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1、圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和 一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦 点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为 K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统 一的极坐标方程为：p =坐.其中p是定点F到定直线的距离, 1 一 ECOS 当点P在双曲线左支上时，|PF = -a-ex 1 PF2 = ci-ex； 3、若尸是抛物线的焦点，|时=“牛 利用弦长求面积 高考题（08年海南卷）过椭圆兰+艺=1的焦点F
2、作一条斜率为2的 5 4 直线与椭圆交于A, B两点,0为坐标原点，求AAOB的面积. 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式ia盼綁求弦长，然后 1Y cos-8 利用公式S*b = I AB II OF I sin ZAFO直接得出答案。 乙 变式（20 0 5年全国高考理科）己知点F为椭圆S + / = l的左焦点.过 点F的直线厶与椭圆交于P、0两点，过F且与厶垂直的直线厶交椭圆于 M、N两点，求四边形PMQN而积的最小值和最大值. 解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程 为：P = 设直线厶的倾斜角&,则直线厶的倾斜角为& + 90。，由极坐标系中 焦点弦长公式知: PQ 1
4、，S =彳， :.p = 2 所以左焦点到左准线的距为2。 设A（喝）皿中，代入极坐标方程，则弦长 AB = p+p2 3cos7 3-cosT 24 17 （3）定值问题 例1.抛物线y2=2px（p0）的一条焦点弦被焦点分为a, b的两段，证 明：丄+ ；定值。 a b 解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的 极坐标方程为 = 一-一，设A（aB（b,0+7r） 1-COS& 将A, B两点代入极坐标方程，得“=1- 1-cos 01-cos（& + 兀） 贝lJ_L + J_J_cos& + l_cos(& + /r)二2 (定值) a b ppp 点睛，引中到椭圆和
5、双曲线也是成立的。 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有侖+侖需 例二:经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证丄t +人为定 |AB| |CD| 值。 证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为厂匕 X/Q 则代入可得 乂设A(p,q)B(R,/r+&),C 门+。Q c，耳 112-e2 H二 |AB| |CD| 2ep 注释。此公式对抛物线也成立,但对双曲线不成立。注意使用的范围。 推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。 推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。 例三（2007重庆理改编）中心在原点o的椭圆
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