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1、 一、拱定义：一、拱定义： 通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。平反力的结构。 二、特点：二、特点： (1)在竖向荷载作用下，产生支座水平反力。在竖向荷载作用下，产生支座水平反力。 (2)由于水平支座推力的存在，拱截面上的弯矩远比代由于水平支座推力的存在，拱截面上的弯矩远比代梁上相应截面的弯矩小。梁上相应截面的弯矩小。 (3)在拱内产生代梁所不存在的轴力（对截面产生压应在拱内产生代梁所不存在的轴力（对截面产生压应力），使得拱截面上的应力分布比梁截面要均匀些，故节力），使得拱截面上的应力分布比梁截面要均匀些，故节省材料。省材料
2、。 (4)由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压由于拱内主要产生轴向压力，所以拱可以采用抗压性能良好、而抗拉性能较差的材料来建造。性能良好、而抗拉性能较差的材料来建造。（5）构造复杂，施工费用高。）构造复杂，施工费用高。 第第4 4章章 曲杆和三铰拱曲杆和三铰拱三、拱的种类：三、拱的种类：四、拱各部分的名称：四、拱各部分的名称：两铰拱两铰拱 无铰拱无铰拱 三铰拱三铰拱带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱带吊杆的三铰拱带吊杆的三铰拱拉杆拉杆 吊杆吊杆 花篮螺丝花篮螺丝 4 41 1概述概述 一.三铰拱的基本形式 （一）无拉杆的三铰拱（一）无拉杆的三铰拱1.平拱 两个拱脚铰在同一水平线2.斜拱两个拱
3、脚铰不在同一水平线上 （二）有拉杆的三铰拱（弓弦拱）（二）有拉杆的三铰拱（弓弦拱） 二二. . 三铰拱的组成三铰拱的组成 拱轴线抛物线、圆弧线和悬链线等 起拱线拱脚铰A、B之间的连线 拉杆AB(代替B支座的水平支撑链杆的作用) 拱脚铰（拱趾）A、B 拱顶铰C 拱高（矢高）f 拱跨度L 高跨比（矢跨比）fL 三三. . 三铰拱受力的基本特点三铰拱受力的基本特点 1. 无拉杆的三铰拱 在竖向荷载作用下，除产生竖向支座反力VA、VB外，还产生水平支座反力（推力）HA、HB。水平支座反力对拱截面产生负弯矩（上侧受拉），从而使得三铰拱截面上的内力弯矩小于荷载和跨度相同的相应简支梁上各对应截面上的弯矩值，
4、省材料，空间跨度大，但比梁需要更为坚固的基础或支承结构。 2. 有拉杆的三铰拱（弓弦拱） 有拉杆的三铰拱能使基础不受水平推力作用，但影响建筑空间，故常采取提高拉杆的位置或采取别的形式（图42）。 四四. . 拱与曲梁的区别拱与曲梁的区别 左图所示的曲梁在竖向荷载作用向下，只产生竖向支座反力VA、VB ， 水平支座反力HA0 而右图所示的有拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下，除了产生竖向支座反力VA、VB外，还会产生水平支座反力（推力）HA、HB。拱结构拱结构CAHBBHAVAVBP曲梁结构曲梁结构 PBAHA=0VAVA 42 曲杆的内力计算曲杆的内力计算 例题41 求图45a所示圆弧形曲杆任意截面
5、的内力M、V、N。 解:以极坐标表示B截面的位置，取图45c所示BC部分隔离体，设B截面的内力分别为M、V、N, 参照图45b并考虑到ds=Rd, 由平衡条件得 MB=0 M=S qdsRsin（） =qR20sin(-）d=qR2（1cos) 式 (4-1) Y=0 VS qds cos（） qR0cos（）d=qRsin 式（42） X=0 N-S qds sin（） qR0sin（）d= - qR（1cos) 式（43） 因为qds sinqdy,qds cos=qdx（图46a),故可将图45a所示的径向均布荷载q分解成图46b所示的沿水平方向及竖向作用的均布荷载q。 由此计算B截面所
6、得M、V、N结果同式（41）、（42）（43）。 例题42 求图47a所示圆弧曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标表示B截面的位置，设B截面的内力分别为M、V、N取图47c所示隔离体，参照图47b并考虑到ds=Rd, 由平衡条件得 MB=0 M=S qds（RsinRsin）=qR20（sin-sin）d =qR2（sin 1cos) 式 (44) Y=0 V=S qds cosqRcos0 d= qRcos 式（45） X=0 N=-S qds sinqR sin0d= -qRsin 式（46）4.3三铰拱的支座反力和内力计算三铰拱的支座反力和内力计算一、拱的内力计算原理仍然是一、拱
7、的内力计算原理仍然是截面法截面法。二、拱通常受压力，所以计算拱时，二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正规定轴力以受压为正。 三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计算。算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。四、三铰拱计算公式的建立四、三铰拱计算公式的建立xKDABHA0 = 0P1VA0 VB0 P2C简支梁计算简图简支梁计算简图 1 1、支座反力计算、支座反力计算)aPa(Pl1V)bPb(Pl1V0 M0 M2211B2211AAB0BB0AAVVVV HHH0 BA :X0H
8、falPlVM1111AC)()a(lPlVf1H1111A)a(lPlVM1111A0CfMH0C （4-16）DAHBBHBHBHAVAVBP1fll1l2a2a1b2b1P2l1yDxDxyD三铰拱计算简图三铰拱计算简图 CxDDABHA0 = 0P1VA0 VB0 P2C2 2、弯矩计算、弯矩计算DDDDyH)a(xPxVM11A)a(xPxVM10A0DDD1DAHBBHBHBHAVAVBP1fP2yDxDxyDa2a1b2b1（4-17）DDDyHMM0 HAVDNDMDP1VAADVA0 P1MD0QD0DDDDDDVHsin)cosP(VHsincosPcosV1A1A1A10
9、A0PVPVDVDDDVVHsincos0A （4-18）3 3、剪力计算、剪力计算1A10A0PVPVDV4 4、轴力计算、轴力计算DDDDDDHcos)sinP(VHcossinPsinVN1A1A（4-19）DDDDVHcossinN 0 五五. 斜拱的支座反力和内力计算斜拱的支座反力和内力计算 连接A、B，先将A和B处的支座 反力分别沿竖向和起拱线方向分解 为两个相互斜交的分力V A和 HA和 V B 和H B 。 根据上述平衡条件可得： V AV 0A， V B V 0B HAH BHM 0C/ f 然后再沿水平和竖向分解， 从而得到斜拱支座的水平支座反力 和竖向支座反力： HHAH
10、BHcos =M 0C/ f 式(4-20) VA =V OA + H tan 式 (4-21) VB =VBO H tan 式(4-22) 任意截面D的弯矩为： MD= MD0 - H .yD 式(4-23) VD=V 0Dcos D H sinD (1- tan/ tanD ) 式(4-24) ND=V0Dsin D + H cosD (1+tantanD ) 式(4-25) 例题4-4： 求图示三铰拱的支座反力，并绘制弯矩图、剪力和轴力图。 已知拱轴方程为 y = （4f / L2 ) x(L-x) 解：1.求支座反力 由式（4-13）及（4-14）， 可得 VA = Pibi/L =
11、481216+16416 = 28kN VB=Piai/L = 48416+161216 = 20kN HA = HB = H = MOC/ f = （288 - 484）4 = 24kN 2. 计算内力 将拱轴沿水平方向分成若干等分，求出各分点截面的内力后， 就可绘制内力图。（分成八等分） （1）计算x=4时截面2的内力，由拱轴方程，可得 y2=（4 f / L2 ）x ( L-x) = （ 44162 ）4(16-4) = 3m tan2 = dy/dx = 4 f / L2(L- 2x) = （44162 )(16-24) = 0.5 所以226034，sin2 = 0.447,cos2
12、 = 0.894 由式（4-17）（4-18）（4-19）可得截面2的弯矩、剪力、轴力分别为 M2 = M02-H .Y2 = (284 - 442)-243 = 8kN.m V2 = V02cos2- Hsin2 =(28-44)0.894-240.447 = 0 N2 = V02sin2+Hcos2 =(28-44)0.447+240.894 =26.8kN（2） 求X = 12m时截面6的内力。由拱轴方程，可得： y6=（4f /L2 ) x(L-x) = （44162 ) 12(16-12) = 3m tan6 = dy/dx = 4f / L2(L-2x) = （44162 ) (1
13、6 - 212) = - 0.5 所以 6 = - 26034，sin6 = - 0.447, cos 6 = 0.894 M6 = M06-H.y6 = 204 - 243 = 8kN.m 因截面6处有集中荷载P = 16KN， 该截面左右两侧的剪力和轴力会发生变化。根据（4-18）（4-19）可得： V6左= V06左cos6-Hsin6 = - 40.894-24（-0.447） = 7.15kN N6左= V06左sin6+Hcos6 = - 4（-0.447）+240.894=23.24kN V6右= V06右cos6-Hsin6 = -200.894-24（-0.447） = -7
14、.15kN N6右= V06右sin6+Hcos6 = (-20)（-0.447）+240.894=30.4kN （3）其他截面内力）其他截面内力 可列表进行计算（表可列表进行计算（表4-1）。）。 3.绘制内力图绘制内力图第第4章章q= 20kN/mCA4mBH=82.5kNVA=115kNP=100kNH=82.5kNVB=105kN10234567881.5=12mxy。 例例4-14-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为x)x(ll4fy2解：解： （1 1）计算支座反力）计算支座反力115kN1231009620VV0AA105kN12910036
15、20VV0BB82.5kN431006105fMH0C（2 2）计算各截面内力）计算各截面内力第第4章章0.707cos,0.707sin,4511.52121212442xll4f 1.5m1xdxdytan1.75m1.51.5)(121244)xx(ll4fy1.5mx111121211211x kN42118707058270705120115848707058270705120115mkN63575158251202151115220222202222022.).(cossin.).(sincos. HNNkNHQQyHMM截面截面1 1 。82.5cos1 1115kN115cos
16、 1115sin 182.5kN82.5sin 1Q1M1N111.5ql2cos 11.5ql21.5ql2sin 10第第4章章0.832cos,0.555sin,33.70.6673212121244 2xll4f3m2xdxdytan3m33)(121244)xx(ll4fy3mx22o2222222222x kN19983205825550320115055505828320320115mkN573582320213115220222202222022.)(cossin.)(sincos. HNNHQQyHMM其它截面的内力计算同上。其它截面的内力计算同上。82.5cos2 2。11
17、5kN115cos 2115sin 282.5kN82.5sin 2Q2M2N223ql2cos 23ql23ql2sin 201截面截面2 2 44 三铰拱的压力线及合理拱轴的概念三铰拱的压力线及合理拱轴的概念1、压力线、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、QK、NK。这三个内力分量可用它的合力。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力作代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线三铰拱的压力线。第第4章章2、压力线
18、的绘制：、压力线的绘制：第第4章章3、合理拱轴的概念：、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴合理拱轴。 （2）如何满足合理拱轴：）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。而后令其等于零即可确定合理拱轴。ORARB1223P1P2P3RKNKQKRARBBAP1CDEFP2P3K1K2K31223KK(3)、合理拱轴线的确定、合理拱轴线的确定由弯矩公式有：由弯矩公式有：一.
19、竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的一般表达式 由式（4-23）可知，在竖向荷载作用下，三铰拱任意截面 的弯矩计算公式为： MM0H.y 当拱轴为合理拱轴时，MM0H.y = 0,于是可得合理拱轴方程y为 ： y = M0/ H 式(4-29) 该式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴的纵坐标 y与代梁 弯矩图的纵标成正比。在已知的纵向荷载作用下，将代梁的弯矩方程 除以常数H，可得合理拱轴方程。 某一合理拱轴只是相当于某一确定的固定荷载而言的，当荷载的布置 改变时，合理拱轴方程也就相应的改变。 只有在三个铰的位置确定的情况下，水平推力H才是一个确定的常数，这时才有唯一的合理拱轴形式。 二二. 三铰拱在满跨竖向均布荷载三铰拱在满跨竖向均布荷载q作用下的合理拱轴作用下的合理拱轴 设坐标原点在支座A处，代梁的弯矩方程为 Mo=qLx/2-qx2/2=（qx/2）(L-x) 拱的水平推力H为： HMCO / f =qL2/ 8 f 合理拱轴方程为： y = M 0/ H=（qx/2）(L-x) /（qL2/8f）=4fx(L-x) / L2 式（430） 上式表明，在满跨竖向均布荷载作用下的合理拱轴为一抛物线，它与 矢高f或矢跨比f / L有关，具有不
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