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1、第第21章章 力矩分配法力矩分配法21.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念21.2 力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架21.3 超静定结构的受力分析和变形特点超静定结构的受力分析和变形特点小结小结21.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念力矩分配法适用于计算连续梁和无侧移刚架。21.1.1 力矩分配法的几个名词力矩分配法的几个名词无侧移刚架位移法基本结构11110FrR 位移法方程由 图得1M13ABABMi14ACACMi1ADADMi1134ABACADriii1FRM 代入位移法方程，得1(34)ABACADiiiM 1(34)ABACAD
2、Miii 3(34)ABABABACADiMMiii4(34)ACACABACADiMMiii(34)ADADABACADiMMiii0BAM2(34)ACCAABACADiMMiii(34)ADDAABACADiMMiii1. 转动刚度：转动刚度：表示杆端抵抗转动的能力。 称为AB杆A端的转动刚度，它等于使AB杆A端（也称近端）产生单位转角时所需施加的力矩。ABS杆端转动刚度的数值，等于位移法中等截面直杆在杆端有单位转角时该端的弯矩值。1）在 中，A端是转动端，也称近端，B端为远端。ABS2） 的数值与杆件的线刚度和远端支承情况有关：ABS4ABABSi远端固定3ABABSi远端铰接ABAB
3、Si远端滑动0ABS远端自由2.分配系数分配系数jAAjSAjAAjAjSS显然，同一节点上各杆分配系数 之和等于1，即1AADACABADACABASSSS杆件近端的分配弯矩可用下式表示：MMAjAj用 表示杆 在A端的分配系数。分配系数 在数值上等于杆 的转动刚度 与交于节点A各杆在A端的转动刚度S之和的比值。AjjA当节点 A作用外力偶 M时，该节点发生转动，使各杆在A端（近端）产生弯矩，称为分配弯矩分配弯矩。3. 传递系数传递系数当杆件近端有转角时，近端得到分配弯矩的同时，杆件远端产生弯矩，称为传递弯矩传递弯矩。杆件远端传递弯矩与近端分配弯矩的比值称为传递系数传递系数，用C表示。对等截
4、面直杆而言，传递系数C随远端支承情况不同，其数值分别为远端固定端远端铰支座远端滑动支座利用传递系数的概念，杆件远端传递弯矩可按下式计算：0BAABABMCM12CAACACMCM1ADDAADMMC21C0C1CAjAjCjAMCM21.1.2 单节点力矩分配法的基本运算单节点力矩分配法的基本运算计算分3步：1）在节点B处增加限制转动的刚臂，形成两个单跨超静定梁组成的基 本结构，将荷载作用于基本结构上，各单跨梁产生的杆端弯矩为固 端弯矩。 又称为节点B处的不平衡力矩。2）放松节点B，即在节点B处施加与不平衡力矩方向相反的力矩。计算 节点B处各杆近端得到的分配弯矩及各杆远端产生的传递弯矩。3）将
5、两种情况相叠加，就与原结构受力和变形相同了。BM单节点力矩分配法的基本运算：单节点力矩分配法的基本运算：（1）锁住节点：即在计算节点上附加刚臂，将原结构分成若干单跨超 静定梁，称为固定状态固定状态。计算出各杆的杆端弯矩（固端弯矩）和 节点上的不平衡力矩。（2）放松节点：即在计算节点处施加与不平衡力矩方向相反的力矩， 称为放松状态放松状态。计算出节点处各杆近端的分配弯矩和相应远端的 传递弯矩。（3）叠加最后弯矩：将各杆固端弯矩与分配弯矩或传递弯矩相加，得 各杆的最后弯矩最后弯矩。以上过程可归纳为：“先锁、后松，再叠加”。力矩分配法的基本原理（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端
6、弯矩。（2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递弯矩。（3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩例 试作图a所示刚架的弯矩图。解：（1）计算各杆端分配系数。令iAB=iAC =EI/4=1，则iAD=2。222. 092333. 093445. 0942131414ADACAB（2）计算固端弯矩，查表计算。mkN258m4kN50mkN758m4kN503mkN4012)m4(m/kN30mkN4012)m4(m/kN30FF2F2FDAADABBAMMMM（3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为mkN35mkN)
7、7540(FAjM计算过程如图b。（4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩例例21-1 试求图示刚架的弯矩图，EI=常数。 （1）固定状态：先在节点A处加上附加刚臂，计算各杆的固端弯矩0FDAM21124 16kN m48kN m88FADMql21124 16kN m32kN m1212FFBAABMMql 节点A不平衡力矩48kN m32kN m16kN mAM解解:（2）放松状态：在A点处加一个不平衡力矩方向相反的（ ），然后进 行分配、传递计算，各杆线刚度相等AMiEIiiiADACAB4转动刚度iSAB4iSACiSAD3分配
8、系数2184iiSSSSADACABABAB38AD81AC校核1ADACAB分配弯矩116 kN m8kN m2ABM 316 kN m6kN m8ADM 116 kN m2kN m8ACM 传递弯矩18 kN m4kN m2CBAM 0CDAM2kN mCCAACMM （3）将以上（1）和（2）结果叠加，即得各杆最后杆端弯矩。画出刚架的M图（1）计算各杆的固端弯矩221120 616 6kN mkN m72kN m128128FFBAABMMqlpl 33 32 6kN m36kN m1616FBCMpl 节点B不平衡力矩72kN m36kN m36kN mBM例例21-2 用力矩分配法求
9、图示连续梁的弯矩图，EI=常数。解解:（2）计算各杆端分配系数：杆AB和BC线刚度相等，都为 ，故6/EIi 转动刚度,44iiSABBAiiSBCBC33分配系数74344iiiSSSBCBABABA73343iiiSSSBCBABCBC（3）分配和传递：利用分配系数和传递系数，直接在计算简图下进行 计算，应用叠加原理即可作出最后弯矩图。21.2 力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架三跨连续梁固定节点放松节点B放松节点CMBMCABCD-MBBM CM)(CCMMCM BM 不断重复例例21-3 用力矩分配法求图示连续梁的弯矩图，i=常数。1）转动刚度,3iSBA
10、,4iSBC,4iSCB0CDS2）分配系数,73BA,74BC, 1CB0CD3）杆端弯矩21120kN m8FBAMql2180kN m12FBCMql 80kN mFCBM80 2kN m160kN mFCDMPl解法解法1：（1）计算基本数据：（2）计算过程：力矩分配计算如图所示。解法解法2：截断外伸杆CD，将荷载简化C端。（1）计算基本数据：此时只有节点B为刚节点，而C端是铰接端。1）转动刚度2）分配系数3）杆端弯矩iSSBCAB35 . 0BCBA201120kN m80kN m40kN m82FBCMMql 160kN mFCBM21120kN m8FBAMql（2）计算过程：力
11、矩分配计算如图所示。弯矩图用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 即对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到小到可以停止。由此可知，计算的结果为近似的。如图所示连续梁各杆件线刚度为i7334374344214442144423212110iiiiiiiiiiii，分配系数为固端弯矩为0mkN450mkN600mkN600mkN300mkN300F32F23F21F12F10F01MMMMMM，计算过程如下图 1、放松结点1，其不平衡力矩为-300kNm，反号分配并传递，如图。 2、放松结点2，其不平衡力矩为150+75
12、=225kNm，反号分配并传递，如图。 3、结点1有了新的不平衡力矩-64kNm，反号分配并传递，如图。 如此反复将各结点的不平衡力矩进行分配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略去，停止计算。 例例21-4 用力矩分配法求图示刚架的弯矩图，EI=常数。解解：21124 36kN m72kN m1212FCBMql2172kN m12FBCMql18kN mFBDMPl 节点上的集中力偶（ ），不产生杆端弯矩而直接作用在节点C的附加刚臂上，引起该节点的不平衡力矩，参与分配，所以第一轮放松节点C时，不平衡力矩为（ ）。24kN m24kN m 72kN m（2）求转动刚度、分配系数：令 ，则iEI
13、12/,34iEIiAC,26iEIiBCiEIiiCFBE26（1）锁住节点B和C：杆端弯矩1）计算节点C，39CACASii48CBBCSiiiiSCFCF21992989iiiiSSSSCFCBCACACA1982988iiiiSSSSCFCBCACBCB1922982iiiiSSSSCFCBCACFCF2）计算节点B，,84iiSBEBE,84iiSBCBC0BDS5 . 0888iiiSSSSBCBEBDBCBC5 . 0888iiiSSSSBCBEBDBEBE（3）力矩分配计算：（4）画弯矩图：多节点力矩分配的解题步骤多节点力矩分配的解题步骤：1）先固定结构的所有节点，将荷载作用其
14、上，计算固端弯矩和分配系 数。2）放松一个节点，先计算节点的不平衡力矩，将其反号，分配给杆件 的近端得分配弯矩，并传递到远端得传递弯矩。3）计算另外节点的不平衡力矩，放松该节点，计算分配弯矩和传递弯 矩。4）重复第2）步和第3）步的计算，直至约束力矩小到可以忽略不计时 为止。5）将杆端的固端弯矩、历次分配弯矩和历次传递弯矩求代数和，即得 杆端弯矩。由杆端弯矩，并运用叠加原理，即可作出结构的弯矩图。21.3 超静定结构的受力分析和变形特点超静定结构的受力分析和变形特点21.3.1 超静定结构的特性超静定结构的特性1）静定结构的内力只用平衡条件即可确定，其值与结构的材料性能 及杆件截面尺寸无关。超
15、静定结构的内力由静力平衡条件不能全 部确定，还需同时考虑位移条件。2）静定结构除了荷载作用外的其他因素，都不引起内力。超静定结 构由于多余约束的影响，致使除荷载作用外其他因素（如支座移 动，温度改变，制造误差等），都能在结构中引起内力。3）静定结构在任一约束遭到破坏后，即丧失其几何不变性，因而不能 再承受荷载。而超静定结构则由于具有多余约束，在多余约束遭到 破坏后，仍能维持其几何不变性，而且结构仍具有一定的承载力。4）在局部荷载作用下，超静定结构的内力分布比静定结构的内力分 布均匀些，分布范围也大些，但内力峰值却降低了。21.3.2 超静定结构的计算方法超静定结构的计算方法结构的计算通常包括内
16、力计算和位移计算两个方面。不论静定和超静定结构，内力和位移要满足内力和位移要满足3 3个条件个条件: :（1）平衡条件：结构整体及其各个部分所受的力系都要满足静力学的平衡条件。（2）物理条件：在线弹性范围内 ，应力与应变要满足胡克定律。（3）变形的几何连续条件：结构的位移应与各杆件的连接形式和外部支承情 况相符合。 计算超静定结构的基本方法有计算超静定结构的基本方法有3 3种：种：力法以多余未知力为基本未知量，以静定结构为基本结构，以基本结构在 多余约束处满足原结构的位移条件建立力法方程。位移法则以节点位移为基本未知量，附加约束后的超静定结构为基本结 构，以基本结构在节点处满足原结构的静力平衡条件建立位移法方程。力矩分配法是位移法的一种渐近方法，它直接以杆端弯矩作为计算对象， 计算简单机械，应用较多。对于不同的结构形式，其适用的计算方法如下：（1）超静定桁架和组合结构：由于节点位移较多，宜用力法。（2）连续梁：最宜于用力矩分配法。（3）超静定刚架：位移法最宜于计算超静定刚架。当刚架超静定次 数较少而节点位移较多时，可采用力法。对无节点线位移的刚 架，也可采用力矩分配法。不论采用何种方法，当结构对称时，要尽可能利用对称性，以使计算得到简化。小结小结 力矩分配法的优点：无需建立和解算联立方程，直接以杆端弯矩作为计算 对象，力学概念明确，总是重复一个基本计算，即单节点的力
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