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1、 化工设备机械基础化工设备机械基础 第四章第四章 圆轴的扭转圆轴的扭转 第四章第四章 圆轴的扭转圆轴的扭转 主要内容：主要内容： 一、一、了解圆轴扭曲的变形性质，应力分布。了解圆轴扭曲的变形性质，应力分布。 二、二、熟悉圆轴扭曲时内力计算，刚度条件。熟悉圆轴扭曲时内力计算，刚度条件。 三、三、掌握圆轴扭曲的应力计算，强度条件。掌握圆轴扭曲的应力计算，强度条件。 扭转实例扭转实例 当用当用改锥改锥起螺钉时，在改锥起螺钉时，在改锥 柄处受到一个力偶柄处受到一个力偶M M的作用，的作用， 改锥下端则受到一个由螺钉改锥下端则受到一个由螺钉 给它的给它的等值反向力偶等值反向力偶的作用。的作用。 这两个力
2、偶所在的平面均与这两个力偶所在的平面均与 杆的轴线垂直杆的轴线垂直，改锥的这种改锥的这种 受力形式称为受力形式称为扭转扭转。 如左图，反应釜中的如左图，反应釜中的 搅拌轴，轴的上端受搅拌轴，轴的上端受 到由减速机输出的转到由减速机输出的转 动力矩动力矩m mC C，下端搅拌桨，下端搅拌桨 上受到物料的阻力形上受到物料的阻力形 成的阻力矩成的阻力矩m mA A，当轴匀，当轴匀 速转动时，这速转动时，这两个力两个力 偶矩大小相等、方向偶矩大小相等、方向 相反、都作用在与轴相反、都作用在与轴 线垂直的平面内。线垂直的平面内。 搅拌轴的受力形式搅拌轴的受力形式扭转。扭转。 扭转实例扭转实例（续（续1
3、1） T 其它工程其它工程 实例：实例： T 扭转实例扭转实例（续（续2 2） 扭转的受力和变形特点扭转的受力和变形特点 1.1.受力特点：受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。力偶作用，两力偶大小等，转向相反。 2.2.变形特点：变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。各横截面绕轴线发生相对转动。 3.3.扭转角：扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移任意两截面间有相对的角位移，这种角位移 称为称为扭转角扭转角。 AB A B j j g g Mn Mn x 轴的概念轴的概念 工程上，将以扭转变形为主要变形
4、的构件通工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为称为轴轴。（对比：对比：以弯曲为主要变形的构件在工以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为程上通称为梁梁) )同时，同时，多数轴是多数轴是等截面直轴。等截面直轴。 本章也只讨论圆截面直轴的扭转问题。本章也只讨论圆截面直轴的扭转问题。 4-14-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算圆轴扭转时所受外力的分析与计算 一、一、搅拌轴的三项功能搅拌轴的三项功能 二、二、n ， P， m 之间的关系之间的关系（重点）（重点） 一、一、搅拌轴的三项功能搅拌轴的三项功能 1.1.传递旋转运动传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物将电动机或减
5、速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。料的桨叶。 2.2.传递扭转力偶矩：传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为矩称为扭矩扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出；，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.3.传递功率：传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
6、 上述的三项功能只是描述的角度不同，实际上他们并非彼此上述的三项功能只是描述的角度不同，实际上他们并非彼此 独立，在传递旋转运动和传递扭转力偶矩的同时，必然也就是传独立，在传递旋转运动和传递扭转力偶矩的同时，必然也就是传 递了功率。所以上述三者之间是紧密联系的。递了功率。所以上述三者之间是紧密联系的。 1.扭矩：扭矩： 扭转时的内力称为扭矩扭矩。 截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力 系。扭矩求解仍然使用截面法截面法。 2.扭矩图扭矩图： 用平行于轴线的 x 坐标表示横截面的位置，用垂 直于 x 轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截 面扭矩随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。 例题
7、例题：（：（参见参见“辅辅1”1”第第1010讲讲 7 . 8 .97 . 8 .9） 二、二、扭转内力扭转内力: :( (扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图) ) 3.求解方法：求解方法： 截面法求横截面的内 力 4.4.扭矩的正负：扭矩的正负： 二、二、扭转内力扭转内力: :( (扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图) )（续（续1 1） 右手螺旋法则： 以右手手心对着轴， 四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。 3.3.扭矩正负号的规定：扭矩正负号的规定： （1 1）右手螺旋法则：右手螺旋法则： 四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭
8、矩的方向。 （2 2）扭矩正负号：扭矩正负号： 离开截面为离开截面为正正，指向截面为指向截面为负负。 （3 3）外力偶矩正负号的规定：外力偶矩正负号的规定： 与坐标轴同向为与坐标轴同向为正，正，反向为反向为负负 指向截面指向截面 离开截面离开截面 三、三、横截面的内力矩横截面的内力矩扭矩扭矩（续（续2 2） 二、二、扭转内力扭转内力: :( (扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图) )（续（续2 2） 例例：主动轮主动轮A A的输入扭矩的输入扭矩M M A A = = 1146 N.m1146 N.m，从动轮，从动轮B B、C C、D D输出输出 扭矩分别为扭矩分别为M M B B = =M M C C
9、= 350 N.m= 350 N.m ， M M D D = = 446 N.m446 N.m，试求传动试求传动 轴指定截面的扭矩，并做出扭矩图。轴指定截面的扭矩，并做出扭矩图。 解：1）用截面法把所求用截面法把所求 各轴截开：各轴截开： 2)分别求各段轴的扭矩分别求各段轴的扭矩: M M 1 1 + + M M B B = 0= 0 M M 1 1 = -= -M M B B =-350N.m=-350N.m M M B B + M M C C + M M 2 2 =0M M 2 2 =-M M B B -M M C C =-700N.m-700N.m M M D D -M M 3 3 =
10、0M M 3 3 = M M D D = 446N.m446N.m 二、二、扭转内力扭转内力: :( (扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图) )（续（续3 3） 446N.m 700N.m 350N.m 3)3)画扭矩图：画扭矩图： 分析：分析：对于同一根轴来说，对于同一根轴来说， 若把主动轮若把主动轮A A安置在轴的一端，安置在轴的一端， 例如放在右端，则该轴的扭例如放在右端，则该轴的扭 矩图为：矩图为： M M B B M M C C M M D D M M A A x M T 350N.m 700N.m 1146N.m 结论结论：传动轴上主动传动轴上主动 轮和从动轮的安放位置轮和从动轮的安放位置
11、不同，轴所承受的最大不同，轴所承受的最大 扭矩扭矩( (内力内力) )也就不同。也就不同。 显然，这种布局是不合显然，这种布局是不合 理的。理的。 M X 1.1.公式推导：公式推导： 由物理学可知，单位时间所作的功称为功率由物理学可知，单位时间所作的功称为功率P P，它等于力，它等于力F F和速度和速度v v的乘积：的乘积： P=FvP=Fv， 圆轴的周边上的线速度等于角速度乘以圆半径：圆轴的周边上的线速度等于角速度乘以圆半径： v=Rv=R 在圆轴的周边作用一个力在圆轴的周边作用一个力F F，若轴的转速，若轴的转速 是是n n ( ( r/minr/min) )则轴的角速度：则轴的角速度：
12、 =(2n/60)=(2n/60) ( (rad/srad/s) ) 代入代入 得得 P=Fv=FRP=Fv=FR( (式中式中FRFR是是F F对圆心的矩，即对圆心的矩，即FR=MFR=M) ) 得得 P=M=M(2n/60P=M=M(2n/60） 若若F F的单位是的单位是KNKN, ,R R的单位是的单位是m m，则由上式求出的功率单位为：，则由上式求出的功率单位为：KNKN* *m/sm/s，工程，工程 上，功率常用上，功率常用KWKW（千瓦千瓦）表示。得）表示。得 2.2.圆轴扭转外力偶矩公式圆轴扭转外力偶矩公式：（单位：单位：KNKN* *m m） （1 1） M=60M=60*
13、*P/(2n )P/(2n ) （5-15-1） （2 2） M=9.55M=9.55* *（P/nP/n） （5-25-2） F R 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 例例 ：传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动轮，从动轮 B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。 MA MBMC BC A D MD解：解：计算外力偶矩：计算外力偶矩： mN6379550 mN5 .4779550 mN15929550 n P M n P
14、 MM n P M D D B CB A A 外力偶矩的计算外力偶矩的计算（续）（续） 圆轴传递的功率圆轴传递的功率P P和转数和转数n n为已知时，用上述公式为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出：即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率如轴的功率P P一定，转数一定，转数n n越大，则外力矩越小，越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。反之，转数越低则外力矩越大。 例如例如: :化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减所需力矩很大，因为功率受到一
15、定的限制，所以只能减 低滚轴的转数低滚轴的转数n n来增大力矩来增大力矩M M。由电动机经过一个三级四。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数一样的。因此，转数n n高的轴，力矩高的轴，力矩M M就小，轴径就细一就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩些；转数低的轴，力矩M M就大，轴径就粗就大，轴径就粗. . 在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。 四、四、
16、n n（转速）（转速）P P（功率）（功率） M M ( (扭矩）扭矩）的关系的关系 M=60M=60* *P/(2n )P/(2n )或或 M=9.55M=9.55* *（P/nP/n） （KNKN* *m m） 1.1. 当轴的转数一定时，轴所传递的功率将随轴所当轴的转数一定时，轴所传递的功率将随轴所 受到的扭转力矩的增大而增大。受到的扭转力矩的增大而增大。 2.2. 在设计时，选择减速机型或确定电动机的额定在设计时，选择减速机型或确定电动机的额定 功率时，应考虑整个操作周期中的最大阻力矩。功率时，应考虑整个操作周期中的最大阻力矩。 3.3. 增加机器的转速，必定会使整个传动装置所传增加机
17、器的转速，必定会使整个传动装置所传 递的功率加大，有可能使电机过载，所以不应随递的功率加大，有可能使电机过载，所以不应随 意提高机器的转速。意提高机器的转速。 60 n2 M mNWP 四、四、n n（转速）（转速）P P（功率）（功率） M M ( (扭矩）扭矩）的关系的关系( (续）续） 本节小结本节小结 1.1.当轴传递的功率一定时，轴的转速越高，轴所受到的扭转力矩越当轴传递的功率一定时，轴的转速越高，轴所受到的扭转力矩越 小。小。 2.2.当轴的转速一定时，轴所传递的功率将随轴所受到的扭转力矩的当轴的转速一定时，轴所传递的功率将随轴所受到的扭转力矩的 增加而增大。增加而增大。 3.3.
18、增加机器的转速，有可能使电机过载增加机器的转速，有可能使电机过载。 n P 9550 60 n2 P1000 60 n2 M 60 n2 M kk WP mN mNWP 4-24-2 纯剪切、角应变、剪切虎克定律纯剪切、角应变、剪切虎克定律 一、一、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转（纯剪切）（纯剪切） 二、二、剪应力互等原理剪应力互等原理 三、三、剪切虎克定律剪切虎克定律 一、一、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 1.1.薄壁圆筒扭转时的应力薄壁圆筒扭转时的应力: (1)(1)观察一个实验观察一个实验: a 将一薄壁圆筒表面用纵向平将一薄壁圆筒表面用纵向平 行线和圆周线划分。行线和圆周线划分。 b 两
19、端施以大小相等方向相两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。反一对力偶矩。 (2)(2)观察到：观察到： a 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变。圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变。 b 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾 斜了一个角度。斜了一个角度。 2.2.平面假设：平面假设： 圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及 相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。 3.3. 推断结论：推断结论： （1 1）横截面
20、上各点无轴向变形横 截面上无正应力。无正应力。 （2 2）横截面绕轴线发生了旋转式 相对错动，发生了剪切变 形，故横截面上有切应力存有切应力存 在在。由于壁很薄，可以假设由于壁很薄，可以假设 切应力沿壁厚切应力沿壁厚均匀分布。均匀分布。 （3 3）各横截面半径不变，所以： 切应力方向与截面半径方向切应力方向与截面半径方向 垂直。垂直。 （4 4）距离圆心越远的点，它的变 形就越大。 一、一、薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转（续）（续） 二、二、剪应力互等定理剪应力互等定理 1.1.剪应力互等定理推导：剪应力互等定理推导： 因为因为周向线的大小、形状以及周向线的大小、形状以及 周向线之间的距离均未改
21、变周向线之间的距离均未改变，所以，所以 圆筒的纵向和周向均没有线应变，圆筒的纵向和周向均没有线应变， 则沿纵向和周向就不可能有正应力，则沿纵向和周向就不可能有正应力， 沿半径方向也不可能有剪应力，从沿半径方向也不可能有剪应力，从 横截面取出一个横截面取出一个“单元体单元体”（微小微小 正六面体正六面体），则只可能上、下、左、），则只可能上、下、左、 右面有剪力作用；其应力分布如图右面有剪力作用；其应力分布如图 （d d），）， 当圆筒受到力矩当圆筒受到力矩T T作用时：作用时： 在小立方体的左右两个侧面上将出现指向相反、大小相等的剪在小立方体的左右两个侧面上将出现指向相反、大小相等的剪 力力，
22、由于圆筒处于平衡状态，小立方体也应处于平衡，为了平衡，由于圆筒处于平衡状态，小立方体也应处于平衡，为了平衡 左右两侧面上剪应力所形成的力偶距，在小立方体的上下面也必须左右两侧面上剪应力所形成的力偶距，在小立方体的上下面也必须 有大小相等、方向相反的剪应力有大小相等、方向相反的剪应力存在。由静力平衡条件：存在。由静力平衡条件：（ dy） dx=（ dx）dy 得得 = 二、二、剪应力互等定理剪应力互等定理（续）（续） 2.2.纯剪切：纯剪切： 在相互垂直的面上只有剪力作用的受力情况称为：在相互垂直的面上只有剪力作用的受力情况称为： 纯剪切纯剪切。 由静力平衡条件的由静力平衡条件的合力矩方程合力矩
23、方程可以得到可以得到: 1.1.剪应力互等定义：剪应力互等定义： 两互相垂直截面上在的剪应力成对存在，且数值相等、符号相两互相垂直截面上在的剪应力成对存在，且数值相等、符号相 反，均垂直于两截面的交线；称为：反，均垂直于两截面的交线；称为：剪应力互等定理剪应力互等定理（剪力双生剪力双生）。 gG 1.1.剪应变剪应变: : 从以上分析可知，受到扭转的薄从以上分析可知，受到扭转的薄 壁圆筒，各点都处于纯剪切状态，因壁圆筒，各点都处于纯剪切状态，因 此在剪应力的作用下，单元体的直角此在剪应力的作用下，单元体的直角 将发生微小的改变，这个改变量将发生微小的改变，这个改变量g g 称为称为 剪应变剪应
24、变（也称为（也称为角应变角应变）。）。 三、三、剪切虎克定律剪切虎克定律 g 当剪应力不超过材料的当剪应力不超过材料的剪切比例极限剪切比例极限时，剪应力与剪时，剪应力与剪 应变之间成正比关系，这个关系称为应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克定律剪切虎克定律。 剪切弹性模量剪切弹性模量 （5-35-3） 2.2.剪切虎克定剪切虎克定律律: : 本节小结本节小结 扭转变形的实质是圆筒的各相邻横截面之间发生了扭转变形的实质是圆筒的各相邻横截面之间发生了 以圆筒轴线为回转中心的相对转动。剪切弹性模量以圆筒轴线为回转中心的相对转动。剪切弹性模量G G、 拉压弹性模量拉压弹性模量E E以及横向变形系数
25、以及横向变形系数都是表示材料弹性都是表示材料弹性 性质的常数，它们可由试验确定。同时，在它们之间有性质的常数，它们可由试验确定。同时，在它们之间有 一定的关系，对于一定的关系，对于“各向同性各向同性”( (在各个方向上的力学性能在各个方向上的力学性能 和物理性能指标都相同的特性和物理性能指标都相同的特性) )的材料，它们之间的关系：的材料，它们之间的关系： E gG ）（ 12 E G （5-4)5-4) 4-34-3 圆轴在外力偶作用下变形与内力圆轴在外力偶作用下变形与内力 一、一、圆周扭转时的变形分析；圆周扭转时的变形分析； 二、二、扭转剪应力及其分布规律；扭转剪应力及其分布规律； 三、三
26、、横截面的内力矩横截面的内力矩扭矩；扭矩； 四、四、扭矩与扭转变形之间的关系；扭矩与扭转变形之间的关系； 五、五、扭转剪应力的计算公式；扭转剪应力的计算公式； 六、六、扭转角的计算。扭转角的计算。 一、一、圆周扭转时的变形分析圆周扭转时的变形分析 1.1.扭转变形：扭转变形： 取一根左端固定、右取一根左端固定、右 端自由，半径为端自由，半径为R R的等截的等截 面实心轴，并在它的表面面实心轴，并在它的表面 画两条纵向线画两条纵向线adad和和fkfk以及以及 两条圆周线两条圆周线bgbg和和chch。 当在轴的右端作用一力偶当在轴的右端作用一力偶 矩矩m m时，圆轴各相邻截面之间时，圆轴各相邻
27、截面之间 也都发生了绕各自截面轴心的也都发生了绕各自截面轴心的 相对转（错）动。假设圆轴不相对转（错）动。假设圆轴不 长，扭转变形又不是很大，则长，扭转变形又不是很大，则 纵向线在变形后仍可近似地看纵向线在变形后仍可近似地看 成是一条直线，只是倾斜了一成是一条直线，只是倾斜了一 个角度个角度。 2.2. 变形分析：变形分析： 假想沿假想沿n-nn-n和和m-mm-m两个相距两个相距dxdx的横截面将轴切取一薄片的横截面将轴切取一薄片 （如图）。（如图）。 可以发现：圆轴扭转时，在其各个相邻的横截面间均可以发现：圆轴扭转时，在其各个相邻的横截面间均 发生了绕各自形心的相对转动。如果用发生了绕各自
28、形心的相对转动。如果用dd来表示来表示n-nn-n和和m-m- m m这两个相邻横截面间所发生的相对转角，那么这两个相邻横截面间所发生的相对转角，那么d/dxd/dx就就 可以用来表达轴在可以用来表达轴在n-nn-n截面处的扭转变形程度。截面处的扭转变形程度。 一、一、圆周扭转时的变形分析圆周扭转时的变形分析（续（续1 1） Rdcc 3.3.公式推导：公式推导： 正是由于相邻的两个横截面之间发生正是由于相邻的两个横截面之间发生 了绕各自行形心的相对转动，所以在每两了绕各自行形心的相对转动，所以在每两 个横截面上各对对应点（譬如图中的个横截面上各对对应点（譬如图中的b b点和点和 c c点）之
29、间就会发生沿圆周弧线的相对错动，点）之间就会发生沿圆周弧线的相对错动， 这种这种对应点之间所发生的相对错动量，其对应点之间所发生的相对错动量，其 大小显然是和所讨论的点到形心的距离有大小显然是和所讨论的点到形心的距离有 关关，就，就b b、c c这一对对应点，它们相对错动这一对对应点，它们相对错动 量显然可以用弧线量显然可以用弧线 ：c cc c 表示，其值为：表示，其值为： ( (书书P P5454） dx d R dx cc g g n-n截面在截面在b点处的点处的 角应变：角应变： 一、一、圆周扭转时的变形分析圆周扭转时的变形分析（续（续2 2） (5-5)(5-5) dx d dx c
30、c g . x 为单位长度扭转角位长度时的扭转角，称 相隔单的变化率，为两个截面沿轴线表示扭转角 dx d 是是常常量量。说说，对对于于同同一一截截面面上上各各点点来来 dx d 表表示示，即即用用符符号号 一、一、圆周扭转时的变形分析圆周扭转时的变形分析（续（续3 3） 观察截面观察截面n-nn-n上距圆心为上距圆心为处的处的 b b 点， 点， 如左图，如左图，b b 点处的角应变： 点处的角应变： (5-6)(5-6) dx d g g 4.4.横截面任意点的剪应力：横截面任意点的剪应力： 通过以上的变形分析，我们得到了横截面半径上任意通过以上的变形分析，我们得到了横截面半径上任意 点处
31、的剪应力变为点处的剪应力变为： 上式表明：上式表明：横截面半径上任意点处的剪应变横截面半径上任意点处的剪应变与该点与该点 到横截面形心处的距离到横截面形心处的距离成正比。成正比。 圆周扭转时横截面上各点的剪应变变化规律如下：圆周扭转时横截面上各点的剪应变变化规律如下： 圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距离圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距离 成正比。圆心处为成正比。圆心处为零零；圆轴表面；圆轴表面最大最大；在半径为；在半径为的同一的同一 圆周上各点的剪应变圆周上各点的剪应变相等相等。 一、一、圆周扭转时的变形分析圆周扭转时的变形分析（续（续4 4） (5-6)(5-6) 一、一
32、、圆周扭转时的变形分析圆周扭转时的变形分析（续（续5 5） 二、二、扭转剪应力及其分布规律扭转剪应力及其分布规律 根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即 =G G。在弹性范围内剪应变。在弹性范围内剪应变越大，则剪应力越大，则剪应力也也 越大；横截面上离中心为越大；横截面上离中心为的点上，其剪应力为的点上，其剪应力为， 由由 得得 1.1.剪应力分布的规律：剪应力分布的规律： 横截面上某点的剪应力横截面上某点的剪应力与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。圆心处剪应力为零，圆轴表面的剪应力成正比。圆心处剪应力为零，圆轴表面的剪应力最大。最大
33、。 在半径为在半径为r r的同一圆周上各点的剪应力的同一圆周上各点的剪应力均相同，其方均相同，其方 向与其半径相垂直。向与其半径相垂直。 dx d g g GG dx d g g (5-7)(5-7) Mn 推论：推论： （1 1）横截面上某点的剪横截面上某点的剪 应力的方向与扭矩方向应力的方向与扭矩方向 相同，并垂直于该点与相同，并垂直于该点与 圆心的连线。圆心的连线。 （2 2）剪应力的大小与其剪应力的大小与其 到圆心的距离成正比。到圆心的距离成正比。 注意：注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。样适用，但是，空
34、心部分没有应力存在。 dx d GG j j g g 二、二、扭转剪应力及其分布规律扭转剪应力及其分布规律（续）（续） (5-7)(5-7) 三、三、横截面的内力矩横截面的内力矩扭矩扭矩 A T dAM dAdQ 1.1.扭矩：扭矩： 从图可见，圆轴受扭时，在其横从图可见，圆轴受扭时，在其横 截面上将产生非均布的剪应力截面上将产生非均布的剪应力 横截面内每一个微小面积横截面内每一个微小面积 上都作用为微小剪力上都作用为微小剪力dQdQ，其，其 值为值为 dA dA，每一个，每一个dQdQ对于轴对于轴 心心O O均有力矩均有力矩 dA dA，这些，这些 力矩存在于整个截面，并且力矩存在于整个截面
35、，并且 转向一致，于是这些力矩之转向一致，于是这些力矩之 和就构成了圆轴受扭时横截和就构成了圆轴受扭时横截 面上的内力矩，称之为面上的内力矩，称之为扭矩扭矩。 用用M MT T表示。表示。 max dA dA O dAdMT (5-8)(5-8) 2.2.扭矩的计算法则：扭矩的计算法则： 内力矩是伴随着圆轴的扭转变形产生的，它的作用是抵抗外内力矩是伴随着圆轴的扭转变形产生的，它的作用是抵抗外 力矩对该截面的破坏，因此扭矩应与该截面一侧所受的外力矩平力矩对该截面的破坏，因此扭矩应与该截面一侧所受的外力矩平 衡。衡。由此可得扭矩的计算法则如下由此可得扭矩的计算法则如下：（本章（本章11-1211-
36、12讲）讲） （1 1）受扭圆轴任一横截面上的扭矩等于该截面一侧所有受扭圆轴任一横截面上的扭矩等于该截面一侧所有 外力（偶）矩的代数和。外力（偶）矩的代数和。 （2 2）对这些外力偶矩可用右手螺旋法则来取其正负。对这些外力偶矩可用右手螺旋法则来取其正负。 即将右手的四指沿着外力偶矩的旋转方向弯曲，如即将右手的四指沿着外力偶矩的旋转方向弯曲，如 果大拇指的指向是背离所讨论的截面，则认为该外力偶果大拇指的指向是背离所讨论的截面，则认为该外力偶 在该截面上所引起的扭矩为在该截面上所引起的扭矩为正正值，因此该外力偶矩取正值，因此该外力偶矩取正 值，反之取值，反之取负负值。值。 三三、横截面的内力矩横截
37、面的内力矩扭矩扭矩（续（续1 1） 四、四、扭矩与扭转变形之间的关系扭矩与扭转变形之间的关系 dx d GG j j g g dAM A T dA dx d GdAM AA T j 2 (5-7)(5-7) (5-8)(5-8) （5-95-9） 3.3.扭矩公式：扭矩公式： dA dx d GdAM AA T j 2 dA dx d GM A T 2 j 是一个只决定于横截面的形状和大小的几何是一个只决定于横截面的形状和大小的几何 量，称为量，称为横截面对形心的横截面对形心的极惯性矩极惯性矩。 dAI A p 2 令令 P T GI M dx d j j dx d dA dx d M A T
38、 P 2 GI G 四、四、扭矩与扭转变形之间的关系扭矩与扭转变形之间的关系（续）（续） p I （5-105-10） （5-115-11） 3.3.极惯性矩：极惯性矩： 五、五、扭转剪应力的计算扭转剪应力的计算 1. 圆截面圆截面 上任意一点上任意一点 剪应力剪应力: T p T I M 令令 2.2.圆截面上最大剪应力：圆截面上最大剪应力： R 剪应力具有最大值：剪应力具有最大值： R I M p T max 3.3.定义：定义： R I W p p 称为：称为：抗扭截面模量抗扭截面模量 p T W M max axm dx d GG j j g g P T GI M dx d j j R
39、 O 当当 p W （5-135-13） （5-145-14） （5-125-12） 六、六、极惯性矩与抗弯截面模量的计算极惯性矩与抗弯截面模量的计算 16 D 2 D I R I W 32 D 22 I 2dA dA 3 PP P 4 2 D 0 3 2 D 0 2 2 D 0 22 P 于是 得根据极惯性矩的定义， ，的圆环形微面积处，取一宽度为圆心为右图示一圆截面，在距 dd dAdA d d A 4 4 0 .1 3 2 p D ID p p I W R 3 3 2.0 16 D D （5-155-15） （5-165-16） （5-185-18） （5-175-17） 1.1.实心圆
40、轴极惯性矩：实心圆轴极惯性矩： 比圆形截面的大。 要，积条件下，环形截面的，显然在相同的截面面式中 ）（ ）（）（ 的空心圆轴来说，内径为对于外径为 PP 4 3 PP P 4 4 44 2 D 2 d 2 2 D 2 d 22 P WI D d 1 16 D 2 D I R I W 1 32 D dD 32 2 I dD ddAdA A 六、极惯性矩与抗弯截面模量的计算（续） 应当注意的是应当注意的是：圆形截面的极：圆形截面的极 惯性矩是外圆与内圆的极惯性惯性矩是外圆与内圆的极惯性 矩之差；而它的抗扭截面模量矩之差；而它的抗扭截面模量 却不是外圆与内圆的抗扭截面却不是外圆与内圆的抗扭截面 模
41、量之差。模量之差。 4 32 p D I 444 44 11 .01 3232 D Dd p p I W R 434 3 12 .01 16 D D 2.2.轴空心圆极惯性矩轴空心圆极惯性矩： （5-195-19） （5-205-20） （5-215-21） 七、扭转角的计算 横截面相距越远，它的扭角就越大。 1.扭转角： （扭转角是扭转 变形的变形度量 ） 形的能力。反应了圆轴抵抗扭转变 轴的抗扭刚度称为圆轴的抗扭刚度。的单位为弧度。式中 为：扭转角 端截面间的相对扭矩相同，则这段轴两轴内，其各横截面上的 的一段角，若在长度为两横截面间的相对扭转是相距式中 来计算，值可直接通过 转角来度量，
42、两个横截面间的相对扭轴的扭转变形通常是用 P P T P T P T GI GI M dx GI M GI M l d ld dxd dx d l 七、扭转角的计算（续） （5-225-22） （5-235-23） 4-44-4 圆轴扭转的强度条件与刚度条件圆轴扭转的强度条件与刚度条件 主要内容：主要内容： 一、一、圆轴扭转时的强度条件；圆轴扭转时的强度条件； 二、二、圆轴扭转时的刚度条件。圆轴扭转时的刚度条件。 一、一、圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 1.1.强度条件：强度条件： 当轴的危险截面上的最大剪应力不超过材料的扭转当轴的危险截面上的最大剪应力不超过材料的扭转 许许用剪用剪应应力力tt时，轴就能安全正常地工作，故轴扭转时，轴就能安全正常地工作，故轴扭转 的强度条件为的强度条件为：（本章本章3939讲）讲） 式中式中 M MT T和和W WP P分别是危险截面上的分别是危险截面上的扭矩扭矩和和抗扭截面模抗扭截面模 量量。 W M P T max （5-255
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