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1、数学史实用数学史实用(shyng)第一页，共20页。数学史的分期：数学史的分期：1、数学的起源与早期发展、数学的起源与早期发展(fzhn)(公元前公元前6世世纪前纪前)2、初等数学时期、初等数学时期(公元前公元前6世纪世纪16世纪世纪) (1)古代希腊数学古代希腊数学(公元前公元前6世纪世纪6世纪世纪) (2)中世纪东方数学中世纪东方数学(3世纪世纪15世纪世纪) (3)欧洲文艺复兴时期欧洲文艺复兴时期(15世纪世纪16世纪世纪)3、近代数学时期、近代数学时期(或称变量数学建立时期，或称变量数学建立时期， 17世世 纪纪18世纪世纪 )4、现代数学时期、现代数学时期(1820现在现在) (1)
2、现代数学酝酿时期现代数学酝酿时期(18201870) (2)现代数学形成时期现代数学形成时期(18701940) (3)现代数学繁荣时期现代数学繁荣时期(或称当代数学时期，或称当代数学时期， 1950现在现在) 第1页/共20页第二页，共20页。第2页/共20页第三页，共20页。第一章第一章 数学数学(shxu)的起源和早的起源和早期发展期发展 11 数与形概念数与形概念(ginin)的产的产生生 1数的概念数的概念(ginin)来源于人类对客观事来源于人类对客观事物量的抽象物量的抽象2记数是对量的属性表达记数是对量的属性表达 : 数制数制 记数方式记数方式 数字数字第3页/共20页第四页，共
3、20页。埃及(i j)第4页/共20页第五页，共20页。3.几何知识几何知识(zh shi)来源于人们对形的直觉来源于人们对形的直觉 史前人大概首先是从自然界本身提取几何史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式形式(例如他们注意到圆月与挺松在形象例如他们注意到圆月与挺松在形象(xngxing)上的区别上的区别)，并且在器皿制作、建筑，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现设计及绘画装饰中加以再现 第5页/共20页第六页，共20页。3 几何学的产生几何学的产生(chnshng) 1) 土地的测量：古代埃及土地的测量：古代埃及(i j)、古代印度、古代印度 2）天文观测：古代）天文观测：古代
4、(gdi)中国、巴比伦中国、巴比伦 第6页/共20页第七页，共20页。12河谷文明河谷文明(wnmng)与早期数学与早期数学 121 埃及埃及(i j)数学数学 古埃及人在一种用纸莎草古埃及人在一种用纸莎草(Papyms)压制成的草压制成的草片上书写，这些纸草书有的幸存至今我们关于古埃片上书写，这些纸草书有的幸存至今我们关于古埃及数学及数学(shxu)的知识，主要就是依据了两部纸草的知识，主要就是依据了两部纸草书书莱茵德纸草书和莫斯科纸草书莱茵德纸草书和莫斯科纸草书 第7页/共20页第八页，共20页。1、记数、记数 埃及人很早就发明埃及人很早就发明(fmng)了象形文字记号了象形文字记号，这是
5、一种以十进制为基础的系统，但却没有位，这是一种以十进制为基础的系统，但却没有位值的概念值的概念 在莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中，象形数字被在莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中，象形数字被简化为僧侣文数字，冗长的重复记号被抛弃了，简化为僧侣文数字，冗长的重复记号被抛弃了，引进了一些表示数字与引进了一些表示数字与10的乘幂的倍数的特殊记的乘幂的倍数的特殊记号。如号。如28表示成表示成= 第8页/共20页第九页，共20页。2、算术、算术(sunsh) 埃及人最基本的算术运算是加法乘法运算是通过埃及人最基本的算术运算是加法乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现逐次加倍的程序来实现(shxin)例如例如69乘以乘
6、以19是这样是这样来进行的：将来进行的：将69加倍得加倍得138；又将这个结果加倍得；又将这个结果加倍得276；再加倍得；再加倍得552；再加倍得；再加倍得1104，此即，此即69的的16倍因为倍因为19=16+2+1，所以，所以69乘以乘以19的答数应为的答数应为1104+138+69=1311在除法运算中，加倍程序被倒过在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，即除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍来执行，即除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍 纸草书中有些问题可以被归之于我们今天所说纸草书中有些问题可以被归之于我们今天所说(su shu)的代数学的范畴，它们相当于求解形如的代数学的范畴，它
7、们相当于求解形如x+ax=b或或x+ax+bx=c的一次方程埃及人称未知的一次方程埃及人称未知数为数为“堆堆”(aha，读作何，读作何”)。 第9页/共20页第十页，共20页。3、几何、几何(j h) 埃及几何学是尼罗河的赠礼莱茵德纸草埃及几何学是尼罗河的赠礼莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何陛质的书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何陛质的问题，内容大都与土地面积问题，内容大都与土地面积(min j)和谷堆体积和谷堆体积的计算有关的计算有关 现存的纸草书现存的纸草书(cosh)中可以找到正方形、中可以找到正方形、矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式
8、埃及人对于圆面积则给出了很好的近似莱茵埃及人对于圆面积则给出了很好的近似莱茵德纸草书德纸草书(cosh)的一个问题显示圆周率丌值约为的一个问题显示圆周率丌值约为3.1605 第10页/共20页第十一页，共20页。 埃及人在体积计算中达到了很高的水平，埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯科纸草书第代表性例子是莫斯科纸草书第14题这道题给题这道题给出了计算平截头方锥体积的公式，用现代符号表出了计算平截头方锥体积的公式，用现代符号表示相当于示相当于 Vh3a2abb2h第11页/共20页第十二页，共20页。 埃及文明在历代王朝更迭中表现出一种静止埃及文明在历代王朝更迭中表现出一种静止
9、的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块变化加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复古埃及人的面，使古埃及人的计算显得笨重繁复古埃及人的面积、体积算法积、体积算法(sun f)对精确公式与近似关系往对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙
10、的色彩这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发糙的色彩这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展公元前展公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代 第12页/共20页第十三页，共20页。122 美索不达米亚数学美索不达米亚数学(shxu) 1、记数、记数 美索不达米亚人创造美索不达米亚人创造(chungzo)了一了一套以套以60进制为主的楔形文记数系统进制为主的楔形文记数系统 美索不达米亚人还创造美索不达米亚人还创造(chungzo)位值原则，位值原则，并把它推广到分数并把它推广到分数 。但这种位
11、值原则并不绝对。但这种位值原则并不绝对。第13页/共20页第十四页，共20页。2、计算、计算(j sun) 美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统有关美索不达米亚的学者还表现出发良的记数系统有关美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧他们创造了许多展程序化算法的熟练技巧他们创造了许多(xdu)成熟的算法。成熟的算法。 美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行(jnxng)计算，包括乘法表、倒数表、平方表、立计算，包括乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至还有指数方表、平方根表、
12、立方根表，甚至还有指数(对数对数)表这些数表使计算更加简捷表这些数表使计算更加简捷 第14页/共20页第十五页，共20页。2、代数、代数(dish) 美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度的高度(god)埃及代数主要是讨论线性方程，埃及代数主要是讨论线性方程，对于二次方程则仅涉及到最简单的情形对于二次方程则仅涉及到最简单的情形(ax2=b)而来自古巴比伦时代的一些泥版文书则表明，巴比而来自古巴比伦时代的一些泥版文书则表明，巴比伦人已能卓有成效地处理相当一般的三项二次方程伦人已能卓有成效地处理相当一般的三项二次方程 耶鲁大学收藏的一块泥版文书中有这样的
13、问题：耶鲁大学收藏的一块泥版文书中有这样的问题： “已知依几布姆已知依几布姆(igibum)比依古姆比依古姆(igum)大大7问依问依几布姆和依古姆各为多少几布姆和依古姆各为多少?”题中给出的算法题中给出的算法(sun f)相当于：方程相当于：方程 x27x1=0的求根公式的求根公式 第15页/共20页第十六页，共20页。 (1) x2 +px=q (2) x2=px+q (3) x2+q =px (其中其中p0，q0)所有所有(suyu)这三类方程在古巴比伦泥版文书这三类方程在古巴比伦泥版文书中都可以找到，并都给出了正确的解算程序中都可以找到，并都给出了正确的解算程序 求解正系数求解正系数(
14、xsh)二次方二次方程程 美索不达米亚泥版文书中也有很多三次美索不达米亚泥版文书中也有很多三次(sn c)方方程的例子像程的例子像x3=a这样的纯三次这样的纯三次(sn c)方程，主要是方程，主要是通过查立方表或立方根表来求解形如的通过查立方表或立方根表来求解形如的x3 +x2=a混合混合三次三次(sn c)方程也是藉现成的表来求解方程也是藉现成的表来求解 第16页/共20页第十七页，共20页。4、几何、几何(j h) 美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相联系的数值计算美索不达米亚学者已掌握三角形联系的数值计算美索不达米亚学者已掌握三角形、梯形等平面图形
15、面积和棱柱、平截头方锥等一些、梯形等平面图形面积和棱柱、平截头方锥等一些立体图形体积的公式立体图形体积的公式(gngsh)他们还知道并利他们还知道并利用图形的相似性概念用图形的相似性概念 在美索不达米亚河谷地区，圆面积通常被取在美索不达米亚河谷地区，圆面积通常被取作为半径平方的三倍，也就是说取圆周率作为半径平方的三倍，也就是说取圆周率为为3，不过不过(bgu)1936年在离巴比伦城年在离巴比伦城300多公里的苏多公里的苏萨地方出土的一块泥版文书可知巴比伦时代学者采萨地方出土的一块泥版文书可知巴比伦时代学者采用用3又又1/8作为作为的近似值的近似值 古巴比伦时代的泥版文书也说明勾股定理在当古巴比
16、伦时代的泥版文书也说明勾股定理在当时的美索不达米亚地区已广泛使用时的美索不达米亚地区已广泛使用 第17页/共20页第十八页，共20页。 有一些泥版文书上的数学问题说明美索不达米有一些泥版文书上的数学问题说明美索不达米亚数学除了实用的动机外，有时也表现出理论兴趣亚数学除了实用的动机外，有时也表现出理论兴趣(xngq)这方面最典型的例子是一块叫这方面最典型的例子是一块叫“普林顿普林顿322”的泥版文书的泥版文书 诺依格包尔等人的研究表明，普林顿诺依格包尔等人的研究表明，普林顿322数表数表(sh bio)与所谓与所谓“整勾股数整勾股数”有关满足关系式有关满足关系式a2+b2=c2的一组整数的一组整
17、数(a，b，c)叫整勾股数，西方叫整勾股数，西方文献中也称文献中也称“毕达哥拉斯数毕达哥拉斯数”计算表明：普林顿计算表明：普林顿322数表数表(sh bio)第第、列的相应数字，恰好列的相应数字，恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边c与直角边与直角边b 第18页/共20页第十九页，共20页。 总的来说，古代美索不达米亚数学与埃及总的来说，古代美索不达米亚数学与埃及数学一样数学一样(yyng)主要是解决各类具体问题的实主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期几何学作为一用知识，处于原始算法积累时期几何学作为一门独立的学问甚至还不存在埃及纸草书和巴比门独立的学问甚至还不存在埃及纸草书和巴比伦泥版文书中汇集的各种几何图形面积、体积的伦泥版文书中汇集的各种几何图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用当然，古代计算法则，本质上属于算术的应用当
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