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1、机械制图【技能目标】 掌握基本体三视图的画法、尺寸标法及其表面上点的投影的作图方法。 掌握平面立体和回转体被不同截平面切割后截交线的形状及其画法。 熟悉常见相贯线的形状，能够熟练画出常见相贯线及相贯体的投影。 能够根据截断线和相贯线的特征，标注截断体和相贯体的尺寸。 能熟练地绘制简单形体的正等轴测图和斜二等轴测图。第3章 基本体的三视图及轴测图3.1 基本体的三视图及尺寸标注基本体的三视图及尺寸标注3.2 截交线的投影及作图截交线的投影及作图3.3 相贯线的投影及作图相贯线的投影及作图3.4 轴测图轴测图43.1 基本体的三视图及尺寸标注基本体的三视图及尺寸标注任何物体都可以看成是由若干个基本
2、体组合而成的，这些基本体包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和圆球等，如图3-1所示。5基本体分为平面立体和曲面立体两种。其中，平面立体是指表面均为平面的基本体，工程上常见的有长方体、棱柱和棱锥（台）等；曲面立体是指表面由曲面或曲面和平面组成的基本体，工程上常见的曲面立体为回转体，如圆柱、圆锥（台）和圆球等。63.1.1 平面立体的三视图及作图步骤平面立体的三视图及作图步骤绘制平面立体的投影图，就是按照投影规律绘出立体表面上所有轮廓线的投影。可见轮廓线画成粗实线，而不可见轮廓线应画成细虚线。1棱柱及其表面上点的投影棱柱及其表面上点的投影棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体，立体上相邻表面的交线称为棱
3、线，棱柱。棱柱是由两个相互平行的多边形的底面和几个矩形的侧面围成的立体，棱柱有直棱柱和斜棱柱。顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱，正棱柱的棱线互相平行。常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等。7棱柱的作图方法：先画出棱柱底面多边形的投影（也为侧棱面的积聚性投影），再根据三等规律完成另外两面投影。投影图特征：一面视图为多边形，另两面视图为矩形框。下面以六棱柱为例，分析其投影特征和作图方法。不同棱柱的三视图，其画法大致相同。1）棱柱的投影）棱柱的投影如图3-2所示，以正六棱柱为例，将该六棱柱置于三投影面体系中，为了便于作图，摆成特殊位置，使其顶面和底面（正六边形）平行于H面，并使前、后
4、侧棱面与V面平行。89该六棱柱的投影特性如下：俯视图：反映顶面和底面实形，即为正六边形，该六边形的六个顶点是六条棱边（铅垂线）的积聚投影。主视图：为三个矩形。其中，中间矩形为前、后棱面的重合投影；左侧矩形为左侧前、后棱面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后棱面的重合投影。左视图：为两个矩形，分别是左、右四个铅垂棱面的重合投影。作图步骤：步骤步骤1 先画出各投影轴线及45辅助线，然后作正六棱柱的对称中心线和底面基线，以确定各视图的位置，如图3-3（a）所示。1011步骤步骤2 先画出反映主要形状特征的视图，即画俯视图中的正六边形，然后按照“长对正”的投影规律及正六边形的高度画出主视图，如图3-3（b
5、）所示。12步骤步骤3 根据“高平齐、宽相等”的投影规律画出左视图，如图3-3（c）所示。132）棱柱表面上点的投影）棱柱表面上点的投影由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。由于棱柱各表面均处于特殊位置，因此可利用积聚性来取点。点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚为直线，则点的投影可见。求作棱柱表面上点的投影时，应先确定该点在棱柱的哪个表面上，然后利用棱柱面的积聚性来求点的投影。步骤步骤1 由于点M的水平投影m不可见，因此可判断该点位于正六棱柱的底面上。由于该棱柱底面的正面投影和侧面投影都具有积聚性，因此点M的正面投影m和
6、侧面投影m必定在底面的同面投影上。因此，可根据点的投影规律求出点m和点m，如图3-4（b）所示。步骤步骤2 由于点N的正面投影n不可见，因此可判断点N在铅垂棱面 上，由于该棱面的水平投影积聚成直线af，则点N的水平投影必然在此积聚线上，故由点n向下画投影线并与直线af相交于点n，该点即为点N的水平投影。最后由点n和点n可求出点n，如图3-4（b）所示。14例如，已知正六棱柱表面上点M的水平投影及点N的正面投影，如图3-4（a）所示，试求这两点的另外两面投影，作图步骤如下：15162棱锥及其表面上点的投影棱锥及其表面上点的投影棱锥由一个底面和几个侧棱面组成，其中侧棱线交于有限远的一点锥顶棱锥由一
7、个多边形底面和若干个侧棱面组成，相邻两侧面的交线称为棱线，各侧棱线均过锥顶，常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。当底面为正多边形，锥顶在底面多边形高线上时，形成的棱锥称为正棱锥。棱锥的作图方法：一般先画底面的三面投影（先画底面多边形的投影），再画锥顶的三面投影，最后连接锥顶与底面各顶点，即为棱锥的三视图投影。按图3-5位置放置棱锥，其底面平行于水平投影面（H面），水平投影反映实形，其它两个投影积聚成直线，再画锥顶的三面投影，连接各侧棱线的同面投影，即为棱锥的投影。1718投影图特征为：一面视图为多边形，另两面视图为三角形。下面以正三棱锥为例，分析其投影特征和作图方法。不同棱锥的三视图，其画法
8、大致相同。1）棱锥的投影）棱锥的投影棱锥的棱线交于一点。常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。画棱锥投影时，一般先画底面的投影，按图3-5所示位置放置棱锥，其底面为水平面，水平投影反映实形，其他两个投影积聚成直线，再画锥顶的三面投影，连接各侧棱线的同面投影，即为棱锥的投影。19以正三棱锥为例，将该三棱锥放入三投影面体系中，使底面ABC平行于水平面，棱面SAC为侧垂面，另外两个侧棱面为一般位置平面，如图3-5所示。此时，该三棱锥的投影特性如下：俯视图：反映正三棱锥的底面实形，即为等边三角形，三个侧面的投影表现类似性，顶点的投影与等边三角形的垂心重合。主视图：为两个三角形，即左、右两个侧棱面的类似
9、形。左视图：为一个三角形。其中，后侧棱面积聚为最后方的一条直线段，左、右侧棱面的投影仍为三角形，且相互重合。20画正三棱锥的投影时，应先画出底面的三面投影，再画出锥顶的三面投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影，如图3-6所示。212）棱锥表面上点的投影）棱锥表面上点的投影组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位置的平面。凡属于特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影的积聚性直接求得；对于一般位置表面上的点，可通过作辅助线的方法求得。【例3-1】已知三棱锥表面上M点和N点的正面投影，如图3-7（a）所示，试求作这两点的水平投影和侧面投影。2223作图步骤（方法1）：步骤步骤1 由
10、于M点的正面投影不可见，因此该点在后棱面SAC上。由于此棱面是侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此M点的侧面投影m一定积聚在直线sa上，根据点的投影规律求出m点。最后由m点和m点求出M点的水平投影m，如图3-7（b）所示。24步骤步骤2 由于N点的正面投影可见，因此该点在右侧棱面SBC上。首先通过n点作辅助线n1平行于bc并交sc于1点。然后求出点的水平投影1，过1点作平行于bc的直线。最后根据点的投影规律求出N点的水平投影n。步骤步骤3 根据点的投影规律，由n点和n点求出N点的侧面投影n，如图3-7（b）所示。25分析：如图3-8所示，由于M点的正面投影可见，因此该点在前棱面SAB上。由于此面
11、是一般位置平面根据在面内取点的方法，由锥顶S过M做辅助线SH，因M点在SH上，则点M的投影必在直线SH的同面投影上。因此，下面为求作棱锥表面上点的另一种作图方法。2627作图步骤（方法2）：3.1.2 回转体的三视图及作图步骤回转体的三视图及作图步骤回转体上的曲面（也叫回转面）是由一条母线（直线或曲线）绕回转轴线旋转而形成的表面，如圆柱、圆锥等，其中任意位置的母线称为素线。画回转体的投影就是画回转面的转向轮廓线、底面和轴线的投影。这种由一条母线绕轴线回转而形成的表面称为回转面；由回转面构成的立体称为回转体。步骤步骤1 如图3-8所示，在俯视图中连接sm交直线ab于h点。步骤步骤2 H点在底面A
12、BC的线段AB上，ABC为水平面，根据“长对正”得到h，连接sh。步骤步骤3 m在直线sh上，根据“长对正”得到m。步骤步骤4 根据点的投影规律，由m点和m点求出M点的侧面投影m，如图3-8（c）所示。281圆柱及其表面上点的投影圆柱及其表面上点的投影1）圆柱的投影）圆柱的投影圆柱是由圆柱面和上、下两底面所组成的回转体，圆柱面可看作是由一条与轴线平行的直母线绕回转轴旋转所形成的，因此圆柱面为回转面。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线，如图3-9（a）所示。29圆柱的作图方法：先画出轴线的三面投影（细点画线），再画出底面圆的投影（也为圆柱面的投影），最后根据三等规律及圆柱的高完成另外两面投
13、影。投影图特征：一面为圆，另外两面为相同的矩形框。将圆柱体的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-9（b）所示，其三视图的投影特性如下。3031俯视图：反映上、下底面实形的圆。此时，圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。主视图：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。左视图：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。要绘制图3-9（c）所示圆柱的三视图，可先画出圆的中心线和主、左视图中圆柱的轴线投影，然后画出投影为圆的俯视图中的圆，最后按照投影关系画出主、左视图。323
14、32）圆柱表面上点的投影）圆柱表面上点的投影圆柱表面上点的投影，可根据圆柱的积聚性求出。例如，已知圆柱面上M点的V面投影m，如图3-9（c）所示，要求该点的其他两面投影，作图步骤如下：步骤步骤1 由于M点的正面投影可见，且在中心线的左边，因此该点在圆柱的左前方表面上。由于此圆柱表面在水平面内积聚，因此M点的俯视图投影m一定积聚在圆上，根据点的投影规律求出m点。步骤步骤2 根据“高平齐，宽相等”最后由m点和m点求出M点的侧面投影m，如图3-9（c）所示。34【例3-2】如图3-10（a）所示，求圆柱表面上点的三面投影。35分析：图3-10所示圆柱所放置的位置，圆柱表面在左视图积聚为一个圆，在求圆
15、柱表面上的点时先求其左视图的投影；若点的投影落在圆内则点必在圆柱的底面上。36步骤步骤1 由于A点在主视图的投影a在矩形框上，故A点在圆柱的最上素线上，根据特殊素线的投影规律可求出A点在俯视图及左视图内的投影，如图3-10（b）所示。37步骤步骤2 由于B点在主视图内的投影b可见切在轴线的后面，所以B点在圆柱表面上、后方。首先求B点的左视图投影，根据“宽相等”，在俯视图从轴线向后量取b到轴线的距离为L，在左视图从中心线向后量取L距离，与圆靠上的交点为b，根据点的投影规律求出b点，由于B点靠后，所以主视图b点不可见，要用括号括起来，如图3-10（b）所示。步骤步骤3 由于C点的左视图投影c在圆内
16、且可见，所以C点在圆柱的左边底面上，根据点在表面上则点的投影均落在面的投影上，以及点的投影规律可求出C点的另外两面投影如图3-10（b）所示。382圆锥及其表面上点的投影圆锥及其表面上点的投影1）圆锥的投影）圆锥的投影圆锥体由圆锥面和底面构成。如图3-11所示，圆锥面可以看成是由直线SA绕与其相交的轴线SO旋转而成的。圆锥面上，通过锥顶的任一直线都是圆锥面的素线。39圆锥的作图方法：先画出轴线的三面投影（用细点画线），再画出底面圆的投影（为圆锥侧面的投影），圆心为锥顶的投影，最后根据三等规律及圆锥的高完成另外两面投影。投影图特征为：一面投影为圆和中心一点，另两面投影为相同的等腰三角形。将圆锥的
17、轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-12（a）所示，其三视图的投影特性如下：4041俯视图：为一水平圆，反映圆锥底面的实形，同时也是圆锥面的投影。主、左视图：均为等腰三角形，且三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。主视图中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左、最右素线的投影；左视图中，三角形的两边分别是圆锥面最后、最前素线的投影。要绘制圆锥的三视图，可先画出圆的中心线和主、左视图中圆锥轴线的投影，然后在俯视图中画出圆锥底圆的投影，接着画出底圆在主、左视图中的投影，再根据圆锥的高度确定锥顶在主、左视图中的投影，最后连接轮廓线即可。2）圆锥表面上点的投影）圆锥表面上点的投影圆锥底面具有积聚性，
18、其上的点可以直接求出；圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。按照辅助线的作用不同，辅助线法可分为辅助素线法和辅助圆法两种。其中，利用辅助素线法所作的辅助线是过顶点的素线，利用辅助圆法所作的辅助线是过与底面平行的圆。42【例3-3】如图3-12所示，已知锥面上M点的V面投影m，试求该点的其他两面投影。43作图步骤（辅助素线法）：步骤步骤1 如图3-12（b）所示，由于M点的正面投影可见，因此M点位于圆锥体的前半圆锥面上，且水平投影和侧面投影都可见。由于圆锥面没有积聚性，因此必须利用辅助线才能求出M点的其他两面投影，即在主视图上用细直线连接三角形的顶点s和m点，并延长与底边相交于e点。
19、步骤步骤2 由于E点位于圆锥底面上且可见，因此根据点的投影规律可直接求得该点水平投影e。步骤步骤3 连接se，由于M点位于直线SE上，因此它的水平投影m也一定位于直se上。根据点的投影规律可依次求出M点的水平投影m和侧面投影m。44作图步骤（辅助圆法）：【例3-4】如图3-13（a）所示，求圆锥表面上点的三面投影。步骤步骤1 如图3-12（c）所示，过m点作与底边平行的直线ab，该直线为一个与底面平行的小圆的正面投影。步骤步骤2 以ab为直径在水平面上作底面圆的同心圆，由于m在该圆上，则M点的水平投影m一定在该圆周上，根据点的投影规律可依次作出水平投影m和侧面投影m。4546分析：圆锥底面具有
20、积聚性，其上的点可以直接求出；圆锥面没有积聚性，其上的点用辅助圆法求出。圆锥按图3-13所示位置放置，在圆的视图上（左视图），圆锥表面所有的点的投影落在圆上及圆内且可见；圆锥底面的点落在圆内且不可见。47步骤步骤1 A点的主视图投影在圆锥最下素线上，由于最上最下素线在左视图和俯视图的投影分别落在坐标轴上，并且最下素线不可见，根据点的三面投影规律可求A点另外两面的投影，如图3-13（b）所示。48步骤步骤2 由于B点在左视图（圆的视图）的投影b不可见，因此可以判断出，B点在圆锥的底面上，根据点属于面的投影规律及点的三面投影规律，可求出点B另外两个面的投影，如图3-13（b）所。步骤步骤3 由于点
21、C在水平面上的投影不可见且在轴线的后方，所以点C在圆锥后下方表面上。采用辅助圆法对C点的投影进行求解，过c点作与底边平行的直线，该直线为一个与底面平行的小圆的正面投影。以该直线为直径在侧平面上作底面圆的同心圆，由于c在该圆上，则C点的侧面投影c一定在该圆周上，根据点的投影规律可依次作出正面投影m，因M点在圆锥后下方表面上，故正面投影m不可见。493圆球及其表面上点的投影圆球及其表面上点的投影1）圆球的投影）圆球的投影圆球是由球面组成的回转体。如图3-14所示，圆球面可看作一圆(母线)围绕它的直径回转而成。50投影特征：从三个不同方向投影且直径相同的圆。圆球的三面投影均为与该圆球直径相等的圆，该
22、圆是球面对投影面的转向轮廓线的投影，代表球体上三个不同方向的纬圆，这三个纬圆分别平行于三个投影面，如图3-14所示。2）圆球表面上点的投影）圆球表面上点的投影由于圆球面均无积聚性，因此除了转向轮廓线上的点可直接求出外，圆球表面上的其他点均需用辅助圆法才能求出。51【例3-5】已知圆球面上一点M的V面投影m，如图3-14所示，试求作该点的水平投影和侧面投影。52作图步骤：步骤步骤1 由于M点的正面投影可见，且投影位于主视图的左下方，因此，可以推断该点位于前半球的左下部位。由此可知M点的水平投影不可见，其侧面投影可见。过m点作水平线bc，它与圆球的正面投影相交于点b和点c。步骤步骤2 以bc为直径
23、，在水平面上作圆球水平投影的同心圆，则M点的水平投影m必定在该圆周上。步骤步骤3 根据点的投影规律可依次作出水平投影m和侧面投影m。533.1.3 基本体的尺寸标注基本体的尺寸标注视图只能表达物体的形状，而各部分的大小和位置关系要用尺寸来表达。基本体的尺寸标注以能确定其基本形状和大小为原则，一般应将长、宽、高三个方向的尺寸标注齐全，既不能缺少尺寸，也不能重复标注尺寸。标注基本体的尺寸时，需要注意以下几点：（1）标注棱柱、棱锥及棱台的尺寸时，除了标注确定其顶面和底面形状大小的尺寸外，还要标注高度尺寸。54为了便于看图，确定其顶面和底面形状大小的尺寸，易标注在反映其实形的投影上，然后在另一投影图上
24、标注高度方向的尺寸，如图3-15所示。此外，标注正方形尺寸时，在正方形边长尺寸数字前，加注正方形符号“”，如图3-15（a）所示。六棱柱的底面通常标注对边的间距，括号里的尺寸是参考尺寸，可不标注，如图3-15（b）、（e）所示。55（2）圆柱、圆锥和圆台，应标注底圆直径和高度尺寸，并尺寸数字前需加“”符号。标注圆球尺寸时，在直径数字前加注球直径符号“S”。直径尺寸一般标注在非圆视图上，当尺寸集中标注在一个非圆视图上时，一个视图即可表达清楚他们的形状和大小。球体标注直径后，只需一个投影图即可表达，如图3-16所示。56（3）对带切口的几何体，除标注基本几何体的尺寸外，还要注出确定截平面位置的尺寸
25、。但要注意，由于几何体与截平面的相对位置确定后，切口的交线即完全确定，因此，不应在交线上标注尺寸。如图中3-17所示，画“”的尺寸为多余尺寸。573.2 截交线的投影及作图截交线的投影及作图用一个平面切割立体，平面与立体表面所形成的交线称为截交线，用来截切立体的平面称为截平面，立体被截切后的断面称为截断面，如图3-18所示。5859当立体表面形状和截平面的位置不同时，截交线的形状也不同，但任何形状的截交线都具有以下两个基本性质。封闭性：由于任何立体都有一定的范围，所以截交线为封闭的平面图形。共有性：因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共有线。由此可见，求作
26、截交线的实质，就是求截平面与立体表面的共有点和共有线。3.2.1 平面立体切割体的画法平面立体切割体的画法平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形，该多边形的各边是截平面与立体表面的交线，多边形的顶点是截平面与立体各棱边的交点。因此，求平面截断体的投影，关键是找到这些交点，然后作同面投影连线。【例3-6】已知正六棱柱被正垂面所切割，如图3-19（a）所示，补画其左视图。6061分析：正六棱柱被正垂面切割时，正垂面与正六棱柱的六个侧面相交，所以截交线是一个六边形，六边形的顶点为各棱边与正垂面的交点。截交线在H面上的投影与棱柱的水平投影重合，在V面上的投影积聚为一直线，在W面上的投影是一个六边形。6
27、2步骤步骤1 画出被切割前正六棱柱的左视图，如图3-19（b）所示。63步骤步骤2 在主视图和俯视图上分别找出正垂面与六棱柱各棱边的交点，并用相应数字或字母标注，然后根据点的两面投影，找出这些交点在侧平面中的投影点1，2，3，4，5，6，最后用直线顺次连接各交点，如图3-19（c）所示。64步骤步骤3 检查左视图并画出遗漏的虚线，然后擦去被切去部分的投影线并加深图线，结果如图3-19（d）所示（注意：正六棱柱最右侧棱边的投影在左视图中被截断面挡住了，因此要用虚线画出被挡住部分的投影。65【例3-7】已知图3-20（a）所示四棱锥被正垂面P截切，补画被切割后截断体的三视图。66分析：由图3-20
28、（a）可知，截平面P与四棱锥的四条棱边都相交，所以截交线为四边形，四边形的四个顶点为各棱线与平面的交点（，）。截平面的正面投影具有积聚性，因此可直接求出各交点的正面投影，进而求得这些交点的水平投影和侧面投影，最后依次连接这四个交点的同面投影即可。67作图步骤：步骤步骤1 先画出未切割前四棱锥的左视图，然后在截平面具有积聚性的投影面上找出四棱锥各棱边与截平面P的交点的投影，即找出交点的投影1，2，3，4，如图3-20（b）所示。68步骤步骤2 利用直线上点的投影特性，求出各交点分别在H面和W面上的投影，最后依次连接这四个交点的同面投影即可，如图3-20（c）所示。69步骤步骤3 擦去被截去部分的
29、图线，然后加深其余图线即完成作图，结果如图3-20（d）所示。70【例3-8】如图3-21所示，在四棱柱上方切割一个矩形通槽，试完成四棱柱矩形通槽的水平投影和侧面投影。71分析：如图3-21（b）所示，四棱柱上方的矩形通槽是由三个特殊位置平面切割而成的。槽底是水平面，其正面投影和侧面投影均积聚成水平方向的直线，水平投影反映实形。两侧壁是侧平面且重合在一起，其正面投影和水平投影均积聚成竖直方向的直线，侧面投影反映实形。可利用积聚性求出通槽的水平投影和侧面投影。72作图步骤：因四棱柱的最前、最后两条侧棱均在开槽部位被切去，故左视图中的外形轮廓线在开槽部位向内“收缩”。其收缩程度与槽宽有关，槽越宽收
30、缩越大。 注意区分槽底侧面投影的可见性，即槽底的侧面投影积聚成直线，中间一段不可见，应画成虚线。步骤步骤1 根据通槽的主视图，先在俯视图中作出两侧壁的积聚性投影；再按“高平齐、宽相等”的投影规律，作出通槽的侧面投影，如图3-21（c）所示。步骤步骤2 擦去作图线，校核切割后的图形轮廓，加深描粗，如图3-21（d）所示。733.2.2 回转体切割体的投影及画法回转体切割体的投影及画法用平面切割回转体时，截交线的形状取决于被截回转体的表面形状，以及截平面与回转体的相对位置，截交线的形状一般是封闭的平面曲线，或平面曲线与直线段相连的平面图形，特殊情况下也可能是平面多边形。1圆柱体的截交线圆柱体的截交
31、线圆柱的截交线，因截平面与圆柱轴线的相对位置不同而形状不同。当截平面平行于圆柱轴线时，截交线是矩形；当截平面垂直于圆柱轴线时，截交线是一个直径等于圆柱直径的圆周；当截平面倾斜于圆柱轴线时，截交线是椭圆，椭圆的大小随截平面与圆柱轴线的倾斜角度不同而变化，但短轴与圆柱的直径相等。这三种情况如表3-1所示。747576求圆柱切割体的投影，主要是求截交线的投影。求截交线的投影时，应先根据截平面和圆柱轴线的位置关系，判断截交线的形状，然后利用在圆柱表面上取点的方法来作图。取点时，应先取特殊位置的点（如截交线上最高、最低、最前、最后、最左、最右的点以及能决定截交线位置的点，如椭圆的长、短轴端点，转向轮廓线
32、上的点等），再取一般位置的点，最后顺次连接各点即可。【例3-9】如图3-22所示，求作带切口圆柱体的侧面投影。777879分析：圆柱切口由水平面P和侧平面Q切割而成。如图3-22（a）所示，由截平面P所产生的交线是一段圆弧，其正面投影是一段水平线（积聚在p上），水平投影是一段圆弧（积聚在圆柱的水平投影）。截平面P与Q的交线是一条正垂线BD，其正面投影bd积聚成点，水平投影bd重合于侧平面Q的积聚投影q上。由截平面Q所产生的交线是两段铅垂线AB和CD（圆柱面上两段素线）。它们的正面投影ab与cd积聚在q上，水平投影分别为圆周上两个点a与b、c与d。Q面与圆柱顶面的交线是一条正垂线AC，其正面投影
33、ac积聚成点，水平投影投影ac与bd重合，也积聚在q上。80作图步骤：步骤步骤1 由p向右引投影连线，从俯视图上量取宽度定出b、d，如图3-22（b）所示。步骤步骤2 由b、d分别向上作竖线与顶面交于a、c，即的由截平面Q所产生的截交线AB、CD的侧面投影ab、cd，如图3-22（c）所示。步骤步骤3 连接各点，加深描粗，即得出圆柱切口的左视图投影。思考：如果扩大切割圆柱的范围，使截平面P切过圆柱的轴线，如图3-23所示的侧面投影与图3-22（d）所示的侧面投影有所不同，因为截平面P已切过圆柱轴线，圆柱面的最前和最后两段轮廓已被切去。读者要仔细分析由于切割位置不同而形成侧面投影所画轮廓线的区别
34、。818283【例3-10】已知圆柱体被切口开槽，如图3-24（a）所示，求作圆柱体切口开槽的三视图。84分析：如图3-24（b）所示，开槽部分的侧壁是由两个侧平面、槽底是由一个水平面截切而成的，圆柱面上的截交线分别位于被切出的各个平面上。由于这些面均为投影面的平行面，其投影具有积聚性或真实性，因此，截交线的投影应依附于这些面的投影，不需另行求出。85作图步骤：步骤步骤1 根据开槽圆柱的主视图，先在俯视图中作出两侧壁的积聚性投影；再按“高平齐、宽相等”的投影规律，作出通槽的侧面投影，如图3-24（c）所示。86步骤步骤2 擦去作图线，校核切割后的图形轮廓，加深描粗，如图3-24（d）所示。87
35、因圆柱的最前、最后两条转向素线均在开槽部位被切去，故左视图中的外形轮廓线在开槽部位向内“收缩”。其收缩程度与槽宽有关，槽越宽收缩越大。注意区分槽底侧面投影的可见性，即槽底的侧面投影积聚成直线，中间一段不可见，应画成虚线。【例3-11】已知圆筒被切口开槽，如图3-25（a）所示，求作圆柱体切口开槽的三视图。888990分析：如图3-25（a）所示，开槽部分的侧壁是由两个侧平面Q、槽底是由一个水平面P截切而成的，圆柱面上的截交线分别位于被切出的各个平面上。由于这些面均为投影面的平行面，其投影具有积聚性或真实性，因此，截交线的投影应依附于Q、P的投影，不需另行求出。91作图步骤：【例3-12】已知圆
36、柱体被正垂面P所截，如图3-26（a）所示，作该切割体的三视图。步骤步骤1 先作出完整基本形体的三面投影图。步骤步骤2 然后作出圆柱开槽的三面投影图。步骤步骤3 作穿孔的三面投影图，穿孔部分去出材料，有些线需要去掉，如图3-25（d）所示。9293分析：由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故截交线是椭圆。椭圆在主视图中积聚为一直线，在俯视图中为圆柱面的水平投影圆，在左视图中为椭圆的类似形。94作图步骤：步骤步骤1 绘制圆柱体的三视图。根据圆柱体的投影规律，先画出未切割前圆柱体的三视图，然后画主视图中的截交线（一条斜线段），如图3-26（b）所示95步骤步骤2 求特殊位置点的投影。分别取椭圆长轴的两个端
37、点，和短轴的两个端点，。其中，点是截交线上的最低点和最左点；点是截交线上的最高点和最右点；点是截交线上的最前点；点是截交线上的最后点。由于这些点都是转向轮廓线上的点，可利用积聚性先在主视图中标出这些点，然后求出其在左视图中的投影1，2，3，4。步骤步骤3 求适当数量的一般位置点的投影。为了使左视图中的曲线更加精确，可在截交线上取适量的一些点，如俯视图中的点5，6，7，8（这些点可在投影为圆的投影图上取8等分点或12等分点），然后求出这些点在主视图中的投影5，6，7，8，最后求出其在左视图中的投影5，6，7，8，如图3-26（b）所示。步骤步骤4 用光滑的曲线顺次连接左视图中的各投影点，最后加深
38、图线，即可得到该圆柱截断体的投影图，如图3-26（c）所示。9697思考：随着截平面与圆柱轴线倾角的变化，所得截交线椭圆的长轴的投影也相应变化（短轴投影不变）。当截平面与轴线成45时（正垂面位置），交线的空间形状仍为椭圆。请读者思考，截交线的侧面投影为什么是圆？98【例3-13】已知圆柱被侧平面P与正垂面Q截切，如图3-27所示，求作切割体的左视图。99分析：如图3-27所示，圆柱是由平面P和平面Q截切。截平面P是侧平面，所以截交线的侧面投影显示，在正垂面和水平面的投影有积聚；截平面Q与圆柱的轴线倾斜，截交线为椭圆，截平面Q为正垂面，椭圆在主视图积聚，在水平面内落到圆上，在侧面投影是类似的椭圆
39、。100作图步骤：步骤步骤1 先画出未截切的圆柱的左视图投影，如图3-27（a）所示。步骤步骤2 从ab向右引投影连线，再从俯视图量取ab=ab，画出P面的左视图投影如图3-27（b）所示。步骤步骤3 做Q面的三视图投影，求特殊点（特殊位置素线上的共有点），如图3-27（b）所示，最高点A、B，最低点V，最前点VIII最后点II，ab在步骤1已求，点V在最右素线，左视图投影在圆柱投影的中轴线上且不可见，点VIII、点II分别在最前最后素线上，左视图投影8、2在圆柱投影的最前最后素线上。101步骤步骤4 求一般点为了准确作图，还必须在特殊点之间作出适当数量的中间点，如I、III、IV、VI、VI
40、I、IX各点。可先作出它们的水平投影1、3、4、6、7、9和正面投影1、3、4、6、7、9再作出侧面投影1、3、4、6、7、9如图3-27（b）所示。步骤步骤5 判断截交线的可见性，由于圆柱的最前和最后素线是左视图投影的可见性的分界线，即：在左视图中，最前最后素线的左边的面可见，右边的面不可见。由于VIII、II在最前最后素线上，即VIII、II是截交线可见性的分界点，VIII、II两点以左的点可见，以右的点不可见。步骤步骤6 光滑连接各点，可见的用粗实线，不可见的用细虚线，擦去多余的图线如图3-27（c）所示。1022圆锥体的截交线圆锥体的截交线圆锥体被平面切割时，锥面与截平面的交线可分为表
41、3-2所示的5种情况。103104【例3-14】已知圆锥被正平面P所截，如图3-28所示，补画其正面投影。105分析：由于截平面为正平面，且与圆锥的轴线平行，因此截交线为双曲线，其水平投影和侧面投影分别积聚为一直线，只需求出其正面投影。106作图步骤：步骤步骤1 根据投影关系，用细实线画出未切割前圆锥的正面投影，如图3-29（a）所示。107步骤步骤2 求特殊点C点为截交线上的最高点，在最前素线上，因此可由c点直接作出c和c；A，B点为最低点，其水平投影a，b和侧面投影a，b可在俯视图和左视图中直接找到，根据投影关系可在主视图上找到a和b点，如图3-29（a）所示。步骤步骤3 求一般位置点。为
42、了使双曲线更加精确，可利用辅助圆法求得一系列一般位置点。在正面投影c与a，b之间画一条与圆锥轴线垂直的水平线（即平面M在正平面上的投影），该水平线与圆锥最左、最右素线正面投影的交点为3，4，以34为直线，在水平投影中画一圆，它与截交线的积聚性投影（直线）相交于1和2点，由此可得到1，2及1，2，如图3-29（a）所示。步骤步骤4 用光滑曲线依次连接a，1，c，2，b点，然后擦去多余辅助线并加深其余图线，结果如图3-29（b）所示。108109【例3-15】圆锥被倾斜于轴线的平面截切，试补全圆锥的水平投影和侧面投影，如图3-30（a）所示。110分析：如图3-30（b）所示，截交线上任一点M，可
43、看成是圆锥表面某一素线S1与截平面P的交点。因M点在素线S1上，故M点的三面投影分别在该素线的同面投影上。由于截平面P为正垂面，截交线的正面投影积聚为一直线，故需求作截交线的水平投影和侧面投影。111作图步骤：步骤步骤1 求特殊点。C为最高点，根据c，可作出c及c；A为最低点，根据a可作出a及a；B为最前、最后点（前后对称点），根据b，可作出b，进而求出b，如图3-30（c）所示。112步骤步骤2 利用辅助线法求中间点。过锥顶作辅助线s1与截交线的正面投影相交，得m，求出辅助线的其余两投影s1及s1，进而m和m， 如图3-30（d）所示。113步骤步骤3 连点成线。去掉多余图线，将各点依次连成
44、光滑的曲线，即为截交线的投影，如图3-30（e）所示。1143圆球体的截交线圆球体的截交线圆球体被平面切割，不论截平面处于什么位置，空间交线总为圆。当圆球体被投影面平行面切割时，截断面在与其平行的投影面上的投影为圆，在其他两个投影面上的投影为直线；当截平面与投影面倾斜时，其投影为椭圆，如表3-3所示。115绘制圆球切割体的三面投影时，应先分析截平面与投影面的位置关系，确定截交线的形状，然后根据投影规律进行绘制。【例3-16】已知半圆球切槽的立体图，如图3-31（a）所示，求其三面投影。116分析：由于半圆球被两个对称的侧平面P和一个水平面Q所截切，所以两个侧平面P与球面的截交线各为一段平行于侧
45、面的圆弧，而水平面Q与球面的截交线为两段水平圆弧。117作图步骤：步骤步骤1 在主视图中作切槽的投影。先画出完整半圆球的三视图，然后根据槽口的宽度和深度在主视图中画出切槽的投影（切槽是由两个侧平面和一个水平面组成，因此在主视图中均积聚为直线），如图3-31（b）所示。118步骤步骤2 在左视图上作切槽的投影。切槽的两个侧平面P与球面的交线在左视图上的投影为圆弧，其半径为R1；切槽底面在左视图上积聚为直线，中间部分不可见，故画成虚线，如图3-31（b）所示。步骤步骤3 在俯视图上作切槽的投影。切槽的两个侧平面P在俯视图中的投影为两段聚直线，水平面Q在俯视图中的投影为两段半径相等且对称的圆弧，其圆
46、弧半径为R2，图方法如图3-31（b）所示。步骤步骤4 擦去多余图线并加深其余图线，结果图3-31（c）所示。119120【例3-17】 完成球被正垂面截切后的俯视图如图3-32（a）所示。121分析：圆球被正垂面截切，截交线为圆且在正面积聚为直线，在水平面类似的椭圆。122作图步骤：步骤步骤1 先求特殊点。俯视图为类椭圆，先找出椭圆轴径上的四个点投影，如图3-32（b）所示。123步骤步骤2 确定截交线与转向轮廓线的交点。俯视图的转向轮廓在主视图的投影落在水平的轴线上，如图3-32（c）所示。124步骤步骤3 依次光滑连接各点的水平投影。擦去多余图线并加深其余图线，结果图3-32（d）所示。
47、125思考：圆球被正垂面截切后的俯视图完成了，如何在3-32（d）的基础上完成左视图？126【例3-18】如图3-33所示，绘制顶尖的三视图。127分析：顶尖头部由同轴（侧垂线）的圆锥和圆柱被水平面P和正垂面Q切割而成。P平面与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条侧垂线（AB、CD）。Q平面与圆柱面的交线为椭圆弧，P、Q两平面的交线BD为正垂线。由于P面和Q面正面投影以及P面和圆柱面的侧面投影都有积聚性，所以只要做出截交线以及截平面P和Q交线的水平投影。128作图步骤：步骤步骤1 画出同轴回转体完整的三视图，在主视图上做出P、Q平面有积聚性的正面投影，如图3-34（a）所示。129步骤步
48、骤2 参照如图3-34所示的方法做出P平面与圆锥面的交线（双曲线）。按投影关系做出P平面与圆柱的交线AB、CD的水平投影ab、cd，以及P、Q两平面交线BD的水平投影bd，如图3-34（b）所示。130步骤步骤3 正垂面Q与圆柱面的交线（椭圆弧）的正面投影积聚为直线，侧面投影积聚为圆。由e做出e和e，在椭圆弧正面投影的适当位置定出fg，直接做出侧面投影f、g，再由。f、g和fg做出f、g。依次连接bfegd即为Q平面与圆柱面交线的水平投影，如图3-34（c）所示。131步骤步骤4 擦去多余图线并加深其余图线，结果图3-34（d）所示。1323.3 相贯线的投影及作图相贯线的投影及作图交线是两相
49、交立体表面的共有线，是一条封闭的空间曲线。由于相交体的几何形状、大小和相对位置不同，交线的形状也不同。133相交的类型有：平面立体与平面立体相交；回转体与平面立体相交；回转体与回转体相交；多体相贯。如图3-35所示。前两种情况交线的画法与截交线的画法相类似，本章不做特别的叙述研究。两个回转体相互贯穿相交称为相贯，其表面形成的交线称为相贯线。一般情况下，相贯线特指两个回转体的交线，如图3-35（c）所示，本章主要对两个回转体的相贯线的画法做详细介绍。相贯线的形状与回转体的形状和回转体空间相交的形式有关。134无论相贯线的形状如何，它都具有共有性和封闭性两个基本性质。共有性：由于相贯线是两相交立体
51、影面上的投影有积聚性时，其相贯线在该投影面上的投影一定与该形体的投影重合，根据这个已知投影，就可用表面取点法求出相贯线在其他投影面上的投影。136【例3-19】已知两圆柱正交，如图3-36（a）所示，求作该相贯体的三视图。137分析：由图3-36（a）所示的立体图可以看出，该相贯体为一个铅垂圆柱与水平圆柱正交所得，故相贯线为曲线。相贯线的水平投影与铅垂圆柱面的水平投影重合，侧面投影与侧垂圆柱的侧面投影重合，因此只需求作它的正面投影即可。138作图步骤：步骤步骤1 按照投影关系画出两圆柱的投影，主视图中的相贯线先不画。步骤步骤2 求特殊位置点的投影。在相贯体上取特殊位置点A，B，C，D，其中，点
52、A和点B是两圆柱正面投影的转向轮廓线交点，其投影可在各视图上直接找出；点C和点D是铅垂圆柱侧面投影的转向轮廓线和水平圆柱表面的交点，其投影可在左、俯视图上直接找到，主视图中的点c和点d可根据点的投影规律作出，如图3-36（b）所示。139140步骤步骤3 求一般位置点的投影。在铅垂圆柱的水平投影圆上取对称的两点e和f，它们的侧面投影和水平投影都可根据点的投影规律求出。步骤步骤4 用光滑的曲线顺次连接正面投影上各点的投影，即可得到相贯线的正面投影，如图3-36（c）所示。141两圆柱正交时，按圆柱面的可见性分为圆柱与圆柱、圆柱与圆孔、圆孔与圆孔相贯，当孔与圆柱或圆孔相贯时，相贯线在物体的内部，内
53、相贯线的投影由于不可见而画成细虚线。相贯线的画法如表3-4所示。142143【例3-20】已知两圆柱偏交，如图3-37（a）所示，求作该相贯体的三视图。144分析：如图3-37所示，两圆柱为互贯，其相贯线是一条空间曲线。这时，相贯线的水平投影积聚在直立圆柱的水平投影上，相贯线的侧面投影积聚在水平圆柱的侧面投影上，因此只需要求出相贯线的正面投影。145作图步骤：步骤步骤1 求特殊点。由侧面投影可求出四个点I、II、III、IV的各个投影，其中I、II为最高点，III、IV为最低点；由于水平投影求出另外四个点V、VI、VII、VIII的各个投影，其中V、VI为最左点，VII、VIII为最右点；此外
54、，从有积聚性的水平投影可直接求得最前点IX、X；从有积聚性的侧面投影可直接求得最后点XI、XII。步骤步骤2 求一般点。为了连点需要，还可以从水平投影或侧面投影选取一般点。步骤步骤3 判断可见性。由于直立圆柱位于水平圆柱前面，所以V、VI、VII、VIII这四个点是相贯线正面投影可见部分与不可见部分的分界点。步骤步骤4 依次官话连接个点的正面投影，并注意轮廓素线的连线情况（参看放大图），即得所求相贯线，如图3-37（b）所示。1461472辅助平面法辅助平面法当两相贯体的投影没有积聚性时，通常采用辅助平面法求其相贯线。假想用一辅助平面在两回转体交线范围内截切两回转体，则辅助平面与两立体表面都产
55、生截交线，这两条截交线的交点既属于辅助平面，又属于两立体表面，是三面的共有点，即相贯线上的点。为了作图方便，选择辅助平面的原则是：选择特殊位置的辅助平面（一般为投影面平行面），使得截交线的投影为直线或圆。148【例3-21】已知圆柱与圆台相贯，如图3-38所示，求作该相贯体的相贯线投影。149分析：由图3-38可以看出，圆台的轴线为铅垂线，圆柱的轴线为侧垂线，两轴线正交且都平行于正面，因此相贯线前后对称，其正面投影重合。由于圆柱的侧面投影为圆，相贯线的侧面投影积聚在该圆上，因此只需求作相贯线的水平投影和正面投影即可。150作图步骤（见图3-39）：151152步骤步骤1 求特殊位置点的投影。如
56、图3-39（a）所示，侧面投影a，b是相贯线上最高点A和最低点B的投影，它们是两回转体特殊位置素线的交点，因此可直接求出其水平投影a，b和正面投影a，b；侧面投影c，d是相贯线上最前点C和最后点D的侧面投影，过圆柱轴线作水平面P为辅助平面，由此可求出平面P 与圆台表面截交圆的水平投影，该圆与圆柱面水平投影的外形轮廓线交于c，d两点，最后可求出点c（d）。步骤步骤2 求一般位置点的投影。如图3-39（b）所示，分别在主视图和左视图中作水平辅助平面Q的投影线q和q，则可求出投影线q与圆柱侧面的交点e，f；由主视图中投影线q与圆台表的交点，可求出俯视图中辅助平面Q与圆台的截交线的水平投影圆，最后根据
60、相交的两圆柱（或圆柱与圆锥）公切于同一球面时，相贯线一定是平面曲线，即两个相交的椭圆，如图3-43中的红色图线所示。1622相贯线为直线相贯线为直线当相交两圆柱的轴线平行时，相贯线为直线，如图3-44（a）所示。当两圆锥共顶时，相贯线也是直线，如图3-44（b）所示。163【例3-22】如图3-45所示，已知相贯体的俯、左视图，求作主视图。164分析：由图3-45（a）可知，该相贯体由一直立圆筒与一水平半圆筒正交，内外表面都有交线。外表面为两个等径圆柱面相交，相贯线为两条平面曲线（椭圆），其水平投影和侧面投影分别于两圆柱面的投影重合，正面投影为两条直线。内表面的相贯线为两段空间直线，其水平投影
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