看到中间的上下两个曲线了吧，它们用到了，当然这是一个二阶贝塞尔【啥叫二阶贝塞尔呢？下面会学习到】，也是最最基础的，了解了基础的画法，对于它更加复杂的画法你也比较容易上手了，好，这是一个整体的目标。
首先要明白，对于贝塞尔曲线，它是分阶的，不同的阶数，其绘制的曲线效果也不一样，所以这里先来了解不同阶数的贝塞尔曲线的绘制情况。
先看一下效果：
一条直线。。不是贝塞尔是用来绘制曲线的么？是的，因为对于一阶贝塞尔实际没啥用，但是对于你了解它的概念是一个基础，等于它的核心目的其实就只是由两点控制的一条直线，绘制就是从一点绘制到另一点的整个轨迹，记住这个绘制过程，因为在理解二阶贝塞尔曲线的过程中，需要使用到它。
对于二阶贝塞尔曲线来说，应该是应用最最广泛的，也是核心中的核心，对于贝塞尔曲线不是还有更加高阶复杂的曲线么？而要理解更加复杂的贝塞尔曲线，理解二阶就成为一个必须要掌握的了，只有掌握了二阶的画法，你才能更加从容的面对更加复杂的贝塞尔曲线，所以这块务必要理解透。
先来直观的感受一下它的绘制过程：
嗯，此图来自于csdn，看完此效果之后是不是觉得挺酷炫的？而在上面QQ汽泡效果中的那个曲线，是不是跟这个二阶曲线能联系起来？这也就是为啥在之后的贝塞尔曲线的案例应用时QQ汽泡效果使用的是二阶贝塞尔的原因了，但是你能看懂它的绘制规则么？反正我光看这动图还是一脸懵逼的，所以接下来会了解其原理，这样才能真正理解它。
先明显对于二阶贝塞尔曲线是由三个点来进行构成的，如下：
其中AC这两点本来是应该绘制一条直线的对吧：
但是该直线需要受B点往下进行拖动，这个B其实就是一个控制点，正因为有这个控制点才会让本应该绘直线的最终变成了绘制曲线了，其实在我们电脑的绘制软件中也能直观的感受一下这个B点的控制点的魅力，比如我mac上用Paintbrush这个软件有一个曲线的绘制：
我要绘制一条曲线，也是先绘制一条直线，然后再通过对直线的拖拽才完成曲线的绘制的，如下：
所以，此时应该对于B点它的出现的意义有了直观的了解了吧，接下来重点是就来看一下这个曲线的绘制规则了，这里先把两点到控制点连接两条直线，如下：
然后曲线的整体绘制是由AB这条一阶贝塞尔曲线来控制：
那AC的这根曲线很显然也是由一大堆的点的连续构成的对吧，让曲线上的绘制点又是如何来确定的呢？现在整个曲线的控制是由AB这个贝塞尔曲线来控制，它是一个运动的轨迹【这一点必须要理解到位，它是不断在走的，不明白的可以看一下一阶贝塞尔曲线的那个动图】，也就是AB上走了多少个点，就会对应的生成曲线上的各个点，这里以AB上的某一个静止点进行分析，把它如何确定最终曲线上的绘制点的搞清楚了，你也就明白了整个曲线的绘制原理了，比如AB上的贝塞尔曲线走到D这个点了：
其中这条直线上的AD跟DB就有一个比例关系了对吧，这时在BC上也取一个点E，其比例跟D点比例一样【注意关键词，比例要一样】，如下：
好，此时将DE进行一个连线：
接下来的绘制点就是在DE上了，那。DE上对应的绘制点是如何确定的呢？也是同样的套路，在这条直线上取一点F，要保证比例跟AD的一样，如下：
此时F点就是最终要绘制在曲线上的一个点【注意它只是曲线上的一个点哟】，如下：
曲线上的某个点我们已经知道怎么算出来了，我们由A-C开始启动绘制，则会算出曲线上的N个点，用PATH记录这个点进行绘制，从而y就得到了一条曲线，这条曲线就是所谓的贝塞尔曲线。这里再来回忆一下整个二阶贝塞尔曲线完整的绘制过程：
其中t表示整个曲线的点的次数，盯着那根绿色的那根线看，是不是能感受到比例正好跟P0到P1的一阶贝塞尔走的位置比例一样，截一个静态图说明一下：
但是我看不太懂，其实有一个比较容易理解的计算公式，还是以这个图为例：
想要找到绘制点的话只需要遵守DF:DE= AD:AB= BE:BC，那么此时F点就是绘制点，因为比例是一样的。
其原理跟二阶的一样，看一下图：
了解了一、二、三阶贝塞尔曲线之后，接着再来感受一下更多阶的效果，让你瞬间晕眩：
1、四阶贝塞尔曲线：
2、五阶贝塞尔曲线：
这对于学习贝塞尔曲线来说是一个不错的辅助工具，有兴趣的可以下下来跑一跑。
而我在Android7.0的源码中貌似对于三创的API是这个方法名：
应该是有版本差异，这里就不过多纠结了，反正系统支持最多是3阶。
这里以绘制二阶为例，来体验一下画法。
这里还是基于原来学习UI时搭建的工程新建一个module：
接下来新建一个自定义View，为曲线的绘制搭好环境：
也就是我手指移动的位置就是一个控制点。
对于三阶的贝塞尔曲线，除了控制点之外，还需要有一个开始点和结束点，这里定死一下：
整个代码如下：
这里运行看一下：
既然是四阶，肯定是需要五个点的，一个开始点，一个结束点，还有三个控制点，所以在正式绘制曲线之前，先将准备工作做到位，这块比较简单，直接给出代码了：
代码如下：
运行看一下效果：
当然这个点是随机的，每次运行是不一样的。
好，接下来的核心就是怎么来绘制贝塞尔曲线的问题了，这里则需要使用到一个比较“高深”的算法了，如小标题所示：德卡斯特里奥算法，百度一下它：
在正式了解该算法之前，我们先从贝塞尔曲线绘制特点来分析一下，比如这个三阶贝塞尔曲线：
是不是最终其实就是降阶来进行处理的，如下：
而对于“德卡斯特里奥算法”而言，它的目的就是可以达到降阶的效果，其实也就是通过这个算法，最终能够算出降为一阶的绘制点：
有了绘制点，那么将所有绘制点连接起来，不就成了一个曲线了么，这就是该算法的目的之所在，另外该算法能实现N阶贝塞尔曲线，是一个通用的算法，所以首先先明白该算法的一个目的很重要
关于它的算法逻辑，说实话是有一点难理解的，反正我是在网上找了一圈，貌似说得都有点生涩，如果不理解透，你在编写代码时肯定会懵，不信，我先贴出来之后利用此算法实现贝塞尔曲线的一个代码：
是不是在你不了解此算法的公式之前，这代码是完全理解不了的，仅仅只能把这个方法当一个工具方法来用，但是别人问你怎么实现时，可以丢一句：“代码如此，自己看吧”。
1、先理解如何在一个线段中获得具体比例的点：【这块有点小绕，但是必须理解透】
因为，有一个式子，跟我提前贴的代码中的式子很像呀：
其实两篇思想一样，只是这篇语言组织上详细通俗一点，咱们就根据两位大佬的博客，带着自己的理解来挼一挼：
其中提到了“向量”这个词， 不知各位都对它还记得么，对我来说印象比较深刻，因为之前学了“线性代数”：
那：
那是不是：
所以很显然C就把向量AB分成了u:1-u了。接下来则需要来解释上面标红的一句话了：“整个AB看成是1”，这里回忆一下最开始对于一阶贝塞尔曲线的执行过程：
看到其中的t了么？最大就是1，因为曲线的绘制就是根据算出来的绘制点连线而成，而多少个绘制点则你可以自己来根据这个1进行拆分，可能这边说得有点绕，这里先把之后咱们实现时需要用到的一个代码先提前亮出来吧，这样就比较好理解了：
理解一下，“A到B的向量是B - A”，这个应该容易理解吧，就是指AB之间的距离嘛，然后C点占整个1的百分比是u，那么C点的位置很明显就是u * (B -A)嘛，这样就把C给算出来了呀，但是“考虑到A点的位置”，由于A点的位置不一定是原点，比如发生偏移之类的，那么整个C点的位置还得基于A的位置来算，所以整个式子就变成了“A + u(B - A)”，再根据结合率之类的，最终就可以变化成这个式子了：“(1 - u)*A + u*B”，其中是不是可以发现，只要我将u这个比例值知道了，整个C点的绘制位置就知道了？
2、理解递归的逻辑：
对于一个N阶贝塞尔曲线而言，你最终要绘制的只是最里面1阶贝塞尔曲线，所以光知道了，比如这样的一个五阶贝塞尔曲线的演变过程：
也就是在计算过程中会涉及到N多个点对吧，但是绘制而言其实只需要它就可以了：
很明显这里需要一个递归的过程最终再算出指定t下的贝塞尔曲线所在的那个绘制点对吧， 那递归的思路是啥呢？下面基于图中的这个场景来简单挼一下：
其中的u为0.4，也就是该点是整个贝塞尔曲线40%的位置，说实话，这个递归过程不是那么好描述，其实就是降级的过程，最终降到一阶，其绘制点就给算出来了，这块具体的过程，我打算先把代码实现贴出来之后，再结合程序来进行理解，这样可能更加容易理解一点，所以这里的递归过程先忽略。
接下来直接来实现多阶贝塞尔曲线了，代码其实还是比较亲切的，如下：
a、先将整个绘制分成1000等份，然后一等份一等份的算出绘制点：
而具体算法，目前还未实现：
b、完成绘制点的计算：
整体的思路就是如果当前是1阶了，则直接根据德卡斯特里奥算法来算出绘制点，如果大于1阶的，则递归降级处理，具体的细节这里先不解释，因为下面会根据运行结果再来分析整个程序的执行过程的，这样你就明白了其递归的一个逻辑了。
接下来运行看一下，目前看的是4阶的效果，由于点是随机产生的，多运行几次，看曲线画得完不完美：
嗯，挺完美的~~
为了验证这种方式的通用性，用两个极端的阶数来测试一下，一个是2阶，一个是7阶，先来看一个2阶的吧，咱们把程序写一个数字既可，其它完全不需要动：
运行：
接下来再看一下7阶的，同样改个数字既可：
运行：
完美，可见通过这种算法来实现的贝塞尔曲线可以满足所有阶次。
好！！最后这里还遗留一个问题，那就是整个递归的思路是咋样的呢？对应的代码是：
这里以三阶贝塞尔曲线绘制为例，来debug一下咱们的程序，为了方便分析，这里将随机的点改为定死的点，如下：
先看一下运行的样子：
注意，起始点和结束点的位置，因为关系到待会的逻辑分析涉及到的控制点的控制：
而为了方便分析流程，这里将t定死一个，只分析一个绘制点既可，如下：
目前长这样了：
而为了更加精简，只分析一下坐标点的x的值计算过程既可，因为y值的计算过程是一模一样的，也就是它：
另外，为了让分析代码变得清晰，这里将deCasteljauX调整一下：
是不是这样跟咱们理论所分析的公式就一模一样了：
这样分析递归也好分析一些，不然一行代码有两个递归看着有点晕，一切就绪，接下来进入代码分析阶段。
1、i=3，j=0：
其中i代表是阶数，j代表的是控制点，也就是首先是来计算三阶的这
由于阶数不是1，所以此时会进入递归环节。
2、递归计算A点：float A = deCasteljauX(i - 1, j, t);
【注意】：这里我制造效果时有点顺序问题，应该p0在p3的位置的，由于在写逻辑时已经基于这样的图进行了，这里就说明一下，p3是第一个点，p0是最后一个点【正常p0是第一个点，p3是最后一个点嘛，犯了个细节错误，将错就错了，不过不影响整体的逻辑理解】，这个注意一下！！！
而这个A点的算出，很明显是需要根据降阶操作之后的这俩A，B点来算出，如下：
所以，为了降阶，这里将阶数减一再次递归了：
然后此时进入递归环节：
由于阶数目前还是不等于1，又会执行到这：
算二阶的A：
而此时由于阶数已经降为2了，再递归降一级，就变为1阶了，此时结果就直接可以算出返回了：
此时的A为619.23193，也就是这个点坐标的x值：
算二阶的B：
此时则开始算降阶的B点了：
同样由于阶数已经还是2，再递归降一级，就变为1阶了，此时结果就直接可以算出返回了：
此时的B为361.1466，也就是这个点坐标的x值：
结果得出：
此时再根据德卡斯特里奥算法，此时这个二阶上的点结果x值就出来了：
也就是这个点算出来为482.70563：
这里好好理会一下整个A值的计算过程，很明显的一个降级，也就是不管多少阶，最终都会递归降到1阶，然后再算出其中的A，B点的值，再算出最终的曲线绘制点，当然这个递归不是很好理解的，需要自己边画边挼一下才行。
3、计算B点：float B = deCasteljauX(i - 1, j + 1, t);
理清了A点的计算递归逻辑，这个B点的计算逻辑是一模一样的，同样在分析前，需要明确目标，这句代码的意思是算出它：
而这个B点的算出，很明显是需要根据降阶操作之后的这俩A，B点来算出，如下：
所以，为了降阶，这里将阶数减一再次递归了：
然后注意，此时的j控制点+1了：
这是因为此时B点的算出得根据第二个控制点来：
是不是这两个点得基于p2起步来算出？所以这里的控制点数+1了，这个细节需要好好体会。
然后此时进入递归环节：
由于阶数目前还是不等于1，又会执行到这：
算二阶的A：
而此时由于阶数已经降为2了，再递归降一级，就变为1阶了，此时结果就直接可以算出返回了：
此时的A为361.1466，也就是这个点坐标的x值：
算二阶的B：
此时则开始算降阶的B点了：
同样由于阶数已经还是2，再递归降一级，就变为1阶了，此时结果就直接可以算出返回了：
此时的B为213.16849，也就是这个点坐标的x值：
结果得出：
此时再根据德卡斯特里奥算法，此时这个二阶上的点结果x值就出来了：
也就是这个点算出来为282.86667：
4、根据德卡斯特里奥算法来算出结果：
目前A,B两点已经算出来了，你说要绘制的这个点怎么得出应该就很简单了吧？
这样，绘制点就成功算出：
经过这么完整的一个debug分析，是不是比直接分析代码要容易理解一些？对于递归的程序，如果当你光看代码不好理解的话，建议用debug的方式完整的梳理一遍，这样你就会比较容易理解，不过！！！整体还是比较晕的，这里最后再整理一下，其实递归的目的就是降级，降到1阶，递归的目的就是为了算出1阶的开始点和结束点：
有了这俩点，最终绘制点就可以根据德卡斯特里奥算法来算出了。
最后，咱们将debug时的一些代码给还原，最后再来看个东东，就是关于它的作用：
之前不是说这个数值越大其绘制出来的曲线就越细腻么，为了体现，咱们改为很小，反着看一下，是不是越小，越不细腻，这里先把1000的图贴出来：
然后咱们将其改为10，再对比看一下：
是不是对比非常明显，等份小了，很明显点与点之间的距离大了，然后连线当然就不圆润了啦，通过这个对比应该就明白这个等份的意义了吧？
至此，我们已经学会了N阶贝塞尔曲线的画法了，但是！！！在之后咱们实现的QQ汽泡的效果时只会使用到Android Path API来绘制二阶贝塞尔曲线的，那这么复杂的算法有何意义呢？可以让你对贝塞尔曲线的概念理解得更加深刻呀，如果你只学Android API和二三阶贝塞尔曲线的用法，人家都把实现细节给你封装好了，能知道贝塞尔曲线的精髓么？这篇耗了我业余大概一周多时间梳理吧，收获反正是挺大的，有种茅塞顿开的感觉，如果你有心，建议自己写一篇博客从头至尾的按自己的思路来梳理分享出来，哪怕是网上参考的【但是一定得要带着自己的理解去解读，而不是直接copy】，这样你就能体会到虽说时间成本比较大，但是你的收获也很大，这也是为啥我一直坚持的原因，这样可以让自己摒弃浮躁，脚踏实地的一步步朝前走。
本来计划还要实现一个qq汽泡的效果滴，不过在这个算法上花得篇幅较长，放下次吧。