认证主体：赵**（实名认证）
IP属地：天津
付费下载
下载本文档
实用标准文档概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）So,1n100，n表小班人数nnn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一]2）S={10，11，12，，n，}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品” ，如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一](3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A，B，C为三事件，用 A，B，C的运算关系表示下列事件。（1）A发生，B与C不发生。表示为：ABC或A－()或(∪)AB+ACA－BC2）A，B都发生，而C不发生。表示为：ABC或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生 表示为：A+B+C精彩文案实用标准文档（4），，都发生，表示为：ABCABC（5）A，B，C都不发生，表示为：ABC或S－(A+B+C)或ABC（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：ABBCAC。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：ABC或ABC（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：，，中至少有一个发生。故表示为：++ABBCACABBCAC6.[三]设A，B是两事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（ 2）在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A)=0.6 ，P(B)=0.7 即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1 与P(A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B) (*)1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3。7.[四]设，，C是三事件，且1,()()0，P(A)P(B)P(C)4PABPBC1P(AC).求A，B，C至少有一个发生的概率。8解：P(A，B，C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)=31054888.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26精彩文案实用标准文档个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记A表“能排成上述单词”∵从26个任选两个来排列，排法有A262种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个∴P(A)5511A2621309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，29）记A表“后四个数全不同”∵ 后四个数的排法有 104种，每种排法等可能。后四个数全不同的排法有 A104∴P(A)A1040.50410410.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。1）求最小的号码为5的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A∵10人中任选3人为一组：选法有10种，且每种选法等可能。3又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1521521∴P(A)1232）求最大的号码为5的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有10种，且3精彩文案实用标准文档每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有142种1421P(B)2010311.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？记所求事件为A。在17桶中任取9桶的取法有C179种，且每种取法等可能。取得4白3黑2红的取法有C104C43C32故C104C43C32252P(A)2431C17612.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件A∵ 在1500个产品中任取 200个，取法有 1500200种，每种取法等可能。200个产品恰有90个次品，取法有4001100种90110110090110∴ P(A)15002002）至少有2个次品的概率。记：A表“至少有2个次品”精彩文案实用标准文档B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有1100种，200个产品含一个次品，取法有4001100种2001199∵AB0B1且B0，B1互不相容。110040011002001199∴P(A)1P(A)1[P(B0)P(B1)]11500150020020013.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？记A表“4只全中至少有两支配成一对”则A表“4只人不配对”∵从10只中任取4只，取法有10种，每种取法等可能。4要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有5244P(A)C54248C10421P(A)1P(A)1813212115.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？记A表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,i三只球放入四只杯中，放法有34种，每种放法等可能对1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种。A(选排列：好比3个球在4个位置做排列)P(A1)43264316精彩文案实用标准文档对A：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有243种。2(从3个球中选2个球，选法有C32，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。P(A2)C324394316对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)4 1P(A3) 34 1616.[十二]50 个铆钉随机地取来用在 10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？记A表“10个部件中有一个部件强度太弱” 。法一：用古典概率作：把随机试验 E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完 10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但 10组钉铆完 10个部件要分先后次序）对E：铆法有C503 C473 C443 C233种，每种装法等可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C33C473C443C233〕×10种[C33C473C443C233]1010.00051P(A)C503C473C2331960法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E：铆法有A503种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，精彩文案实用标准文档30”位置上。这种铆法有A33A4727A33A4727A33A472710A33A4727种P(A)10A33A472710.00051A5030196017.[十三]已知P(A)0.3,P(B)0.4,P(AB)0.5,求P(B|AB)。解一：P(A)1P(A)0.7,P(B)1P(B)0.6,AASA(BB)ABAB注意(AB)(AB).故有P(AB)=P(A)－P(AB)=0.7－0.5=0.2。再由加法定理，P(∪B)=P()+P(B)－P(AB)=0.7+0.6－0.5=0.8AA于是P(B|AB)P[B(AB)]P(AB)0.20.25P(AB)P(AB)0.8解二:P(AB)P(A)P(B|A)由已知0507P(B|A)P(B|A)0.552故10.7P(B|A)7P(AB)P(A)P(B|A)75定义P(BABB)P(BA)1P(B|A50.25B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.70.60.518.[十四]P(A)1,P(B|A)1,P(A|B)1,求P(AB)。432定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件1111解：由43P(B)P(B)P(B)有2P(B)6P(A|B)由乘法公式，得P(AB)P(A)P(B|A)112精彩文案实用标准文档由加法公式，得P(AB)P(A)P(B)P(AB)11114612319.[十五]掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为S={(x, y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}每种结果（x, y）等可能。A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)21}63P(AB)方法二：（用公式P(A|B)P(B)S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则P(B)61,P(AB)2，626622故P(A|B)P(AB)6221P(B)163620.[十六]据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：()={孩子得病}=0.6，P(|)={母亲得病|孩子得病}=0.5，P(|)={父亲得病|PAPBAPCABP母亲及孩子得病 }=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：所求概率为P(ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(C|AB)P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P(C|AB)=1－P(C|AB)=1－0.4=0.6.从而P(ABC)=P(AB)·P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.精彩文案实用标准文档21.[十七] 已知10只晶体管中有 2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（记为事件 A）法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。P(A)C8228C1020.6245法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。A8228P(A)A10245法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A1，A2分别表第一、二次取得正品。8728P(A)P(A1A2)P(A)P(A2|A1)94510（2）二只都是次品（记为事件B）法一：C221P(B)45C102法二：A221P(B)45A102法三：P(B)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)21110945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件 C）法一：C81C2116P(C)45C102精彩文案实用标准文档法二：(C81C21)A2216P(C)A10245法三：P(C)P(A1A2A1A2)且A1A2与A1A2互斥P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)82281610910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：A91A211P(D)A1025法三：P(D)P(A1A2A1A2)且A1A2与A1A2互斥P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)82211109109522.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。HA1A1A2A1A2A3三种情况互斥P(H)P(A1)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)191981310109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。P(H|B) PA1|B A1A2|B A1A2A3|B)精彩文案实用标准文档P(A1|B) P(A1|B)P(A2|BA1) P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2)1 4 1 4 3 1 35 5 4 5 4 3 524.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n只白球m只红球，乙袋中装有 N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版 19题(1)）记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B且A1，A2互斥∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=nN1mNnmNM1nmNM1[十九](2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取 2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。C2为“从第一盒子中取得2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，D为“从第二盒子中取得白球” ，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)C525C427C51C41653C9211C9211C92119926.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1A2=φ精彩文案实用标准文档由已知条件知P(A1)P(A2)1P(B|A1)5%,P(B|A2)0.25%2由贝叶斯公式，有P(A1B)P(A1)P(B|A1)15202100P(A1|B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)1512521P(B)2100210000[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为，若第一次P及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为P（1）若至少P2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：Ai={他第i次及格}，i=1,2已知P(A1)=P(A2|A1)=P，P(A2|A1)P2（1）B={至少有一次及格}所以B{两次均不及格}AA12∴P(B)1P(B)1P(A1A2)1P(A1)P(A2|A1)1[1P(A1)][1P(A2|A1)]1(1P)(1P)3P1P2222定义P(A1A2)（*）（2）P(A1A2)P(A2)由乘法公式，有P(AA)=P(A)P(A|2A12121由全概率公式，有P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)PP(1P)P2P2P22精彩文案实用标准文档将以上两个结果代入（*）得P(A1|A2)P22P2PP1P2228.[二十五]某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：到家时间5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54迟于5:54乘地铁到0.100.250.450.150.05家的概率乘汽车到0.300.350.200.100.05家的概率某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设“乘地铁”，“乘汽车”，“5:45~5:49到家”，由题意,φ,∪=A=B=C=AB=ABS已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由贝叶斯公式有P(A|C)P(C|A)P(A)0.50.450.4590.6923P(C)P(C|A)1P(C|B)10.65132229.[二十四]有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设Bi表示“第i次取到一等品”i=1，2Aj表示“第j箱产品”j=1,2，显然A1∪A2=SA1A2=φ11011820.4（B1=A1B+A2B由全概率公式解）。（1）P(B1)5023052精彩文案实用标准文档P(B1B2)110911817（2）P(B225049230290.4857|B1)2P(B1)5（先用条件概率定义，再求P(12)时，由全概率公式解）BB32.[二十六（2）]如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合21的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独RL3立，求L和R是通路的概率。记Ai表第i个接点接通45记A表从L到R是构成通路的。A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)－P(A1A2A3A5)+P(1245)+P(123A4)+P(1345)AAAAAAAAAAA+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)－P(A1A2A3A4A5)又由于1，2，A3，A4，5互相独立。AAA故P(A)=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（ 1）的方式联接，求系统的可靠性。记i表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，A23A表示系统正常。14∵A=AAA+AA两种情况不互斥12314∴P()=(123)+P(14)－P(1234)(加法公式)APAAAAAAAAA精彩文案实用标准文档=P(1)P(2)P(3)+P(1)P(4)－P(1)P(2)P(3)P(4)AAAAAAAAA=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4独立)34.[三十一]袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现 r次国徽面”=Br “任取一只是正品” =A由全概率公式，有P(Br)P(A)P(Br|A)P(A)P(Br|A)m(1)rmn2P(A)P(Br|A)m(1)rmn2P(A|Br)m1nP(Br)()rmn2mn
1rmnmm n2r（条件概率定义与乘法公式）35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高Hi表示飞机被 i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机∵H1B1B2B3B1B2B3B1B2B3，三种情况互斥。H2B1B2B3B1B2B3B1B2B3三种情况互斥H3B2B2B3又B1，B2，B2独立。∴P(H1)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)精彩文案实用标准文档P(B1)P(B2)P(B3) 0.4 0.5 0.3 0.60.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36P(H2) P(B1)P(B2)P(B3) P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3) 0.4 0.5 0.3+0.4 ×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14又因： A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥故由全概率公式，有P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)=0.36 ×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.45836.[三十三]设由以往记录的数据分析。 某船只运输某种物品损坏 2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为 P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件， 发现这三件都是好的 （这一事件记为 B），试分别求P(A1|B)P(A2|B), P(A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三种情况互斥由全概率公式，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.8 ×(0.98)3+0.15×(0.9) 3+0.05×(0.1)3=0.8624精彩文案实用标准文档P(AB)P(A)P(B|A)0.8(0.98)3P(A1|B)1110.8731P(B)P(B)0.8624P(A2|B)P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15(0.9)3P(B)P(B)0.86240.1268P(A3|B)P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05(0.1)3P(B)P(B)0.86240.000137.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p,p,p(p+p+p=1)，已知输出为ABCA，问输123123入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）解：设D表示输出信号为，1、2、3分别表示输入信号为，，，ABCABBBAAAABBBBCCCC则1、2、3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi,i=1,2,3。BBB再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有P(A收|A发)=P(B收|B发)=P(C收|C发)=α，P(A收|发)=P(收|发)=P(收|A发)=(B收|发)=P(收|发)=P(收|发)=1αBACBPCCACB2又P(ABCA|AAAA)=P(D|B)=P(A收|A发)P(B|A)P(C|A)P(A|A)1收发收发收发=α2(1α)2，2同样可得P(D|B2)=P(D|B3)=α(12α3)于是由全概率公式，得3P(D)P(Bi)P(D|Bi)i1p1a2(1α)2(P2P3)α(1α)322由Bayes公式，得(AAAA|ABCA)=P(B1|D)=P(B1)P(D|B1)P(D)精彩文案实用标准文档=2αP12αP1(1α)(P2P3)[二十九]设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记A、A、A分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B、B、12312B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。（1）记C={至少有一只蓝球 }C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1，5种情况互斥由概率有限可加性，得P(C)P(A1B1)P(A1B2)P(A1B3)P(A2B1)P(A3B1)独立性P(A1)P(B1)P(A1)P(B2)P(A1)P(B3)P(A2)P(B1)P(A3)P(B1)3233342222579797979799（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D=A1B3+A3B1两种情况互斥P(D)P(A1B3P(A3B1)P(A1)P(B3)P(A3)P(B1)342216797963（3）P(D|C)P(CD)P(D)16(注意到CDD)P(C)P(C)35[三十]A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为2,2,1。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别为1,55511，设三人的行动相互独立，求244（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给，而B却都不在的概率。B精彩文案实用标准文档解：记C1、C2、C3分别表示打给 A，B，C的电话D1、D2、D3分别表示A，B，C外出注意到1、2、3独立，且21P(C1)P(C2),P(C3)CCC55P(D1)1,P(D2)P(D3)1241）P（无人接电话）=P(D1D2D3)=P(D1)P(D2)P(D3)=111124432（2）记G=“被呼叫人在办公室”，GC1D1C2D2C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式P(G)P(C1D1)P(C2D2)P(C3D3)由于某人外出与P(C)P(D|C)P(C)P(D2|C)P(C)P(D3|C)否和来电话无关111223321231313故P(Dk|Ck)P(Dk)52545420（3）H为“这3个电话打给同一个人”P(H)22222211117555555555125（4）R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给 A，B，C的三个电话，每种情况的概率为22145551254 24于是P(R) 61255）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为1，且各次情况相互独立4于是P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=(1)31464精彩文案实用标准文档第二章 随机变量及其分布1.[一]一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律为P(X3)P(一球为号两球为号1C22110C53P(X4)一球为号再在中任取两球)1C323P(4,1,2,3C5310P(X5)P(一球为5号再在中任取两球1C426,1,2,3,4)C5310也可列为下表：3，4，5XP：1,3,61010103.[三]设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。P(X0)C13322C15335P(X1)C21C13212PC15335P(X2)C22C1311C15335xO1再列为下表2X：0，1，222 12 1P： , ,精彩文案实用标准文档4.[四]进行重复独立实验，设每次成功的概率为，失败的概率为q=1－(0<p<1)pp（1）将实验进行到出现一次成功为止，以 X表示所需的试验次数，求 X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）（2）将实验进行到出现 r次成功为止，以 Y表示所需的试验次数，求 Y的分布律。（此时称Y服从以r,p 为参数的巴斯卡分布。）3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：（1）P()=k－1p1,2,X=kqk=（2）{最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}Y=r+n=P(Yrn)Crnn1qnpr1pCrnn1qnpr,n0,1,2,,其中q=1－p，或记r+n=k，则{}=r1r(1p)kr,kr,r1,PY=kCk1p（3）P()=(0.55)k－10.451,2X=kk=P(X取偶数)=P(X2k)(0.55)2k10.451131k1k16.[六]一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？P(X2)C52p2q52C52(0.1)2(0.9)30.0729（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？P(X3)C53(0.1)3(0.9)2C54(0.1)4(0.9)C55(0.1)50.00856（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？P(X3)C50(0.9)5C510.1(0.9)4C52(0.1)2(0.9)3C53(0.1)3(0.9)20.99954（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？P(X1)1P(X0)10.590490.40951[五] 一房间有 3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。精彩文案实用标准文档以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求 Y的分布律。3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值为1，2，3，，n，P{}={前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}X=nP=(2)n11，n=1，2，32）Y的可能取值为1，2，3P{1}=P{第1次飞了出去}=1Y=3P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}=211323P{Y=3}=P{第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}=2!13!33(3)P{XY}P{Yk}P{XY|Yk}全概率公式并注意到k13P{XY|Y1}0P{Yk}P{XY|Yk}23P{Yk}P{Xk}k2111121833333327
X10x1F(x)1x1x21arcsinx11x1ππ2x11精彩文案实用标准文档解：（2）F(x)P(Xx)xf(t)dtx当x时F(x)0dt00,0x2x当时0dttdt20当时01xx20dttdt(2t)dt2x1201当时012x0dttdt(2t)dt0dt1012故分布函数为0x0x20x1F(x)2x22x1x21122x（2）中的f(x)与F(x)的图形如下f(x) F(x)012x01x222.[二十]某种型号的电子的寿命（以小时计）具有以下的概率密度：Xf(x)1000x1000x20其它现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立） 。任取5只，问其中至少有 2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于 1500小时的概率为精彩文案实用标准文档P(X1500)1P(X1500)1500100011000(1)150012dxx10001000x1(12)233令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，3P(Y2)1P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1(1)5C51(2)(1)433315211232135124324323.[二十一]设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：xFX(x)1e5,x050,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出 Y的分布律。并求 P（Y≥1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为1xxe2P(X10)fX(x)dxe5dxe51010510因此Y~B(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5kP(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(11)51(10.1353363)57.38910.8677510.48330.5167.24.[二十二]设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x24xKK20有实根的概率∵K的分布密度为：f(K)10K5500其他要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4×(K+2)≥0。解不等式，得≥2时，方程有实根。K∴P(K2)f(x)dx51dx0dx322555精彩文案实用标准文档25.[二十三] 设X～N（3.22）1）求P(2<X≤5)，P(－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P(X>3)∵若（μ，σ2），则P(α<≤β)=φβμφαμX～NXσσ∴P(2<X≤5)=φ53φ23=φ(1)－φ(－0.5)22=0.8413－0.3085=0.5328P(－4<≤10)=φ103φ43=φ(3.5)－φ(－3.5)X22=0.9998－0.0002=0.9996P(|X|>2)=1－P(|X|<2)=1－P(－2<P<2)=1232322=1－φ(－0.5)+φ(－2.5)=1－0.3085+0.0062=0.6977P(X>3)=1－P(X≤3)=1－φ33=1－0.5=0.522）决定C使得P(X>C)=P(X≤C)∵P(X>C)=1－P(X≤C)=P(X≤C)得P(≤)=1=0.5XC2又P(X≤C)=φC230.5,查表可得C30∴C=3226.[二十四]某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,122)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压。求X（1）P(X≤105)，P(100<X≤120).（2）确定最小的X使P(X>x)≤0.05.解:(1)P(X105)(105110)(0.4167)1(0.4167)10.66160.338412P(100X120)(120110)(100110)(5)(5)1212662(5)12(0.8333)120.797610.59526(2)P(Xx)1P(Xx)1(x110)0.05(x110)0.95.1212查表得x1101.645.x11019.74129.74.故最小的X129.74.12精彩文案实用标准文档27.[二十五]由某机器生产的螺栓长度（）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正cm态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为X{不属于(10.05－0.12,10.05+0.12)PX=1－P(10.05－0.12<<10.05+0.12)X=1－(10.050.12)10.05(10.050.12)10.050.060.06=1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{0.9772－0.0228}=0.045628.[二十六]一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P(120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？∵P(120＜X≤200)=20016012016040400.80σσσσ又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)∴上式变为401400.80σσ解出40便得:400.9σσ再查表，得401.281σ4031.25σ1.28130.[二十七]设随机变量X的分布律为：X：－2，－1，0，1，3：1，1，1，1，11P5651530求Y=X2的分布律∵Y=X2：(－2)2(－1)2(0)2(1)2(3)2P：1111115651530再把X2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为：∴Y：01149：11111P5615530精彩文案实用标准文档31.[二十八] 设随机变量 X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的分布密度∵X的分布密度为：f(x)10x10x为其他Y=g(X)=eX是单调增函数又X=h(Y)=lnY，反函数存在且α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1max[g(0),g(1)]=max(1,e)=e∴f[h(y)]|h'(y)|111yeY的分布密度为：ψ(y)yy为其他0（2）求Y=－2lnX的概率密度。Y=g(X)=－2lnX是单调减函数Y又Xh(Y)e2反函数存在。且α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0=[(0),g(1)]=(+∞,0)=+∞βmaxgmaxyy∴Y的分布密度为：ψ(y)f[h(y)]|h'(y)|11e21e222032.[二十九]设X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度X的概率密度是1x2∵f(x)e2,x2πY=g(X)=eX是单调增函数又X=h(Y)=lnY反函数存在且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0β=[(－∞),g(+∞)]=(0,+∞)=+∞maxgmaxY的分布密度为：1(lny)21ψ(y)f[h(y)]|h'(y)|e20y2πyy为其他0
0 yy为其他精彩文案实用标准文档2的概率密度。（2）求Y=2X+1在这里，22+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。Y=X设Y的分布函数是F（y），Y则Yy)=P(Y≤y)=P(22F(X+1≤y)=y1y1PX22当y<1时：FY(y)=0当y≥y1y11时：Fy(y)PX22故Y的分布密度ψ()是：y当y≤1时：ψ(y)=[F(y)]'=(0)'=0Y
y1x221e2dxy12π2y1x2当y>1时，ψ(y)=[F(y)]'=21edx2Y2y121y1=e42π(y1)（3）求Y=|X|的概率密度。∵Y的分布函数为F(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)Y当y<0时，FY(y)=0y1x2当y≥0时，FY(y)=P(|X|≤y)=P(－y≤X≤y)=e2dxy 2πY的概率密度为：当y≤0时：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0y1x22y2当0时：ψ(y)=[F(y)]'=e2dxe2y2ππ33.[三十]（1）设随机变量X的概率密度为f(x)，求Y=X3的概率密度。∵Y=g(X)=X3是X单调增函数，1又X=h(Y)=Y3，反函数存在，且 α= min[g(－∞), g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞精彩文案实用标准文档β=[(－∞),g(+∞)]=(0,+∞)=+∞maxgmax∴Y的分布密度为：112ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=f(y3)y3,y,但y030（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X2的概率密度。法一：∵X的分布密度为：exx0y=x2f(x)x00Y=x2是非单调函数当x<0时y=x2当x<0时y=x2∴ Y～fY(y)=0=0
反函数是xyyxyOxf(y)(y)f(y)(y)－yy1ey1ey,y022yyy0法二：Y~FY(y)P(Yy)P(yXy)P(Xy)P(Xy)yxdx01ey,y0e00,y01eyy0.∴Y～fY(y)=2y,0,y0.34.[三十一] 设X的概率密度为2xf(x) π2 0 x πx为其他求Y=sinX的概率密度。∵ FY( y)=P(Y≤y)P(sinX≤y)当0时：Y(y)=0y<F精彩文案实用标准文档当0≤y≤1时：Y(y)=P(sinX≤y)=P(0≤X≤arcsiny或π－arcsiny≤FX≤π)=arcsiny2xdxπ2xdx220ππarcsinyπ当1<y时：FY(y)=1Y的概率密度ψ(y)为：y≤0时，ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=00<<1时，ψ(y)=[FY(y)]'=arcsiny2xπ2xy0π2dxπarcsinyπ2dx= 21y21≤y时，ψ(y)=[FY(y)]'=(1)=036.[三十三]某物体的温度T(oF)是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知θ5(32)]9(t98.6)21法一：∵T的概率密度为f(t)e22,t22又θg(T)5(T32)是单调增函数。9932Th(θ)5θ反函数存在。且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(－∞,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(－∞,+∞)=+∞∴θ的概率密度ψ (θ)为(9θ3298.6)215()[()]|'()|e4ψθfhθhθ2π2
95981(θ37)2e100,θπ法二：根据定理：若 X～N（α1，σ1），则Y=aX+b～N(aα1+b,a2σ2)由于T～N（98.6,2 ）精彩文案实用标准文档故θ5T160~N160,22N333,2598.65529999999故θ的概率密度为：3332915222e9()5229
81(37)29100,e10第三章 多维随机变量及其分布1.[一]在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量，如下：XYX0,若第一次取出的是正品,1,若第一次取出的是次品Y0,若第二次取出的是正品,1,若第二次取出的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)P(X=0,Y=0)=101025121236P(X=0,Y=1)=1025121236P(X=1,Y=0)=2105121236P(1,1)=221X=Y=121236或写成精彩文案实用标准文档X01Y025536361513636（2）不放回抽样的情况P{X=0,Y=0}=10945121166P{X=0,Y=1}=10210121166P{X=1,Y=0}=21010121166P{1,1}=211X=Y=121166或写成X01Y045106666110166663.[二]盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。X0123Y00032353510612235353521630353535解：（，）的可能取值为(i,j)，=0，1，2，3，j=0，12，i+j≥2，联合XYi分布律为P{X=0,Y=2}=C22C221C7435精彩文案实用标准文档P{1,1}=C31C21C226X=Y=C7435P{X=1,Y=2}=C31C22C216C7435P{X=2,Y=0}=C32C223C7435P{X=2,Y=1}=C32C21C2112C7435P{2,2}=C32C223X=Y=C7435P{3,0}=C33C212X=Y=C7435P{X=3,Y=1}=C33C212C7435P{3,2}=0X=Y=k(6xy),0x2,2y45.[三]设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)0,其它1）确定常数k。（2）求P{X<1,Y<3}（3）求P(X<1.5}（4）求P(X+Y≤4}分析：利用P{(X,Y)∈G}=f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy再化为累次积分，其GGDo0x2,中Do(x,y)y42解：（1）∵1211f(x,y)dxdyk(6xy)dydx，∴k802（2）P(X1,Y3)1dx31(6xy)dy30288（3）P(X1.5)P(X1.5,Y)1.5dx4127(6xy)dy02832精彩文案实用标准文档（4）P(XY4)2dx4x1(6xy)dy200836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y）的边缘分布律。y2）求第2题中的随机变量（X、Y）的边缘分布律。解：（1）①放回抽样（第1题）X12x+y=40Y102553636ox5113636边缘分布律为X0Pi·56②不放回抽样（第1题）XY01边缘分布为X0P5i·6（2）（X，Y）的联合分布律如下X120Y00338831008解：X的边缘分布律X0123
1160456610661163018Y
Y01P·j 5 16 611066166Y01P·j 5 16 6的边缘分布律1 3精彩文案实用标准文档1331P·j62Pi·8888887．．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为4.8y(2x)0x1,0yx求边缘概率密度.f(x,y)0其它xx)dy2.4x2(2x)0x1解：fX(x)f(x,y)dy4.8y(200其它14.8y(2x)dx2.4y(34yy2)0y1fY(y)f(x,y)dxy0其它8.[六]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)ey,0xyyx=y求边缘概率密度。0,其它.解:fX(x) f(x,y)dy
y2 0 x 1,y 00其它（2）由于a有实跟根，从而判别式4X24Y0即：YX2记D{(x,y)|0x1,0yx2}x21yx2yx2P(YX2)f(x,y)dxdy12dy112dxdxedxde21eD0020001x2012e2dx12((1)(2))12(0.84130.5)2012.50663120.341310.85550.144523．设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为f(t)tet,t00 t 0并设各周的需要量是相互独立的，试求（ 1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为 X，它是随机变量设第二周需要量为 Y，它是随机变量且为同分布，其分布密度为tet, t 0f(t)0 t 0Z=X+Y表示两周需要的商品量，由 X和Y的独立性可知：xexyeyx0,y0f(x,y)其它0z≥0∴ 当z<0时，fz(z)=0当z>0时，由和的概率公式知精彩文案实用标准文档fz(z)fx(zy)fy(y)dyz(zy)yeydyz3ez(zy)e06fz(z)z3ez,z0∴60z0（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为z3ez,z0fz(z)60z0设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：xex, x 0fξ(x)x0z与ξ相互独立=z+ξ表示前三周需要量则：∵η≥0，∴当u<0，fη(u)=0当0时u>fη(u)f(uy)fξ(y)dyu1(uy)3e(uy)yeydy065u eu所以η的概率密度为u5uu0fη(u)e1200u030．设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命
0/150
联系客服
本站为文档C2C交易模式，即用户上传的文档直接被用户下载，本站只是中间服务平台，本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。人人文库仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私，请立即通知人人文库网，我们立即给予删除！