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1、 第四章第四章 土中应力计算土中应力计算n4.1 土中应力计算的工程意义n4.2 土体自重应力计算n4.3 基底压力分布及计算n4.4 空间问题土体中附加应力的计算n4.5 平面问题土体中附加应力的计算n4.6 土体中附加应力的一些其他问题本章主要内容本章主要内容注意注意：红色字红色字部分为关键内容部分为关键内容（1）自重应力：是土体由于自身重力作用而存在的应力。 没有建筑物时，深度为Z的某点处自重应力是多少？持力层持力层下卧层下卧层z地下水位地下水位？地基应力分为自重应力和附加应力。重点提示：重点提示：（2）附加应力：是指修建建筑物以后，在地基内新增加的应力。 修建建筑物后，基础底面的压力是
2、多少？深度为Z的某点处附加应力又是多少？ 附加应力是引起建筑物沉降的主要原因。 怎么解答？持力层持力层下卧层下卧层z地下水位地下水位？F F本讲重点解决这些问题！本讲重点解决这些问题！ 在自然界中，非边坡状态下土体均处于稳定状态，不会产生破坏；但修建建筑物后，地基土体将产生应力变化，进而产生变形沉降。 地基土层受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。 第一节第一节 土中应力计算的工程意义土中应力计算的工程意义（课本第（课本第4545页）页） 因此，我们需要掌握建筑物修建前后土中应力分布及变化情况，如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是
3、稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒和破坏。地基中的应力，按照成因可以分为自重应力和附加应力两种：（1）未建建筑物之前，地基中只有自重应力，（2）当修建建筑物之后，地基土将再承受建筑物的附加应力。 自重应力是指土体受到自身重力作用而存在的应力。一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。附加应力是指土体受到外荷以及地下水渗流、地震、风、雪等作用下附加产生的应力增量。它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。（课本第（课本第4545页）页）本章重点计算题：自重应力与附加应力自重应力自重
4、应力 基底压力基底压力 基底附加应力基底附加应力（1）土体是均匀的半无限体，且假定天然地面为无限大的水平面。（2）在自身重力作用下土体任一竖直平面均是对称面，切面上不存在剪应力。（3）自重作用下土体只能产生竖向变形而无侧向位移和剪切变形。基本假设：基本假设：（课本第（课本第4646页）页）第二节第二节 土体自重应力计算土体自重应力计算天然地面天然地面cz cx cy 11zzcz zcz 竖向自重应力土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积(1m1m)上土柱的有效重量，单位KN/m2=kPa。czcz沿水平面沿水平面均匀均匀分布，随深度分布，随深度直线分布直线分布均质土均质土的自重应力的自重
5、应力土的重度土的重度(KN/m(KN/m3 3) )自重应力沿自重应力沿深度分布图深度分布图均匀土体：均匀土体：线性分布线性分布（课本第（课本第4646页）页）水平向自重应力（无侧向变形和剪切变形）水平向自重应力（无侧向变形和剪切变形）czcycxK0天然地面天然地面zcz cx cy zcz静止土压力系数静止土压力系数，可查，可查表表4-14-1确定确定10K土的泊松比。土的泊松比。，水平向水平向竖向竖向注意：注意：1、若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱体自重必须扣除所受浮力，所以，应当采用土的浮重度（有效重度）代替天然重度。2、土颗粒间的有效应力最主要和最常用的
6、是竖向有效应力，因此把cz简称自重应力或自重压力，并用c表示，单位为kPa。（课本第（课本第4747页）页）说明：1、n地面起到深度Z处的土层数。2、i第i层土的天然重度，地下水位以下土层采用浮重度，kN/m3；3、hi第i层土的厚度，m。4、成层土中自重应力沿深度呈折线分布。5、地下水位以下不透水层（岩石或坚硬黏土）顶面的自重应力值及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。天然地面天然地面h1h2h3 3 2 1 水位面水位面 1 h1 1 h1 + 2h2 1 h1 + 2h2 + 3h3 iniinnczhhhh 12211成层土中自重应力成层土中自重应力（课本第（课本第4747页
7、）页）（1）地下水下降（大量抽取地下水） ：孔隙水压力消失，有效自重应力增加，土体被压密或收缩变形，造成地面大面积沉降的严重后果。（改变）（2）地下水上升会引起地基承载力降低和湿陷性土塌陷现象；但膨胀土会吸水膨胀，引起低层建筑物开裂。（改变）（3）在原地面上填土，增加了土体自重应力，土体会进一步压缩。（z改变） zcz或或z z改变改变（课本第（课本第47-4847-48页）页）例题例题4-14-1（课本第（课本第47-4847-48页）页）补充例题：补充例题： 一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制自重应力cz沿深度的分布图。 57.0kPa80.1kPa103.1kPa103
8、.1+47=150.1kPa194.1kPainiinnczhhhh 12211+ +(20.5(20.5-10-10) )2.2=23.12.2=23.119193=573=57+ +(19.2(19.2-10-10) )2.5=232.5=23+ +22222=442=44cz z自重应力沿自重应力沿深度分布图深度分布图隔水：要加水重，以下的隔水：要加水重，以下的土用饱和重度土用饱和重度水重：水重：1010（2.2+2.52.2+2.5）=4=47 7前文小结前文小结n土的自重应力土的自重应力n成层土（存在地下水）自重应力成层土（存在地下水）自重应力n注意注意地下水位地下水位及其下及其下不
9、透水层不透水层顶面的自重应力计算。顶面的自重应力计算。zcz iniinnczhhhh 12211基底压力是指建筑物的荷载通过自身基础传递给地基，基础底面单位面积土体所受到的压力。F第三节第三节 基底压力分布及计算基底压力分布及计算（课本第（课本第4949页）页）弹性地基上的完全柔性基础：例如土坝、路基及油罐薄板等，基础没有抵抗弯曲变形的能力，基础随着地基土一起变形。（课本第（课本第4949页）页）弹性地基上的绝对刚性基础：如块式整体基础、混凝土基础等，基础刚度远大于地基土刚度，地基与基础的变形必须协调一致。变形变形马鞍形马鞍形荷载荷载小小大大抛物形抛物形钟形钟形边缘出现边缘出现塑性变形塑性变
10、形接近破坏接近破坏荷载荷载均匀的荷载不均匀的基底反力（课本第（课本第4949页）页）重要概念及理解：中心荷载和偏心荷载中心荷载 ：上部荷载的重心作用线与构件的几何中心线重合。此时构件中只受压而不受弯矩。偏心荷载：上部荷载的重心作用线偏离构件的几何中心线。此时构件既受压又受弯矩，偏离形心的垂直距离，就是偏心距。 F FF F中心荷载中心荷载偏心荷载偏心荷载e e偏心距偏心距基底压力的计算与上部荷载的合力作用点有关。（课本第（课本第4949页）页）Q QF FA A当上部结构空间不大时，上部荷载F的重心基本与柱子的形心重合，即可以认为柱子所承受的力F是竖向中心荷载。1 1、竖向中心荷载作用、竖向中
11、心荷载作用（课本第（课本第5050页）页）设某框架结构上部总荷载为Q(kN)Q Q则Q由四根柱传递给基础，每柱承受的荷载为：F=Q/4(kN)F F假设采用柱下独立基础，若独立基础底面积为A，则基础底面承受上部荷载的平均压力为：A AAGFpG G1 1、竖向中心荷载作用、竖向中心荷载作用（课本第（课本第5050页）页）F基础顶面的竖向力，kN；G基础自重及其上土重，kN；G=GAd, G为基础及其上回填土重的平均重度，取G =20kN/m3，地下水位以下扣除浮力。d基础埋深，m；从室内地面或室内外地面算起；A基底面积，m2；矩形基础A=L(长度)b(宽度)；条形基础沿长度方向取1m计算，式中
12、A=b1，F、G为单位长度基础内的相应值，kN/m。1 1、竖向中心荷载作用、竖向中心荷载作用（课本第（课本第5050页）页）AGFpAGFpG G= = G GAdAd(kN)(kN)d d取室外设计地面或室内取室外设计地面或室内外外平均埋深平均埋深计算计算若是若是条形基础条形基础，F F、G G取取单位长度单位长度(1m)(1m)基基底面积底面积计算计算1m1m变为变为矩形矩形进行计算进行计算G G =20kN/m=20kN/m3 3地下水位以下扣除浮力地下水位以下扣除浮力（课本第（课本第5050页）页）Q QF FA A当上部结构空间较大时，上部荷载F的重心与柱子的形心不重合，柱子所承受
13、的力F将出现竖向偏心荷载。2 2、竖向偏心荷载作用、竖向偏心荷载作用（课本第（课本第5050页）页）F+G eelbpmaxpminWMAGFppminmax作用于作用于基础底面形心基础底面形心上的上的力矩力矩M M=(=(F+GF+G) )e e ( (kNmkNm) )基础底面的抵抗矩基础底面的抵抗矩；对对矩形截面有矩形截面有W W= =blbl2 2/6 (/6 (m m3 3) )leblGFpp61minmax偏心距偏心距2 2、竖向偏心荷载作用、竖向偏心荷载作用（课本第（课本第5050页）页）2、抵抗矩W：它是基础浇筑完成后，作为一个整体构件的固有属性，是用来计算抗弯抗压等承载能力
14、的，与施加的外力无关。基础底面的基础底面的抵抗矩抵抗矩；对矩对矩形截面有形截面有W W= =blbl2 2/6 /6 (m(m3 3) )解释：解释：)/()(GFMeeGFM，则由于1、偏心矩e：指偏心受力构件中轴向力作用点至截面形心的距离。（课本第（课本第5050页）页）)61 ()(6A6/)(22maxminleblGFblGFeGFbleGFAGFWMAGFpp2 2、竖向偏心荷载作用、竖向偏心荷载作用（课本第（课本第5050页）页）leblGFpp61minmax讨论：讨论：1、当el/6时，即6e/l0，基底压力呈梯形分布; 2、当e=l/6时，即6e/l=1，pmax0、pmi
15、n=0，基底压力呈三角形分布； 3、当el/6时，即6e/l 1， pmax0、pmin0，基底出现拉应力，基底压力重分布。 p pmaxmaxp pminmine e l l/6/6p pmaxmaxp pminmin00p pmaxmaxp pminmin= =0 0基底压力重分布基底压力重分布不允许出现偏心距变化偏心距变化基础离开地基基底附加应力建筑物建造后的基底压力扣除基底标高处原有土的自重应力后，新增加的应力。即导致地基中产生附加应力的那部分基底压力。F FF Fd d实际情况实际情况基底附加压力等于基底压力扣除基底标高处原有土体的自重应力。基底附加应力计算基底附加应力计算（课本第（
16、课本第5050页）页）基底压力呈梯形分布时，基底附加应力为：dpppp0minmaxmin0max0基底附加应力基底附加应力自重应力自重应力0基底标高以上天然土层的加权平均重度(kN/m3),地下水位以下取有效重度。0 =(1h1+nhn)/(h1+hn)挖除部分的挖除部分的自重应力自重应力=0 0d d本章重点计算题：本章重点计算题：自重应力自重应力与与附加应力附加应力自重应力自重应力 基底压力基底压力 基底附加应力基底附加应力2.3-1.1=1.2(m)2.3-1.1=1.2(m)符合符合e eL/6L/6要求要求2.3m2.3mG G= = G G a da d(kN)(kN)G G =
17、20kN/m=20kN/m3 3地下水位以下扣除浮力地下水位以下扣除浮力cz= 1 z1+ 2 z2例例4-24-2课本第课本第5252页页取室内外平均地面取室内外平均地面第二次作业：第二次作业：要解决“在中心荷载、偏心荷载作用下，深度为Z的某点M处附加应力是多少”这一问题，首先要求解一个竖向集中力作用时，地基下某点M的受力情况，然后叠加即可。计算的基本假定：地基是连续、均匀、各向同性的半无限完全弹性体。应用弹性力学方法解得在集中力下地基中任意一点的应力。把基底附加应力看成是由无数个单独集中力组成第四节第四节 空间问题土体附加应力的计算空间问题土体附加应力的计算（课本第（课本第5353页）页）
18、1 1、竖向集中力作用时的地基附加应力、竖向集中力作用时的地基附加应力 当地基表面作用有一个竖向集中力时，地基下某一点当地基表面作用有一个竖向集中力时，地基下某一点M M的的受力情况如何求解呢？受力情况如何求解呢？ M M点有点有9 9个应力分量和个应力分量和3 3个位移分量。个位移分量。P P0 0z z由由P P0 0引起，土引起，土体产生竖向压缩体产生竖向压缩其中一个力其中一个力yq q M( (x, ,y, ,z) )oyxzxzrRM ( (x, ,y,0),0)P0一、竖向集中力作用时的地基附加应力z zMM点的深度；点的深度；r rMM点与集中力作用点的水平距离。点与集中力作用点
19、的水平距离。R RMM点与集中力作用点的直线距离。点与集中力作用点的直线距离。5323RZPz1885年法国学者布辛涅斯克解年法国学者布辛涅斯克解 52523253322523322522323)()2(32123)()2()(132123)()2()(132123RxzPRyzPRzRxyzRRxyzPRzRZRxZRZRRRZXPRzRZRyZRZRRRZYpxzzxyzzyyxxyxyMM点竖向附加应力点竖向附加应力其它其它8 8个应力表达式个应力表达式把把R R2 2=r=r2 2+z+z2 2代入，进行推导可得代入，进行推导可得 M( (x, ,y, ,z) )p0oyxzxyzrR
20、M ( (x, ,y,0),0)q q 单个竖向集中力作用单个竖向集中力作用22/52253P)(112P32P3zzrzRzz2/52)(1123zr2Pzz集中力作用下的地基集中力作用下的地基竖向应力系数竖向应力系数 见见P55P55表表4-24-2力的叠加原理力的叠加原理 由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参数值的数值的代数和。代数和。P1zP212两个集中力两个集中力作用下作用下z的的叠加叠加多个集中力及不规则分布荷载作用多个集中力及不规则
21、分布荷载作用1212222211 . nnznnniFFFFzzzz等代荷载法等代荷载法当当z z一定时，即在半一定时，即在半无限土体内任一水无限土体内任一水平面上，附加应力平面上，附加应力随着随着r r的增大而减小。的增大而减小。大大小小 在集中力作在集中力作用线上附加应用线上附加应力随着深度力随着深度z的的增加而递减。增加而递减。 在不通过集中力作用点在不通过集中力作用点的任一竖向剖面上，地表处的任一竖向剖面上，地表处的附加应力为的附加应力为0，随着深度，随着深度的增加其值逐渐递增，但到的增加其值逐渐递增，但到一定深度后，又随着深度一定深度后，又随着深度z的增加而减小。的增加而减小。结论结
22、论竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩散）。1 1、均布的矩形荷载作用、均布的矩形荷载作用( (中心荷载的独立基础中心荷载的独立基础) )二、矩形荷载作用时的地基附加应力二、矩形荷载作用时的地基附加应力 矩形荷载为长矩形荷载为长L L、宽、宽b b，竖向均布荷载，竖向均布荷载P P（或基底压力为（或基底压力为p p0 0），先求出角点下任意深），先求出角点下任意深度度Z Z处处M M点的地基附加应力，然后运用角点法点的地基附加应力，然后运用角点法求出任意点的附加应力。求出任意点的附加应力。 取一微单元面积取一微单元面积dxdydxdy，其上均
23、布以集中，其上均布以集中力力pdxdypdxdy代替，则根据下式：代替，则根据下式：dxdyzyxzpdz2/522230)(23M M点的附加应力为：点的附加应力为：5323RZPz1 1、均布的矩形荷载作用、均布的矩形荷载作用dxdyzyxzpdz2/522230)(23把上式对整个矩形荷载面积把上式对整个矩形荷载面积A=LA=Lb b积分，则有：积分，则有：0pcz为矩形的短边。确定，查表和由bblbzc64/矩形基础角点下的竖矩形基础角点下的竖向附加应力系数向附加应力系数条形基础条形基础采用采用续表（略）续表（略）角点法求矩形均布荷载下任意点角点法求矩形均布荷载下任意点M M的竖向应力
24、的竖向应力计算步骤：计算步骤：（1 1）通过点）通过点M M作辅助线把荷载作辅助线把荷载面分成若干个矩形面积；面分成若干个矩形面积；（2 2）点点M M必须是各矩形的公共必须是各矩形的公共角点角点；（3 3）计算单个矩形作用下点）计算单个矩形作用下点M M同一深度同一深度Z Z处的附加应力并求代处的附加应力并求代数和。数和。M MzMoIVIIIIIIo oIIIIIIIVp计算点在基础内部计算点在基础内部0)(pccccz若若M M点位于荷载面中心，则：点位于荷载面中心，则：04pczcccc计算点在基底边缘计算点在基底边缘IIIo oo oo oIVo oII计算点在基底边缘外计算点在基底边缘外0)(pccz0)(pcccczIo oIIIIIIV计算点在基底角点外计算点在基底角点外0)(pccccz2 2、三角形分布矩形荷载、三角形分布矩形荷载( (矩形偏心荷载矩形偏心荷载) )ptp=0e=l/6F+G e 设荷载沿矩形面积的一边设荷载沿矩形面积的一边b b方向呈三角形分布，三角形荷载的最大值为方向呈三角形分布，三角形荷载的最大值为P Pt t，求出，求出角点角点1(1(荷载为荷载为0 0处处) )和和角点角点2(2(荷载为荷载为P Pt t处处) )下任意深度
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