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对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习过的方法以外，根据数列递推公式的特点，还有以下几种构造方法．
构造法1 一阶线性递推(形如an＋1＝pan＋q，p≠0，其中a1＝a型)
(1)若p＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若q＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若p≠1且q≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
例1 在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
又a1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为4，公比q＝2的等比数列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
变式 若例1中“an＋1＝2an＋3”变成“an＋1＝2an＋3n”，其他条件不变，求{an}的通项公式．
解 ∵an＋1＝2an＋3n，
∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，
即an＋1＝2an－λ·3n，∴λ＝－1，
即an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，
又a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比q＝2的等比数列，
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴an＝3n－2n.
构造法2 二阶线性递推(形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型)
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
例2 (1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.
答案 2n－1
解析 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∵a2－a1＝2，∴{an－an－1}为首项为2，公比也为2的等比数列，
an－an－1＝2n－1(n>1)，
n>1时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝1－2n1－2＝2n－1.
显然n＝1时满足上式，
∴an＝2n－1.
(2)已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求这个数列的通项公式．
解 ∵an＝2an－1＋3an－2，
∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，{an＋an－1}形成首项为7，公比为3的等比数列，
则an＋an－1＝7×3n－2，①
又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，
a2－3a1＝－13，{an－3an－1}形成首项为－13，公比为－1的等比数列，