元体主单元体和和主应力主应力。 第第8页页/共共59页页第7页/共59页 1平面应力状态的表示方法(一般表现形式) 一、平面应力状态分析的解析法 平面应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为 零，而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。 s sx t txy s sy s sy s sx t tyx s sy t tyx t txy s sxs sx 第第9页页/共共59页页第8页/共59页 2任意a角斜截面以及与之相垂直斜截面上的应力 1) )公式推导公式推导 s sx t txy s sy s sy s sx t tyx A B
8、 x y dA s sx t txy t tyx s sy x x a a x y a a s sx t txy t txy s sy t tyx s sx A yx d t t a aa at tcos)cosd(A xy a aa at tsin)sind(A yx a aa as ssin)cosd(A x a aa as scos)sind(A y 0 )sin(coscossin)( cossin2cossin 22 22 a aa at ta aa as ss st t a aa at ta as sa as ss s xyxyxy xyyxy 同理：同理： ：0 x F A x
9、d s s a aa at tsin)cosd(A xy a aa at tcos)sind(A yx a aa as ssin)sind(A y a aa as scos)cosd(A x s sx 0 ：0 y Fs sx t txy t tyx s sy yx y a a a a t tyx s sy )sin(coscossin)( cossin2sincos 22 22 a aa at ta aa as ss st t a aa at ts ss sa as ss s xyyxyx xyyxx 第第10页页/共共59页页第9页/共59页 2) )a a角斜截面应力公式角斜截面应力公式
10、 )sin(coscossin)( cossin2sincos 22 22 a aa at ta aa as ss st t a aa at ts ss sa as ss s xyyxyx xyyxx )21( cossin sincos cossin sincos T ， ji ijij yyx xyx yxy yxx s s s s a aa a a aa a s st t t ts s a aa a a aa a s st t t ts s ：即即 a at ta a s ss s t t a at ta a s ss ss ss s s s 2cos2sin 2 2sin2cos 22
11、 xy yx yx xy yxyx x 由三角变换得由三角变换得 3) )a a与与a a +90o斜截面应力公式的矩阵表达式斜截面应力公式的矩阵表达式 第第11页页/共共59页页第10页/共59页 coscos )cos(cos yyxy yxxx a aa a a aa a a aa a a aa a cossin sincos 坐标转换矩阵坐标转换矩阵 x y a axx a ayx a axy a ayy x y O s sx t txy t tyx s sy x x x y a a s sx t txy 单元体上所绘单元体上所绘s s、t t，数值代表大小，箭头方向代表正负。，数值代
12、表大小，箭头方向代表正负。 4) )推导公式时，推导公式时，s sx、s sy、t txy、a a 角均假设为正，实际计算时应角均假设为正，实际计算时应 代入各参量的正负。代入各参量的正负。 s s ：拉为正，压为负；：拉为正，压为负； a a ：以：以x轴正向为起线，逆时针转轴正向为起线，逆时针转 至至x正向者为正，反之为负；正向者为正，反之为负； t t ：使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。：使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。 第第12页页/共共59页页第11页/共59页 3主应力及其方位 1) )由主平面定义：由主平面定义：0 yx t t令令 yx xy s ss s
13、t t a a 2 2tan 0 ，得：，得： yx xy s ss s t t a a 2 2ant 0 可求出两个相差可求出两个相差90o的的a a0值，对应两个互相垂直主平面。值，对应两个互相垂直主平面。 2) )得：得：令令0 d d a a s s x 即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。 3) )主应力大小：主应力大小： )( 22 2 2 s ss st t s ss ss ss s s s s s xy yxyx 4) )由由s s 、s s 、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出： 321 s ss ss s 第第1
14、3页页/共共59页页第12页/共59页 5) )判断判断s s、s s作用方位作用方位( (与两个与两个a a0如何对应如何对应) ) t txy s s s s a a0* yx xy s ss s t t a a 2 2tg 0 a) )由：由： 求得一个求得一个a a0： o 0 o 4545 a a 90* 90* 0 o 00 o 000 s sa as sa aa as ss s s sa as sa aa as ss s ，： ，： yx yx b) )t txy箭头指向第几象限箭头指向第几象限( (一、一、 四四) )，则，则s s( (较大主应力较大主应力) ) 在第几象限在
15、第几象限，即先判断，即先判断s s 大致方位，再判断其与大致方位，再判断其与 算算 得的得的a a0相对应，还是与相对应，还是与 a a0+90o相对应。相对应。 6) )o 90 a a a a s ss ss ss ss ss s yx t tx y s s s s a a0 * 第第14页页/共共59页页第13页/共59页 1) )得：得：令令0 d d a a t t yx 4极值切应力 2) )极值切应力：极值切应力： 可求出两个相差可求出两个相差90o的的a a1值，对应两个互相垂直的值，对应两个互相垂直的 极值切应力方位。极值切应力方位。 xy yx t t s ss s a a
16、 2 2tan 1 2 2 2 2 s ss s t t s ss s t t t t xy yx 3) )极值切应力方位与主应力方位的关系：极值切应力方位与主应力方位的关系： 1 0 2tan 1 2tan a a a a 极值切应力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o 第第15页页/共共59页页第14页/共59页 例例7-1 图示单元体，试求：图示单元体，试求：a a=30o斜截面斜截面 上上 的应力；主应力并画出主单元体；的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。极值切应力。 40 30 20 单位：MPa a sa ta 40 20 30 MPa3 .2060cos)20(6
17、0sin 2 4030 MPa8 .29 60sin)20(60cos 2 4030 2 4030 oo oo a a a a t t s s MPa3 .45 MPa3 .35 20 2 4030 2 4030 2 2 s s s s MPa3 .40 2 s ss s t t t t C o 90 a a a a s ss ss ss s 解：解：1) ) a a=30o斜截面上的应力斜截面上的应力 2) )主应力与主单元体主应力与主单元体 3) )极值切应力极值切应力 4) )讨论并证明：讨论并证明： 同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数
18、。 14.9 o s s s s s s s s MPa3 .45 0MPa3 .35 321 s ss ss ss ss s， ，主单元体如上，主单元体如上 o 00 9 .14 4030 20 2tan a aa a 第第16页页/共共59页页第15页/共59页 t ABCD 例例7- -2 分析圆轴扭转时的应力状态。分析圆轴扭转时的应力状态。 Me Me D C B A 主单元体如左主单元体如左 ，t ts ss ss st ts ss s 0 321 3)圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状 态，最大拉、压应力在与轴线成45o 斜截面上，它们数值相等，均等于横 截面上的切应力； 4)对于塑
19、性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面 上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断； 5)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与 轴线成45o的螺旋面拉断。 pe/W M t t x 45o -45o s3 s1 s1 s3 解：解：1) ) 围绕圆轴外表面一点取单围绕圆轴外表面一点取单 元元 体体ABCD： t tt t s s s s 2 2 2 0 2 0 2) )求主应力和主单元体求主应力和主单元体 o 00 45 0 2tan a a t t a a 第第17页页/共共59页页第16页/共59页 q 5主应力迹线 1) )作法作法 将一点的主拉将一点的主拉
20、( (压压) )应力方应力方 向延长与相邻横截面相交，向延长与相邻横截面相交， 再求出交点的主拉再求出交点的主拉( (压压) )应应 力方向，依次得到一条曲力方向，依次得到一条曲 线线主拉主拉( (压压) )应力迹线应力迹线。 2)主应力迹线的特征主应力迹线的特征 同一类主应力迹线不能相交；同一类主应力迹线不能相交； 两类主应力迹线若相交，则必然正交；两类主应力迹线若相交，则必然正交； 所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为45o； 所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交；所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交； 主应力迹线只反映主应力方向，不反映大小。主应力迹线
21、只反映主应力方向，不反映大小。 第第18页页/共共59页页第17页/共59页 1理论依据 二、平面应力状态分析的图解法应力圆 a at ta a s ss s t t a at ta a s ss ss ss s s s a a a a 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 2 2 2 2 2 22 xy yxyx t t s ss s t t s ss s s s a aa a 以以s s、t t为坐标轴，则任意为坐标轴，则任意a a 斜截面上的应力斜截面上的应力s sa a、t ta a为为 为半径的圆为半径的圆为圆心，为圆心， 2 2 2 0 2 xy
22、 yxyx t t s ss ss ss s 第第19页页/共共59页页第18页/共59页 O s t2应力圆的绘制 sx sx txy tyx txy tyx sy sy x y C 2a0 B1 s A1 s 2a sa ,taE G1 t G2 t D (sy, tyx) B A D(sx, txy) n a sa ta 1) )选定坐标及比例尺；选定坐标及比例尺； 2) )取取x面的两个应力值，定出面的两个应力值，定出D(s sx , t txy)点，点， 取取y面的两个应力值，定出面的两个应力值，定出D(s sy , t tyx)点；点； 3) )连连DD交交s s 轴于轴于C点，以
23、点，以C为圆心，为圆心，DD为直径作圆。为直径作圆。 第第20页页/共共59页页第19页/共59页 3应力圆的应用 1) )点面对应关系点面对应关系： 2) )角度对应关系角度对应关系： 应力圆上一点坐应力圆上一点坐 标代表单元体某个面上的应力；标代表单元体某个面上的应力； 应力圆上半径转应力圆上半径转 过过2a a，单元体上的面转过，单元体上的面转过a a ； 3) )转向对应关系转向对应关系： 应力圆上半径的应力圆上半径的 转向与单元体上面的旋向相同；转向与单元体上面的旋向相同； O s t C 2a (sa ,ta )E D (sy, tyx) B A D(sx, txy) x sx s
24、x txy tyx txy tyx sy sy y n a sa ta 4) )求外法线与求外法线与x轴夹角为轴夹角为a a 斜斜 截面上的应力，只要以截面上的应力，只要以D为为 起点，按起点，按a a 转动方向同向转转动方向同向转 过过2a a 到到E点，点，E点坐标即为点坐标即为 所求应力值。所求应力值。 第第21页页/共共59页页第20页/共59页 5) )应力圆确定主平面、主应力应力圆确定主平面、主应力 应力圆上纵轴坐标最大的应力圆上纵轴坐标最大的G1 点为点为t t，纵轴坐标最小的，纵轴坐标最小的G2 点为点为t t，作用面确定方法同，作用面确定方法同 主应力。主应力。 由主平面上切
25、应力由主平面上切应力t t=0，确定，确定D 转过的角度；转过的角度；D转至转至s s轴正向轴正向A1 点代表点代表s s所在主平面，其转过角所在主平面，其转过角 度为度为2a a0*，转至，转至s s轴负向轴负向B1点代点代 表表s s所在主平面；所在主平面； O s t C 2a0* B1 s A1 s G1 t G2 t D (sy, tyx) B A D(sx, txy) sx sx txy tyx txy tyx sy sy 6) )确定极值切应力及其作用面确定极值切应力及其作用面 第第22页页/共共59页页第21页/共59页 4) )作应力圆，并由几何关系算出或由作应力圆，并由几何
26、关系算出或由 比例尺量出：比例尺量出： 0MPa40MPa80 321 s ss ss s， MPa3 .17 t t 60o 解：一、图解法解：一、图解法 1) )由竖直面由竖直面BE上上的应的应 力力 得到应力圆上的得到应力圆上的D点：点： s O t 17.3 40 80 D 120o D l C 2) )由由AB面上的正应力面上的正应力 作直线作直线s： 例例7- -3 平面应力状态如图所示，试用应力圆和解析法分别求出主应力和平面应力状态如图所示，试用应力圆和解析法分别求出主应力和 斜截面斜截面AB上的切应力上的切应力t t。( (应力单位：应力单位：MPa) ) B 50 80 A
27、50 80 t t 60o E 则应力圆上代表则应力圆上代表AB 面应力的点一定在面应力的点一定在 该直线上该直线上 3) )作直线作直线l，使其满足：与，使其满足：与s s轴正向轴正向 逆时针夹角逆时针夹角120o，交直线，交直线s于于D， 交交s s轴于轴于C，|CD|=|CD| 50 s 第第23页页/共共59页页第22页/共59页 解：二、解析法解：二、解析法 1) )建立坐标系建立坐标系 2) )截取微块截取微块ABC 60o B 50 80 A 50 80 t t E 由于由于AC面为主平面，其上面为主平面，其上 切应力为零，则根据切应力切应力为零，则根据切应力 互等定理互等定理B
28、C面上切应力也面上切应力也 为零，只有主应力为零，只有主应力s sy。 3) )将将AB看成斜截面，求解其看成斜截面，求解其 上应力上应力 x y 80 60o 50 t sy B A C 120cos 2 80 2 80 50 yy s ss s MPa40 y s s 0MPa40MPa80 321 s ss ss s，MPa3 .172cos2sin 2 a at ta a s ss s t t xy yx a at ta a s ss ss ss s s sa a2sin2cos 22 xy yxyx 第第24页页/共共59页页第23页/共59页 例例7-4 图示单元体，试求：图示单元
29、体，试求：a a=30o斜截面斜截面 上上 的应力；主应力并画出主单元体；的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。极值切应力。 40 30 20 单位：MPa a sa ta 解：解：1) ) a a=30o斜截面上的应力斜截面上的应力 2) )主应力并画出主单元体主应力并画出主单元体 s O t D(30,-20) D(-40,20) C 60o (29.8,20.3) MPa3 .20MPa8 .29 oo 3030 t ts s， 35.3-45.3 MPa3 .450MPa3 .35 321 s ss ss s， 29.8o oo* 01 9 .142/8 .29 a as s轴夹
30、角：轴夹角：与与x 40 20 30 14.9 o s s s s s s s s MPa3 .40 t t t t 3) )极值切应力：极值切应力： 40.3 -40.3 第第25页页/共共59页页第24页/共59页 三、几种应力状态的应力圆 1单向拉伸和压缩应力状态 1) )单向拉伸单向拉伸 s ss s 2) )单向压缩单向压缩 s ss s O s s t t C s s D D C s s E E 圆心圆心C：(s s/2,0) D(s s/2, s s/2) D(s s/2, -s s/2) 极值切应力点：极值切应力点： 主应力：主应力：0 321 s ss ss ss s， 圆心
31、圆心C：(-s s/2,0) E(-s s/2, s s/2) E(-s s/2, - s s/2) 极值切应力点：极值切应力点： 主应力：主应力：s ss ss ss s 321 0， 第第26页页/共共59页页第25页/共59页 2纯剪切应力状态 O s s t t t t t t t t t t C 圆心圆心C：(0,0) D(0, t t) D(0, -t t) 极值切应力点：极值切应力点： 主应力：主应力：t ts ss st ts s 321 0， D D 第第27页页/共共59页页第26页/共59页 pp p p 3两向均匀压(拉)应力状态 O s s t t s ss s s
32、s s s 主应力：主应力： s ss ss ss s 321 0， Cs s 两向均匀压两向均匀压( (拉拉) )应力状态应力状态 的应力圆为的应力圆为s s轴上的一点轴上的一点 。因此其任意方向均为主。因此其任意方向均为主 应力方向，任意平面均为应力方向，任意平面均为 主平面主平面 p p p 任意形状平面，只要边界各任意形状平面，只要边界各 点承受大小相同垂直作用于点承受大小相同垂直作用于 边界的力，则其内部任意一边界的力，则其内部任意一 点均为两向均匀压点均为两向均匀压( (拉拉) )应力应力 状态，同样对于三维构件状态，同样对于三维构件( (如如 圆球圆球) )，就为三向均匀压，就为
33、三向均匀压( (拉拉) ) 应力状态。应力状态。 第第28页页/共共59页页第27页/共59页 1三向面应力状态下的应力圆 一、三向应力状态下的应力圆 s s3 s s2 s s1 s s2 s s3 s s1 s s2 s s1 s s3 O t t s s C2 s s3 C1C3 s s1s s2 1) )平行平行s s3斜截面上应力由斜截面上应力由s s1、 s s2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 2) )平行平行s s1斜截面上应力由斜截面上应力由s s2、 s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 3) )平行平行s s2斜截面上应力由斜截面上应力由s s
34、1、 s s3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 第第29页页/共共59页页第28页/共59页 t t23 O t t s s C2 s s3 C1C3 s s1s s2 t t13t t12 2三向应力状态下的最大切应力 4) )由弹性力学知，任意斜由弹性力学知，任意斜 截面上的应力点落在阴截面上的应力点落在阴 影区内。影区内。 2 21 12 s ss s t t 2 32 23 s ss s t t 2 31 13 s ss s t t 2 31 13max s ss s t tt t t tmax所在平面与所在平面与s s1和和s s3 两个主平面夹角为两个主平面夹角为45o
35、。 第第30页页/共共59页页第29页/共59页 1三向应力状态应力转换 二、三向应力状态下的应力转换及主应力 1) )s sij、s sij分别是老、新坐标系下的应力矩阵；分别是老、新坐标系下的应力矩阵； )321,( T ， ji ijij s s s s 2) ) 为新老坐标系的转换矩阵：为新老坐标系的转换矩阵： c o s 1 11 c o s 1 12 c o s 1 13 O x1 x2 x3 x3 x2 x1 ij为新坐标为新坐标i对老坐对老坐 标标j的方向余弦的方向余弦 3) )任意斜截面上的应力：任意斜截面上的应力： )321,( T 111 ， ji jijjj s s s
36、 s 1j为斜截面外法线对老坐为斜截面外法线对老坐 标标j的方向余弦的方向余弦 333231 232221 131211 第第31页页/共共59页页第30页/共59页 2三向应力状态下的主应力和主轴方向 1) )研究方法研究方法 2) )主应力大小和方向求解主应力大小和方向求解 线性代数中求实对称矩阵特征值和特征向量。特征值线性代数中求实对称矩阵特征值和特征向量。特征值 即为所求主应力，特征向量即为主应力所在方位；即为所求主应力，特征向量即为主应力所在方位； 0| I ij a as s0)()()( 32 2 1 3 s sa as sa as sa aIII 3 333231 232221
37、 131211 3 2 2 31 2 23 2 121133332222112 13322111 )det()( )()()( )( CI CI CI ij s s s ss ss s s ss ss s s ss ss s s s s ss ss ss ss ss ss ss ss ss s s ss ss ss s a a的三个实根，即为应力矩阵的三个实根，即为应力矩阵s sij的三个主应力，求出的三个主应力，求出a a 后可求出三个特征向量，即为各主应力所对应的方位。后可求出三个特征向量，即为各主应力所对应的方位。 第第32页页/共共59页页第31页/共59页 三、例题 s sy=140
38、 t txy=150 s sx=300 A视视 解法一：解法一：1) )已知一个主应力：已知一个主应力：s sz=90MPa。 MPa150MPa140MPa300 xyyx t ts ss s， 2) )将单元体沿将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：方向投影，得到平面应力状态： 例例7-5 试确定图示应力状态的主应力和最大切应力，试确定图示应力状态的主应力和最大切应力， 并确定主平面和最大切应力作用面位置。并确定主平面和最大切应力作用面位置。 x z y 90 300 150 140 单位：单位：MPa MPa 50 390 22 2 2 xy yxyx t t s ss ss ss s
39、 s s s s 8 15 2 2tan 0 yx xy s ss s t t a a MPa50MPa90MPa390 321 s ss ss s， o 0 o 0 12131 a aa a， 根据根据t txy方向，方向，s s1与与x逆时针夹角为逆时针夹角为31o，s s3 与与x轴夹角轴夹角121o，均在，均在xoy平面内平面内 MPa170 2 31 max s ss s t t 最大切应力所在平面最大切应力所在平面 法线与主平面夹角法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或-14o。 x z y s s2 y 31o 31o s s1 x s s3 A 第第33页页/共
40、共59页页第32页/共59页 解法二：解法二：1) )应力状态的矩阵形式为：应力状态的矩阵形式为： x z y 90 300 150 140 单位：单位：MPa 9000 0140150 0150300 ij s s 2) )求解主应力：求解主应力：0 9000 0140150 0150300 a a a a a a 展开整理得：展开整理得： 0)50)(390)(90( a aa aa a MPa50MPa90MPa390 321 s ss ss s， 3) )主应力方向：主应力方向：s s1=390MPa时有时有 0)39090(00 00)390140(150 00150)390300(
41、 321 321 321 nnn nnn nnn 求解方程，并注意求解方程，并注意 到到 得：得：1 2 3 2 2 2 1 nnn 0 34/9 34/25 3 2 1 n n n 同理，分别求出同理，分别求出s s2=90MPa、s s3=50MPa时的时的n1、n2、n3，得到：得到： 4)最大切应力及方向最大切应力及方向 求解同解法一。求解同解法一。 034/2534/9 100 034/934/25 转换矩阵：转换矩阵： 第第34页页/共共59页页第33页/共59页 B A C O 1平面应变状态： 一、任意点的应变 z方向位移为零。应变仅在x、y平 面内产生。 假设直角增大为钝角
42、时的切应变g为正 u v 0 x y dy dx y x O A B C y y v vd y y u ud b b a a x x u ud x x v vd x u OA OAAO x y u x v xy b ba ag g y v OB OBBO y yx vuyx g g 和和以及以及和和变换变换 第第35页页/共共59页页第34页/共59页 2推广到三向应变状态 定义切应变分量： z u x w z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx g gg gg g ， ， 222 zx zx yz yz xy xy g g g g g g ， 则任意点的
43、应 变分量可写成 矩阵形式： zzyzx yzyyx xzxyx ij 333231 232221 131211 二、应变的坐标变换 T ijij 与前相同为空间坐标转换矩阵 第第36页页/共共59页页第35页/共59页 1研究问题： 一、平面应变分析 平面应变状态下，物体内任一点O的应 变 分量为x、y、gxy，其余应变全为零，求该点在xy平 面内任意方向的应变x、y、gxy。 2任意方向应变 1) )平面坐标转换矩阵：平面坐标转换矩阵： a aa a a aa a cossin sincos 代入：代入： T ijij 2) )展开得展开得 a aa a a a a a a aa a a
44、aa a a aa a a a a a cossin2cossin )sin(coscossin)( cossin2sincos 22 22 22 xyyxy xyxyxyyx xyyxx 第第37页页/共共59页页第36页/共59页 3) )分别用分别用 a a和和g ga a表示上式中的表示上式中的 x和和g gxy=- -2 xy，并进行，并进行 三角函数化简，得到三角函数化简，得到 a a g g a a g g a a g g a a a a a a 2cos 2 2sin 22 2sin 2 2cos 22 xyyx xyyxyx 2主应变与主应变方向 1) )主应变方向：主应变方
45、向： 由于相似性，可完全借用平面应力分析的结论。 yx xy g g a a 0 2tan 22 min max 222 xyyxyx g g 2) )主应变大小：主应变大小： 第第38页页/共共59页页第37页/共59页 二、应用举例 1因切应变gxy不宜测量，用应变仪直接测量应变时， 一般先测出在三个a1、a2、a3方向上的线应变a 1、 a 2、a 3，再求得x、y、gxy进行计算。 2工程实测中a1、a2、a3取为便于计算的值。例如使 三个应变片的方向分别为a1=0o，a245o，a3=90o ， 就得到了45o3直角应变花。 333 222 111 2sin 2 2cos 22 2s
46、in 2 2cos 22 2sin 2 2cos 22 a a g g a a a a g g a a a a g g a a a a a a a a xyyxyx xyyxyx xyyxyx 第第39页页/共共59页页第38页/共59页 例例7- -6 用用45o3直角应变花测得一点处的三个线应变为直角应变花测得一点处的三个线应变为 0=-300m m， 45=-200m m， 90=200m m，试求主应变及其方向。，试求主应变及其方向。 y 45o 45o 0 90 x O 45 解：解：1) )求求 x、 y、g gxy m m m m m m y xyyx x g g 200 22
47、200 300 90 45 0 令令a a1=0o，a a245o，a a3=90o： 解得：解得：m m m m m m 300200300 xyyx g g ， 2) )求主应变及其方向求主应变及其方向 m m m m 342 242 ) 2 () 2 ( 2 22 min max xyyxyx g g 6 .02tan 0 yx xy g g a a301053015 oo 0 或或 a a 因因 x y，故最大线应，故最大线应 变在变在105o30方向上。方向上。 第第40页页/共共59页页第39页/共59页 3应变测量实例 中科院等离子体所HT-7U支撑试验台 第第41页页/共共59
48、页页第40页/共59页 HT-7U支撑的应变测量 第第42页页/共共59页页第41页/共59页 HT-7U波纹管的应变测量 第第43页页/共共59页页第42页/共59页 应变测量仪器7V13数据采集仪 第第44页页/共共59页页第43页/共59页 一、广义胡克定律 1) )主应变主应变： 1有关概念 2) )正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；正应力只引起线应变，切应力只引起切应变； 沿主应力方向的应变，分别用 1 2 3表 示； 2广义胡克定律 2) )推导方法：推导方法： 利用叠加原理和第一章里讨论的拉压和 剪切胡克定律。 1) )广义胡克定律：应力与应变的关系，又称广义胡克定律：应力
49、与应变的关系，又称本构关系本构关系； 第第45页页/共共59页页第44页/共59页 s s1 s s2 s s3 s s1s s1 I s s2 s s2 II s s3 III s s1 1方向上的应变：方向上的应变： s s2 2方向上的应变：方向上的应变： s s3 3方向上的应变：方向上的应变：E E E / / / 13 12 11 1 ss ss s s s s E E E / / / 23 22 21 2 ss s s ss s s E E E / / / 33 32 31 3 s s ss ss s s )( 1 )( 1 )( 1 2133333 1322222 321111
50、1 s ss s s s s ss s s s s ss s s s E E E s s1 I s s1 s s2 II s s2 III s s3 3) )主应力与主应力与 主应变的主应变的 关系：关系： 第第46页页/共共59页页第45页/共59页 4) )一般情况：一般情况： GGG E E E zxzxyzyzxyxy yxzz xzyy zyxx / )( 1 )( 1 )( 1 t tg gt tg gt tg g s ss s s s s ss s s s s ss s s s ， 5) )用应变用应变 表表 示应力：示应力： zxzxyzyzxyxy zzyxz yzyxy x
51、zyxx GGG EE EE EE g gt tg gt tg gt t s s s s s s ， 1 )( )21)(1( 1 )( )21)(1( 1 )( )21)(1( 第第47页页/共共59页页第46页/共59页 6) )平面应力状态下：平面应力状态下：sz、 tyz 、 txz 为零。 G E E E xyxy yxz xyy yxx / )( )( 1 )( 1 t tg g s ss s sss s sss s xyxy xyy yxx G E E g gt t s s s s )( )1( )( )1( 2 2 第第48页页/共共59页页第47页/共59页 二、体积应变与应
52、力分量之间的关系 1) )长长a、宽、宽b、高、高c的单元体变的单元体变 形前体积：形前体积： 1体积应变 2) )在主应力在主应力s s1、 s s2、 s s3作作 用下，单元体体积变为：用下，单元体体积变为： abcV )1()1()1( 3211 cbaV )1( 321 abc 3) )体积改变率体积改变率( (体积应变体积应变) ) V V V VV 1 a b c s s3 a(1+ 1) s s1 s s2 b(1+ 2) c(1+ 3) 321 第第49页页/共共59页页第48页/共59页 4) )体积应变的应力表达式：体积应变的应力表达式： KEE zyx m 321 )(
53、 21 )( 21 s s s ss ss s s ss ss s 代入胡克定律 33 321 m zyx s ss ss s s ss ss s s s 平均应力 )21(3 E K体积模量 )321(2， jiG ijijij s s 式中： )21)(1( E )1(2 E G 拉梅常数 ji ji ij 1 0 Kronecker符号 2广义胡克定律的体积应变表达式 第第50页页/共共59页页第49页/共59页 三、例题 例例7-7 在一体积较大的钢块上有一直径为在一体积较大的钢块上有一直径为 50.01mm 的凹座，凹座内放置一直径为的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制的钢制 圆柱如图，圆柱受到圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力的轴向压力 。 假设钢块不变形，试求圆
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