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1、圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点 （焦点）的距离 和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点f作相应准线的垂线，垂足为k,以fk的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为:ep1 ecos-可编辑修改-当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.ep1+ecos其中p是定点f到定直线的距离，p0 当0e1时，方程表示双曲线，若p 0,方程只表示双曲线右支，若允许p 0 ,方程就表示整个双曲线;引论（1）若则0e1方程表示极点在左焦点上的双曲线(2 )若ep1-
2、esin0e1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 一1+esin0e1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编(1)二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程105 3cos表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解法3 cos5103 105 33 cos525a b2105-a 31015方程表示椭圆的离心率e 3,焦距纹，长轴长25,短轴长5544解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为 0,因此只需令 0,右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶 点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义,简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的
3、优势。 下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。(2)圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦mn经过焦点f,1、椭圆中,2,2a bp c c cmnep1 ecosep1 ecos( )2ab2 * * 5-2 2 2a c cos3、抛物线中，mnp 1 cosepep2ab1 ecos1 ecos()222a c cos?epep2ab21 ecos1 ecos2 c22 .cos ap2p21 cos( ) sin2、双曲线中，(注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。)若m、n在双曲线同一支上，mn若m、n在双曲线不同支上，mn即得2 3cos所以 a( i,-),b(
4、 2,3)又由ab | 12|i 551 80得11 7r 2 3cos 2 3cos(-)7注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值，所以弦长都是12 ；对于两个端点都在双曲线右支上的弦，其端点极径均为正值所以弦长也是1对下两个端点分别在双曲线左、右支上的弦，其端点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是 1或2为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用| 12变式练习：等轴双曲线长轴为2,过其右有焦点，引倾斜角为 石的直 线，交双曲线于a,b两点，求|ab求 | ab |解：
5、d o1 - 2 cosab |ia( 1,-),b( 2, -)i 1221 &co s(一)1 72cos( )2 762v666附录直角坐标系中的焦半径公式设p (x,y)是圆锥曲线上的点，1、若fi、f2分别是椭圆的左、右焦点，则pf1a ex, pf2a ex;o2、若fl、f2分别是双曲线的左、右焦点,当点p在双曲线右支上时，pfi ex a, pf2 ex a； 当点p在双曲线左支上时，pfia ex, pf2 a ex；3、若f是抛物线的焦点，|pf| x卫.2利用弦长求面积224高考题（08年海南卷）过椭圆 二 匕1的焦点f作一条斜率为2 54的直线与椭圆交于a, b两点，o
6、为坐标原点，求aob的面积.简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式|ab| -2ej 求弦长，然后1 e cos利用公式saob 11 ab |of | sin afo直接得出答案。 2变式（2005年全国高考理科）已知点f为椭圆与y2 1的左焦点.过点 f的直线li与椭圆交于p、q两点，过f且与li垂直的直线12交椭圆于 m、n两点，求四边形pmqn面积的最小值和最大值.解析以点f为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：、221 cos2设直线11的倾斜角，则直线12的倾斜角为 900 ,由极坐标系中焦点弦长公式知：22.2|pq| , |mn| -1cos21cos2（900） 1 sin
7、2222用他们来表示四边形的面积c 1-s -| pq |g|mn |111 2 - 2-sin gcos sin2 2 16即求彳2112sin 216的最大值与最小值0时,由三角知识易知：当sin2 1时，面积取得最小值 竺；当sin29面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题22x y2 4 1 (a b 0) 例一.过椭圆a b的左焦点f,作倾余角为60的直线1交椭圆于a、b两点，若fa 2fb ,求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为ep1 ecos2 ,解得 eee31 -1 -2 2变式求过椭圆 2一的左焦点,3 cos点到左
8、准线的距离。解：先将方程化为标准形式：则离心率e 工，ep 2 ,33p 21 ecos601 ecos 240且倾斜角为z的弦长ab和左焦23 1 1cos 所以左焦点到左准线的距为2。设“ 1,-),b( 2,、)，代入极坐标方程，则弦长ab3 cos 3 cos442417(3)定值问题例1.抛物线y_1_1 二 2-e2ab| |cd| - 2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围 推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦， 倒数和也为定值。需要以原点为 2px(p 0)的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：1 1定值。 a b解：以焦点f为极点，以fx轴
9、为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为.p ,设a(a, ),b(b,)1 cos将a,b两点代入极坐标方程，得a -,bp1 cos 1 cos( )则1 1=3 3s)=2 (定值) a b ppp点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。112推论：若圆锥曲线的弦mn经过焦点f,则有,工mf nf ep例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 ab和弦cd,求证1ab1二为定cd值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为一虹1 ecos又设 a 1, 1 ,b 2, + ,c 3, + ,d 4, -+ 则代入可得2 2|ab| . 2ep 2, |ab| 彳 2ep 2
10、 则1 e cos1 e sin极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。2 2例三（2007重庆理改编）中心在原点o的椭圆上 言 1 ,点f是其左焦占八、在椭圆上任取三个不同点p,p2,p3使z p1fp2 z p2fp3 /p3fp1 1200 .证明:1fp1fp2fp3为定值，并求此定值.解析:以点92 cos1200、为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:设点pi对应的极角为，则点b与e对应的极角分别1200 , p1、p2与p3的极径就分别是|fpl|9、2 cosifp2i902 cos( 120 )与 i fp319-02 cos( 120 )fpifp2f
11、p3角函数的学习中,fpifp2fp32 cos9我们知道3为定值2 cos(1200) 2 cos(1200)99cos cos(1200) cos(1200)0,因此点睛：极坐标分别表示|fp1 |、|fp2|与|fp3| ,这样一个角度对应一个 极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时 对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广2设p1p2p3l pn是椭圆上的n个点，且fp1fp2fp3l fpn圆周角等分n 1则工也为定值i=1 opi作业22(2003年希望杯竞赛题)经过椭圆x2 22 1(a b 0)的焦点f1作倾斜 a b角为60的直线和椭圆相交于
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