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第2章正投影法基础正投影法基础§2-1投影法的基本概念§2-2三视图的形成及其投影规律§2-3立体表面几何元素的投影分析§2-4立体表面几何元素在三视图中的投影举例正投影法基础§2-1投影法的基本概念一、中心投影法二、平行投影法三、正投影法中平面和直线的投影特点正投影法基础投影面一、投影方法a
投影S
投射中心A
空间点空间点B
投影
b投射线物体在投影面上的影像称投影，获得投影的方法称投影法。正投影法基础二、投影法的种类中心投影法和平行投影法正投影法基础中心投影法正投影法基础投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离变化，投影的大小也变化；一般不反应物体实际形状和大小，度量性较差。投影特性投射线投射中心物体投影面投影投影面P
将投射中心移至无限远处,则投射线相互平行,此种投影方法称平行投影法。物体ABC投影abc投射线平行投影法正投影法基础平行投影法斜投影法投射线沿S方向相互平行SS正投影法PP
在平行投影法中投影大小与物体和投影面间距离无关，度量性好。正投影法基础ABCPS
(2)平行投影法的特性：PSabca、真形性
平行于投影面的线段，其投影反映实长；平行于投影面的平面，其在投影面上的投影反映平面的实形。EDeded=ED△abc≌△ABC真形性、定比性、平行性。APBC
b、
定比性
直线上两线段之比等于其投影之比。abc定比性AC∶CB=ac∶cbc、平行性
空间两线段平行，则它们的投影仍相互平行。平行性AB∥CD，ab∥cdACBDabcdP投影面
正投影是平行投影的一种，具有平行投影法的特性。真形性、积聚性、类似性Rr真形性Qq空间平面或直线平行于投影面，其投影反映平面的实形或线段的实长。积聚性空间平面或直线垂直于投影面，其平面的投影积聚为一直线，直线的投影积聚为一点。Ss类似性空间一平面倾斜于投影面，其投影为空间图形的类似形。三、正投影法中平面和直线的投影特点§2-2三视图的形成及其投影规律一、三投影面体系二、三视图的形成三、三视图的投影规律正投影法基础
1.
问题的提出一般情况下，在正投影法中仅用一个投影面，不能完全、准确地表达物体的全部形状和结构。投影面不同的实体在一个投影面中的投影却相同一、三投影面体系正投影法基础一、三投影面体系
若将物体置于三个相互垂直的投影面内，从不同的方向向三个投影面进行投射。由这三个互相垂直的投影面构成的体系称为三投影面体系。正投影法基础VWH投影面VWH
2.三投影面体系的建立正面投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴X轴V面与H面的交线Y轴H面与W面的交线Z轴V面与W面的交线ZXYO正投影法基础VWHZXYO国标规定：
V面保持不动，
H面向下绕OX轴旋转90°W面绕OZ轴向右旋转90°V面不动H面向下旋转W面向右旋转正投影法基础主视图俯视图左视图二、三视图的形成VHZWYOX正投影法基础可见轮廓线画成粗实线，不可见轮廓线画成细虚线。WYH三、三视图的投影规律
为了简化作图，在三视图中不画投影面的边框线，视图之间的距离可以根据具体情况确定。正投影法基础
三视图之间的方位对应关系
主视图反映：上、下、左、右俯视图反映：前、后、左、右左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上前后左右下左右上下主视图俯视图左视图长高宽宽主、俯视图长相等且对正长对正主、左视图高相等且平齐俯、左视图宽相等且对应高平齐宽相等
三视图的投影规律后面三等规律§2-3立体表面几何元素的投影分析一、立体上点的投影二、立体上直线的投影三、立体上平面的投影正投影法基础B2B3
PB11.点在一个投影面上的投影APab
点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、立体上点的投影正投影法基础2.
点的三面投影WHVOX空间点A在三个投影面上的投影a
点A的正面投影a
点A的水平投影a
点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●ZY一、立体上点的投影正投影法基础一、立体上点的投影正投影法基础●●●●XYZOVHWAaaa①aa⊥OX轴;②aax=aaz=y=A到V面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●
aa⊥OZ轴;
3.点的投影规律aax=aay=z=A到H面的距离
aa⊥OY轴;4.两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法▲x
坐标大的在左
▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上baa
abb●●●●●●B点在A点之右、之前、之下。XYHYWZ正投影法基础重影点
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●aacc被挡住的投影加()()a
c●●aaaX例1:已知点A的两个投影，求第三投影。●a●●aaaXazaZ解法一:通过作45°线使aaZ=aaX解法二:用圆规直接量取aaZ=aaXa●例2:已知点的两个投影，求第三投影。a●b空间点A在OX轴上空间点B在OZ轴上●●bbZOXY●aaZOXYab●●●aabb●●●
直线段的两端点投影，将两端点的同面投影用直线段连接，就得到直线段的同面投影。直线AB的三个投影二、立体上直线的投影正投影法基础长对正、高平齐、宽相等AB直线对一个投影面的投影特性：1.各种位置直线的投影特性直线垂直于投影面投影重合为一点
积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长
ab=AB
真实性直线倾斜于投影面投影比空间线段短
ab=ABcosα类似性AB●●●●abαAMB●a≡b≡m●●●●●●●ab二、立体上直线的投影正投影法基础
直线在三个投影面中的投影特性：投影面平行线：投影面垂直线:一般位置直线：特殊位置直线：平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜的直线二、立体上直线的投影1.各种位置直线的投影特性正投影法基础二、立体上直线的投影
1.各种位置直线的投影特性（1）投影面平行线VWHVWHVWH//V正平线水平线//H//W侧平线正投影法基础二、立体上直线的投影
1.各种位置直线的投影特性正投影法基础baababbaabba①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabb二、立体上直线的投影
1.各种位置直线的投影特性（2）投影面垂直线VWH正垂线VVWHH铅垂线VWHW侧垂线正投影法基础二、立体上直线的投影
1.各种位置直线的投影特性正投影法基础
反映线段实长。且平行于相应的投影轴。铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)实长实长积聚性二、立体上直线的投影
1.各种位置直线的投影特性（3）一般位置直线VWH
对H、V、W面均倾斜的直线就是一般位置直线。
投影特性：◆
三个投影都是倾斜直线，并且都小于实长。正投影法基础二、立体上直线的投影
1.各种位置直线的投影特性（4）一般位置直线实长正投影法基础abba
线段的两个投影、线段的长度以及线段与投影面的夹角之间的关系。
（一）空间分析：1、线段AB、AK（水平投影ab）、BK（A、B两点到H面的距离差）构成了一个直角三角形。ABVHbbaakα
2、直角边BK（距离差）在投影图上的反映ZAZB／ZB-
ZA／—直角三角形法的作图原理abba1.以线段的水平投影a
为一条直角边AK；
（二）作图方法：2.作另一直角边BK。以线段两端点A、B到H面的距离差／BZ-
AZ／为另一条直角边的长，从正面投影量取；ABVHbbaaKα
3.作出直角三角形。其斜边即为线段AB的实长；斜边与投影直角边（水平投影a
b）的夹角就是AB与H面的夹角α。ZAZB／ZB-
ZA／ABαAK／ZB-
ZA／二、立体上直线的投影
2.直线上点的投影正投影法基础◆直线上点的投影必在直线的同面投影上并将线段的同面投影分割成与空间相同的比例。即：
◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比性例:判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a
上故点K不在AB上。abkabk●●方法一：方法二：应用定比性：因
ak/kb≠ak/kb所以点K不在AB上。二、立体上直线的投影
3.两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行与相交两直线处于同一平面称为同面直线，交叉二直线称为异面直线。a'b'c'd'abcdk'b'abc'd'cdka'平行相交交叉a'b'c'd'cabd4'1'2'123'34正投影法基础二、立体上直线的投影
3.两直线的相对位置----平行
若空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行，且投影长度成一定比例。反之亦然。VHXc`d`CDc``d``a`b`ABa``b``a'b'c'd'abcd正投影法基础abcdcabd例1:判断图中两条直线是否平行。
分析：结论：AB//CD
对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。正投影法基础bdcacbaddbac
分析：
求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2:判断图中两条直线是否平行。方法：求出侧面投影如何判断？
对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。正投影法基础二、立体上直线的投影
3.两直线的相对位置----相交
若空间两直线相交，则其同面投影必相交,而且交点必符合直线上点的投影规律。反之亦然。VHXa`b`ABabc`d`CDcde`eEb'abc'd'cda'ee'正投影法基础●●cabbacdkkd例:过C点作水平线CD与AB相交。步骤：1.先作正面投影：作cd∥OX
交ab于k。OX2.连接ck并延长求得d。分析水平线的投影特性:正面投影平行X轴正投影法基础二、立体上直线的投影
3.两直线的相对位置----交叉
空间两直线既不平行又不相交称为交叉。交叉两直线同面投影的交点不符合直线上点的投影规律。a'b'c'd'cabd121`（2`)4（3）3'4'
投影的交点是两直线上的重影点，不是两直线的交点！正投影法基础二、立体上直线的投影3.两直线的相对位置----交叉
在特殊情况下也可能有一对或两对同面投影平行。OXYHYWZa`b`abd`c`cda``c``b``d``正投影法基础三、立体上平面的投影
立体上每个平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的同面投影确定。
平面的投影同样符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。正投影法基础平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面三、立体上平面的投影
1.投影面平行面—正平面(//V)VWH正投影法基础三、立体上平面的投影
1.投影面平行面—水平面(//H)VWH正投影法基础三、立体上平面的投影
1.投影面平行面—侧平面(//W)VWH正投影法基础在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。三、立体上平面的投影
1.投影面平行面----投影特性正投影法基础三、立体上平面的投影
2.投影面垂直面—正垂面(V)VWHcacabbcba正投影法基础αγ类似三、立体上平面的投影
2.投影面垂直面—铅垂面(H)VWHcβacabbcba正投影法基础γ类似三、立体上平面的投影
2.投影面垂直面—侧垂面(W)VWHcacabbcba正投影法基础βα类似三、立体上平面的投影
2.投影面垂直面----投影特性
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。正投影法基础三、立体上平面的投影
3.一般位置平面VWH平面对三投影面均倾斜正投影法基础abcacbabc三、立体上平面的投影◆在H、V、W面上的投影皆为空间平面图形的类似图形。3.一般位置平面----投影特性正投影法基础P为正垂面S为铅垂面R为正平面例：参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。1)平面上取任意直线
若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
若一直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。方法一：方法二：如何判断直线在平面内？4.平面内取点、取线正投影法基础abcbcaabcbcadmnnmd例1:已知平面由相交的两直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二（利用方法一）（利用方法二）有无数个解!例2:在平面ABC内作一条水平线，使其到
H面的距离为20mm。nmnm20cabcab
结论：唯一解！问题：本题有几个解？2)平面上取点
面上取点的方法——定点先定线正投影法基础
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解§2-4立体表面几何元素在三视图的投影举例一、立体上点的投影二、立体上直线的投影三、立体上平面的投影正投影法基础Aaa’a”立体表面上点的三视图投影aaa正投影法基础立体表面上直线的三视图投影ABbaabb(a)正投影法基础立体表面上平面的三视图投影PSsppsps正投影法基础[例题1]已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a
a985cc[例题2]已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c
。[例题3]已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cccabc[例题4]
已知
ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d'dee'[例题5]
已知
ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mn'nm[例题6]
已知点
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