由于原文使用了“m皇后”进行描述，所以本文从现在开始也使用“m皇后”进行描述。我这里就不调整为大多数人习惯的“n皇后”了，避免某些数学公式参数混淆。
*【写在前面】*
这是现在网上流传的一套关于M皇后问题的构造法公式，但是这套公式是怎么得来的，却鲜有人知。而文本会详细阐述这套公式的推导过程：
该论文已被美国数学协会 Mathematical Association of America 公开，具体期数为 Vol.42, No.2 (Mar., 1969), pp. 66-72。
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该文献的英文原文链接：
M皇后问题： 在M×M格的国际象棋上摆放M个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
根据场景，又有三种衍生问题：
问题① 属于 禁位排列 问题，目前是存在通项公式直接求解的。
问题② 属于 搜索 问题，在网上也有多种解法，主流是 回溯法（另有衍生的位运算变种算法），但不管如何优化，回溯法都有一个致命的问题：M值不能过大（一般M=30已是极限）。
问题③ 属于 问题② 的子集，因此很多人的切入点依然是回溯法，也有启发式算法的解法：如遗传算法、还有刘汝佳在《算法艺术与信息学竞赛》提出的启发式修补算法。启发式算法在M<10000左右都是可解的，但是因为启发式算法均存在随机性，收敛速度视不同的收敛因子而变化（我看过某篇论文称启发式算法在M=10000时的耗时等价于回溯法M=30的耗时）。
① 原文写得有点艰涩，有些中间步骤是跳过了。我就加上自己的理解做了意译，并补上了跳过的步骤和图示，但是核心的推导思路和步骤不会修改。
② 原文首先给出了3个构造式（其实就是m皇后问题的通解式），然后以此为结论展开了一系列的推导证明这3个构造式是正确的。但是这3个构造式真正是怎么得来，原作者并没有说，估计是原作者做了大量的演绎、从m皇后的特解找到了潜在规则所总结出来的通解。
m皇后问题最初是由Gauss（高斯）提出的，该问题描述如下：
是否有可能在一个m×m的国际棋盘上放置m个皇后使得她们无法互相攻击？（注：皇后是国际象棋中的一种棋子，她可以对横、竖、斜三个方向的棋子发起攻击）
这是一个有趣的问题，我们可以将其约束到一个 数学模型 进行描述：
把棋盘定义为一个m×m的方格矩阵，那么对于任意方格可以使用有序对 (i, j) 以表示其行列坐标，其中 1 ≤ i ≤ m 表示该方格的行编号， 1 ≤ j ≤ m 表示该方格的列编号。
同时我们再为每个方格定义一组对角编号：
令自左上到右下方向为主对角线，对于主对角线上的方格 (i, j) ，显然有：
m - j + i = MAJOR_CONSTANT —— 译者注：这个公式对后续推导起到重要作用
其中 MAJOR_CONSTANT 称之为主对角常数，显然有 1 ≤ MAJOR_CONSTANT ≤ m ，将其定义为方格 (i, j) 的主对角编号。
进一步地，令自右上到左下方向为次对角线，对于次对角线上的方格 (i, j) ，显然有：
i + j - 1 = MINOR_CONSTANT —— 译者注：这个公式对后续推导起到重要作用
其中 MINOR_CONSTANT 称之为次对角常数，显然有 1 ≤ MINOR_CONSTANT ≤ m ，将其定义为方格 (i, j) 的次对角编号。
至此，m皇后问题的解模型可以定义为如下：
放置m个皇后到一个m×m的方格矩阵，使得皇后们的所在的方格同时满足下面所有条件：
这个模型足以解决所有m皇后问题（但仅适用于 m ≥ 4 的情况，因为 m = 2、3 时无解，m = 1 的解就不需要讨论了） —— 译者注：这个大前提条件会在最后进行论证
由于通解公式相对复杂，为了便于说明，此处不从过程推导出结论，而是反其道而行之：先给出结论的通解公式（且不考虑公式是怎么推演出来的），再证明之。
m皇后问题的解的共由3个构造式组成。
令 m = 2n，其中 n = 2, 3, 4, ...
构造式A仅适用于m是偶数的情况，它由两个子公式组成：
令 m = 2n，其中 n = 2, 3, 4, ...
构造式B同样仅适用于m是偶数的情况，它同样由两个子公式组成：
构造式C是构造式A或B的扩展推导式，仅适用于m+1是奇数的情况：
当已使用构造式A或B求得一个m×m的皇后问题的解时，若同时增加第 m+1 行和第 m+1 列，那么第 m+1 个皇后应放置在坐标为 (m+1, m+1) 的方格。
要证明构造式是成立的，只需要证明每个构造式导出的皇后位置均满足：
令 m = 2n，其中 n = 2, 3, 4, ...（即m≥4且是偶数）：
构造式含义：若把棋盘在横中轴线切开，很明显解集是呈中心旋转对称的，其中上半部分对应PA-1的解集，下半部分对应PA-2的解集：
定理A
对于m皇后问题，当 n != 3λ + 1 （其中 λ = 0, 1, 2, ... ）时，则必定可以使用【构造式A】求解。
① 行列编号的唯一性证明：
② 主对角编号的唯一性证明：
受 k、l 的取值范围影响，显然是不可能的，主对角编号的唯一性得证。
③ 次对角编号的唯一性证明：
由此可知当 n != 3λ + 1（λ = 0, 1, 2, ...）时，次对角编号是唯一的。
综上①②③，定理A得证 。
令 m = 2n，其中 n = 2, 3, 4, ...（即 m ≥ 4 且是偶数）：
为了便于说明，对 PB-1 和 PB-2 的对m取mod运算做一下等价处理：
构造式含义：若把棋盘在横中轴线切开，很明显解集是呈中心旋转对称的，其中上半部分对应 PB-1 的解集，下半部分对应 PB-2 的解集。同时根据列编号 mod m 部分的取值（ ≥m 或 <m ），PB-1 与 PB-2 的解集又分别拆分成两个分段函数子集：
定理B
对于m皇后问题，当 n != 3λ （其中 λ = 1, 2, 3, ... ）时，则必定可以使用【构造式B】求解。
① 行列编号的唯一性证明：
明显地：
② 主对角编号的唯一性证明：
而 n = 3 不在定理B的前提条件 n != 3λ（λ = 1, 2, 3, ...）范围内，可以直接排除。
因此 n > 3（否则 k' 与 l' 不能存在），所以不存在 n = 2 或 n = 3 取值的可能性，亦即（2）（3）实际均不成立。
综上，（1）（2）（3）（4）（5）（6）均不成立，主对角编号的唯一性得证。
③ 次对角编号的唯一性证明：
由此可知，当 n != 3λ（λ = 1, 2, 3, ...）时，（1）（2）（3）（4）（5）（6）均不成立，次对角编号的唯一性得证。
综上①②③，定理B得证 。
我们定义棋盘上由方格 (1, 1)、 (2, 2)、 (3, 3)、 ...、 (m, m) 连线所得的对角线为标准对角线，亦即标准对角线的行列编号必有 i == j 。
在证明构造式C之前，首先需要证明两条引理：
① 【引理A】的证明：
k = 0 与取值范围 k = 1, 2, 3, ..., n 矛盾，l = 0 与取值范围 l = 1, 2, 3, ..., n 矛盾，因此假设不成立，【引理A】得证。
② 【引理B】的证明：
由于 2n=m≥4 ⇒ n≥2，因此（1）（3）不成立，否则 k,l ≤ 0，与取值范围矛盾。
又由于（2）（4）的取值范围 k,l ≤ n，（2）（4）明显不成立。
因此假设不成立，【引理B】得证。
定理C
对于可使用【构造式A】或【构造式B】求解的m皇后问题，若同时增加第 m+1 行和第 m+1 列，使其延展为 m+1 皇后问题，那么这个 m+1 皇后问题也是可解的，且第 m+1 个皇后应放置在坐标为 (m+1, m+1) 的方格。
① 行列编号的唯一性证明：
由于【定理C】是从【定理A】或【定理B】上扩展的，且【定理A】与【定理B】的所有皇后的行列编号唯一性已得到证明，而【定理C】的第 m+1 行与第 m+1 列是新增的，那么第 m+1 个皇后的行列编号也必定是唯一的，因此所有皇后的行列编号必定也是唯一的。
② 主对角编号的唯一性证明：
由于第 m+1 个皇后的主对角线与标准对角线是重合的，而通过【引理A】与【引理B】可知在m×m范围内的标准对角线上不存在任何皇后，换言之标准对角线上只有第 m+1 个皇后，所以主对角线编号是唯一的。
③ 次对角编号的唯一性证明：
对于第 m+1 条次对角线，上面只有 (m+1, m+1) 一个方格，显然次对角线编号是唯一的。
上述所有的证明，都是基于一开始给出的大前提条件：
亦即m皇后问题（ m≥4 且 m是偶数）可通过【构造式A】或【构造式B】求解，而 m+1 皇后问题（ m+1≥5 且 m是奇数）则可通过【构造式C】求解。
至于为什么 m=1、 m=2 或 m=3 时并不适用于构造式A、B、C就是这里要讨论的。
首先当 m=1 时，虽然是有明确的唯一解，但并不存在 m=2n 的形式。而n作为三个构造式的重要变量，既然一开始就不存在n值，构造式A、B、C也就无从谈起了。
那么需要证明的，就是为什么 m=2 与 m=3 也不可取？
证明：
不难发现，（2）中 m=2 是在 m<4 范围内没有被约束条件限制的特例。
但当 m=2 时 n=1，不妨把 n=1 代入 PB-1 与 PB-2，取值范围均矛盾，无法计算列坐标编号。
因此对于【定理A】与【定理B】而言，m=2 都是不可解的，从而导致 m=3 也不可用【定理C】求解。
证毕（事实上，通过画图可以明显发现 m=2、 m=3 是无解的）。
在原作者提出的三个构造式A、B、C中，均使用 (i, j) 的二维坐标形式标记每个皇后的位置，从数学角度上更易于表达作者的思想，但是不便于编程使用。
为此译者在这里补充针对构造式A、B、C的转换公式，使用一维坐标形式标记每个皇后位置，以配合编程使用（其实这就是目前网上普遍流传的m皇后问题构造式）。
一维坐标的标记方式为：从第1行开始，依次写出m个数字，分别代表每行的皇后列坐标。亦即行坐标为数序（索引/下标），列坐标为数值。
如序列 [5, 3, 1, 6, 8, 2, 4, 7] 等价于 (1,5), (2,3), (3,1), (4,6), (5,8), (6,2), (7,4), (8,7)
约束条件：n != 3λ + 1（其中λ = 0, 1, 2, ...）
当m为偶数时：
当m为奇数时：
约束条件：不满足构造式A约束条件的，都可使用构造式B求解。
当m为偶数时, n=m/2：
若n为偶数：
若n为奇数：
当m为奇数时, n=(m-1)/2：
若n为偶数：
若n为奇数：
The desire of his soul is the prophecy of his fate你灵魂的欲望，是你命运的先知。
一、\r、\n、以及\r\n的区别\r ：将当前位置移到本行开头。又叫回车，对应键盘上的return键\n：将当前位置移到下一行开头。又叫换行，newline。这时候可能就有人陷入了思考中，在文本中回车不就相当于换行了吗？换行不就相当于到了下一行了吗？其实按道理说这样理解是没有问题的，但是在不同的操作系统中，换行是由不同的方式来表示的。Linux中\n表示回车并换行；Window
ASE40N02-ASEMI中低压N沟道MOS管ASE40N02
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