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1、 指杆的轴线为曲线，且指杆的轴线为曲线，且 的结构。的结构。 (1) 拱的轴线为曲线，而梁一般为直线拱的轴线为曲线，而梁一般为直线 （有时也有曲线的）；（有时也有曲线的）； (2) 拱在竖向荷载的作用下能产生水平推拱在竖向荷载的作用下能产生水平推 力，而梁不能。例如：力，而梁不能。例如： 水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。水平推力的存在，是拱结构区别于梁的一个重要标志。 因此，通常又把拱结构因此，通常又把拱结构。 直梁直梁 曲梁曲梁拱拱 工程中常见的拱结构形式有工程中常见的拱结构形式有 无铰拱无铰拱 在带拉杆的三铰拱中，在带拉杆的三铰拱中，代替了支座的水平代替了支座的水平 推力，
2、因此，在竖向荷载的作用下支座只产生竖向反力，推力，因此，在竖向荷载的作用下支座只产生竖向反力， 结构内部的受力与拱完全一样。结构内部的受力与拱完全一样。 三铰拱三铰拱 二铰拱二铰拱 带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱 带拉杆的三铰拱带拉杆的三铰拱 拱趾拱趾 拱两端支座称为拱两端支座称为拱趾拱趾； 拱顶拱顶 拱中间的最高点称为拱中间的最高点称为拱顶拱顶； 矢高矢高 拱顶到两支座连线的拱顶到两支座连线的竖向竖向距离距离 f 称为称为矢高矢高； 矢跨比矢跨比 矢高矢高 f 与跨度与跨度 l 之比之比 f/l，称为，称为矢跨比矢跨比。矢跨比是。矢跨比是 拱的基本参数，工程中大多数为拱的基本参数，工程中大多数
3、为 f/l =（1 0.1）。）。 需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂，需比梁更坚固基础或支承结构，外形比梁复杂， 施工难度较大。施工难度较大。 (1)较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间；较为省材料，自重减轻，能跨越较大的空间； (2)由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比由于有水平推力的存在，其各个截面上的弯矩比 相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗相应的曲梁或梁要小，因此可利用抗压性能好、抗 拉性能差的材料（如砖、石、混凝土等）来建造。拉性能差的材料（如砖、石、混凝土等）来建造。 f l 曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意曲梁部分在材料力学中已讲过，主要应注意 。
4、这里主要介绍三铰拱的有关计算。这里主要介绍三铰拱的有关计算。 三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱三铰拱为静定拱，下面以两拱趾在同一水平线上的平拱 （两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的（两拱趾不在同一水平线上方法一样）为例介绍三铰拱的 反力及内力计算。反力及内力计算。 如图所示三铰拱如图所示三铰拱 得由0 FMB i ipiA bF l V 1 得由0 FMA i ipiB aF l V 1 由由X=0 得得 HHH BA A C l B l1l2 Fp1 Fp2 Fpn a1 a2 an b1 b2 bn f VBVA HA HB 由补充方程由补充方程MC =0得得
5、(考虑左考虑左 半部分拱半部分拱) 0 2121111 fHalFalFlVA ppA f alFalFlV H ppA2121111 得 我们来分析与之相对应的简支梁我们来分析与之相对应的简支梁 对于简支梁易得对于简支梁易得 i ipiA bF l V 1 0 i ipiB aF l V 1 0 2121111 00 alFalFlVM ppAC 比较可知比较可知 i ipiA bF l V 1 i ipiB aF l V 1 A C l B l1l2 Fp1 Fp2 Fpn a1 a2 an b1 b2 bn f VBVA HA HB VB0 VA0 A B Fp1 Fp2Fpn C K
6、K 由上式可知，推力等于相应由上式可知，推力等于相应 简支梁截面简支梁截面C的弯矩的弯矩 MC0 除以除以矢矢 高高f，在一定荷载作用下，推力只，在一定荷载作用下，推力只 与三个铰的位置有关，而与各铰与三个铰的位置有关，而与各铰 间的拱轴曲线形式无关。间的拱轴曲线形式无关。 f M H C 0 (4-1) 0 0 BB AA VV VV 由于推力与矢高由于推力与矢高 f 成成反比反比关系，因此，拱愈低推力关系，因此，拱愈低推力 愈大，当愈大，当 f0时，推力时，推力H。此时。此时A、B、C三铰在同三铰在同 一直线上，一直线上，。 A C l B l1l2 Fp1 Fp2 Fpn a1 a2 a
7、n b1 b2 bn f VBVA HA HB VB0 VA0 A B Fp1 Fp2Fpn C K K 用用截面法截面法可求出拱任一截面可求出拱任一截面 的内力。对于任一截面的内力。对于任一截面K取研究取研究 对象如图对象如图(b)所示。所示。 K 拱的任一截面内力拱的任一截面内力符号规定符号规定 为为：弯矩：弯矩M，使拱内纤维受拉的，使拱内纤维受拉的 为正；剪力为正；剪力FQ，对隔离体产生顺，对隔离体产生顺 时针矩的为正（时针矩的为正（与梁相同与梁相同），），轴轴 力力F FN N，受压为正 ，受压为正。 得由0 FMK KKpKAK yHaxFxVM 11 11 00 axFxVM Kp
8、KAK 11 axFxV KpKA KKK yHMM 0 (4-2) MK yK xK VA H x y Fp1 FQK FNK K K 图图(b) VA0 Fp1 F0QK 0 K M A C l B l1l2 Fp1 Fp2 Fpn a1 a2 an b1 b2 bn f VBVA HA HB 11 00 pApAQK FVFVF KKQKQK KKQKNK HFF HFF sincos cossin 0 0 (4-3) 有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。有了上述任意截面的内力方程，不难画出其内力图。 与梁刚架类似，与梁刚架类似，在集中力作用处在集中力作用处，FNK和和FQK图
9、将图将突变突变， 在集中力偶作用处在集中力偶作用处，M图将图将突变突变。由于拱轴为曲线，可。由于拱轴为曲线，可 采用描点法来作内力图。采用描点法来作内力图。 下面举例说明。下面举例说明。 所有的力向所有的力向FNK方向投影得方向投影得 KKpANK HFVFcossin 1 所有的力向所有的力向FQK方向投影得方向投影得 KKpAQK HFVFsincos 1 图图(c) VA0 Fp1 F0QK MK yK xK VA H x y Fp1 FQK FNK K K 三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。三铰拱及受载如图示，求支反力并作内力图。 )( 4 2 xlx l f y拱轴线为抛物线
10、(1)求支座反力求支座反力 kN7 16 241281 0 AA VV kN5 16 124481 0 BB VV kN6 4 88 2 2 1 00 AC V f M H (2)求内力方程求内力方程 AC段：段：yxxHyqxxVyHMM A 6 2 1 7 2 1 2200 sin6cos7sincos 0 xHFF QQ cos6sin7cossin 0 xHFF QN 4m x A C 4m B 8m4m q=1kN/m Fp=4kN D y H VBVA H A B Fp C q D 相应简支梁相应简支梁 VB0 VA0 CD段：段： yxxHyxqxVyHMM A 6) 4( 87
11、) 4( 8 00 sin6cossincos 0 HFF QQ cos6sincossin 0 HFF QN DB段：段：yHMM 0 sin6cos5sincos 0 HFF QQ cossin 0 HFF QN 上述各式中上述各式中 16 16 16 16 44 2 xx xxy 8 8 arctanarctan x dx dy yxHyxVB6)16(5)16( 0 cos6sin5 kN7 16 241281 0 AA VV kN5 16 124481 0 BB VV kN6 4 88 2 2 1 00 AC V f M H 6 1 0 H FQ 6 5 0 H FQ 4m x A
12、C 4m B 8m4m q=1kN/m Fp=4kN D y 利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘利用上述方程可以求出任一截面的内力，为了方便绘 图，图，通常列表通常列表求出有限个截面的内力数值，然后根据表中求出有限个截面的内力数值，然后根据表中 数据，采用数据，采用描点法描点法即可得到内力图（有限个截面选取时要即可得到内力图（有限个截面选取时要 注意，有些注意，有些关键截面关键截面内力突变截面不要漏掉）。若八内力突变截面不要漏掉）。若八 等分，则计算结果如下表所示。等分，则计算结果如下表所示。 截面几何参数截面几何参数截面内力截面内力 截面截面 x/m y/m / M/kN.m F
13、Q/kN FN/kN 100 45 00.71 9.19 22 1.75 36.87 1.5 0.4 7.80 34 3.00 26.57 2 0 6.70 463.7514.04 1.5 -0.49 6.06 581000-1.00 6.00 6103.75-14.04 -0.5 0.49 6.06 7123.00-26.57 2 左：左：1.79 左：左：5.81 右：右：-1.79 右：右：7.60 8141.75- 36.87 -0.5 -0.4 7.8 9160-45 00.7 7.78 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M图（图（kN.m） 1.5 2 1.5 0.5 2 0.5
14、 FQ 图（图（kN） 0.71 0.4 0.49 1.0 0.49 1.79 1.79 0.4 0.70 FN 图（图（kN） 9.19 7.8 6.7 6.06 6.06.06 5.81 7.6 7.87.78 注意：注意：在在FQ=0处，处，M图有极值图有极值; 在集中力作用处，在集中力作用处，FQ图和图和FN图均发生突变。图均发生突变。 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态时 的拱轴线，称为的拱轴线，称为。 因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义，因此，若拱轴为合理拱轴线，根据定义， 则任一截面有则任一截面有 0 0 yHMM 即即 H xM y )(
15、 0 (4-4) 这就是这就是。 下面举例说明如何确定合理拱轴线。下面举例说明如何确定合理拱轴线。 x y 对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。对称三铰拱受载如图示，求其合理拱轴线。 建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系 相应简支梁任一截面相应简支梁任一截面 的弯矩方程为的弯矩方程为 20 2 1 xlxqxM 8 2 0 ql M C f ql f M H C 8 20 代入（代入（4-4）式即得合理拱轴线为）式即得合理拱轴线为 xlx l f H xM y 2 0 4 H xM y )( 0 (4-4) q A C B l f 求图示对称三铰拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷求图示对称三铰
16、拱的合理拱轴线。其上所受的分布荷 载为载为q=qd+ .y（ 为填料的容重）。为填料的容重）。 由于荷载由于荷载 q 也与拱轴的形状也与拱轴的形状 有关，故此时无法直接应用有关，故此时无法直接应用 （4-4）式。）式。 H xM y )( 0 2 02 )(1 dx xMd H y ： 也与拱轴形状有关，即也是也与拱轴形状有关，即也是x的函数，的函数， 这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的影这里仅是近似处理，形状的微小改变，对水平推力的影 响较小，忽略不计。响较小，忽略不计。 f qM H C )( 0 q dx Md 2 2 H yq H xq y d (a) H xM y )(
17、0 (4-4) f A C B l x y q qd q=qd+ .y(x) 整理可得整理可得 (b)式的解可由式的解可由表示为表示为 H q yky d 2 (b) 其中其中 H k (c) 2 shch kH q kxBkxAy d 或或 d q kxBkxAyshch (d) 边界条件为：边界条件为： 0 0 x y0 0 x y由边界条件得：由边界条件得： d q A0B 1chx H q y d 代回代回(d)式得式得 上式表明，三铰拱在上式表明，三铰拱在的作用下，合理拱轴线为的作用下，合理拱轴线为 一一。 图示三铰拱沿拱轴的法向受均布压力，试图示三铰拱沿拱轴的法向受均布压力，试证明
18、证明合理合理 拱轴线为圆弧线。拱轴线为圆弧线。 因为因为q不是竖向荷载，不能不是竖向荷载，不能 直接应用（直接应用（4-4）式。设拱轴）式。设拱轴 的曲率半径为的曲率半径为 ，取出为段，取出为段 ds为研究对象。如图示为研究对象。如图示 FN FQ M FN+dFN FQ+dFQ M+dM o x y d 由由X=0 得得 d 很小很小 , 22 sin dd 1 2 cos d 2 cos 2 cos d dFFqds d F QQQ 0 2 sin d dFFF NNN (a) 因此因此(a)式整理可得式整理可得 q F ds dF N Q (b) H xM y )( 0 (4-4) A
19、C q B 由由Y=0得得 0 2 sin 2 cos 2 cos d dFFF d dFF d F QQQNNN (c) 上式整理可得上式整理可得 Q N F ds dF (d) 0 o FM 由由 得得 0 2 cos 22 cos 2 dds dFF dds FMdMM QQQ (e) 上式整理可得上式整理可得 Q F ds dM (f) 分析分析：当拱轴为合理轴线时，有当拱轴为合理轴线时，有M=0，由，由(f)式式知，知， FQ =0； 将其代回将其代回(d)式式知，知， FN =常数；常数； 由由(b)式式知，知， =FN /q=。 故当拱轴为合理轴线时，其曲率半径故当拱轴为合理轴线
20、时，其曲率半径 为为。 q F ds dF N Q (b) FN FQ M FN+dFN FQ+dFQ M+dM o x y d 三铰刚架是杆轴线为折线形式的三铰刚架是杆轴线为折线形式的。它的支座。它的支座 反力计算与三铰拱一样，而内力的计算与刚架相同。下面反力计算与三铰拱一样，而内力的计算与刚架相同。下面 举例说明。举例说明。 如图示对称刚架，作如图示对称刚架，作M图。图。 ：可把此结构视为由虚铰：可把此结构视为由虚铰 A 和和B 实铰实铰C相连的三铰刚架。相连的三铰刚架。 kN3 8 641 0 AA VV kN1 8 241 0 BB VV kN4 . 2 4 7 4 tan 4 7 4
21、1 4 3 0 f M H C 利用所求虚铰的约束反力，可求利用所求虚铰的约束反力，可求 出虚铰中各链杆的内力。出虚铰中各链杆的内力。 B VA A f H H VB FE 1 1 A B C D GH 33 3 3 1 q=1kN/m (长度单位长度单位m)图图(a) VA 0 VB 0 图图(b) VA A H VA FNDE 图图(c) 由图由图(c)得得 kN4 5 3 4 . 2 sin H FNDE kN2 . 6 5 4 43cos NDEAA FVV B H VB VB FNDF 图图(d) 由图由图(d)得得 kN4 5 3 4 . 2 sin H FNDF kN2 . 4 5 4 41cos NDFBB FVV 这样可求得刚架的受力如图这样可求得刚架的受力如图(e)所示。所示。 A B C EF G q=1kN/m VA VB FNDE FNDE 图图(e) H ： 0 GEGA MM kN.m7 . 51
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