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1、 第五章 梁弯曲时的位移工程实例工程实例7-1工程实例工程实例工程实例工程实例挠曲线方程：挠曲线方程：y向下为正。向下为正。7-2挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角5-15-1 梁的位移梁的位移挠度及转角挠度及转角建立坐标系，建立坐标系，o xy为梁对称面，外力作用在对为梁对称面，外力作用在对称面内。所以，挠曲线为称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线面内的平面曲线。w= f (x)略去剪力的影响，则平面假设成立，发略去剪力的影响，则平面假设成立，发生弯曲变形时，各个横截面绕各自的中性轴生弯曲变形时，各个横截面绕各自的中性轴转动一个角度，而中性轴本身也要发生位移。转动一个角度，而中性轴
2、本身也要发生位移。如上图所示：如上图所示：截面形心位截面形心位移移截面转角截面转角竖向位移竖向位移 y = w= f(x)水平位移水平位移 略去略去)(xfdxdwtg挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdy tan挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角纯弯曲纯弯曲时，得到：时，得到：z zE EI IM M1 1横力弯曲横力弯曲时时, ,忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响1( )( )zM xxEI MM5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角由数学知识可知：由数学知识可知：222 311 () d ydxdydx略去高阶小量，得略去高阶小量，得221d ydx所以所以
3、22( )zd yM xdxEI2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyyM(x) 022xM(x) b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxwdEI1211
4、112)(CxlFbxEIdxdwEI1113116DxCxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxwdEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22lwlx0)0(, 011wx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaax
5、x )()(,2121ayawaxxlFbFblCC661321021 DD目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI12231)(661xbllFbxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法
6、求梁的挠度和转角6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFbwblx目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIw5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角目录当P力作用在跨中央时，wmax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时LLLx5 . 0 , 577. 0310接近简支梁无论P作用在何处用%65.
7、 2最大误差max 2Lww代替)(39)(,3322max22EIlblFbwblx5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角 xMyEI eeMxlMyEIeeMxlMyEI 例题：例题：求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。解：解：lABMe1. .列列微分方程并积分微分方程并积分CxMxlMyEI e2e2DCxxMxlMEIy 2e3e262. .确定积分常数确定积分常数由由0 D3elMC 22e2636llxxEIlMy 22e236llxxEIlxMy , 00 xy, 0 lxyF =AylF =BylMMeex3. .求求 ymax由 =0，可见：y中
8、与ymax相差很小，两者相差不到ymax的3%。 22e2636llxxEIlM 22e236llxxEIlxMy llx423. 03310 EIlMxyy2e0max0642. 0 2e0.06252M llyyEI中对于简支梁，只要挠曲线上无拐点，总可以用跨中挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差。例题：例题：求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。解：解：lABMeF =AylF =BylMMeex工程上通常采用中点的挠度值作为设计依据。工程上通常采用中点的挠度值作为设计依据。例题：例题：求图示梁的弯曲变形x1eEIyMF lx e2MyEI ,xl12,yy0,x 10,边界条件
9、：连续条件： 1e2 12CxFlMFxyEI 2e 2CxMyEI xMyEI11 xMyEI22 112e3126DxCxFlMFxEIy 222e22DxCxMEIy 632FlD 01 CMFABllCe12,222FlC 10,y 01 DEIFlEIlMB222eEIFlEIlMyB65232e解：解：AC段：CB段：x4.4.画挠曲线的大致形状画挠曲线的大致形状例题：例题：求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。lABMeF =AylF =BylMMeex 22e236llxxEIlxMy 小小 结结解题步骤解题步骤:1.分段求分段求M(x);2.分段写挠曲线微分方程分段写挠
10、曲线微分方程EIw=-M(x),并积分之并积分之;3.由边界条件定积分常数由边界条件定积分常数,得挠曲线方程得挠曲线方程w(x)及转角方程及转角方程(x);4.求最大变形求最大变形max, wmax.由经验判定挠曲线由经验判定挠曲线,找出最大值所在位置找出最大值所在位置;对变形方程求极值而确定最大值对变形方程求极值而确定最大值;由由M图画大致挠曲线图画大致挠曲线:M(x) = -EIwM0 , w 0 ;M0 , w 0 ;M = 0 , w= 0 ;M = c , = c . 圆弧圆弧画挠曲线的大致形状画挠曲线的大致形状MxMe例题：例题：解：解：lABMeF =AylF =BylMMeex
11、试画出图示梁的挠曲线大致形状。试画出图示梁的挠曲线大致形状。aaaaMeMe答：MeMx直线MeMea2aaMexMMe试画出图示梁的挠曲线大致形状。试画出图示梁的挠曲线大致形状。F2FDBCAl/2l/2l/2MFl/4Fl/2x拐点挠曲线试画出图示梁的挠曲线大致形状。试画出图示梁的挠曲线大致形状。aaaFwx右w00w0w左w试画出图示梁的挠曲线大致形状。试画出图示梁的挠曲线大致形状。例例:已知挠曲线方程已知挠曲线方程 则则两端截面的约束可能为下列情形中的两端截面的约束可能为下列情形中的.323(32) (48),EIyqx llxx/Bxol(D)yxol(C)y(B)xoly(A)xo
12、ly32303230200(32)/480,0,(98)/480,0,(2418 )/480,0,(4818 )/480,0, ,xx lxx lxx lsssxx lEIwEIqx llxxwwA BEIwq llxxB DEIwqxlxMMMB DEIwqxlFFFA B C D 讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？目录：得到挠度方程w(x)和转角方程(x) 。 因而可求出任意截面的挠度和转角。：繁，荷载复杂时分段多，积分常数多。5.25.2 积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角,1nii1niiww重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转
13、角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。叠加法成立前提，线弹性、小变形。叠加法成立前提，线弹性、小变形。5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角证明：证明：)(22xMEIwdxwdEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为w w，则有：，则有： )(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截
14、面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iw)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMwEIwEIniinii7-4故故 )( 1niiww由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiww1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。5.35.3 按
15、叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角33BzPLwEIzBEIPL22LAPBABLq48BzqLwEIzBEIqL63APB348CzPLwEIzAEIPL16245384CzqLwEIzAEIqL243挠度： 3、8、48、5384转角： 2、6、16、24ABqL/2L/2CL/2L/2C常见梁的变形：常见梁的变形：目录例题：例题：图示悬臂梁EIz为常数，荷载情况如图所 示，试求B截面的挠度和转角。解解：先将作用在梁上的荷载分为分布荷载q和集中力P单独作用这两种情况。(如图1、2)ABLqP5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角ABLP(2)AB
16、Lq(1)查表得：查表得：均布荷载单独作用时集中力单独作用时zBEIqLy841zBEIqL631zBEIPLy332zBEIPL222应用叠加法应用叠加法zzBBBEIPLEIqL262321zzBBBEIPLEIqLyyy383421例例3 3 已知已知简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面截面的挠度的挠度y yC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的
17、转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解目录5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角yC1yC2yC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB目录5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角qBACla例例: : 已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受
18、力如图示，示，q q、l、a a、EIEI均为已知。均为已知。求求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C CqBAClaByByC36CBqlEICBByya 4386qlql aEIEI3243qllaEI5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角Cy例例: : 已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C CdxxdxxdP查表，其中查表，其中 dP = qdx, c = x2(3)6cdPxdylxEI2(3)6qxlxdxEI2llccydy2
19、2(3)6llqxlxdxEI43264llqxlxEI441384qlEI5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角例例: : 已知：已知：悬臂梁受力如图悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）将载荷变成有表可查的情形）将载荷变成有表可查的情形 Cy2Cy1Cy2By41,8CqlyEI43222,2128482CBBlqlqllyyEIEI 316CqlEI3248CqlEI 42141,384CCiiqlyyEI3 3）将结果叠加）将结果叠加 321748CCiiqlEI2
20、 2）计算各自）计算各自C C截面的挠度和转角截面的挠度和转角目录MFABllCeBF eBM B 例题：例题：求求 B和和yBeBMyBFyBy解：解：2. F单独作用时单独作用时3. Me和和F共同作用时共同作用时ABM FABCe yBM BMeelEIFlEIFl 2323EIFl653 CF EIFl22 lyCFCF EIlMe2 EIlM222e EIlM2e2 EIFlEIlM222e EIFlEIlM65232e BFBMyy eBFBM e1. Me单独作用时单独作用时yBF BF目录例题：例题：求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCP5.35.3 按叠加原理求梁的挠度
21、和转角按叠加原理求梁的挠度和转角解解：我们分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCPPam 0(a) 刚化BC 求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCPLaABCPBaBPam 0zzBEIPaLEILm330123CBzPa LfaEI(c) 叠加(b) 刚化ABBCP2CfLaABCP233CzPafEI12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333LaABCPBaBPam 0123CBzPa LfaEI(a) 刚化BC，力的平移(c) 叠加(b) 取AB：BCP2CfLaABCP233CzPafEI12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPaz
22、z333123CBzPa LfaEI解二：截面法，求内力解二：截面法，求内力(a) 取BC：LaABCPBaBBmPaRBFPBMPaRBF1234123412340 11 22 33 4fffffffffllll 1234123412340 11 22 33 4fffffffffllll 节数12345厚度t(mm)66555高度h(mm)6686686665133823/12yIbh3/12xIb h2ycIIAa221cossinsin2yyxyzIIIaIa221sincossin2xyxyzIIIaIa412989665549IImm43693265420Imm44454295119
23、Imm45249835730Imm th1h2h讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？目录5.35.3 按叠加原理求梁的挠度和转角按叠加原理求梁的挠度和转角5.55.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施1.1.刚度条件刚度条件maxmax , ww建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：500017-5 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许
24、用数值。 B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3解解例例: : 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求根据刚度要求确定轴的直径确定轴的直径d d。LaABCPBaBBmPa例例: : 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al l m m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。
25、轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求根据刚度要求确定轴的直径确定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EFlaI3180 EFlad3180644已知：q=10kN/m ，L=3m，bhLwGPaE2 , 2501 , 200试设计截面。ABLqhb, 120MPa解：(1) 按强度条件设计最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面mNqLM3232max104531010212132646332
26、bbbhWz)2(bh 63310120104532bcmmb 25. 8 1025. 8101202104532363cmbh 5 .162 强度条件：maxzWM3max45 10MN m323zbW 250132102008310104933b代入刚度条件可得cmb 92. 821020082503101034933cmbh 84.172 综合考虑强度和刚度条件，可取：cmbcmh 9 18(2) 按刚度条件设计刚度条件为maxLwLw43maxmax , ,88zzwqLqLwEILEI3212)2(12433bbbbhIz2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录所谓提高梁的刚度，即尽量降低梁的最大挠度和转角。2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值5.55.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施1.1.刚度条件刚度条件2.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录大部分钢材的E值是相近的，因此，增大梁的抗弯刚度，主要是增大Iz值。将截面面积布置在距中性轴较远处，可在面积不变的情况下获得较大的Iz，这样不但能降低应力，还能减小位移。5.55.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施
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