桥梁作为铁路与公路网中的关键节点，其运营状态直接影响交通运输的效率。一般而言，桥梁在设计阶段往往采取理论分析、数值模拟或模型试验进行动力响应分析，使得桥梁具备抵御外部偶发荷载的能力，如强风、地震、碰撞等。原则上，采用设计规范中各种荷载组合，可预测桥梁在服役期内发生的最大动力响应，并可最大程度保证桥梁运营的安全。
然而，最近几起在正常交通条件下引起的桥梁大幅振动事故引起了人们的广泛关注，如2020年发生在中国东莞的虎门大桥和美国纽约的Verrazzano-Narrows大桥，两起事故均使大桥发生了大幅的上下振荡。其中，虎门大桥出现了连续多天垂直与扭转方向的过度振荡。某些时候，桥梁振幅达到了0.4米，间歇性地持续了近2个小时。据官方报告，虎门大桥的突然摆动“可能”是由路障引发的涡激振动，因路障改变了钢箱梁的气动特性。但路障清除后，仍然可观察到桥梁的大幅振动，而且当时的风速也不大。基于以上背景，本文尝试从另外一种角度针对以上两起桥梁事故大幅振动的机理进行进一步的探讨。
外在失稳与内在失稳
众所周知，当桥梁的任何自振(内部)频率与任何外部振源重合时，桥梁就会发生共振。从两起事故的桥梁截面类型来看，两者均属于单对称薄壁箱梁。因截面的单对称性，使得桥梁的垂直弯曲运动是不耦合的，而扭转和侧向弯曲运动(简称弯扭运动)是耦合的。上述两类运动各由一系列模态分量组成，如果其中任何一个内部频率与外部激励中任一频率重合（如移动简谐荷载频率），则每一种运动都可能处于共振状态，之前这种共振状态也被称为外在失稳。文献上有关外在失稳的情况，已有大量报道。
但是，当桥梁的任一垂直弯曲频率与任一弯扭频率重合时，会发生一种特殊但非常重要的共振情况。在这种情况下，结构本身将达到一种不稳定状态。此时桥梁只要受到一点点的额外扰动（例如车流），其振动模式即能反复从垂直弯曲模式转为扭转-弯曲模式，周而复始，此种不稳定状态本文称之为内在失稳。
因此，为较好地揭示桥梁内在不稳定的机理，本文将以移动简谐荷载通过一简支薄壁箱梁为例，给出了薄壁箱梁的失稳条件，并说明其机理。进一步针对桥梁内在失稳的情况，给出了容易诱发此种内在失稳的临界长度，最后以移动简谐荷载通过桥梁的两种典型情景，来展示桥梁在临界长度下内在失稳的共振现象。值得注意的是，本文所揭示的桥梁内在失稳现象并不涉及风力或涡振，它在随机车流下就可能被激发产生。本文纯为国内推广而写，原文已在薄壁结构期刊发表（详见原文：Yang, Y.B., Shi, K., Mo, X.Q., Wang, Z.L., Xu, H., Wu, Y.T., Internal instability of thin-walled beams under harmonic moving loads, Thin-Walled Structures, 2022, 174, 109123.）。
理论背景
假定移动简谐荷载Fsin(ωt)以恒定的速度V通过长度为L的单对称截面薄壁箱梁，桥梁为简支边界条件且初始条件为零，其力学模型如图1所示。因桥梁截面的单对称性，横向（y轴）与扭转向的振动相互耦合，而竖向振动（z轴）是不耦合的。截面的剪切中心为S，重心为C，两者的距离为η。移动荷载距离桥梁中心轴距离为e。图中v(x,t), w(x,t)和θ(x,t)分别表示桥梁的竖向，横向和扭转向运动。理论推导时忽略桥梁阻尼的影响。
图1 移动简谐荷载通过薄壁箱梁力学模型
依据Vlasov薄壁箱梁理论建立桥梁在移动简谐荷载作用下的动力响应方程，借助拉普拉斯变换可求解动力方程，具体理论推导可参考原文。经理论推导，可得桥梁横向、扭转向和竖向的位移响应为：
其中，r1p=ω+Ωp，r2p=ω-Ωp，r1q=ω+Ωq, r2q=ω+Ωq 。
薄壁梁的失稳条件
弯扭和竖向弯曲共振
显然，由式（1）和（2）可知，当与外部荷载相关的频率ωp- 或ωp+ 等于桥梁的自振频率r1p或r2p时，此时表达式（1）与（2）的分母同时为零，意味着单对称薄壁梁的横向和扭转向（简称为弯扭）响应将同时处于共振状态。在一个微小的扰动（例如车流）下，即可使桥梁在很短的时间内响应达到一个极限状态，出现了不稳定现象。因此，薄壁箱梁出现弯扭共振的条件为：
类似的，当式（3）的分母为零时，此时薄壁箱梁会出现竖向弯曲共振，条件为：
当外部移动简谐载荷的频率ωzq 满足式(4)-(5)中的任何一个共振条件，就可以产生桥梁共振。此种由外部频率与桥梁内部频率的重合所引起的不稳定或共振现象，称之为外在不稳定，这是多数人所知道的。
弯扭和竖向弯曲同时共振
（弯扭共振）
在特殊情况下，当薄壁梁的竖向共振频率ωzq 等于弯扭耦合频率ωp- 或ωp+时，薄壁梁的扭转和竖向弯曲将同时共振，这就是内在失稳，也就是结构先天有了内在的缺陷。这点值得工程师设计时格外关注，因为在此种情况下结构在没有（理论上）或很少能量输入时，薄壁梁的竖向模态振动很容易转变为弯扭耦合模态下的振动，反之亦然，周而复始。当弯扭和竖向弯曲共振同时发生时，梁会出现不可预期的振动，有时甚至会出现较大的振幅，而且为时甚久，进而危及桥梁结构的安全，如果没有及时地抑制，极有可能造成桥梁结构的破坏。
在航空航天工程中，结构本身两个固有振动频率的重合被称为颤振失稳，在航天结构（包括飞机）的设计中，颤振失稳是必须要排除的，否则在临界条件下，将会影响航天结构的操控和安全运行。然而为了更好地理解颤振失稳，本文将此种现象称为梁的内在失稳。这种失稳应该在结构的设计阶段即予以排除和避免，否则它可能在临界状态下就发生了。内在失稳与外在失稳的不同之处在于，它是由结构自身的两个固有频率的重合所造成的，也可以理解为结构本身的缺陷。
内在失稳或颤振的现象多数发生在长跨桥梁，主要是因为长跨桥梁较为柔软，它的扭转振频较低，以至于低到和竖向弯曲的振频落在同一个范畴而产生重合的现象。一般中短跨公路桥梁是比较不容易发生内在失稳的，因为它们具有足够的抗扭能力，扭转振频较高。但人行桥就不一样了，因为它的结构极为纤细薄弱，弯扭振频较低，有可能和竖向弯曲振频重合，并出现内在失稳现象，这也就是为何世界各地所造的人行桥经常出现大幅度摆动的问题。
当结构出现内在失稳时，此时结构的固有频率满足ωzq= ωp- 或ωp+。依据该条件，可写出q阶竖向弯曲模态和p阶弯扭耦合模态同时发生共振的条件为：
显然，上式构建了桥梁弹性模量E、剪切模量G、横截面属性（A、Iy、Iz、Iω、η）和跨度L之间的关系式。一旦横截面的形状和尺寸确定，桥梁跨度L成为唯一可变的参数，意味着梁发生内在失稳时会有一个对应的临界长度。由式（6）可得临界长度LC表达式为：
对于给定的截面，一旦得到临界长度Lc，就可以通过临界长度Lc确定内在失稳的共振频率。
从上面的讨论中，如式(7)所示，可观察到薄壁梁内在失稳的共振条件不仅与外部荷载频率相关，也与梁自身的尺寸，包括材料，横截面属性以及跨度有关。由于扭转和横向响应是耦合的，一旦桥梁的长度与式(7)中的临界长度相同时，梁的弯扭振动和竖向弯曲振动将同时发生共振，此时桥梁在外在微幅的扰动（例如车流）下，即会出现竖向振动模式和弯扭振动模式的相互转换，周而复始，造成桥梁过大的振幅，影响车行的安全。另一方面，一旦发现桥梁长度与临界长度雷同时，我们也可透过桥梁长度和属性（包括断面特性）的调整来避开临界长度，使内在失稳的现象不会发生。
算例验证
为验证本文理论推导的可靠性，选择一移动简谐荷载以恒定的速度10m/s通过简支薄壁箱梁为例展开研究，薄壁箱梁截面图及其属性如图2和表1所示，简谐荷载的幅值为20kN。
图2 薄壁箱梁断面尺寸(单位: 厘米)
利用表1内桥梁属性和式（7），可以得到不同模态组合形式下桥梁发生内在不稳定性的临界长度（如弯扭模拟为第p阶，而竖向弯曲模态为第q阶），如表2所示。本文选择临界长度50.81米作为薄壁箱梁的跨度展开分析，此时p=2，q=3，分别对应弯扭模态的第2阶和竖向弯曲模态的第3阶。当跨度为50.81米时，薄壁箱梁的弯扭耦合频率与竖向弯曲频率如表3所示。图表可知，第2阶“负”弯扭耦合频率与第3阶竖向弯曲频率均为18.12Hz，验证了前述理论分析的正确性。
在此特别提醒读者，本文的目的在于理论展示各种失稳状态，所采用的断面要比现实工程上所用的要小，因此所算出的临界长度也偏短。实际上，短中跨公路桥梁的断面预期都会比本文所用的大，其临界长度也会比本文高些，不容易出现本文所说的内在不稳定问题。但是长跨桥梁和人行桥就不一样了，它的抗扭刚度和扭转振频都相对低些，临界长度也会短些，在现实世界里是有可能发生内在不稳定的。
两种典型情景下失稳动力分析
之前已经讨论了薄壁箱梁在简谐移动荷载作用下的共振条件，在这一部分将通过两个典型情景来展示梁在临界长度下的共振现象，即单个简谐移动荷载和一系列随机简谐移动荷载作用。每个情景下考虑了8种不同的失稳工况，如表4所示。其中，工况1-4用于模拟弯扭失稳，工况5、6用于模拟竖向弯曲失稳，工况7、8满足临界长度Lc=50.81m，且 ω2_ =ωz3，用于模拟弯扭和竖向弯曲同步失稳。
情景1
单一简谐移动荷载
在这里只考虑单一简谐移动荷载的作用，其简谐荷载频率如表4所示，分析了8种工况下薄壁箱梁的动力响应。工况1-4的桥梁跨中的横向、竖向和扭转位移计算结果如图3所示。从图3(a)和(c)可以看出，由于外部激励频率 ω等于式(4)给出的弯扭共振频率，在5.081s的载荷作用时间内，薄壁梁在横向和扭转向均出现了发散现象。然而，正如图3(b)所示，因竖向弯曲频率不等于外部激励频率，使得竖向运动并未出现发散现象，响应随着移动荷载的离开而最终收敛于零。
图3. 工况1-4的桥梁跨中响应: (a) 横向; (b) 竖向; (c) 扭转
对于工况5、6，此时外部激励频率ω等于式（5）给出的竖向弯曲共振频率。图4给出了工况5和6下桥梁跨中的横向、竖向和扭转位移。从图4(b)中可知，在荷载作用期间(5.081s)，桥梁跨中处的竖向运动呈现稳定增长的共振现象。但图4(a)中的横向运动和图4(c)中的扭转运动则非如此。
图4. 工况5-6的桥梁跨中响应: (a) 横向; (b) 竖向; (c) 扭转
工况7和工况8表示竖向弯曲振频和弯扭振频重合，当单一车载的激励频率ω等于二阶弯扭耦合频率ω2_ 或三阶竖向弯曲频率ωz3 时，内在失稳就发生了，这时候桥长刚好等于临界长度。图5给出了工况7和8下单一车载通过桥梁时，桥梁跨中横向、竖向和扭转位移响应。从图5可看出，在移动载荷的作用期间(5.081s)，所有的竖向、横向和扭转响应均出现了共振或内在失稳现象，其大小随单一车载的通过而呈单调的增加。在工程实际中，可通过选择桥长不接近临界长度来避免弯扭和竖向弯曲共振的同时发生，而临界长度也可通过断面的调整而改变。
图5. 工况7-8的桥梁跨中响应: (a) 横向; (b) 竖向; (c) 扭转
为了进一步揭示弯扭和竖向弯曲同步共振，也就是内在失稳现象，我们将工况7和工况8下单一车载通过桥梁时的竖向、横向和扭转响应绘制在同一图形中，分别如图6（a）和图7（a）所示。选择时间间隔为[3.0s, 3.5s]的区域被放大，并分别绘制于图6(b)和7(b)。从图6(b)和图7(b)可以看出，当竖向响应达到最大值时，侧向和扭转响应接近于零，反之亦然，以图6(b)为例。工况7的竖向位移在t1=3.105s时达到最大值4.277×10-4m，而横向和扭转响应在相同时刻t1接近于0。从图7(b)还可以看出，在t2=3.105s时，竖向位移接近于0，但横向和扭转响应均在t2时刻达到最大值。结果表明，在弯扭和竖向弯曲同时共振的情况下，薄壁梁处于内在不稳定状态，即使很少或没有额外的外部能量输入时，也可不断地让竖向模态振动转换到弯扭耦合模态振动，反之亦然，周而复始，这反复的模态转换就是内在失稳的一个重要特征。
图6 工况7桥梁跨中响应：
(a)总体视图；(b) (a)中封闭虚线区域的局部放大图
图7 工况8桥梁跨中响应：
(a)总体视图；(b) (a)中封闭虚线区域的局部放大图.
情景2
一系列随机简谐移动荷载
在情景1中，我们研究了薄壁梁在单个移动荷载作用下的共振现象。基于单对称截面的特性，梁的横向运动和扭转运动相互耦合，如果外部频率等于共振频率，它们将变得发散。在特殊的情况下，当任一竖向弯曲频率等于任一弯扭耦合频率，则将出现内在失稳现象，竖向弯曲和弯扭响应将会同时共振。
为进一步揭示内在失稳现象，我们将采用30个“随机”简谐移动荷载来近似模拟真实的交通状况，以突显桥梁本身一旦满足内在失稳条件时，随机的车流就能够引起桥梁长时间的大幅振动。根据预先定义的均值和标准差(SD)，随机生成简谐移动荷载的质量、移动速度和起始位置，如表5所示，其中“-”的起始位置表示荷载从桥梁的左侧开始移动。考虑与情景1中相同的8种工况，对于情景2，我们特别让系列荷载中的一个移动荷载先后满足表4中8个工况的共振频率，以测试能否引起桥梁的外在和内在失稳。随机移动载荷的平均作用时间为7.567s。
工况1-4在系列随机简谐荷载的作用下，桥梁跨中的横向、竖向和扭转响应如图8所示。从图8(a)、(c)中可以看出，在随机简谐移动荷载作用周期7.567s内，桥梁跨中的横向振动和扭转振动均以稳定的方式，随车流的进行而增长到最大值，呈现发散的现象。这是一种典型的弯扭共振现象，它是由随机车流中一个设定的移动载荷的激励频率ω等于式(4)给出的共振频率而引起的。如前所述，竖向运动此时处于非共振状态，图8(b)给出的结果也验证了这一点。上述观察结果与情景1的观察结果一致，只是随机车流产生了更大的响应。
图8 工况1-4中，桥梁在随机简谐荷载下的响应:
(a) 横向; (b) 竖向; (c) 扭转
图9给出了在工况5-6下，桥梁在系列随机简谐荷载作用下的横向，竖向和扭转响应。从图9可知，在系列随机简谐移动荷载的作用期间(7.567s)，桥梁跨中的竖向位移以稳定的方式随车流的进行而增长，并达到最大值（发散），而横向和扭转运动则未发生共振现象。这是典型的竖向弯曲共振，归因于随机荷载中有一个移动车载的频率ω等于竖向共振频率ωz1-Ω1 或ωz1+Ω1。工况5、6中观察到的现象与情景1中在单一简谐移动荷载下观察到的现象基本一致。唯一不同的是，在系列随机简谐移动荷载下，桥梁产生了更大的响应。
图9 工况5-6中，桥梁在随机简谐荷载下的响应:
(a) 横向; (b) 竖向; (c) 扭转
图10给出了在工况7和8下，受到系列随机车流时，桥梁跨中的横向、竖向和扭转响应。可以看出，在一系列随机简谐移动荷载的作用期间(7.567s)，横向、竖向和扭转位移均以稳定的方式，随车流的进行而增长到最大值，最终发散。这是典型的内在失稳，也就是同时发生了弯扭 (二阶模态)和竖向弯曲(三阶模态)共振。导致此种结果的原因，是本文薄壁梁的跨长刚好等于诱发内在不稳定的临界长度。虽然在图10中观察到的多移动荷载作用下的失稳机理，与在图5中单移动荷载下的机理是一致的，但在随机车流的情况下，桥梁的响应变得更大了，这是多个车辆所造成的放大效应。总之，对于已经选定的桥梁长度，应提前检验其断面尺寸的设计，以避开式(7)的临界长度，从而避免竖向和弯扭方向上的同步共振与失稳。
图10 工况7-8中，桥梁在随机简谐荷载下的响应:
(a)横向; (b) 竖向; (c) 扭转
同样的，为了揭示弯扭和竖向弯曲共振的机理，我们将工况7和工况8随机移动车流作用下梁的竖向、横向和扭转响应分别绘制在图11(a)、图12(a)中，并将时间区间[3.0s, 4.0s]的局部响应放大并绘制在图11(b)、图12(b)中。从图11(b)、图12(b)可知，竖向响应在横向和扭转响应接近于零的时刻达到最大值，反之亦然，反反复复，周而复始。以图11(b)为例，竖向响应在t1=3.267s时达到最大值，但横向和扭转响应在相同时刻t1几乎为零。同样的，如图12(b)所示，横向和扭转响应均在t2=3.727s时达到最大值，而竖向响应在相同时刻t2几乎为零。这表明，在同步共振或内在失稳状态下，也就是当任一竖向弯曲频率等于任一弯扭耦合频率之时，桥长刚好等于临界长度，薄壁梁的运动可较容易地、重复地从一个模态(竖向弯曲)转换到另一个模态(即弯扭屈曲)，反之亦然，反反复复，周而复始。在此种情况下，只需要很少的额外扰动（例如车流）即可引起内在失稳或同步共振的发生。因此，工程师们在设计较长的桥梁时，必须关注桥梁的内在失稳问题，尽量避免桥长与临界长度靠近，以免引发不正常、幅度过大的振动。
图11 工况7中，随机简谐荷载作用下桥梁跨中响应：
(a)总体视图；(b) (a)中封闭虚线区域的局部放大图
图12 工况8中，随机简谐荷载作用下桥梁跨中响应：
(a)总体视图；(b) (a)中封闭虚线区域的局部放大图
无风状态存在共振
本文以移动简谐荷载通过薄壁箱梁为例，以理论推导的方式，说明了单轴对称截面薄壁梁在简谐移动荷载作用下的横向、竖向和扭转振动的位移响应。由于桥梁截面的单对称，使得桥梁的横向和扭转向是耦合的，而竖向弯曲运动是解耦的。通过令位移响应的分母等于零，推导出了薄壁梁弯扭和竖向弯曲运动的共振条件。当梁发生共振时，其相关运动将会发散，且在移动荷载的作用期间增长至最大值。
当任一竖向频率等于任一弯扭耦合频率时，会出现内在失稳现象，此时的桥长刚好满足临界长度。在这种情况下，桥梁的弯扭和竖向弯曲同时进入共振状态，此时，即使只有很少的外部干扰（例如车流），桥梁即可不断地从竖向模态振动转换到弯扭耦合模态振动，反之亦是，周而复始。对于抗扭能力较弱的桥梁（如长跨桥梁和人行桥），一旦桥梁长度指定后，在工程设计阶段应尽量选择适当的断面，以避免桥长与临界长度过度靠近，从而避开桥梁内在失稳的问题。
本文以数值分析证明了在一系列随机简谐移动载荷作用下，不需要有风力或涡流的作用，桥梁的所有共振（包括内在失稳）都是存在的。本文提出的理论，有助于解释在弱风或微风条件下，大跨悬索桥的长时间大幅抖动的问题。
本文刊载 / 《桥梁》杂志
2023年 第6期 总第116期
作者 / 杨永斌 史康 莫向前 刘凌
作者单位 / 重庆大学
编辑 / 李诗韵
美编 / 赵雯
审校 / 李天颖 裴小吟 廖玲
联系人：李天颖
稿件投递
联系人：裴小吟
联系人：黎伯阳
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