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关键词：莫尔失效理论 脆性材料 抗拉 抗压 抗剪
上篇帖子提到，最大正应力理论的不足之处在于它没有区分正应力是“拉应力”还是“压应力”，却都与材料拉力试验所得到的抗拉强度进行对比进而判断是否失效，这样必然导致设计过于保守。
德国工程师莫尔基于最大正应力理论，提出了自己的一套判断材料是否失效的方法，弥补了最大正应力理论的不足。
莫尔失效理论
莫尔失效理论的基本逻辑是这样的。
对于某种脆性材料，对其进行拉力试验和压力试验，可以确定材料的抗拉强度σUT和抗压强度σUC。
我们先分析第一种情形——材料处于受拉状态。
这种情况下，材料处于平面应力状态下时，只有拉应力，也就是说σa、σb都是正值，最小为0。
用莫尔圆（有关莫尔圆，我们后面会深度聊聊莫尔圆的来龙去脉）的表达方式就是图1中的剪应力轴τ的右侧黑色小圆。
图1 用莫尔圆表达安全区域
材料受拉时，σa、σb在正应力σ轴上任意位置移动，只要σa、σb所构成的圆（红色小圆）处于黑色小圆之内，构件就是安全的。
我们再来分析第二种情形——材料处于受压状态。
这种情况下，材料处于平面应力状态下时，只有压应力，也就是说σa、σb都是负值，最大为0。
用莫尔圆的表达方式就是图1中的剪应力轴τ的左侧黑色大圆。材料受压时，σa、σb在正应力σ轴上任意位置移动，只要σa、σb所构成的圆（红色大圆）处于黑色大圆之内，构件就是安全的。
综合上面两种情形，我们也可以按照之前叙述其它三种强度理论的方式，把材料平面应力状态下的判定方法以图2的形式表达出来。也就是说，只要σa、σb的坐标位于阴影区域内，那么结构就是安全的。
图2 σa、σb同时为正或为负
但是，结构实际受力是复杂的，σa、σb不一定同时为正或同时为负，不排除存在一正一负的情况，典型的情况就受扭。
图3 脆性材料受扭破坏
如图3构件在受扭的时候，某点处的平面应力状态便是σa、σb一方受拉、一方受压的情形（图4“b”点）。
图4 构件受扭时某点正应力一正一负
通过扭转破坏试验，可以得到脆性材料的抗剪强度τU。同样地，用莫尔圆的表达方式就是图5中间黑色圆圈，这里要特别说明的是，无论顺时针扭还是逆时针扭，所测抗剪强度τU大小是一样的，因此这种情况的莫尔圆是以剪应力轴和正应力轴的交点O为圆心绘制的——正负抗剪强度数值上相等。
图5 莫尔失效理论绘制封闭区域
然后，我们绘制同时和图5中3个黑色圆圈相切的上、下两条红色弧线，这两道弧线和左边大圆、右边小圆共同形成的封闭曲线区域，就是材料在平面应力状态下的安全区域。
将图5转化成图6，意思就是说，σa、σb坐标位于图6阴影区，那么结构就是安全的。
图6 莫尔失效理论安全区域
至于图5如何转换成图6，小编也简单说明一下，其中第一象限和第三象限不用多讲，照搬图2即可，小编主要聊聊第二象限（第四象限和第二象限对称）。
这里首先要明白莫尔圆的基本含义——任何应力状态用莫尔圆所表达出来的圆，只要其位于图5安全区域内，那么结构就是安全的。
图6中的大圆与σ轴相交于两点，其中左侧交点σb=σU，右侧交点σa=0。上面我们说了，图5的安全区域是两道弧线和大圆、小圆共同形成的封闭区域。我们将图6中的大圆逐步向右侧移动，那么大圆的直径不仅要变小（因为不能超过图5那两道弧线），并且其与σ轴相交的点位置也在变化，并且左侧交点σb数值上越来越小，σa呢，从0起步越来越大，并且σb、σa的大小一定不是线性关系而是一种曲线关系，这个曲线就是图6的第二象限中的曲线，第四象限推理过程类似。
简化版莫尔失效理论
上面咱们提到了三种试验——抗拉试验、抗压试验、抗扭试验。利用三种试验所得到的材料性能参数可以准确的得到图6所述安全区域。
不过，如果只能做抗拉试验和抗压试验，即，只有抗拉强度和抗压强度，如何得到材料的安全应力范围呢？
有一种偏保守且简单的方法。
基于图1，我们可以绘制大圆和小圆的切线AB和A’B’，如图7所示。
图7 简化版莫尔失效理论绘制封闭区域
图7与图5的差别在于图5是通过抗剪强度绘制出的弧形切线，而这里，是没有抗剪强度的直切线。
AB、A’B’与大圆、小圆形成的封闭区域就是结构的安全区域。
同样的道理，我们可以将图7转换成图8的形式，意思就是说只要σa、σb坐标位于图8阴影区，那么结构就是安全的。
图8 简化版莫尔失效理论安全区域
小编也顺便说一下图7到图8的转换方法。和上面的方法一样，我们把图7左侧大圆相左平移，那么这个过程不仅直径变小，圆与σ的交点σa、σb数值也在变化。
我们假设当圆位于某处（如图7中的红色圆，设半径R）时，此时的σb=OC-R，σa=OC+R，OC为负值。很显然，σa、σb与R呈线性关系，那么σa、σb之间也是线性关系，将图2中的第二象限和第四象限用线段闭合即可得到图8。